Mathématiques pour l’ingénieur mécanicien

Mathématiques pour l’ingénieur mécanicien

Jean-Romain Heu

5 mars 2019

Rappels

1 Coniques et quadriques

Une conique est une courbe du plan définie par une équation polynômiale de degré 2.

C’est donc l’ensemble des points (x, y) solutions d’une équation de la forme ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0

Définition

Classification des coniques

Il y a trois types de coniques non dégénérées : les ellipses, les hyperboles et les para- boles. L’étude de la forme quadratique (x, y)7→ax²+bxy+cy² permet de les distinguer.

Voilà une façon de faire : on note M = a b/2 b/2 c

!

la matrice associée à la conique.

On note λ et µ ses valeurs propres. Comme M est symétrique, ses valeurs propres sont nécessairement réelles.

F Siλ et µsont non nulles et de même signe, alors la conique est une ellipse ; F siλ et µsont non nulles et de signes opposés, alors la conique est une hyperbole ; F si l’une des valeurs propres est nulle, alors la conique est une parabole.

Finalement, le type d’une conique dépend du signe de det(M) = λµ.

Dans les deux premiers cas, les vecteurs propres associés aux valeurs propres fournissent les directions des axes de la conique. Dans le cas de la parabole, le vecteur propre associé à la valeur propre nulle fournit la direction de la parabole.

Quitte à faire un changement de repère simple (rotation + translation), on se retrouve dans l’un de ces trois cas :

F Ellipse : x² a² +y²

b² = 1

Une telle courbe peut se paramétrer facilement sous la forme

(acos(t), bsin(t)), t∈[0,2π].

b

a

F Hyperbole : x² a² − y²

b² = 1

Les axes de l’hyperbole sont les droites d’équation ^y_b = ^x_a et ^y_b =−^x_a.

Une branche de cette hyperbole peut se paramétrer sous la forme

(a ch(t), b sh(t)), t∈R.

F Parabole : y=αx²

Elle peut se paramétrer sous la forme (x, αx²), x∈R.

Unequadriqueest une surface de l’espace définie par une équation polynômiale de degré 2.

C’est donc l’ensemble des points (x, y, z) solutions d’une équation de la forme a₁x²+a₂y²+a₃z²+a₄xy+a₅xz+a₆yz +b₁x+b₂y+b₃z+c= 0 Définition

Là encore, l’étude de la forme quadratique associée et plus particulièrement les valeurs propres de sa matrice permettent de caractériser et classifier les différentes quadriques non dégénérées. Quitte à changer de repère, une quadrique non dégénérée peut s’écrire sous une des formes présentées sur la page suivante.

Ellipsoïde : x² a² +y²

b² + z² c² = 1

Hyperboloïde à une nappe : x² a² +y²

b² − z² c² = 1

Hyperboloïde à deux nappes : x² a² +y²

b² − z² c² =−1

Paraboloïde elliptique : x² a² +y²

b² =z

Paraboloïde hyperbolique : x² a² − y²

b² =z

Cône elliptique : x²

a² +y² b² − z²

c² = 0

Mentionnons également les cylindres elliptiques, hyperboliques et paraboliques.

2 équations différentielles linéaires

• On considère une équation différentielle de la forme a(x)y⁰(x) +b(x)y(x) = 0,

où a et b désignent des fonctions réelles continues. Il s’agit d’une équation linéaire ho- mogène d’ordre 1. Sur tout intervalle où la fonction a ne s’annule pas, l’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1 donné par

S₀ ={λe^{−R ab}; λ∈R}, où^{R b}_a désigne une primitive de la fonction ^b_a.

• On considère maintenant la même équation avec un second membre : a(x)y⁰(x) +b(x)y(x) = f(x).

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme y₀ +y_p où y₀ désigne une des solutions de l’équation homogène associée vue ci-dessus ety_p désigne une solution particulière de l’équation avec second membre. Pour déterminer une telle solution parti- culière, soit on la devine en en cherchant une de la même forme que f, soit on utilise la méthode de la variation de la constante.

S ={y_p(x) +λe^{−R ba}; λ∈R}.

• Considérons maintenant une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants :

ay⁰⁰(x) +by⁰(x) +cy(x) = 0, aveca, b, c∈R.

On détermine les racines r₁ et r₂ du polynôme aX² +bX+c. L’espace des solutions (de dimension 2) est alors

F S₀ ={λe^r1x+µe^r2x; λ, µ∈R} si r₁ etr₂ sont des racines réelles distinctes ; F S₀ ={λe^r1x+µxe^r1x; λ, µ∈R} si r₁ =r₂;

F S₀ = {e^αx(λcos(βx) +µsin(βx)); λ, µ ∈ R} si r₁ = ¯r₂ = α+iβ sont des racines complexes conjuguées.

• S’il y a un second membre, il faut là encore ajouter aux solutions ci-dessus une solution particulière de l’équation.

