décision pour l’aide à la Méthodes et Outils

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Méthodes et Outils pour l’aide à la

décision

Introduction aux méthodes multicritères

Erwan TRANVOUEZ - Maître de Conférences erwan.tranvouez@univ-amu.fr

erwan.tranvouez.free.fr

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2 / 40

Bibliographie



Processus de décision : démarches, méthodes et outils. S.

Bellut. Afnor 2002.



Promethée – Gaia : une méthodologie d’aide à la

décision en présence de critères multiples. J.-P. Brans et

B. Mareschal. Ed. de l’univ. De Bruxelles. Ellipse.

(3)

Discussion autour de

l’intérêt du multicritère

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Hypothèse de travail



Approche plutôt normative du processus de décision

 Il s’agit de guider un processus de décision en tenant compte du maximum d’informations possibles.



Contexte de décision

 Environnement certain :

 une évaluation plausible des critères et des conséquences des décisions est disponible

 Ensemble des alternatives fermé

 Il s’agit d’orienter le processus de décision dans cet ensemble et pas de l’agrandir.

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Exemple de décision multicritères



Problème de décision : Choix du stage de 5ème année



Critères:

 Économiques : indemnités de stage, avantage en nature (véhicule, tickets restaurants), coût du stage (déplacement, logement, …)

 Carrière/prospective : notoriété/réputation de l’entreprise, sujet de stage, perspectives d’embauche dans l’entreprise, adéquation avec profil de poste visé

 Contraintes « familiales » : distance géographique

 …

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6 / 40

Exemple de décision multicritères



Problème de décision : Choix du stage de 5ème année



Ces critères sont tous justifiés et (parfois/souvent ?) en opposition…

 L’importance relative de chaque critère peut varier d’une personne à une autre voire d’un moment à l’autre

=> comment choisir ?



=> Solution simple : ne retenir qu’un seul critère

…souhaitable ?



=> Solution plus complexe : méthode de décision

multicritère

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7 / 40

Retour sur l’objectif d’une méthode d’aide à la décision



Supposons les alternatives définies et quantifiées. Le problème de décision (Roy 85) peut consister en :

 Un problème de choix : la méthode doit identifier la ou les meilleures solutions

 Un problème de rangement : ie ranger les alternatives de la meilleure à la moins bonne.

 Un problème de tri: ie comment classer chaque alternative dans une des catégories définies à l’avance



L’objectif peut être partiellement atteint en fonction de la complexité du problème

Problème de décision

Formulation Problème de choix Problème de rangement

Problème de tri

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Rappel : paradigme unicritère

 Formulation du problème de décision selon le paradigme unicritère :

 Il s’agit d’optimiser la formule suivante :

f(x) | x  A avec f(x)  ℝ

A étant l’ensemble des alternatives

 Se pose alors les questions de :

 définir A : ie ensemble des solutions possibles (soit donné soit à construire)

 définir f(): comment évalue une solution (objectivement, du point de vue du décideur,…) => début du cours

 définir un processus d’optimisation => dépend de la fonction (simple min() ou max(), algorithmes plus ou moins complexes….

 => revient à un problème de Recherche Opérationnelle (E.1)

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Paradigme unicritère : à ce sujet



Comment expliquez-vous la popularité des publications de classements "des meilleur(e)s"…

 …voitures, universités ou écoles, hôpitaux, aéroports, …)



auprès du grand public ou d’un public spécialisé.



Il s’agit d’apporter une aide à la prise de décision

 en proposant un rangement des choix : la décision se prend alors en fonction de ses « moyens ».

 en sélectionnant les meilleures (que signifie alors ne pas être dans le classement ?)

 En définissant des catégories (le choix le plus économique, la plus écologique, le plus puissant, la plus internationale, la plus….)

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Rappel : paradigme unicritère



Avantages :

 Traduction d’un problème décisionnel en un problème mathématique relativement « simple » à résoudre. Les préférences sont synthétisées dans une seule fonction.

