D374 – Sortie dans l’espace [** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Est-il possible de choisir 24 points dans l’espace – jamais trois points n’étant alignés – et de choisir 2021 plans de sorte que chaque plan passe par au moins trois des 24 points, et que chaque trio parmi les 24 points appartienne à au moins un des plans choisis ?
Solution proposée par Daniel Collignon C'est possible.
Par exemple avec un unique quadruplet Q={1,2,3,4} de points coplanaires, les autres parmi R={5,...,24} ne l'étant jamais.
A la base nous avons C(24;3) = 2024 > 2021.
On va dénombrer les plans :
3 points dans Q : 1 plan (c'est ici qu'on passe de 2024 à 2021 en perdant 3 plans) 2 points dans Q, 1 point dans R : C(4;2)*C(20;1) = 120 plans
1 point dans Q, 2 points dans R : C(4;1)*C(20;2) = 760 plans 3 points dans R : C(20;3) = 1140 plans
Nous avons bien 1140+760+120+1 = 2021.
Chaque plan passe par exactement 3 des 24 points sauf 1 qui passe par 4 points.
Chaque trio parmi les 24 points appartient à exactement 1 des plans.
