2010 - BAC Liban

(1)

Terminale S juin 2010

Liban

1. Exercice 1 (5 points) Partie A

Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :

* e⁰ =1. * Pour tous réels x et y, e^x× =e^y e^{x y}⁺ . 1. Démontrer que pour tout réel x, _x 1

e x

e

− = .

2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,

( )

^e^x ⁿ ⁼^e^nx^.

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

1 01

nx

n x

u e dx

e

−

= −

∫

+ ^.

1. a. Montrer que u0 + u1 = 1.

b. Calculer u1. En déduire u0.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, u_n≥0.

3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, ₁ 1 ⁿ

n n

u u e n

−

+ + = − ^.

b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, 1 ⁿ

n

u e n

− −

≤ ^.

4. Déterminer la limite de la suite (un).

2. Exercice 2 (4 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormal (O i j k; , , )

.

On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2).

1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :

1 2 2 3 , 1

x t

y t t

z t

= +



= − − ∈

 = − −



ℝ.

2. On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique : 2 1 2 ,

x k

y k k

z k

= −



= + ∈

 =



ℝ. Montrer que les droites (D) et (D’) ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0.

a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D).

b. Montrer que le plan (P) et la droite (D’) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.

4. On considère la droite (∆) passant par le point C et de vecteur directeur ^w

(

^{1 ; 1 ; 1}⁻

)

^.

a. Montrer que les droites (∆) et (D’) sont perpendiculaires.

b. Montrer que la droite (∆) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.

3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

(2)

Terminale S 2 corrigé : http://mathemitec.free.fr/

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs d’une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on recommence).

Proposition 1 : « La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est

3 7

1 2

3 3 3

   

×  × 

    » 2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ (λ>0).

On rappelle que pour tout réel a > 0 :

( )

0

a t

p X≤a =

∫

λe⁻^λdt^.

Proposition 2 : « Le réel a tel que ^{p X}

(

^>^a

) (

⁼^{p X}^≤^a

)

est égal à ln 2 λ ^{. »} 3. Soit le nombre complexe z= −1 i 3.

Proposition 3 : « Si l’entier naturel n est un multiple de 3 alors zⁿ est un réel. »

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ), le point A d’affixe a = 2 − i et le point B d’affixe 1

2 b= +ia.

Proposition 4 : « Le triangle OAB est rectangle isocèle. »

5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ), à tout point M d’affixe z non nulle on associe le point M’ d’affixe z’ telle que 10

' z

z

=− où z désigne le nombre conjugué de z.

Proposition 5 : « Il existe un point M tel que O, M et M’ ne sont pas alignés. » 4. Exercice 3 (5 points, spécialistes)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ), le point A d’affixe 2 − i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle

2 π . On note I le milieu du segment [AB].

Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe

( )

' 1 1 2

z = +i z− − i. »

2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x − 5y = 2.

Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k − 1 ; 3k − 1) où k est un entier relatif. » 3. On considère l’équation (E) : ^x²⁺^y²^≡^{0 m od 3}

( )

, où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs.

Proposition 3 : « Il existe des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3. »

4. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.

Proposition 4 : « Pour tout entier naturel k (2≤ ≤k n), le nombre n! + k n’est pas un nombre premier.

»

5. On considère l’équation (E’) : x²−52x+480=0, où x est un entier naturel.

Proposition 5 : « Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation (E’). »

(3)

5. Exercice 4 (6 points) Partie A

Soit u la fonction définie sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^par^{u x}

( )

⁼^x²^{− +}^{2 ln}^x^.

1. Étudier les variations de u sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

et préciser ses limites en 0 et en +∞. 2. a. Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

On note α cette solution.

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10⁻² de α . 3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.

4. Montrer l’égalité : lnα = −2 α². Partie B

On considère la fonction f définie et dérivable sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^par^{f x}

( )

⁼^x²⁺

(

^{2 ln}⁻ ^x

)

²^.

On note f' la fonction dérivée de f sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

1. Exprimer, pour tout x de

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^,^f^'

( )

^x en fonction de u(x).

2. En déduire les variations de f sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

Partie C

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O i j; , ) on note :

•Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;

• A le point de coordonnées (0 ; 2) ;

• M le point de Γ d’abscisse x, x appartenant à

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

1. Montrer que la distance AM est donnée par ^AM⁼ ^{f x}

( )

^.

2. Soit g la fonction définie sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^par^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

( )

^.

a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées.

c. Montrer que AP=α 1+α² .

3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P ?

(4)

Bref Corrigé Exercice 1 (5 points)

A1. Appliquons le pré-requis n°2 à y = - x : il vient e^x×e⁻^x=e⁰ =1 d’après le pré-requis n°1.

Chacun des nombres est non nul et on a bien pour tout x, _x 1 e x

e

− = .