 Ex. coût financier ! => approche économique du problème, tous les critères sont traduits en terme financier : gain = critères à maximiser & coût = critères à minimiser (ou maximiser son négatif)



Inconvénients

 Les préférences sont synthétisées dans une seule fonction !

 pas toujours possible ni souhaitable notamment lorsque le facteur humain s’en mêle…

 Prise en compte de considérations sociales, économiques, technologique, écologiques, éthiques

 FIABLILITE DE LA MESURE ?! Alors que tout le processus sera basé dessus

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Rappel : paradigme unicritère

 => Comment comparer des choses qui ne le sont pas

(numériquement évaluable, mêmes unités, même objectif…)

 … Tout en gardant l’objectif d’une approche mathématique

 Exemple :

 Combien vaut une action EDF ? (ouverture capital le 18/11/2005)

* ?

 Pourquoi ? Pb coût caché avec coût électricité bas/sous évalué grâce au nucléaire MAIS qui n’intégrait pas les coûts (élevés) du démantèlement des centrale nucléaires.

 Combien vaut une vie humaine ?

* 32€ à l’achat, 31€ 1 mois apres, 36€ en janvier 2006… 9,29€ au 18/11/2019. A sa sortie, les experts jugeaient le prix surévalué d’1/3 (donc ~20€),

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Enjeux éthiques et décisionnels d’une quantification de critères qualitatifs

 Ex : imaginons la décision d’installer une centrale nucléaire … [Cahiers Techniques de l’ingénieur, J.-F. Astolfi, P. Brunet, J.-C. Ithier 1998]

 Une telle démarche met […] en jeu bien d’autres paramètres d’ordre technique, écono-mique ou écologique, […], au regard desquels les sites finalement retenus ne peuvent être parfaits, mais représentent le meilleur compromis possible. [Les critères :]

 […] un ensemble de critères technico-économiques [… faisabilité générale du

projet à un coût acceptable]. Ils relèvent de considérations relatives à l’emprise au sol nécessaire aux installations, à l’aménagement des accès au site, au raccordement aux différents réseaux extérieurs, aux conditions géologiques locales, ou encore à l’existence d’une source froide satisfaisante, etc. ;

 […] critères « de sûreté », traduisant les exigences propres aux installations

nucléaires et découlant généralement de dispositions législatives et réglementaires.

[…la sismicité des sites, les risques liés à leur environnement industriel, la répartition des populations voisines et la garantie des conditions de réfrigération…] ;

 critères liés aux possibilités d’insertion du projet de centrale dans son environnement naturel et socio-économique et à la maîtrise des impacts correspondants en période de construction, comme d’exploitation.

 => Problème du passage de valeur qualitative à quantitative (création d’emploi, coût environnemental et humain…)

 => Autre exemple : indemnisation des victimes du 11 septembre … combien vaut une vie humaine ?

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Formulation du problème de décision multicritère



Il s’agit d’optimiser la formule suivante :

Opt {f₁(x), f₂(x) … f_i(x), … f_n(x) | x  A) A étant l’ensemble des alternatives

avec f_i (x)  ℝ une évaluation du critère i



Se pose alors les questions de :

 définir A

 définir les k critères et leur fonction d’évaluation f_i (x)

 définir un processus d’optimisation

 => En essayant de se rapprocher d’un problème d’optimisation mathématique

(E.2)

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Besoins méthodologiques spécifiques



**Illustration avec le paradoxe (dit *) de Condorcet**

 Achat d’un téléphone portable selon divers critères: le prix, le nombre de fonctions, la dangerosité, le poids, l’impact

écologique…

 Comment choisir parmi les 3 modèles (ie alternatives) proposés

 Compter le nombre de critères sur lesquels chaque modèle est optimum

 Comparer 2 à 2 les alternatives pour identifier des préférences relatives

 Attribuer des points sur chaque critère en fonction du classement du critère

 …

(*) Basé sur des travaux de Condorcet sur la prise de décision collective (vote) mais relevé par Borda.

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Paradoxe de "Condorcet"

Critère Choix Portable ^Class^t^selon

critères

A B C

Nb fct°s 8 15 13

Poids 80 110 130

Autonomie 4h30 4h 5h30

Prix 30 200 300

Radiation 1,2 0,92 1,14

Impact écologique TFo Mod Fo

Résistance Fo Mo TFo

Nb critères

A > B : __ & B > A : __ => __ >__

A > C : __ & C > A : __ => __ > __

B > C : __ & C > B : __ => __ > __

=>

On compare les alternatives entre elles : si le nb de critères validés de x est

supérieur a ceux de y alors x domine y.

