M.M.F.A.I. Ann´ee 2000-01 Fonctions analytiques
EXAMEN du 6 juin 2001 Dur´ee : 3 h
I
Soitξune fonction enti`ere d’ordre<2 telle queξ(0)>0. Notonsξ∗ la fonction qui `asassocieξ(¯s). Soitw un nombre complexe de module 1. Supposons qu’on ait, pour tout nombre complexes,
ξ(1−s) =wξ∗(s).
Pourf : C→C, on pose, en faisant parcourir `aρles z´eros deξcompt´es avec multiplicit´es, Y
ρ
f(ρ) = lim
T→∞
Y
|ρ|<T
f(ρ) et X
ρ
f(ρ) = lim
T→∞
X
|ρ|<T
f(ρ).
Notons log la d´etermination principale du logarithme. Posons le d´eveloppement de Taylor en 0
log(ξ( t
t−1)) = log(ξ(0)) +
+∞
X
n=1
an
tn n.
1. D´emontrer que la fonctionξξ∗ est d’ordre<2.
2. D´emontrer qu’on a le produit de Weierstrass
ξ(s)ξ∗(s) =ξ(0)ξ∗(0)Y
ρ
(1−s/ρ)(1−s/(1−ρ)).
3. En posants=t/(t−1) etuρ =ρ/(ρ−1), en d´eduire qu’on a, au voisinage de 0,
+∞
X
n=1
(an+an)tn/n=X
ρ
log((1−uρt)(1−t/uρ) (1−t)2 ).
4. En d´eduire qu’on a
an+an=X
ρ
(2−unρ−u−nρ ).
5. D´emontrer que si tous les z´eros deξsont de partie r´eelle dans [0,1], on aa1+a1≥0.
6. D´emontrer que si les z´eros deξsont de partie r´eelle 1/2, on aan+an≥0 pour tout entiern≥0.
7. Supposons quean+an≥0 (nentier≥0). Soitrle rayon de convergence de la s´erieP∞
n=1(an+ ¯an)tn/n.
Montrer que sir <1, on a (ξξ∗)(t/(t−1))≥(ξξ∗)(0) (t∈[0, r[). En d´eduire quer≥1, puis que tous les z´eros deξ sont de partie r´eelle 1/2.
II
On reprend les notations de la partieI. Consid´erons les fonctions Γ d’Euler etζ de Riemann. On pose ξ(s) =s(s−1)Λ(s) =s(s−1)Γ(s/2)ζ(s)π−s/2.
On suppose dans cette partie que l’hypoth`ese de Riemann est v´erifi´ee,i.e. les seuls z´eros deξsont de partie r´eelle 1/2. On noteN(T) le nombre de ces z´eros de partie imaginaire dans [0, T]. On rappelle que le nombre de ces z´eros diff`ere de 2πT log2πeT deO(logT). On rappelle les formules
γ= lim
N→∞
N
X
n=1
1
n−logN et 1
Γ(s) =eγss
∞
Y
n=1
[(1 + s
n)e−s/n].
1. Soientaetbdes nombres complexes de parties r´eelles>0 etsun nombre complexe de partie r´eelle>−1.
D´emontrer qu’on a
Z ∞
0
(e−au−e−bu)us−1du= (a−s−b−s)Γ(s).
Calculer le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 1 en s= 0 des7→(a−s−b−s)Γ(s). En posant a=−i et b=+i, et en faisant tendrevers 0, en d´eduire les int´egrales
Z ∞
0
sinu
u du= π
2 et
Z ∞
0
sinu
u logu du=−γπ 2. 2. En posantθ(t) = 2Arctg(2t1), d´emontrer successivement les formules
an+ ¯an= 4 Z ∞
0
(1−cos(nθ(t))dN(t) = 4n Z π
0
sin(nθ)N( 1
2tg(θ/2))dθ.
3. En d´eduire l’estimation (Rappel : pourf C1 par morceaux sur [a, b], on aRb
asin(nθ)f(θ)dθ=O(1/n)) an+ ¯an = 2n
Z π
0
sin(nθ) 1
πθlog 1
2πeθdθ+o(n).
4. En d´eduire qu’on a
an+ ¯an=n(logn+γ−1−log 2π) +o(n).
III
On reprend les notations de la partieII. On ne fait plus aucun usage de l’hypoth`ese de Riemann.
1. D´emontrer qu’on a
an =− 1 (n−1)!
dn−1
dsn−1[(s+ 1)nξ0
ξ(−s)]s=0. 2. D´emontrer la formule
Ψ(s) = Γ0
Γ(s) =−γ−1 s+
∞
X
n=1
(1 n − 1
s+n).
3. D´emontrer qu’on a
−ξ0
ξ(−s) = 1
1 +s+logπ 2 +γ
2 +
∞
X
n=1
2−n−1ζ(n+ 1)sn−ζ0 ζ(−s).
4. Posons
ζ(−s) =
∞
X
n=0
bnsn.
Donner une formule pouran en fonction de la suite (cn)n≥1, qui est d´efinie par le d´eveloppement de Taylor
∞
X
n=0
cn+1sn =−ζ0 ζ(−s) =
P∞
n=0(n+ 1)bn+1sn P∞
n=0bnsn . 5. D´emontrer qu’on a
bn= 1 n! lim
N→∞(
N
X
k=1
(logk)n− Z N
0
(logx)ndx−1
2(logN)n).