A2. Soit n un entier naturel et P(n) la proposition «

( )

^e^x ⁿ⁼^e^nx^»

> P(0) est vraie d’après le pré-requis n°1.

> Supposons P(n) vraie au rang n cad que

( )

^e^x ⁿ⁼^e^nx^.

Multiplions par e^x chacun des membres, il vient

( )

ê^x ⁿ^×ê^x ⁼ê^nx^×ê^x^⇔

( )

^e^x ⁿ⁺¹⁼^e^{nx x}⁺ d’après le pré- requis n°2, cad

( )

^e^x ⁿ⁺¹⁼^e⁽ⁿ⁺¹⁾^x^.

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

1 01

nx

n x

u e dx

e

−

= −

∫

+ ^.

B1a. u0 + u1 =

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1

1 0 1

1 1 1

linéarité

x x

x x x

e e

dx dx dx dx

e e e

− −

− − −

+ = + = = − =

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫

B1b. On a û¹ ₀¹₁ê⁻_e^x−^x^dx ₀¹₁ ê_e⁻−^x^x^dx ^{ln 1}

(

^e⁻^x

)

¹₀ ^{ln 1}

(

^e⁻¹

)

^{ln 2}

−  

=

∫

+ = −

∫

+ = − +  = − + +

Comme u0 + u1 = 1, on en déduit que u0 = ⁻^{ln 1}

(

⁺^e⁻¹

)

⁺^{ln 2}^-1.

B2. u_n est l’intégrale d’une fonction (continue) positive, elle est donc positive.

B3a. Un calcul direct donne :

1 ⁽ ¹⁾ 1 1

1 0 0 0

1

1 1

linéarité n x nx x

nx nx

n n x x

e e e

u u dx e dx e dx

e e

− + − −

− −

+ − −

+ +

+ = = =

+ +

∫ ∫ ∫

^.

Ainsi, pour n non nul

1 1

0

nx 1 n

n n

e e

u u

n n

− −

+

  −

+ =  =

 − 

B3b. D’après B2, la suite u_n est positive on a donc 1 ⁿ ₁ 1 ⁿ

n n

e e

u u

n n

− −

− + −

= − ≤ .

B4. Encore une fois, le calcul est direct : lim ⁿ 0

n e⁻

→+∞ = donc 1

lim 0

n n

e n

−

→+∞

− = : comme la suite est positive, d’après le théorème des gendarmes elle converge et tend vers 0.

(5)

Exercice 2

L’espace est muni d’un repère orthonormal (O i j k; , , )

.

On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2).

1. Une droite étant défini de manière unique par 2 points, il suffit de vérifier que les coordonnées de A et B vérifient le système donné, et c’est le cas (t_A =0,t_B =1).

Ainsi (D)

1 2 2 3 , 1

x t

y t t

z t

= +



= − − ∈

 = − −



ℝ.

2. On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique : 2 1 2 ,

x k

y k k

z k

= −



= + ∈

 =



ℝ.

Deux droites (D) et (D’) ne sont pas coplanaires ssi elles ne sont ni sécantes, ni parallèles.

> D est dirigée par ^u

(

^{2; 3 1}^{− −}

)

et D’ est dirigée par ^u^'

(

⁻^{1; 2;1}

)

: les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.

> Vérifions s’il existe deux réels t et k tels que

1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 3 1 2 2 3 3 2 3 3 9 / 2

1 1 1 9 / 2 3

x t k k t t t t

y t k k t k t k

z t k k t k t

= + = − = − − − = − =

   

   

= − − = + ⇔ = − − ⇔ = − − ⇔ = −

   

 = − − =  = − −  = − − − = −

   

: ce système n’a aucune solution donc les droites ne sont pas sécantes non plus.

3a. On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0.

Remplaçons (x ;y ;z) par les coordonnées d’un point de la droite : il vient

( ) ( ) ( )

4 1 2+ t + − −2 3t + − − + = =5 1 t 3 ... 0. La droite D est donc incluse dans P.

3b. Même méthode ! On a ^{4 2}

(

^{− + +}^k

) (

^{1 2}^k

)

⁺⁵^k^{+ = ⇔ = −}³ ⁰ ^k ⁴ donc le point d’intersection du plan (P) et de la droite (D’) est C(6 ; -7 ; -4).

4a. On considère la droite (∆) passant par le point C et de vecteur directeur ^w

(

^{1 ; 1 ; 1}⁻

)

^.

Vérifions si les vecteurs directeurs de ces droites sont orthogonaux :

1 1

' 2 . 1 1 2 1 0

1 1

u w

−

   

   

= − + − =

   

  − 

   

donc oui, les droites (∆) et (D’) sont perpendiculaires.

4b. Cherchons d’abord une représentation paramétrique de ∆ : d’après les résultats du cours, on a 6

: 7 ,

4

x k

y k k

z k

= +



∆  = − + ∈

 = − −



ℝ.