On suppose les relations transitives…

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Paradoxe de "Condorcet" : Solution

Critère Choix Portable ^Class^t^selon

critères

A B C

Nb fct°s 8 15 13 B>C>A

Poids 80 110 130 A>B>C

Autonomie 4h30 4h 5h30 C>A>B

Prix 30 200 300 A>B>C

Radiation 1,2 0,92 1,14 B>C>A

Impact écologique TFo Mod Fo B>C>A

Résistance Fo Mo TFo C>A>B

Nb critères 2 3 2 A 4, B 5, C 5

A > B : 4 & B > A : 3 => A > B A > C : 2 & C > A : 5 => C > A B > C : 5 & C > B : 2 => B > C

=> A > B > C > A !!!

On compare les alternatives entre elles : si le nb de critères validés de x est

supérieur a ceux de y alors x domine y.

On suppose les relations transitives…

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Paradoxe de Condorcet

 Illustré à l’origine sur les conséquences des règles de votes (ex. vote à 2 tours)

 Souligne que le résultat n’est pas indépendant des règles appliquées et peuvent donc fortement varier

 Alors même que l’hypothèse de rationalité est utilisée !

 => La même remarque peut être faite sur les méthodes de décision !

 Le choix d’une méthode n’est pas neutre

 Piège de la boîte noire

 Le décideur ne doit pas dé/reléguer sa responsabilité au système d’aide à la décision

 Il est plus difficile d’obtenir LA solution optimale : on recherche un compromis entre les critères mais lequel

 => la méthode de décision doit aider le décideur à éclairer ses choix sans décider pour lui

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Retour « à ce sujet »



Toujours à propos des classements "des meilleur(e)s"…



Quels problèmes posent ces classements en termes de méthode



(et en quoi cette question vous intéresse)



Dés qu’elles sont proposées elles deviennent discutables

 Fiabilité des mesures des critères (subjectifs mais aussi objectifs)

 Fiabilité/Validité des méthodes de décision (cf. détails ci-après)

 … mais se maintiennent faute d’existence d’une « vérité absolue »

pouvant la remplacer … ou de la dimension très technique du débat ^{(cf. le}

concept de marge d’erreur ou de correction dans les sondages).

 Approche donc expérimentale se basant sur des bases théoriques mathématiques fortes.

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Méthodes multi critères

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Retour sur l’approche unicritère : propriétés



I) problème bien posé: la notion d’optimum est claire.

Considérons l’objectif suivant :

Max { f(x) | x  A } avec f(x)  ℝ

On cherche la solution x° dans A tel que { f(x°) ≥ f(x) |  x  A }

Si x° existe (et est unique) alors la solution s’impose d’elle-même



II) Relation de dominance (I, P)

 Le critère f(x) permet de comparer les solutions :

 Soit a domine b : a P b

 Soit a est indifférent de b : a I b

f(a) > f(b)  a P b

 a,b  A : f(a) = f(b)  a I b f(a) < f(b)  b P a

a a

a

b b

b

(21)

21 / 40

Retour sur l’approche unicritère :

propriétés (suite)

A ^f(x)

a 15

b 30

c 50

d 30

Max f(x)



III) Préordre complet

 Tout élément étant comparable 2 à 2 par la relation (I,P), il est donc possible de ranger les solutions



IV) Transitivité des relations I & P

 Ex:

a P b et b P c  a P c a I b et b I c  a I c

a

d

b

c

=> c (b ou d) a

(22)

22 / 40

Retour sur l’approche unicritère :

propriétés (suite)

A ^f(x)

a 15

b 30

c 50

d 30

Max f(x)



III) Préordre complet

 Tout élément étant comparable 2 à 2 par la relation (I,P), il est donc possible de ranger les solutions



IV) Transitivité des relations I & P

 Ex:

a P b et b P c  a P c a I b et b I c  a I c

a

d

b

c

(23)

23 / 40

Limites de l’approche unicritère



1 seul critère pas suffisant

 Les contraintes financières, sociales, écologiques, légales,…

imposent de trouver un compromis.



