Enoncé D333 (Diophante) 2D dans 3D
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Six points A, B, C, D, E et F dans l’espace sont tels que les segments AB, BC et CD sont respectivement parallèles aux segments DE, EF et F A. Par ailleurs la distance AB est strictement supérieure à la distance DE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.
Je suppose que les directions des côtés sont des directions distinctes de l’espace. S’il n’en était pas ainsi, par exempleBCparallèle àCD,Cserait sur la droite BD,F sur la droiteEA, et les 6 points seraient dans le plan du parallélogramme BDEA.
A partir des 6 points de la configuration, je construis successivement – le point G, 4e sommet du parallélogrammeBDEG,
– le pointH, 4e sommet du parallélogrammeCDEH, ce qui entraîne que BCHG est aussi un parallélogramme,
– le pointI, 4e sommet du parallélogrammeF EHI. Il est surGH, qui est parallèle à BC etEF; et aussi surAF, qui est parallèle àCD etEH.
Les points A, G, I de l’espace définissent un plan, carGest entre A etB, distinct deAcar|AB|>|DE|, et les directions deIAetIGsont distinctes de AG. Ce plan contient
– le point B, qui est sur AG, – le point F, qui est sur AI, – le point H, qui est sur GI,
– le point E, 4e sommet du parallélogrammeF IHE, – le point D, 4e sommet du parallélogrammeBGED, – le point C, 4e sommet du parallélogrammeBGHC.
Question 2
On considère quatre pointsA, B, CetDdans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan. Les segments AB, BC, CD et DA sont tangents à une même sphère aux pointsI, J, KetL. Démontrer que les quatre points I, J, K etL sont dans un même plan.
Soit (a) le cercle, lieu des points de contact (dont I et L) des tangentes menées de A à la sphère donnée ; définition analogue pour les cercles (b), (c), (d). Les cercles (a) et (b) sont tangents enI, (b) et (c) enJ, (c) et (d) enK, (d) et (a) en L.
Une inversion de pôleI transforme la sphère en plan, les cercles (a) et (b) en deux droites parallèles (a0) et (b0) de ce plan, les cercles (c) et (d) en deux cercles (c0) et (d0) de ce plan. Les inverses de J, K, LsontJ0, K0, L0, points de contact de (b0) et (c0), (c0) et (d0), (d0) et (a0) respectivement.
L’homothétie de centreK0 qui transforme (a0) en (b0) transforme (d0) en un cercle tangent à (b0) et tangent en K0 à (d0), c’est donc (c0) ; cette homothétie transforme le point de contactL0 en J0.
Il en résulte que les pointsJ0, K0, L0 sont alignés. Alors le plan de l’espace défini parI et la droite J0K0L0 contient les quatre pointsI, J, K, L.
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