Vérifions s’il existe deux réels t et k tels que

6 1 2 5 2 5 2 5 3 2

: 7 2 3 5 3 5 3 1

4 1 3 3 1 3 2 [ !]

x k t k t t t t

D y k t k t k t k

z k t k t k t ouf

= + = + = − + − + = − =

   

   

∆  = − + = − − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −

 = − − = − −  = − +  = − + − = − +

   

∩ .

Ces deux droites s’interceptent donc en un point E(5 ;-8 ;-3).

(6)

Exercice 3 (5 points, non spécialistes)

1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs d’une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on recommence).

Vu que l’on remet chaque boule piochée dans l’urne, nous en en présence d’un schéma de Bernoulli (10 répétitions de manière indépendante d’une même épreuve).

Si X désigne la v.a. qui compte le nombre de boules blanches tirées, X suit une loi binomiale de paramètres n=10, 1

p=3.

Par conséquent, ^{P X}

(

⁼³

)

⁼^^¹⁰₃ ^{  }  ^× ¹₃ ³^×^{ } ²₃ ⁷

   

  donc la proposition est fausse 2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ (λ>0).

On a, pour tout réel a > 0 :

( )

0

... 1

a t a

p X ≤a =

∫

λe⁻^λdt= = −e⁻^λ ^. Par ailleurs, ^{p X}

(

^>^a

)

^{= −}¹ ^{p X}

(

^≤^a

)

^{= − −}¹

(

¹ ^e⁻^λ^a

)

⁼^e⁻^λ^a^.

Ainsi ^{p X}

(

^>^a

)

⁼ ^{p X}

(

^≤^a

)

^⇔ê⁻^λâ ^{= −}¹ ê⁻^λâ ^⇔ê⁻^λâ ^{= ⇔ −}¹₂ ^λâ^{= −}^{ln 2} : la proposition est donc vraie.

3. Soit le nombre complexe z= −1 i 3.

Passons par la forme exponentielle : 1 3 ³

1 3 2 2

2 2

i

i i e

−π

 

− =  − =

  .

Soit n de la forme n = 3k, il vient

( )

3

3 3 3 3

2 2 1 2

k

i k

n k k ik k

z e e

π π

− −

 

 

=   = = − ∈

 

ℝ: la proposition est donc vraie.

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ), le point A d’affixe a = 2 − i et le point B d’affixe 1

2 b= +ia.

Un dessin montre rapidement que si le triangle est rectangle, c’est en B.

On a ^O ^B ^... O B

(

A B

)

A B

z z

i z z i z z

z z

− = = − ⇔ − = − −

− ce qui signifie que O est l’image de A par la rotation de centre B et d’angle

2

−π : la proposition est donc vraie.

5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ), à tout point M d’affixe z non nulle on associe le point M’ d’affixe z’ telle que 10

' z

z

=− où z désigne le nombre conjugué de z.

(

^{OM OM}^, ^'

)

⁼^arg^^_^z_z^'^^_^{= =}^... ^arg^^_⁻_{| |}¹⁰_z ²^^_⁼^π

^{( )}

²^π ^puisque⁻_{| |}¹⁰_z ² est un réel négatif.

La proposition est donc fausse.

(7)

Exercice 3 (5 points, spécialistes)

1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ), le point A d’affixe 2 − i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle

2

π . On note I le milieu du segment [AB].

> Par définition de B on a zB−zO =i z

(

A−zO

)

⇔zB = +^{1 2}i.

> Pour le milieu I, on a 3

2 2

A B

z z i

I +  I + 

⇔  

 

 

> Soit s la similitude directe : ^z^'⁼

(

¹⁺^{i z}

)

^{− −}^{1 2}ⁱ

l’image de A est d’affixe ^z^'^{= +}

(

¹ ⁱ

)(

²− − − = = −ⁱ

)

^{1 2}ⁱ ^.. ² ⁱ donc s(A) = A l’image de I est d’affixe ^z^'^{= +}

(

¹ ⁱ

)

³₂⁺ⁱ^{− − = =}^{1 2}ⁱ ^.. ⁰ donc s(I) = O La proposition est donc vraie.

2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) 3x − 5y = 2.

> Le couple

(

x y0; 0

)

=(-1 ;-1) est solution particulière de (E).

> Un couple (x ;y) est solution de E ssi 3x − 5y = 3x₀−5y₀ ssi 3

(

x−x0

) (

=5 y−y0

)

(E’).

Par conséquent 3 divise 5 y

(

−y0

)

et comme 3 est premier avec 5, d’après le théorème de Gauss, 3 divise y−y0.

Il existe donc un entier k tel que y−y₀=3k⇔ =y y₀+3k

> En substituant cette valeur de y dans (E’) on trouve alors 3

(

x−x0

)

= ×5 3k⇔ − =x x0 5k La proposition est donc vraie.