I. Champs de vecteurs

1 Définitions

Dans tout ce chapitre, n désignera un entier égal à 2 ou 3 et U désignera une partie deRⁿ. Les applications considérées dans ce cours seront toutes de classe C² sur U.

Un champ de vecteurs est une application qui à un point du plan (ou de l’espace) associe un vecteur. C’est donc une application de la forme

~

ϕ:U ⊂Rⁿ→Rⁿ.

On voit l’ensemble de départ comme un ensemble de points et l’ensemble d’arrivée comme un ensemble de vecteurs.

Définition

Exemple

On représente graphiquement une telle application en dessinant en chaque point pde U le vecteur ϕ(p) qui lui est associé.~ Considérons dans R² le champ défini par

~

ϕ(x, y) = (y,−1). En diminuant la norme des vecteurs afin que la figure soit plus lisible, ce champ est représenté ci-contre.

Champ de vecteurs et système différentiel

Les champs de vecteurs sont naturellement associés à des systèmes différentiels.

Soit

( x⁰(t) = f(x(t), y(t))

y⁰(t) = g(x(t), y(t)) un système différentiel.

On peut lui associer le champ de vecteur défini par ϕ(x, y) = (f(x, y), g(x, y)).~

Le vecteur ϕ(x, y~ ) représente alors le vecteur dérivé au point (x, y) d’une solution du système passant par ce point.

Soit ϕ~ un champ de vecteur. On appelle trajectoire de ϕ~ toute solution du système différentiel associé àϕ.~

Les trajectoires sont les courbesγ définies d’un intervalle ]a, b[ deR versU telles que

∀t∈]a, b[, γ~⁰(t) =ϕ(γ(t)).~

On appelleligne de champ deϕ~ les supports des trajectoires deϕ. Ce sont les~ courbes telles qu’en tout point pde la courbe, le vecteur tangent à la courbe en pest colinéaire au vecteur ϕ(p).~

Définition

Les lignes de champ sont plus faciles à visualiser : ce sont les courbes dirigées par le champϕ. Les trajectoires sont des paramétrisations précises de ces courbes. La vitesse de~ parcours des courbes est donnée par la norme des vecteurs du champ.

Concrètement, déterminer les trajectoires d’un champ de vecteurs signifie résoudre le système différentiel associé. Pour déterminer les lignes de champ, on cherche les courbes γ(t) = (x(t), y(t)) telles que pour tout t, γ~⁰(t) est colinéaire au vecteur ϕ(x(t), y(t)) =~ (ϕ_x(x(t), y(t)), ϕ_y(x(t), y(t))). Le plus souvent, cela revient à résoudre _ϕ^x0

x = _ϕ^y0

y. On ob- tient une équation en x et y qui définit des courbes du plan : ce sont alors les lignes de champ.

Exemple

Reprenons le champϕ(x, y) = (y,~ −1). On visualise facilement sur sa représentation ses lignes de champ : il suffit de suivre les flèches. Ainsi ses lignes ressemblent à des paraboles. les tra- jectoires sont plus difficile à décrire, il s’agit de comprendre que le champ ne donne pas simplement une direction mais aussi une vitesse de parcours des lignes de champ.

Cherchons les lignes de champ : on cherche une courbe γ(t) = (x(t), y(t)) telle que pour tout t,

~γ⁰(t) = (x⁰(t), y⁰(t)) est colinéaire à ϕ(γ(t)) = (y(t),~ −1). On obtient ainsi la condition −x⁰−yy⁰ = 0.

Donc x⁰ = −yy⁰. On intègre : x = −^y₂² + cste. On reconnaît une équation de parabole. Les lignes de champ deϕ~ sont les paraboles d’axeOx, d’équationsx=−^y₂² + cste.

Passons aux trajectoires. On cherche désormais une courbe paramétrée γ(t) = (x(t), y(t)) telle que pour toutt,

~γ⁰(t) = (x⁰(t), y⁰(t)) =ϕ(γ(t)) = (y(t),~ −1).

On obtient le système différentielx⁰(t) = y(t), y⁰(t) =−1. Il est facile à résoudre : y(t) =−t+apuis x(t) =−^t₂² +at+b. Ainsi les trajectoires sont les courbes paramétréesγ(t) = (−^t₂² +at+b,−t+a) où aetbsont des constantes dépendant de la position initialeγ(0).

Tout ce qui vient d’être décrit se généralise naturellement aux champs de R³. Coordonnées cylindriques

Notons (r, θ, z) les coordonnées cylindriques d’un point (x, y, z) deR³. En coordonnées cylindriques, les vecteurs d’un champ de vecteur sont écrits de la manière suivante.

Soit p = (x, y, z) = (r, θ, z). On définit au point p le repère orthonormé (~ur, ~uθ, ~uz) :

~u_r est le vecteur radial unitaire,~u_θ est le vecteur orthoradial unitaire orienté dans le sens direct par rapport à~u_r et enfin~u_zest le vecteur unitaire vertical (c’est le troisième vecteur de la base canonique).

