Partie B – Domination explicite de N

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Probl` eme – Arithm´ etique et int´ egrales

la partie A n’a aucun lien avec les int´egrales, contrairement `a la partie B (vous pouvez traiter les deux parties dans l’ordre que vous souhaitez).

Soit (pk)_k∈N^∗ la suite croissante des entiers premiers (on a doncp1= 2,p2= 3,p3= 5, etc.).

Pour tousxety r´eels positifs avecx > y, on d´efinitP(x, y) comme valant 1 si l’intervalle ]y, x] ne contient pas de nombre premier ;

le produit des nombres premiers de l’intervalle ]y, x] sinon.

Pour toutx∈R^∗+, on noteK(x) =P(x,0).

Partie A – K(x) 6 4

A.1DonnerK(x), pour toutx∈]0,6]. Donner les points de discontinuit´e de la fonctionK.

A.2Montrer pour 06z6y6xla relation :

P(x, z) =P(x, y)P(y, z).

Soitmun entier naturel non nul.

A.3Montrer que ^2m+1_m 64^m.

A.4Montrer que l’entier P(2m+ 1, m+ 1) divise l’entier ^2m+1_m . A.5En d´eduire que siK(m+ 1)64^m+1, alorsK(2m+ 1)64^2m+1. A.6

a Montrer que :

∀n∈N^∗, K(n)64ⁿ

bEn d´eduire la majoration :

∀x∈R^∗+, K(x)64^x

Partie B – Domination explicite de N

On noteN la fonction d´efinie par :

∀x>0, N(x) = Card{k∈N^∗, pk∈[0, x]}

Pour toutx>0,N(x) est donc le nombre d’entiers premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x.

On noteS la fonction d´efinie sur [2,+∞[ par

∀x>2, S(x) = ln(K(x)).

B.1Pour toutx>2, d´eduire de la partieAun majorant de S(x).

B.2Soitf une fonction d´efinie sur [2,+∞[ `a valeurs r´eelles, d´erivable et `a d´eriv´ee continue.

a Montrer que pour toutk entier naturel non nul, on a Z p_k

2

S(t)f⁰(t)dt=− X

i∈[[1,k]]

ln(pi)f(pi) +S(pk)f(pk).

bD´eduire pour tout r´eelxsup´erieur ou ´egal `a 2 la relation :

X

i∈[[1,N(x)]]

ln(p_i)f(p_i) =S(x)f(x)− Z x

2

S(t)f⁰(t)dt.

B.3On prendf = _ln¹. D´eduire de la question pr´ec´edente l’in´egalit´e :

N(x)62 ln 2 x

lnx+ Z x

2

dt (lnt)²

.

B.4

aEtudier sur l’intervalle [ln 2,´ +∞[ la fonctionψ :u7→ ^e_u^u₂. Montrer qu’il existe un unique r´eel (not´eu₀) strictement sup´erieur `a ln 2 tel que

e^u0 u²₀ = 2

(ln 2)². bMontrer, pour toutx > e^u0, la majoration :

Z lnx

ln 2

e^u

u²du6 x

(lnx)²(lnx−ln 2).

cD´eduire, pour toutx > e^u0, l’in´egalit´e :

N(x)64 ln 2 x lnx.