3. On considère l’équation (E) : ^x²⁺^y² ^≡^{0 m od 3}

( )

, où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs.

Faisons un tableau de congruence de x² + y² modulo 3 :

La proposition est donc fausse, cette équation n’a pour solutions (éventuelles) que des couples qui sont des multiples de 3.

4. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.

Vu que k≤n, dans le nombre n! se trouve le facteur k.

Ainsi n! + k = k

(

1 1 2 ... (+ × × × − × × ×k 1) k ... n

)

et ce nombre est divisible par l’entier k (>1) donc il n’est pas premier.

5. On considère l’équation (E’) : x²−52x+480=0, où x est un entier naturel.

Les racines de ce trinôme sont 12 et 40 : on cherche donc deux entiers n et k tels que gcd( , ) 12 ( , ) 40 p n k ppcm n k

=



 = .

Si pgcd(n,k) = 12 alors il existe deux entiers premiers entre eux n’ et k’ tels que 12 ' 12 '

n n

k k

=



 = : par conséquent ppcm n k( , )=40⇔ppcm(12 ',12 ')n k =40⇔12ppcm n k( ', ')=40. Mais 3 ne divise pas 40 donc cette équation n’a aucune solution et par conséquent la proposition est fausse.

y x

0 1 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

(8)

Exercice 4 (6 points)

A1. La fonction u est dérivable et on a ^u^'

( )

^x ²^x ¹ ²^x² ¹

x x

= + = + >0 donc la fonction u est dérivable sur I.

D’après les limites de ln aux bornes de son domaine, on a

0

lim ( )

x u x

→ = −∞ et lim ( )

x u x

→+∞ = +∞. A2a.

la fonction u est dérivable donc continue sur I elle est strictement monotone

elle passe de valeurs négatives (

0

lim ( )

x u x

→ = −∞) à des valeurs positives (lim ( )

x u x

→+∞ = +∞)

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^{. On note}^α cette solution.

A2b. À l’aide de la calculatrice, on trouve 1, 31< <α 1,32.

A3. La fonction étant croissante et s’annulant en α , elle est négative avant α , positive après.

A4. Par définition ^u

( )

^α ^{= ⇔ =}⁰ ⁰ ^α²^{− +}^{2 ln}^α ^⇔^ln^α ^{= −}^α²⁺²

Partie B

On considère la fonction f définie et dérivable sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^par^{f x}

( )

⁼^x²⁺

(

^{2 ln}⁻ ^x

)

²^.

On note f' la fonction dérivée de f sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

B1. f est dérivable par composition et on a ^f^'

( )

^x ²^x ² ¹

(

^{2 ln}^x

)

¹ ²^x² ⁴ ^{2 ln}^x ^{2 ( )}^{u x}

x x x

− − +

= + × − = =

B2. Sur I, x > 0 donc f’(x) est du signe de u(x). D’après la question A3, on en déduit que la fonction f décroît sur ]0; ]α et croît sur [ ;α +∞[.

C1. Point important : M est le point de Γ d’abscisse x donc par définition son ordonnée est ln(x) !

On a alors 0

ln 2 AM x

x

−

 

 

−

 

: par conséquent AM = ^x²⁺

(

^ln^x⁻²

)

² ⁼ ^{f x}^{( )}^.

C2a. Soit g la fonction définie sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^par^{g x}

( )

= ^{f x}

( )

: la fonction racine étant croissante sur son domaine, par composition la fonction g= f a les mêmes variations que f.

C2b. D’après le C2a et le B2, g est minimale quand f est minimale cad en α . Le minimum de g est donc g(α) et on a

P ( ) g α

α

 

 

 .

C2c. P est un point de Γ donc d’après C1 on a ^AP⁼ ^f^{( )}^α ⁼ ^α²⁺

(

^ln^α⁻²

)

² et d’après A4 on obtient

( )

²

( )

2 2 2 2 2 4 2 1 2 1 2

AP= α + α + − = α +α = α +α =α +α car α>0.

(9)

C3. Petit rappel : Toute droite de coefficient directeur m est dirigée par le vecteur 1 u m

  

  .

> La tangente à Γ en P a pour coefficient directeur 1 ln'( )α

=α donc le vecteur 1 u 1

α

 

 

 

dirige la tangente.

> La droite (AP) a pour coefficient directeur ^P ^A ...

P A

y y

x ⁻x = = −α

− donc le vecteur 1

'

u α

 

 

−

 

dirige (AP).

Par conséquent ^{u u}^{. '}^{= + × −}¹ _α¹

( )

^α ⁼⁰ donc oui, (AP) est perpendiculaire à la tangente en P.

Ps : l’énoncé de ce sujet (pas son corrigé !) provient du site de M. Laroche.

Merci à lui.