écrire le vecteur ϕ(p) dans la base des coordonnées cylindriques signifie l’écrire dans~ la base (~ur, ~uθ, ~uz). Ainsi, si au point p = (r, θ, z) (en coordonnées cylindriques usuelles)

~

ϕ(p) =ϕ_r(p)~u_r+ϕ_θ(p)~u_θ+ϕ_z(p)~u_z, on écrit alors ϕ(p) = (ϕ~ _r(p), ϕ_θ(p), ϕ_z(p)).

La particularité de cette écriture est que la base dans laquelle on décompose chaque vecteur dépend du point où l’on se trouve. L’intérêt de cette écriture est qu’elle reste addi- tive. Si on considère deux champsϕ~₁etϕ~₂écrits dans la base des coordonnées cylindriques, alors leur sommeϕ~₁+ϕ~₂ a pour coordonnées les sommes de leurs coordonnées respectives.

Notons ϕ~ = (ϕ_r, ϕ_θ, ϕ_z) un champ de vecteurs écrit en coordonnées cylindriques.

Déterminer les trajectoires du champ revient alors à résoudre le système différentiel







r⁰(t) = ϕ_r(r(t), θ(t), z(t)) r(t)θ⁰(t) = ϕθ(r(t), θ(t), z(t)) z⁰(t) = ϕ_z(r(t), θ(t), z(t))

Déterminer les lignes de champs revient à trouver les courbes γ = (r, θ, z) telles que γ~⁰ = (r⁰, rθ⁰, z⁰) soit en tout point colinéaire à ϕ~ = (ϕ_r, ϕ_θ, ϕ_z).

Dans les deux cas, on obtient des courbes décrites en coordonnées cylindriques usuelles.

Exemple

Soitϕ~ défini surR² en coordonnées polaires par ϕ(r, θ) = (1, r). Cela signifie qu’en~ tout point de coordonnées (r, θ), le vecteur correspondant est~ur+r~uθ. Ainsi, ce camp a une composant radiale égale à 1 en tout point et une composante orthoradiale qui est d’autant plus grande que l’on s’éloigne de l’origine.

Déterminons les lignes de champ : on cherche une courbeγ(t) = (r(t), θ(t)) telle qu’en tout point, son vecteur directeur~γ⁰(t) = (r⁰, rθ⁰) est colinéaire au vecteurϕ(γ(t)) = (1, r). Il faut donc que~ r⁰r= 1·rθ⁰. On obtient ainsir⁰ =θ⁰et en intégrant, on déduit que les lignes de champ deϕ~ sont les courbes d’équation polairer=θ+θ0.

Il s’agit de courbes dont la distance à l’origine augmente avec l’angle θ : ce sont des spirales. Et comme la relation entreretθ est linéaire, il s’agit plus précisément de spirales d’Archimède.

Pour déterminer les trajectoires de ϕ, il faut résoudre le système~ r⁰(t) = 1 et r(t)θ⁰(t) = r(t). On obtientr(t) =t+r₀ etθ(t) =t+θ₀.

Les solutions obtenues sont des courbes paramétrées portées par des spirales d’Archimède parcourues à vitesse angulaire constante 1.

F Savoir représenter l’allure d’un champ de vecteur.

F En déterminer les équations de ses lignes de champs génériques et les re- présenter.

F Si cela est faisable, en calculer les trajectoires (il s’agit alors de courbes paramétrées).

F Savoir faire cela en coordonnées polaires ou cylindriques.

À retenir

2 Opérations sur les champs

Les champs considérés sont tous de classe C² sur une partie U deR³. Les définitions pour des champs du plan sont parfaitement analogues

2.1 Gradient et courbes de niveau

Un champ scalaire est simplement une fonction de plusieurs variables : c’est une application qui associe une valeur à un point du plan (ou de l’espace).

f :U ⊂Rⁿ→R.

Définition

Soit f un champ scalaire. On appelle gradient def le champ de vecteur défini en tout point p∈U par

grad(f)(p) =~ ∂f

∂x(p),∂f

∂y(p),∂f

∂z(p)

!

.

Si le champ f est exprimé en fonction des coordonnées cylindriques (f(r, θ, z)), alors son gradient est donné dans la base (~u_r, ~u_θ, ~u_z) associée aux coordonnées cylindriques par

grad(f~ )(r, θ, z) = ∂f

∂r,1 r

∂f

∂θ,∂f

∂z

!

. Définition

Le champ de gradient permet de quantifier les variations de la fonction f. Son orien- tation indique dans quelle direction f varie le plus.

Soient f et g deux champs scalaires, λ ∈ R

eth:R →R une fonction de classe C¹. F grad(λf~ +g) =λ ~grad(f) +grad(g),~ F grad(f g) =~ f ~grad(g) +g ~grad(f), F grad(~ ^f_g) = ^{g ~}grad(f)−f ~grad(g)

g² ,

F grad(h~ ◦f) = grad(f)~ ×(h⁰◦f).

