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Exercices th´ eoriques

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble

Option calcul scientifique 2009/2010

Optimisation

Soit J ∈ C1(Rd,R) une fonctionnelle dont l’on souhaite trouver le minimum. On supposera que J est coercive, i.e. limkxk→+∞J(x) = +∞. On part d’un point x0 Rd puis on applique un algorithme donnant une suite (xn)n∈N pour laquelle on esp`ere que limn→+∞xn = x existe et est telle que J(x) = minJ. On consid`erera ici deux classes d’algorithmes.

M´ethode du gradient `a pas constant

Soit τ >0 un petit pas `a choisir. On part de x0 Rd quelconque et on pose xn+1 =xn−τ−→

∇J(xn). M´ethode de relaxation `a pas optimal

Soit (ei)i=1..d une base de Rd. Soit x0 un point de Rd. On construit par r´ecurrence une suite (xn) en posant :

x1n=xn+t1e1 o`u t1 est tel que J(xn+t1e1) = mint∈RJ(xn+te1),

x2n=x1n+t2e2 o`u t2 est tel que J(x1n+t2e2) = mint∈RJ(x1n+te2), ...

xn+1 =xdn =xd−1n +tded o`u td est tel que J(xd−1n +tded) = mint∈RJ(xd−1n +ted).

NB : on peut ´evidemment aussi faire une m´ethode de gradient `a pas optimal ou une m´ethode de relaxation `a pas constant.

Exercices th´ eoriques

Exercice 1 : Montrer que J est born´ee inf´erieurement et atteint son minimum.

Exercice 2 : On suppose que

−→

∇J est globalement lipschitzien c’est-`a-dire qu’il existeC tel que

∀x, y Rd , k−→

∇J(x)−−→

∇J(y)k ≤Ckx−yk ,

J est strictement convexe c’est-`a-dire qu’il existe η >0 tel que

∀x, y Rd , h−→

∇J(x)−−→

∇J(y)|x−yi ≥ ηkx−yk2 . (1) 1) Etablir que pour tous x, y Rd et t∈R,

J(y+t(x−y)) = J(y) + Z t

0

h−→

∇J(y+s(x−y))|x−yids

η

2t2kx−yk2+th−→

∇J(y)|x−yi+J(y) .

Donner une interpr´etation g´eom´etrique de l’in´egalit´e pr´ec´edente justifiant l’appellation “stricte- ment convexe” pour une telle fonction.

(2)

2) En d´eduire queJ est born´ee inf´erieurement et atteint son minimum en un pointx. Montrer que −→

∇J ne s’annule qu’en au plus un point et en d´eduire que x est unique.

3) En utilisant un th´eor`eme de point fixe, montrer que si le pas τ > 0 est choisi assez petit, alors pour tout x0, la suite (xn) donn´ee par la m´ethode du gradient `a pas constant converge vers x.

Exercice 3 : On utilise dans cet exercice la m´ethode de relaxation `a pas optimal.

1) Montrer que la suite (xn) est bien d´efinie. Cette suite est-elle unique ?

2) Montrer que (J(xn)) est une suite d´ecroissante qui converge vers une valeurJ0 R. Montrer qu’il existe une sous-suite (xϕ(n)) qui converge vers un pointx Rd et que J(x) =J0.

3) Montrer que si J est strictement convexe au sens de (1), alors J(x) est le minimum deJ. Exercice 4 : Soit A∈ Md(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive et soit b un vecteur de Rd. On souhaite r´esoudre le syst`eme Ax =b.

1) Montrer que cela ´equivaut `a minimiser sur Rd la fonctionnelleJ :x7−→ 12hAx|xi − hb|xi.

2) Justifier et appliquer la m´ethode du gradient `a pas constant.

3) Montrer que la m´ethode it´erative de Gauss-Seidel pour r´esoudre le syst`eme Ax= b est en fait une m´ethode de relaxation `a pas optimal pour trouver le minimum de J.

Exercices pratiques

Exercice 5 : Programmer la m´ethode du gradient `a pas constant pour trouver le minimum de la fonctionf(x, y) = x4−x3+ 2xy+y22y+ 1. Illustrer du mieux possible le chemin parcouru par les diff´erentes ´etapes de l’algorithme.

Exercice 6 : Programmer une m´ethode d’optimisation pour trouver le polynˆome de degr´e plus petit que k qui approche le mieux une fonctionf ∈ C0([0,1],R) au sens des moindres carr´es.

Exercice 7 : Soit Ω =]0,1[2 une plaque carr´ee. Une certaine temp´erature g est impos´ee au bord de la plaque. Une fois l’´equilibre thermique atteint, la temp´erature u de la plaque est

donn´ee par ½

∆u= 0 sur Ω

u=g sur ∂Ω (2)

Soitn N. On discr´etise le probl`eme en posant rempla¸cantupar la matricen×nsch´ematiquement donn´ee par U(i, j) = u(n−1i−1,n−1j−1) (i = 1, ..., n, j = 1, ..., n). Donner la discr´etisation de l’´equation (2) sous la forme ½

D(U) = 0 U ∈E

o`uDest un op´erateur lin´eaire agissant sur les matricesn×netE un espace vectoriel `a pr´eciser.

Montrer que le probl`eme revient `a minimiser sur E la fonctionnelle suivante.

J(U) = X

i, j, i0, j0 = 1. . . n (i, j) voisin de (i0, j0)

|U(i, j)−U(i0, j0)|2 .

Utiliser la m´ethode de relaxation `a pas optimal pour r´esoudre num´eriquement ce probl`eme.

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