Définition trop stricte des relations de dominance ou d’indifférence

 Ex:

 Soient les alternatives suivantes - Salaire - :

 5000 - 20 - 2 000 - 10 - 2 200 – 2 500 – 2 510 –- 5010

 Que donne l’interclassement des alternatives

 => Il faut pouvoir tenir compte des effets d’échelle

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24 / 40

Propriétés de l’approche multicritère



I) problème mal posé:

 Considérons l’objectif suivant :

Opt {f₁(x), f₂(x) … f_i(x), … f_n(x) | x  A avec f_i (x)  ℝ

 On cherche la solution x° dans A avec f_i(x°) ≥ f_i (x) |  x  A,  i = 1,2,…k

 x° peut ne pas exister => le problème est dit mathématiquement mal posé

 => il faut trouver compromis

(25)

25 / 40

Propriétés de l’approche multi- critère



II) Relation de dominance

 Pas de préordre complet :

 on accepte que des choix ne soient pas comparable.

 On ajoute donc à la Préférence P et à l’Indifférence I : l’incomparabilité R :

f_j(a) ≥ f_j(b)  j = 1,2,..,k

hA : ^f_h^{(a) > f}_h^(b) a P b 

 a,b  A : a I b  ^f_j^{(a) = f}_j(b)  j = 1,2,..,k a R b 

hA :

f_h(a) > f_h(b)

h’A : f_h’(a) < f_h’(b)

(26)

26 / 40

Propriétés de l’approche multi- critère



III) Pareto Optimalité

 Une solution a est appelée Pareto optimale ou efficace si aucune solution ne la domine.

 Soit E l’ensemble des solutions efficaces, le décideur devra choisir parmi e  E.

 E contient donc des solutions incomparables parmi lesquelles il faut faire un choix.

(27)

27 / 40

Propriétés de l’approche multicritère

Critère Choix Portable

A B C D

Nb fct°s 8 15 13 15

Prix 30 200 300 250

Radiation 1,2 1.0 0,94 1.1

 IV) transitivité:



Ce n’est pas une propriété obligatoire (cf. paradoxe Condorcet).



Illustration avec choix téléphone

Un volontaire…

(28)

28 / 40

Exemple

a

d

b

c Nb fonctions

Prix Nb fonctions & Prix Tous critères

a

d

b

c

a

d

b

c

a

d

b

c

A B C D

Nb fct°s 8 15 13 15

Prix 30 200 300 250

Radiation 1,2 1.0 0,94 1.1

(29)

29 / 40

Solution de l’exemple

a

d

b

c Nb fonctions

a

d

b

c Prix

a

d

b

c Nb fonctions & Prix

a

d

b

c Tous critères On voit bien que l’ajout de critères augmente le nombre de situations d’incomparabilité et donc rends plus difficile la prise de décision…

A B C D

Nb fct°s 8 15 13 15

Prix 30 200 300 250

Radiation 1,2 1.0 0,94 1.1

(30)

30 / 40

Approches des problèmes multicritères



Comment trouver une solution à un problème à k critères

?

 Passer à 1 critère

 => méthodes d’agrégation

 Chercher à tâtons

 => méthode interactive

 Relâcher la définition de dominance pour simplifier le problème

 => méthode de surclassement

(31)

31 / 40

Méthodes de type agrégation



Il s’agit de reformuler :

Opt {f₁(x), f₂(x) … f_i(x), … f_n(x) | x  A}

en

Opt { U(x) | x  A }

avec U(x) = U ( f₁(x), f₂(x) …, f (x), … , f_n(x) )



Retombe sur un problème unicritère (préordre complet, problème bien posé, …)



Mais comment définir U( ) ?