Propriété

Soitϕ~ un champ de vecteur. On dit queϕ~ est un champ de gradients’il existe un champ scalaire f tel que ϕ~ =grad(f~ ).

le champ scalaire f est alors appelé potentiel associé au champ de vecteurs ϕ.~ Il est unique à une constante près.

Définition

Soitf un champ scalaire. On appellecourbe de niveaudef (ou surface de niveau en dimension 3)toute partie deRⁿsur laquellef est égale à une constante donnée.

Ce sont les ensembles {p∈Rⁿ | f(p) = λ} oùλ est une constante fixée.

À moins que f ne soit constante sur des parties ouvertes de Rⁿ, les lignes de niveau def sont des courbes dans le casn = 2 et des surfaces dans le casn = 3.

Définition

Soit f un champ scalaire et p= (x₀, y₀, z₀)∈U.

F grad(f)(p) est orthogonal en~ p à la ligne de niveau def passant par p; F grad(f)(p) pointe dans la direction où~ f augmente ;

F la norme degrad(f)(p) est d’autant plus grande que~ f varie rapidement au voisinage de p, i.e. que les lignes de niveau sont rapprochées au voisinage dep;

F grad(f)(p) est dirigé dans la direction de plus grande pente de~ f.

Propriété : interprétation graphique du gradient

Démonstration : Plaçons-nous en dimension 2 pour la preuve.

Soit C une courbe régulière du plan que l’on paramètre par γ(t) = (x(t), y(t)) et notonsp= γ(t₀) un point de cette courbe. Nous supposerons ces fonctions de classeC¹ ent₀. Les différentes propositions reposent sur le calcul de dérivée suivant :f◦γ est une fonction définie deRversRet

(f◦γ)⁰(t₀) =x⁰(t₀)×∂f

∂x(γ(t₀)) +y⁰(t₀)×∂f

∂y(γ(t₀)) =<γ⁰(t₀)|grad(f~ )(γ(t₀))>.

Supposons maintenant queCest une courbe de niveau def. Alorsf est constante le long deC. Donc (f ◦γ)⁰ = 0 et donc<γ⁰(t0)|grad(f~ )(γ(t0))>= 0. On en déduit quegrad(f) est orthogonal à~ γ⁰ en tout point deC. Commeγ⁰ dirigeC, on en déduit que le gradient est orthogonal à la courbe de niveau.

Supposons maintenant queC est une droite passant par pque l’on paramètre par γ(t) =p+t~uoù

~uest un vecteur directeur unitaire de C. Alors (f◦γ)⁰(0) représente la variation def au voisinage dep.

Et d’après notre calcul : (f ◦γ)⁰(t0) = <~u|grad(f~ )(γ(t0))>. Ce produit scalaire est maximal lorsque~u etgrad(f~ ) sont colinéaires de même sens. Ainsi la variation de f est maximale dans la direction de son gradient. Et cette variation est d’autant plus grande que son gradient est de norme élevée.

F Soit f : Rⁿ → R une fonction de classe C¹. Si f possède un extremum local enp∈Rⁿ, alors gradf~ (p) =~0.

F Optimisation sous contrainte

Soit maintenantg :Rⁿ→R de classe C¹ et A={p∈Rⁿ | g(p) = a}.

Si en restriction à A, la fonction f possède un extremum local, alors gradf(p) et~ gradg(p) sont colinéaires.~

Théorème : gradient et optimisation

Exemple

Soientf(x, y) = 2x²+x−3y et g(x, y) =x−y. On souhaite déterminer une couple (x, y) tel quex−y= 2 etf minimale.

Le gradient de f est donné pargradf~ (x, y) = (4x+ 1,−3) et celui de g par gradg(x, y) = (1,~ −1).

Ces deux gradients sont colinéaires lorsque 4x+ 1 = 3, donc six=−¹₂. On souhaite quex−y= 2 donc y=−³₂.

Tentons de comprendre : les courbes de niveau def sont les paraboles d’équation 2x²+x−3y=c et la droite d’équationx−y = 2 est une courbe de niveau deg. On comprend bien graphiquement que sur cette droite,f prend sa plus petite valeur en un point où les courbes de niveaux sont tangentes. Et leurs gradient en ce point sont ainsi colinéaires.

2.2 Divergence

Soit ϕ~ = (ϕx, ϕy, ϕz) un champ de vecteurs. On définit mathématiquement la divergence du champϕ~ par

div(~ϕ) = ∂ϕx

∂x + ∂ϕy

∂y +∂ϕz

∂z . C’est un champ scalaire.

Définition

La divergence mesure (comme une dérivée usuelle) la variation locale du champ.

Si la divergence d’un champ de vecteur est partout nulle, on dit qu’il est à flux conservatif.

Sinon, on dit qu’il est à flux non conservatif.

Définition

Si un champ est à flux conservatif, cela signifie grossièrement que pour toute partie fermée deRⁿ, la quantité de champ qui « y entre » est égale à la quantité de champ qui

« en sort ». Un écoulement naturel se fait en général à flux conservatif.

