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TEST  2

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

TEST  2

(2)

QUAND UTILISE-T-ON LE 2

 On a deux variables quantitatives.

 On cherche s’il y a un lien entre les 2

variables

(3)

PROBLÈME

1. Garçons ou filles : qui réussi le mieux au bac ?

2. Cigarette et cancer : y a t il un lien ?

3. Prévention routière : moins d’accident chez les verbalisés ?

Autre formulation :

4. Y a t il un lien entre sexe et réussite au bac ?

5. Y a t il un lien entre cancer et cigarette ?

6. Y a t il un lien entre accident et verbalisation ?

(4)

1. H0

 H0 : il n’y a pas de lien entre la variable sexe

et la variable résultat.

(5)

2. MESURES

Effectif Admis Garçon 10 Admis Fille 42 Refusé Garçon 5 Refusé Fille 18

Garçons Filles

Refusés 5 18

Admis 10 42

Résultat Sexe Isabelle Ref F

Sylvain Adm G

Lucie Adm F

jean Ref G

Zoé Adm F

… … …

Données brutes

Tableau des effectifs

Tableau croisé

(6)

VB OR NOT VB ?

THIS IS THE QUESTION

Garçons Filles

Refusés 5 18

Admis 10 42

Garçons Filles

Refusés 50 10

Admis 50 70

Garçons Filles

Refusés 30 15

Admis 30 15

Dans notre lycée :

Pas de différence H0 n’est pas rejetable

Différence énorme On rejette H0

Variabilité biologique ?

Différence significative ?

(7)

PROBLÈME

 On veut un indice qui reflète les disparités de notre tableau.

 On veut qu’il soit grand pour

et petit pour :

Garçons Filles

Refusés 50 10

Admis 50 70

Garçons Filles

Refusés 30 15

Admis 30 15

(8)

SOLUTION :  2

Pour le calculer :

1. Tableau des effectifs observés (tableau croisé)

2. Tableau des effectifs attendus

3. Tableau des écarts

4. Tableau des écarts au carré et pondérés

5.  2

(9)

2 : CALCUL

(10)

T1 : EFFECTIFS OBSERVÉS

Garçons Filles Total

Refusés 5 18 23

Admis 10 42 52

Total 15 60 75

(11)

T2 : EFFECTIFS ATTENDUS

Résultats

Pour chaque case : effectif attendu = total colonne x total ligne total général

Garçons Filles Total

Refusés 23

Admis 52

Total 15 60 75

Garçons Filles Total Refusés 15x23/75 6x23/75 23

Admis 15x52/75 60x52/75 52

Total 15 60 75

Garçons Filles Total

Refusés 4,6 18,4 23

Admis 10,4 41,6 52

Total 15 60 75

Totaux

Calcul par case

(12)

T3 : ÉCARTS BRUTS

 Pour chaque case :

 écart brut = effectifs observés – effectifs attendus

–

=

Effectifs attendus Effectifs observés

Tableau des écarts bruts

Garçons Filles

Refusés 4,6 18,4

Admis 10,4 41,6

Garçons Filles

Refusés 5 18

Admis 10 42

Garçons Filles

Refusés 0,4 -0,4

Admis -0,4 0,4

(13)

T4 : ÉCARTS AU CARRÉ ET PONDÉRÉS

 Pour chaque case :

Écart au carré pondéré =

Garçons Filles Refusés (0,4) 2 /4,6 (-0,4) 2 /18,4

Admis (-0,4) 2 /10,4 (0,4) 2 /41,6

(écart brut) 2 effectif attendu

Garçons Filles

Refusés 0,035 0,009

Admis 0,015 0,004

(14)

FINAL :  2

 Le  2 est la somme des écarts au carré pondérés

  2 =  ( Écart au carré pondéré)

2 =0,035+0,015+0,009+0,004=0,63

Garçons Filles

Refusés 0,035 0,009

Admis 0,015 0,004

(15)

GÉNÉRALISATION

 Y a t il un lien entre couleur des yeux et des cheveux ?

 H0 : il n’y a pas de lien entre la couleur des

yeux et celle des cheveux

(16)

T1 : EFFECTIFS OBSERVÉS

Cheveux

Blond Bruns Noir Roux Total

Bleus 25 9 3 7 44

Yeux Vert 13 17 10 7 47

Marron 7 13 8 5 33

Total 45 39 21 19 124

(17)

T2 : EFFECTIFS ATTENDUS

Cheveux

Blond Bruns Noir Roux Total

Bleus 44

Yeux Vert 47

Marron 33

Total 45 39 21 19 124

Cheveux

Blond Bruns Noir Roux Total

Bleus 16,0 13,8 7,5 6,7 44

Yeux Vert 17,1 14,8 8,0 7,2 47

Marron 12,0 10,4 5,6 5,1 33

Total 45 39 21 19 124

Pour chaque case : effectif attendus = total colonne x total ligne

total général

(18)

T3 : ÉCARTS BRUTS

 Pour chaque case :

 écart brut = effectif observé – effectif attendu

–

=

Effectifs attendus Effectifs observés

Tableau des écarts bruts

Blond Bruns Noir Roux

Bleus 25 9 3 7

Vert 13 17 10 7

Marron 7 13 8 5

Blond Bruns Noir Roux

Bleus 16,0 13,8 7,5 6,7

Vert 17,1 14,8 8,0 7,2

Marron 12,0 10,4 5,6 5,1

Blond Bruns Noir Roux

Bleus 9,0 -4,8 -4,5 0,3

Vert -4,1 2,2 2,0 -0,2

Marron -5,0 2,6 2,4 -0,1

(19)

T4 : ÉCARTS AU CARRÉ ET PONDÉRÉS

 Pour chaque case :

