G2965. Les premiers en Pythagorie ***
On considère les triplets pythagoriciens (a,b,c) dont deux des trois termes sont des nombres pre- miers et auxquels on associe les triangles rectanglesABCde côtésa,b,c.
Recenser tous les triplets tels que le plus petit angle aigu du triangleABCest supérieur à 2˚.
Solution de Claude Felloneau
Les triplets qui conviennent sont à l’ordre près des coordonnées :
(3, 4, 5) ; (5, 12, 13) ; (11, 60, 61) ; (19, 180, 181) ; (29, 420, 421) ; (31, 480, 481)
En effet, sia,b,csont trois entiers dont deux sont premiers et a2+b2=c2 alorsa, b etc sont premiers entre eux deux à deux donc il existe deux entiersxetypremiers entre eux tels que :
a=x2−y2 et b=2x y et c=x2+y2. Il est impossible quebsoit premier sinonx=1 ety=1 donca=0.
aest donc premier d’oùx−y=1, ce qui donne
a=2y+1 et b=2y(y+1) et c=2y2+2y+1 avec y∈N∗. On a alorsa<b donc la tangente du plus petit angle aiguαest a
b = 1
2y + 1
2(y+1) qui est une fonction décroissante dey.
α>2˚⇐⇒a
b >tan 2˚⇐⇒y628.
aétant premier les valeurs possibles deysont 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20, 21, 23 ou 26.
Commecdoit être premier, il faut éliminer les valeurs 3, 6, 8, 11, 15, 18, 20, 21, 23 et 26.
On en déduit les triplets (a,b,c) qui conviennent :
(3, 4, 5) ; (5, 12, 13) ; (11, 60, 61) ; (19, 180, 181) ; (29, 420, 421) ; (31, 480, 481)
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