Si le champ est à flux non conservatif, cela signifie que le champ possède une source ou unpuits.

Le champ de gravitation et le champ magnétique sont à flux conservatif. Le champ électrique ne l’est pas. les charges électriques positives et négatives constituent des sources et des puits pour ce champ.

Soient ϕ~ et ψ~ des champs de vecteurs, λ∈R et f un champ scalaire.

F div(λ~ϕ+ψ) =~ λdiv(~ϕ) + div(ψ),~ F div(f ×ϕ) =~ f×div(ϕ) +~ grad(f~ )·ϕ.~ Propriété

Si ϕ~ = (ϕr, ϕθ, ϕz) est écrit dans la base des coordonnées cylindriques, alors sa diver- gence est donnée par

div(ϕ) =~ 1 r

∂(rϕ_r)

∂r +1 r

∂ϕ_θ

∂θ + ∂ϕ_z

∂z .

2.3 Rotationnel

Soit ϕ~ = (ϕ_x, ϕ_y, ϕ_z) un champ de vecteur. On appelle rotationnel de ϕ~ le champ de vecteur défini par

rot(~ ϕ) =~ ∂ϕ_z

∂y −∂ϕ_y

∂z ,∂ϕ_x

∂z − ∂ϕ_z

∂x ,∂ϕ_y

∂x −∂ϕ_x

∂y

!

Définition

Le rotationnel mesure la tendance qu’a le champ à tourner localement autour d’un certain axe. Il est dirigé selon cet axe de rotation locale.

Soient ϕ~ et ϕ~⁰ des champs de vecteurs, λ∈R etf un champ scalaire.

F rot(λ~~ ϕ+ϕ~⁰) =λ ~rot(~ϕ) +rot(~ ϕ~⁰), F rot(f~ ×ϕ) =~ f ×rot(~~ ϕ) +grad(f~ )∧ϕ,~ F div(rot(~ ϕ)) = 0,~

F rot(~ grad(f)) = 0.~

Cette dernière propriété possède une réciproque. Si le domaineU est simplement connexe (i.e. sans trou), alors un champ de vecteurϕ~ défini surU est un champ de gradient si et seulement sirot(~ ϕ)(p) =~ ~0 en tout point p deU.

Propriété

2.4 Laplacien

Soitf un champ scalaire. On appellelaplaciendef le champ scalaire défini par

∆f = div(grad(f~ )) = ∂²f

∂x² + ∂²f

∂y² + ∂²f

∂z². Définition

Le laplacien est un opérateur classique qui intervient dans de nombreux problèmes. Il représente localement, en un point, l’écart moyen entre la valeur du champ en ce point et ses valeurs en les points voisins.

On appellefonction harmoniqueune fonction dont le laplacien est nul en tout point.

Pour une telle fonction, sa valeur en tout point est égale à la valeur moyenne de ses valeurs voisines.

Dans beaucoup de problèmes physiques, les solutions à l’équilibre sont des fonctions harmoniques.

Expression du laplacien en coordonnées cylindriques :

∆f(r, θ, z) = ∂²f

∂r² +1 r

∂f

∂r + 1 r²

∂²f

∂θ² + ∂²f

∂z².

2.5 Notation ∇ ~

On définit l’opérateur nablapar

∇~ =







∂

∂x∂

∂y∂

∂z





.

Il permet de réécrire simplement les opérateurs que nous avons défini : soient ϕ~ un champ de vecteur etf un champ scalaire.

F grad(f) =~ ∇f,~ F div(~ϕ) =∇ ·~ ϕ,~ F rot(~~ ϕ) = ∇ ∧~ ϕ,~ F ∆f =∇ ·~ ∇f~ .

F Connaître les définitions des opérateurs et savoir les interpréter comme des dérivées.

F Savoir manipuler leurs propriétés.

F Savoir déterminer les courbes de niveau d’un champ de vecteur et les re- présenter avec le gradient du champ.

F Savoir reconnaître une champ de gradient et en déterminer un potentiel.

À retenir

II. Intégrales le long d’une courbe

1 Circulation d’un champ

Dans ce chapitre, ϕ~ désignera un champ de vecteur de classe C¹ défini sur Rⁿ avec n = 2 ou 3. Le couple ([a, b], γ) désignera une courbe paramétrée, c’est-à-dire une applicationγ : [a, b]→Rⁿde classe C¹. Une telle fonction définit une paramétrisation de l’ensemble image C =γ([a, b]) qui est une courbe de Rⁿ.

Soit f : Rⁿ → R une fonction. L’intégrale curviligne de f le long de C est la somme intégrale de ses valeurs surC. Elle se calcule à l’aide d’une paramétrisation deC :

Z

C

fd` =

Z b a

f(t)k~γ⁰(t)kdt.

Définition

Remarques

F Le terme d` désigne un élément de longueur infinitésimal de la courbe C.