Ecart au carré pondéré = (écart brut) 2 effectif attendu

Blond Bruns Noir Roux

Bleus (9,0)

2

/16,0 (-4,8)

2

/13,8 (-4,5)

2

/7,5 (0,3)

2

/6,7 Vert (-4,1)

2

/17,1 (2,2)

2

/14,8 (2,0)

2

/8,0 (-0,2)

2

/7,2 Marron (-5,0)

2

/12,0 (2,6)

2

/10,4 (2,4)

2

/5,6 (-0,1)

2

/5,1

Blond Bruns Noir Roux

Bleus 5,11 1,69 2,66 0,01

Vert 0,96 0,33 0,52 0,01

Marron 2,07 0,66 1,04 0,00

(20)

FINAL :  2

  2 =  (écart au carré pondéré)

2 = 5,11+1,69+2,66+0,01+

0,96+0,33+0,52+0,01+

2,07+0,66+1,04+0,00 = 15,05

Blond Bruns Noir Roux

Bleus 5,11 1,69 2,66 0,01

Vert 0,96 0,33 0,52 0,01

Marron 2,07 0,66 1,04 0,00

(21)

2 EN BREF

  2 Obs = (effectifs observés – effectifs théoriques) 2 effectif théorique

(22)

2 : DDL

(23)

PROBLÈME

 Quand un  2 est-il grand ?

A B C D E

Très grand 0,3 0,2 0,3 0,2 0,1

Grand 0,2 0,1 0,1 0,1 0,3

Moyen 0,3 0,3 0,2 0,3 0,1

Petit 0,1 0,3 0,1 0,2 0,3

Très petit 0,2 0,2 0,3 0,3 0,2

Homme Femme

Admis 0,2 0,1

Refusé 0,1 2,2

2 =2,6  2 =5,3

(24)

DDL

 DDL=Degrés de liberté

DDL=(Nombre de colonnes-1)x(Nombre de lignes-1) DDL = (2-1)x(2-1) = 1 DDL=(4-1)x(3-1) = 6

Blond Bruns Noir Roux

Bleus 16,0 13,8 7,5 6,7

Vert 17,1 14,8 8,0 7,2

Marron 12,0 10,4 5,6 5,1

Garçons Filles

Refusés 5 18

Admis 10 42

(25)

4. PROBABILITÉ

 R : chisq.test(effectifs Observés)

χ2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0,00

100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

0,50

47,95% 77,88% 91,89% 97,35% 99,21% 99,78% 99,94% 99,99% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

1,00

31,73% 60,65% 80,13% 90,98% 96,26% 98,56% 99,48% 99,82% 99,94% 99,98% 99,99% 100,00% 100,00%

1,50

22,07% 47,24% 68,23% 82,66% 91,31% 95,95% 98,23% 99,27% 99,71% 99,89% 99,96% 99,99% 100,00%

2,00

15,73% 36,79% 57,24% 73,58% 84,91% 91,97% 95,98% 98,10% 99,15% 99,63% 99,85% 99,94% 99,98%

2,50

11,38% 28,65% 47,53% 64,46% 77,65% 86,85% 92,71% 96,17% 98,09% 99,09% 99,58% 99,82% 99,92%

3,00

8,33% 22,31% 39,16% 55,78% 70,00% 80,88% 88,50% 93,44% 96,43% 98,14% 99,07% 99,55% 99,79%

3,50

6,14% 17,38% 32,08% 47,79% 62,34% 74,40% 83,52% 89,92% 94,11% 96,71% 98,23% 99,09% 99,54%

4,00

4,55% 13,53% 26,15% 40,60% 54,94% 67,67% 77,98% 85,71% 91,14% 94,73% 96,99% 98,34% 99,12%

4,50

3,39% 10,54% 21,23% 34,25% 47,99% 60,93% 72,07% 80,94% 87,55% 92,20% 95,29% 97,26% 98,46%

5,00

2,53% 8,21% 17,18% 28,73% 41,59% 54,38% 66,00% 75,76% 83,43% 89,12% 93,12% 95,80% 97,52%

5,50

1,90% 6,39% 13,86% 23,97% 35,79% 48,15% 59,92% 70,30% 78,87% 85,54% 90,46% 93,92% 96,25%

Probabilité qu'il n'y ait pas de lien entre les deux variables DDL

χ2

2 =2,6 DDL=1

p=0,11

2 =5,3 DDL=6

p=0,51

(26)

 Sexe / Réussite :

 

2Obs

=0,63 et DDL=1

 P=0.11

Þ On ne peut pas rejeter H0,

Il n’y a pas de lien entre Sexe et Réussite

 C. Cheveux / C. Yeux :

 

2Obs

=15,05 et DDL=6

 P=0,0167

Þ On peut rejeter H0,

Il y a un lien entre C. Cheveux et C. Yeux

5. CONCLUSION

>5%

<5%

(27)

INTERPRÉTATION

(28)

POURQUOI UN  2 EST-IL GRAND ?

Écarts au carré pondérés

 Parce que Blond / Bleus = 5,11 et que Noir / Bleus = 2,66

Ces deux cases « apportent » beaucoup au  2

(29)

Cases qui apportent beaucoup :

 Sur le tableau des écarts au carré pondéré

Apport positif ou négatifs ?

 Sur le tableau des écarts, Blonds / Bleus = + 9 : il y en a beaucoup.

On dit qu’ils sont

sur-représentés

 Sur le tableau des écarts, Noirs / Bleus = - 4,5 : il en manque beaucoup.

On dit qu’ils sont

sous-représentés

SOUS / SUR REPRÉSENTÉ

Écarts au carré pondérés Écarts

Références

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