I - Fraction quotient

I - Fraction quotient ^{ex 1}

Définition

Soient

a

et

b

deux nombres entiers, avec

b

 0.

La fraction

a

b

est le quotient de

a

par

b

. Soit

a

b

⁼

a

÷

b

.

Règle

Tout nombre décimal (et donc également tout nombre entier) admet une écriture fractionnaire.

Mais attention, un nombre en écriture fractionnaire n'est pas forcément un nombre décimal.

Remarque :

Un nombre en écriture fractionnaire qui n'est pas un nombre décimal possède une écriture décimale illimitée périodique. On ne peut en donner qu'une valeur décimale approchée.

Exemple :

Parmi les fractions suivantes, quels sont les nombres décimaux ? Pour celles qui ne sont pas des nombres décimaux, donnes-en une valeur approchée au centième.

a. 1

2 b. 1

3 c. 5

4 d. 12

10 e. 5

7 f. 9

12 g. 7

5 h. 30

22 Les nombres décimaux sont :1

2, 5 4 , 12

10, 9 12 et7

5car on finit par obtenir un reste nul dans la division du numérateur par le dénominateur.

1

3= 0,333... 5

7 = 0,714285714285... 30

22= 1,3636...

b. 0,33 est une valeur approchée au centième du quotient 1

3. On note1

3 0,33.

e. 0,71 est une valeur approchée au centième du quotient 5

7. On note5

7  0,71.

h. 1,36 est une valeur approchée au centième du quotient30

22 . On note30

22  1,36.

II - Quotients égaux ^{ex 2}

Règles

Soient

a

,

b

et

k

des nombres, avec

b

 0 et

k

 0.

Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son

dénominateur par un même nombre non nul. Soit :

a

b

⁼

a

×

k b

×

k

Un quotient ne change pas quand on divise son numérateur et son

dénominateur par un même nombre non nul. Soit :

a

b

⁼

a

÷

k b

÷

k Exemple :

Les aires des trois surfaces coloriées sont égales. Déduis-en des fractions égales.

Les fractions 4 6, 2

3 et 8

12 sont égales et on a : 4

6=4÷2 6÷2=2

3et2

3=2×4 3×4= 8

12 .

F

RACTIONS

(2) – C

HAPITRE

N5

0 0 0 0 0,

3 22

6 3 6 3 1, 0

840 1 80

0 4

1 8

0 0 0

1, 3

3 3 3 0, 0

110 0 11

0 0 0 0 0 0 0

5, 7

7 5 8 2 4 1 7 0, 0

5 10 0 320

0 640

0 51

80

III - Simplification de fraction ^{ex 3}

Règle

Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.

Remarque :

Une fraction que l'on ne peut plus simplifier est dite irréductible.

Exemple :

Simplifie le plus possible la fraction 48 60 .

Pour simplifier cette fraction, on cherche des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.

48

60=2×24 2×30=24

30=6×4 6×5=4

5 4

5 n'est plus simplifiable, elle est donc irréductible. C'est la fraction la plus simple égale à 48 60.

IV - Multiplication d'un nombre par une fraction

ex 4 et 5 Règle

Pour multiplier un nombre

a

par une fraction

b

c

^(avec

c

≠ 0), on peut :

• calculer le quotient de

b

par

c

puis multiplier le résultat par

a

;

• ou calculer le produit

a

par

b

puis diviser le résultat par

c

;

• ou calculer le quotient

a

par

c

puis multiplier le résultat par

b

.

Remarque :

Peu importe la méthode, on divise toujours par le dénominateur de la fraction.

Exemple :

Calcule 45×4 5. Pour calculer 45×4

5, on peut procéder ainsi :

• 45×4

5=45×



^4÷5



^=45×0,8=36 Cette méthode est intéressante quand la fraction est un nombre décimal.

• ou45×4 5=45

5 ×4=9×4=36 Cette méthode est intéressante quand la division tombe juste (résultat entier ou décimal).

• ou45×4

5=45×4 5 =180

5 =36 Cette méthode fonctionne toujours mais n’est pas forcément la plus rapide.

Remarque :

La deuxième méthode semble ici plus rapide car les calculs se font facilement de tête.

Attention :

On n'obtient pas toujours un nombre décimal. Par exemple : 4×2 3= 8

3.

Règle

Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier la fraction par cette quantité.

Exemple :

Amélie a dépensé les cinq septièmes de ses économies qui s'élevaient à 14,70 €.

Combien a-t-elle dépensé ?

Calculer les cinq septièmes de 14,70 €, c'est multiplier5

7 par 14,70 €.

5

7 × 14,70 =14,70

7 × 5 = 2,10 × 5 = 10,50. (C'est ici la méthode la plus simple.) Amélie a donc dépensé 10,50 €.

C

HAPITRE

N5 – F

RACTIONS

(2) 81

V - Pourcentage ^{ex 6}

A - Calcul d'un pourcentage

Règle

Calculer

x

% d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par

x

100.

Exemple :

36 % des 425 élèves d'un collège sont externes. Combien y a-t-il d'élèves externes ? Pour calculer le nombre d'externes, on calcule 36 % de 425.

36 % de 425 = 36

100×425=36×425

100 =15 300 100 =153.

Il y a donc 153 élèves externes dans ce collège.

B - Pourcentages particuliers

Règles

• Prendre 10 % d'un nombre, c'est en prendre le dixième. En effet 10 100= 1

10.

• Prendre 50 % d'un nombre, c'est en prendre la moitié. En effet 50 100=1

2.

• Prendre 25 % d'un nombre, c'est en prendre le quart. En effet 25 100=1

4.

• Prendre 75 % d'un nombre, c'est en prendre les trois quarts. En effet 75 100=3

4.

• Prendre 100 % d'un nombre, c'est en prendre la totalité. En effet 100 100=1.

1 Donne une écriture décimale de chaque quotient ou une valeur approchée au millième.

a. 14 11b. 5

6 c. 27 10 d. 2

9 e. 9 8 f. 3

25

2 Parmi les quotients suivants, quels sont ceux égaux à 5

3? a. 45

27 b. 54

33 c. 90

54 d. 40

25 e. 0,05 0,03

3 Simplifie chaque fraction au maximum.

a. 40

90 b. 18

72 c. 16

24 d. 125

75

4 Calcule.

a. 5,6×10

7 b. 45×9

5 c. 4,6×18

9 d. 0,4×3

4

5 Les deux tiers des 60 salariés d'une entreprise sont des ouvriers, un quart sont des techniciens et les autres sont des cadres. Détermine le nombre de salariés dans chacune des catégories.

6 Lundi, un vigneron a récolté 23 kg de raisin et a dû en jeter 12 %. Quelle masse de raisin a-t-il jetée ?

F

RACTIONS

(2) – C

HAPITRE

N5

82