F On peut montrer que l’intégrale curviligne de f ne dépend que de la courbeC et de son orientation, mais pas du choix de sa paramétrisation par γ.

F Sif = 1, ^R_C1d` est la longueur deC.

On appelle circulation du champ ϕ~ le long de C l’intégrale curviligne de ses composantes tangentes à C. Elle se calcule ainsi :

Z

Cϕ~·d`~ =

Z b a

<~ϕ(γ(t))| γ~⁰(t)>dt.

Définition

Si ϕ~ représente un champ de force, sa circulation représente le travail de la force le long deC.

Exemples

F Si en tout point deC, le vecteurϕ~ est orthogonal àC, alors la circulation du champ le long de C est nulle.

F Si en tout point de C, le vecteur ϕ~ est tangent à C, de norme 1 et dirigé dans le même sens que C, alors la circulation du champ le long de C est égale à la longueur deC.

F Soit ϕ(x, y) = (y, y) et C la courbe définie par l’équation y =x−x² pour x ∈ [0,1]. on l’oriente dans le sens des x croissant. Graphiquement, on voit que la partie tangente du chemin est plus forte dans la première partie de la courbe que dans la seconde. Compte tenu des directions de la courbe et du champ, La circulation devrait être positive.

Paramétrons la courbe par γ(t) = (t, t−t²) pour t ∈[0,1]. Alors

Z

Cϕ~·d`~ =

Z 1 0

<(t−t², t−t²) |(1,1−2t)>dt=

Z 1 0

2t−4t²+ 2t³dt= 1 6.

Soit ϕ~ un champ de gradient : ϕ~ = gradf~ . Notons A = γ(a) et B = γ(b) les extrémités de la courbeC.

Alors la circulation de ϕ~ le long deC ne dépend que de ses extrémités Aet B et

Z

Cϕ~·d`~ =f(B)−f(A).

Propriété

Remarques

Dans le cas d’un champ de force, on dit alors que la force est conser- vatrice : le travail le long d’un chemin ne dépend que des extrémités du chemin.

Si la courbe C est fermée (A = B), la circulation d’un champ de gradient est alors nulle.

2 Formes différentielles

Nous ne parlerons ici que des formes différentielles d’ordre 1. Les formes différentielles sont des champs de formes linéaires. Elles sont directement liées aux champs de vecteurs et sont parfois appelées champs de covecteurs. Elles offrent un nouveau langage qui permet entre autre de définir correctement les notions d’éléments de longueur ou de surface.

Soit U une partie de R³. On note (R³)^∗ l’ensemble des formes linéaires sur R³, c’est-à-dire des applications linéaires deR³ vers R.

Une forme linéaire se note ainsi : ω: R³ → (R³)^∗

(x, y, z) 7→ ϕ_x(x, y, z)dx+ϕ_y(x, y, z)dy+ϕ_z(x, y, z)dz

oùϕ_x(x, y, z)dx+ϕ_y(x, y, z)dy+ϕ_z(x, y, z)dzdésigne la forme linéaire (a, b, c)7→

ϕx(x, y, z)a+ϕy(x, y, z)b+ϕz(x, y, z)c.

Définition

Remarques

Les termes dx, dy et dz ne sont ici que des notations pour les va- riables de la forme linéaire ω(x, y, z). On les remplace par a, b et c quand on évalue ω(x, y, z)(a, b, c). Comme cette notation le suggère, ces évaluations se font en pratique en des éléments différenciés, typiquement des dérivées.

Exemple

Considérons la forme différentielle définie par

ω(x, y, z) = dx+ xdy− 2y²dz. Pour (x, y, z) = (3,5,7), on obtient la forme linéaire dx+ 3dy−50dz qui à (a, b, c) associe le nombrea+ 3b−50c.

Soit f un champ scalaire défini de R³ vers R. On appelledifférentielle def la forme différentielle définie par

df(x, y, z) = ∂f

∂x(x, y, z)dx+∂f

∂y(x, y, z)dy+ ∂f

∂z(x, y, z)dz.

Définition

Exemple

Avec f(x, y, z) = xy+z², on obtient df(x, y, z) = ydx+xdy+2zdz. Cela représente la variation infinitésimale def au point (x, y, z) lorsque l’on fait varierx, y et z de dx,dy,dz.

Soit ω une forme différentielle. On dit que ω est exacte s’il existe un champ scalairef de classeC¹ tel que ω= df.

La fonctionf est alors appeléeprimitive deω.

Définition

Soitω =ϕ_xdx+ϕ_ydy+ϕ_zdz. Cette forme différentielle est naturellement associée au champ de vecteurs ϕ~ = (ϕ_x, ϕy, ϕz) de la manière suivante.

Soit p = (x, y, z) ∈ R³ et ~v un vecteur de R³. Alors, comme ω(p) =ϕ_x(p)dx+ϕ_y(p)dy+ϕ_z(p)dz, on obtient en évaluant cette forme linéaire en~v

ω(p)(~v) =<~ϕ(p) |~v>.