 Ex. évaluation financière de tous les critères :

 Positif si avantage

 Négatif si mauvais (ex. pollution = coût de nettoyage)

 C’est une approche économique du problème …

(32)

32 / 40

Méthodes de type agrégation





^k

j

f x

x U

1

) ( )

( 

 Forme générale des fonctions d’utilité :



Avec

 exprimé en unité inverse de f_j(x)

le problème du sens de f_j(x)…

 1

^ère

approche : optimisation mathématique de U(x)

 2

^ème

approche : recherche du point idéal



j

(33)

33 / 40

Just one more thing…





 ^k

j

j j

jU f x

x U

1

)) ( ( )

( 



Forme générale des fonctions d’utilité : avec

U_j étant sans unité soit un score, un indice de performance…

 Le problème de la comparaison entre fonctions utilitaires

« individuelles » disparait : leur particularité est résumée par le poids associé au critère.

 Lissage des différences : seul l’écart moyen est considéré… ainsi les alternatives suivantes seront considérées comme équivalente (si poids égaux of course) :

 (100, -100) ~ (10, -10)

 (100, 0 ) ~ (0, 100) ~ (50, 50) => conflits/arbitrages entre critères masqués…



Exemple :

 Dans un diplôme composé d’Unités d’Enseignements diverses, mesurant l’acquisition de compétences diverses et incomparable mais comparées par nécessité… score = note

 => quid du rôle du TOEIC dans la délivrance du diplôme d’ingénieur…

] 1 , 0 [ ) (x  U_j

(34)

34 / 40

Méthodes de type agrégation : point idéal

 ^f ^x ^x ^A  ^j ^k

M et

M avec M

M M

M

j j

k k

..

1 ,

), ( max

) ,...,

,

(

₁ ₂















 Définition d’un optimum fictif M dit point idéal:

 Si M A => l’optimum existe (rare)

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

M1

M2 M3

M4

M5

f₁ f₂

(35)

35 / 40

Méthodes de type agrégation : point idéal

 Sinon on cherche le point de A le plus proche de M => définition d’une distance

 𝑀 = (𝑀₁, 𝑀₂,… , 𝑀_𝑘)

avec M ∊ ℝ

^k

 Exemple de distance

 



 ^F ^d ^F ^x ^M ^f ^F ^x ^A ^f ^x ^j ^f ^k ^x

Soit

_k

..

1 ,

), ,

( min

) ( ),...

( ), ( )

(

₁ ₂







p k

j

j j

j

p

F M F M

d

Soit 







1

) (

) ,

( 

(36)

36 / 40

Méthodes interactives

 Méthodes interactives :

 Cycle de séquence de calcul et de décision

 Principe

 Itération 1:



Calcul d’une solution (efficace) x° = {f

₁

(x°),...f

_k

(x°)}



Soumission de x° au décideur :

 Il l’accepte => terminé

 Il veut améliorer x° sur ses critères => si efficace impossible

=> terminé

 Identifie un critère fg(x) sur lequel il est prêt à faire une concession de g si ca lui permet de gagner sur les autres critères

(37)

37 / 40

Méthodes interactives

g j x

f x

f

g j et k j

x f x

f

g j

j

j j















) ( )

(

..

1 )

( )

(

 Principe

 Itération 2:

Calcul d’une nouvelle solution sachant que :

Soumission de au décideur :

 Il l’accepte => terminé

 Il veut améliorer x° sur ses critères => impossible & terminé

 Identifie un critère f_h(x) sur lequel il est prêt à faire une concession de _hsi ca lui permet de gagner sur les autres critères



Reprends l’itération

x

(38)

38 / 40

Méthodes interactives

g j x

f x

f

g j

et k j

x f x

f

g j

j

j j















) ( )

(

..

1 )

( )

(

5 4 3 2 1

M1

M2 M3

M4

M5

5 4 3 1 1

5 4 3 2 1

M1

M2 M3

M4 = M

M5

5 4 3 2 1

(39)

39 / 40

Méthode de type sur-classement



Il s’agit de relâcher la relation de dominance (jusqu’ici basée sur l’unanimité)



Sans aller jusqu’à une fonction d’utilité (=> préordre complet)



=> enrichissement de la relation

 Par l’augmentation du nombre d’arc

 Par l’ajout d’une relation valuée

 Exemple de méthodes :

 Electre (B. Roy et al.), Prométhée (Brans et al.)

(40)

40 / 40

Retour « à ce sujet »



Toujours à propos des classements "des meilleur(e)s"…

