DST 2 NOM :
DST 2
durée 4hLes graphiques sont à compléter sur le sujet et à rendre avec votre copie.
Le soin et la qualité de la rédaction (sans parler de l’orthographe) rentrent en compte dans l’appréciation des copies !
Exercice 1 5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(𝑂;⃗𝑢, ⃗𝑣).
1. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe 𝑧A=√ 3 + 2i.
a. Montrer que le point A appartient au cercleΓ de centre le point I et de rayon 2.
Sur une figure (unité graphique 1 cm), qu’on complètera au fur et à mesure de l’exercice, placer le point I, tracer le cercleΓ, puis construire le point A.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−
→𝑢
−
→𝑣
b. On considère la rotation𝑟de centre le point I et d’angle 𝜋 2.
Démontrer que le point B image du point A par la rotation𝑟a pour affixe𝑧B=−1 +i(√
3 + 1) . Justifier que le point B appartient au cercleΓ.
c. Calculer l’affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.
d. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère les points E et F tels que :−−→
AE =−→
IB et−→
AF =−→
BI . Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?
Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.
Exercice 2 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, moins 0,5 point pour une réponse inexacte. Aucun point n’est enlevé en cas d’absence de réponse.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(𝑂;⃗𝑢, ⃗𝑣).
1. Soit (E) l’ensemble des points𝑀 d’affixe𝑧 vérifiant :𝑧= 1−2i+ei𝜃,𝜃étant un nombre réel.
a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2−2i.
b. (E) est le cercle de centre d’affixe−1 + 2i et de rayon 1.
c. (E) est le cercle de centre d’affixe1−2i et de rayon 1.
DST 2 NOM :
d. (E) est le cercle de centre d’affixe1−2i et de rayon√ 5.
2. Soit𝑓l’application du plan qui, à tout point𝑀 d’affixe𝑧associe le point𝑀′d’affixe𝑧′tel que𝑧′ =−i𝑧−2i.
a. 𝑓 est une homothétie.
b. Le point d’affixe−1−2i est un antécédent du point d’affixe i.
c. 𝑓 est la rotation de centre le point d’affixe1 +i et d’angle−𝜋 2. d. 𝑓 est la rotation de centre le point d’affixe−1−i et d’angle−𝜋
2. 3. Soit (F) l’ensemble des points𝑀 d’affixe𝑧 vérifiant∣𝑧−1 +i∣=∣𝑧+ 1 + 2i∣.
Soient les points A, B et C d’ affixes respectives1−i, −1 + 2i et−1−2i.
a. C est un point de (F).
b. (F) est la médiatrice du segment [AB].
c. (F) est la médiatrice du segment [AC].
d. (F) est le cercle de diamètre [AB].
4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 𝑧+∣𝑧∣2= 7 +i. Cette équation admet : a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.
b. Une solution réelle.
c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.
d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.
5. Si 𝐴est le point d’affixe1 +𝑖et𝐵 le point d’affixe2𝑖 alors L’ensemble de points𝑀 d’affixe𝑧 du plan qui vérifientarg
( 𝑧−2𝑖 𝑧−1−𝑖
)
=𝜋[2𝜋]est : a. Le cercle de diamètre[𝐴𝐵] privé de𝐴et de𝐵.
b. La droite(𝐴𝐵)privée de𝐴et de 𝐵.
c. Le segment]𝐴𝐵[.
d. La droite(𝐴𝐵)privée du segment [𝐴𝐵].
GRILLE DE RÉPONSE: n’indiquer que les réponses vraies par la lettreV
a) b) c) d)
Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5
Exercice 3 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal(𝑂;⃗𝑢, ⃗𝑣).
Soit (𝒞) le cercle de centre 𝑂 et de rayon1.
On considère le point𝐴de (𝒞) d’affixe𝑧𝐴=𝑒𝑖𝜋3.
1. Déterminer l’affixe 𝑧𝐵 du point𝐵 image de𝐴par la rotation de centre𝑂 et d’angle 2𝜋 3 . Déterminer l’affixe 𝑧𝐶 du point𝐶 image de𝐵 par la rotation de centre𝑂 et d’angle 2𝜋
3 .
2. a. Justifier que (𝒞) est le cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶. Construire les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sur la feuille de papier millimétré.
DST 2 NOM :
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
−
→𝑢
−
→𝑣
b. Quelle est la nature du triangle𝐴𝐵𝐶? Justifier.
3. Soitℎl’homothétie de centre𝑂 et de rapport−2.
a. Compléter la figure en plaçant les points 𝑃,𝑄et 𝑅images respectives des points𝐴, 𝐵 et𝐶 parℎ.
b. Quelle est la nature du triangle𝑃 𝑄𝑅? Justifier.
4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.
a. Donner l’écriture complexe deℎ.
b. Calculer𝑧𝐴+𝑧𝐵+𝑧𝐶. En déduire que A est le milieu du segment[𝑄𝑅].
c. Que peut-on dire de la droite (𝑄𝑅)par rapport au cercle (𝒞) ?
Exercice 4 5 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(𝑂;⃗𝑢, ⃗𝑣).
On désigne par A, B et J les points d’affixes respectives −i, 1−i et i.
On désigne parΔla médiatrice du segment [AB] et par𝒞 le cercle de centre O et de rayon 1.
À tout point𝑀 d’affixe𝑧distincte de1−i, on associe le point𝑀′ d’affixe𝑧′ telle que 𝑧′ = i(𝑧+i)
𝑧−1 +i. Le point𝑀′ est appelé image du point𝑀.
1. Calculer les affixes des points A′ et O′.
2. Sur la feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice (unité graphique 4 cm).
DST 2 NOM :
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
−
→𝑢
−
→𝑣
3. Montrer que l’équation 𝑧= i(𝑧+i)
𝑧−1 +i admet deux solutions que l’on précisera.
On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions.
Justifier que les points E et F appartiennent au cercle 𝒞 et les placer sur la figure.
4. Soit𝑀 un point distinct du point B et𝑀′ son image.
a. Exprimer la distance O𝑀′ en fonction des distances A𝑀 et B𝑀.
b. Montrer que si le point𝑀 décrit la droiteΔ, alors le point𝑀′ décrit un cercle que l’on précisera.
5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que si le point 𝑀 décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point 𝑀′ appartient à une droite que l’on précisera.