En particulier, on peut en déduire

ω exacte⇔ϕ~ est un champ de gradient.

Définition

On appelle intégrale curviligne de ω le long d’une courbeC le nombre

Z

Cω=

Z b a

ω(γ(t))(γ~⁰(t))dt.

Définition

On retrouve la circulation du champ associé à ω. De même, on a la propriété sui- vante.

Soit ω=df une forme exacte. Alors

Z

Cdf =f(B)−f(A).

Si la courbe C est fermée, alors cette intégrale est nulle.

Propriété

Soit C une courbe fermée de classe C¹ dans R² délimitant un domaine Ω. Alors l’aire algébrique de Ω est égale à

A(Ω) =

Z

Cxdy=

Z

C−ydx=

Z

C

−ydx+xdy

2 .

Le signe de cette aire dépend de l’orientation deC : il est positif siC est parcourue dans le sens positif, négatif si elle est parcourue dans le sens horaire.

Propriété

F Savoir paramétrer une courbe simple.

F Savoir calculer la circulation d’un champ le long d’une courbe.

F Savoir estimer une telle circulation à partir de l’allure du champ (son orien- tation par rapport à la courbe, sa norme) et de la longueur de la courbe.

F Connaître le formalisme des formes différentielles et des intégrales curvi- lignes.

F Savoir calculer l’aire d’un domaine délimité par une courbe paramétrée.

À retenir

III. Intégrales multiples

Dans ce chapitre, Ω désignera une partie ouverte deR² délimitée par un bord continu etf désignera une fonction définie de Ω versRde classeC¹ par morceaux. Les définitions seront parfaitement analogues pour des fonctions définies sur un ouvert deR³.

1 Définition

On souhaite définir l’intégrale de f sur le domaine Ω, c’est-à-dire un nombre réel permettant de mesurer la « somme » des valeurs de f sur Ω. Pour cela, on adapte la définition de l’intégrale de Riemann en dimension 1 qui consiste à approcher la fonction f par des fonctions en escalier.

Nous ne donnons que l’idée. On découpe le domaine Ω en petits carrés : Ω⊂ ∪ⁿ_i=1C_i. Sur chacun, on considère la valeur maximale f_i def. Puis on définit I =^Pn_i=1f_iA(C_i). Plus le découpage de Ω est fin, plus cette valeur est petite. Si elle existe, la borne inférieure de toutes les valeurs ainsi obtenues définit l’intégrale de f sur Ω.

x

y

z z=f(x , y)

b a

c d O

Δx

Δy

On la note _{Z Z}

Ω

f ou encore

ZZ

Ω

f(x, y)dxdy.

Remarques

F Notre construction de l’intégrale permet également de définir l’aired’une partie Ω deR² :

A(Ω) =

Z Z

Ω

1.

Le concept devolumese définit de manière analogue à l’aide d’une intégrale triple.

Et ^RR_Ωf peut s’interpréter comme le volume situé entre Ω et la surface définie par z =f(x, y).

F L’intégrale double possède les mêmes propriétés classiques que l’intégrale simple : linéarité, positivité, croissance.

F Sif est une fonction constante égale à c, alors

ZZ

Ω

f =c· A(Ω).

F Le nombre _A(Ω)¹

Z Z

Ω

f représente la valeur moyennedef sur Ω.

Par exemple, en prenantf(x, y) = xla fonction d’abscisse, l’intégrale _A(Ω)¹

Z Z

Ω

xdxdy représente l’abscisse moyenne de Ω. En faisant de même avec l’ordonnée, on obtient les coordonnées du centre de gravitéde Ω.

F Si le domaine représente une plaque d’épaisseur négligeable, non homogène, dont la répartition de la masse est décrite par lamasse surfacique ρ(x, y), alors la masse totale de la plaque est donnée parm =^RR_Ωρ(x, y)dxdy.

Les coordonnées de son centre de gravité sont alors données par xG= 1

m

ZZ

x·ρ(x, y)dxdy et yG = 1 m

Z Z

y·ρ(x, y)dxdy.

Estimation d’une intégrale

Pour le moment, notre définition permet difficilement de calculer explicitement une intégrale quelconque. Mais elle permet déjà d’en faire une estimation grossière à partir d’une représentation des valeurs de la fonction intégrée.

Exemple

Soit f définie par f(x, y) = xy et Ω le rectangle de sommets (1,1), (3,1), (3,2) et (1,2). Nous souhaitons représenter Ω ainsi que les valeurs prises parf sur Ω. Les courbes de niveau def sont les hyperboles d’équationxy= cste. On obtient ainsi la figure ci-dessous :

f= 1 2 3 4 5

6 On constate que sur Ω, f est à valeurs entre 1 et 6 : ∀(x, y) ∈ Ω, 1 6 f(x, y) 6 6. Ainsi, par croissance de l’intégrale, on en déduit que

Z Z

Ω

16 Z Z

Ω

f 6 Z Z

Ω

6.

D’après nos remarques, on obtient A(Ω) 6 RR

Ωf 6 6A(Ω). On peut finalement encadrer notre intégrale par

26 Z Z

Ω

f 612.

Cela ne nous fournit pas un résultat très précis. Essayons de proposer une estimation de l’intégrale.

Nous pouvons raisonner sur la valeur moyenne def. Cette fonction prend des valeurs entre 1 et 6. Mais la répartition de ces valeurs sur Ω n’est pas uniforme. Sur plus de la moitié du domaine,f est comprise entre 1 et 3 et croît jusqu’à 6 sur l’autre moitié. De manière très approximative, on peut estimer que la valeur moyenne est comprise entre 2 et 4. Ainsi _A(Ω)¹ RR

Ωf ≈3±1, doncRR

Ωf ≈6±2.

Nous calculons plus bas la valeur exacte de cette intégrale.

2 Théorème de Fubini

Le calcul effectif d’une intégrale multiple repose sur une paramétrisation du domaine d’intégration. Dans l’exemple qui précède, cela revient à paramétrer le rectangle Ω, ce qui est facile :

Exemple

Ω = [1,3]×[1,2] ={(x, y) ; 16x63 et 16y62}.

Grâce à cette paramétrisation, nous pouvons ramener le calcul deRR

Ωf à deux calculs d’intégrales simples :

Z Z

Ω

f = Z 3

x=1

Z 2 y=1

xydxdy= Z 3

x=1

h x^y₂²i2

1

dx= Z 3

x=1

3x 2 dx=

3x² 4

³

1

= 6.

Le théorème de Fubini permet de généraliser cette idée : en considé- rant Ω comme une union de segments verticaux, on peut en déduire une paramétrisation de la forme{a < x < b etϕ₁(x)< y < ϕ₂(x)}

où les bornes dey peuvent dépendre de l’abscisse x considérée.

x y

O a b

φ1(x) φ2(x)

Cette paramétrisation de Ω permet alors de ramener un calcul d’intégrale double sur Ω à deux calculs d’intégrales simples.

Soit Ω un domaine deR² raisonnable que l’on peut paramétrer sous la forme Ω ={(x, y)∈R² ; a < x < b etc(x)< y < d(x)}

oùa et b sont des réels et c(x), d(x) sont des fonctions continues par morceaux.

Soit f une fonction continue par morceaux sur Ω. Alors l’intégrale de f sur Ω est définie et

Z Z

Ω

f =

Z b a

Z d(x) c(x)

f(x, y)dy

!

dx.

Théorème de Fubini

Remarques

F Ainsi, pour intégrer sur Ω, il faut savoir paramétrer Ω de façon cartésienne puis calculer des intégrales simples.

F La présence ou non du bord de Ω ne joue aucun rôle et les inégalité strictes peuvent être larges.

F Il est évidemment possible d’adapter le théorème en para- métrant Ω sous la forme{c < y < d etψ₁(y)< x < ψ₂(x)}, ce qui revient à le considérer comme une union de segments horizontaux. L’intégrale est alors donnée par :

RR

Ωf =^R_y=c^{d R}_x=ψ^ψ2(y)

1(y)f(x, y)dxdy. _x

y

O c d

ψ1(x) ψ2(x)

Exemples

F On considère le domaine Ω délimité par l’axe Oy et la parabole d’équation x= 1−y². On cherche à déterminer son centre de gravité.

On peut paramétrer Ω à l’aide d’un découpage horizontal ou d’un découpage vertical :

Ω = {(x, y) ; 0< x <1, −√

1−x < y <√ 1−x}

= {(x, y) ; −1< y <1, 0< x <1−y²}.

Calculons l’aire de Ω avec ces deux paramétrisations : A(Ω) =

Z Z

Ω

1 = Z 1

x=0

Z

√1−x

y=−√ 1−x

1 dydx= Z 1

x=0

2√

1−xdx=

−4

3(1−x)³² 1

0

= 4 3. A(Ω) =

Z Z

Ω

1 = Z 1

y=−1

Z 1−y² x=0

1 dxdy= Z 1

y=−1

1−y² dy=

y−y³ 3

¹

−1

= 4 3.

1 1

−1

x•

•

•

√1−x

−√ 1−x

1 1

−1

y• •1−y²

• G

On remarque que la seconde paramétrisation aboutit à un calcul d’intégral plus simple qu’avec la première.

Passons au centre de gravité (xG, yG) de Ω : pour des raisons évidentes de symétrie, on peut affirmer queyG= 0. Calculons à l’aide de notre seconde paramétrisation :

Z Z

Ω

xdxdy= Z 1

y=−1

Z 1−y² x=0

xdxdy= Z 1

y=−1

(1−y²)²

2 dy=

y⁵ 10−y³

3 +y 2

¹

−1

= 8 15. EtxG= 1

A(Ω) Z Z

xdxdy= 2

5. Le centre de gravité de Ω est donc situé en (²₅,0).