Surfaces cristallines

Surfaces cristallines

fluctuations et instabilités fluctuations et instabilités

S. Balibar S. Balibar

Laboratoire de Physique Statistique Laboratoire de Physique Statistique

de l ’ENS (Paris, France) de l ’ENS (Paris, France)

ENS, 27 nov 2003 ENS, 27 nov 2003 cristaux d'hélium: un système modèle cristaux d'hélium: un système modèle

publications co-signées avec:

visiteurs étrangers et autres collaborateurs seniors:

visiteurs étrangers et autres collaborateurs seniors:

P. Nozières (ILL et Collège de France), P. Nozières (ILL et Collège de France),

D.O. Edwards et W.F. Saam (Ohio State U.) D.O. Edwards et W.F. Saam (Ohio State U.) J.P. Bouchaud (ENS

J.P. Bouchaud (ENS  CEA, Saclay) CEA, Saclay)

M. Thiel, A. Willibald, P.Evers, A. Levchenko et P. Leiderer (Konstanz Univ.) M. Thiel, A. Willibald, P.Evers, A. Levchenko et P. Leiderer (Konstanz Univ.) H. Alles (Helsinki) et A. Ya. Parshin (Moscou)

H. Alles (Helsinki) et A. Ya. Parshin (Moscou) Etudiants

Etudiants, post-docs , post-docs et autres membres du groupe à l'ENS:et autres membres du groupe à l'ENS:

B. Castaing (

B. Castaing ( ENS Lyon) ENS Lyon) P.E. Wolf

P.E. Wolf ( ( Grenoble), Grenoble), F. GalletF. Gallet ( ( Jussieu), Jussieu), E. RolleyE. Rolley (ENS) (ENS) C. Guthmann (ENS)

C. Guthmann (ENS) F. Graner

F. Graner ( ( Grenoble) Grenoble) R.H. Torii

R.H. Torii ( ( Jet Prop. Lab) Jet Prop. Lab) E. Chevalier

E. Chevalier ( ( Aerospatiale) Aerospatiale) Ingénieurs:

Ingénieurs:

C. Laroche (ENS Paris

C. Laroche (ENS Paris  ENS Lyon), J.C. Sutra-Fourcade (ENS) ENS Lyon), J.C. Sutra-Fourcade (ENS)

formes cristallines: le cas du plomb formes cristallines: le cas du plomb

la croissance révèle le la croissance révèle le facettage dans des facettage dans des directions de haute directions de haute symétrie

symétrie

à basse température, à basse température, davantage de facettes davantage de facettes différentes

différentes

microscopie électronique microscopie électronique JJ Metois and JC

JJ Metois and JC Heyraud

Heyraud

(CRMC2 - Marseille, (CRMC2 - Marseille, France)

France)

T > 120 °C

T > 120 °C T > 120 °C T > 120 °C

50 °C < T < 120 °C

50 °C < T < 120 °C T < 50 °C T < 50 °C

indium indium

à basse température:

à basse température:

de plus en plus de de plus en plus de facettes

facettes

photographies photographies JJ Metois and JC JJ Metois and JC Heyraud

Heyraud

CRMC2 Marseille CRMC2 Marseille

T > 100 °C T > 100 °C

40 < T < 100 °C

40 < T < 100 °C 20 < T < 40 °C20 < T < 40 °C

10 < T < 20 °C

10 < T < 20 °C T < 10 °CT < 10 °C

cristaux cristaux d'helium 4 d'helium 4

cristaux d'helium 4 en croissance cristaux d'helium 4 en croissance à partir de l' helium 4 superfluide à partir de l' helium 4 superfluide photographies S.Balibar,

photographies S.Balibar, C. Guthmann et E. Rolley, C. Guthmann et E. Rolley, ENS, 1994ENS, 1994

structure hcp structure hcp

(hexagonal close packed) (hexagonal close packed) à mesure que T baisse:

à mesure que T baisse:

"

transitions rugueuses"

"

transitions rugueuses"

(roughening transitions) (roughening transitions) successives

successives

1.4 K 1.4 K

1.1 K 1.1 K

0.5 K 0.5 K

0.1 K

0.1 K

video sequence

video sequence

la transition la transition

rugueuse rugueuse

à T = 0 à T = 0

les atomes minimisent leur énergie les atomes minimisent leur énergie potentielle

potentielle

la surface est localisée

la surface est localisée sur l'un des sur l'un des plans cristallins

plans cristallins, cad ", cad "lisse"lisse"

Landau 1949: les surfaces Landau 1949: les surfaces

cristallines sont lisses dans toutes les cristallines sont lisses dans toutes les directions rationnelles (n,p,q)

directions rationnelles (n,p,q)

at T > 0 , fluctuations thermiques:

at T > 0 , fluctuations thermiques:

ad-atomes, ad-lacunes, marches avec ad-atomes, ad-lacunes, marches avec décrochements, terrasses...

décrochements, terrasses...

les surfaces sont "rugueuses" et les surfaces sont "rugueuses" et délocalisées au dessus de T délocalisées au dessus de T_RR , , une température de transition une température de transition rugueuse

rugueuse qui dépend de l'orientationqui dépend de l'orientation les surfaces rugueuses sont libres par les surfaces rugueuses sont libres par rapport au réseau

rapport au réseau

modèle "solid on solid " de Leamy and Gilmer 1975 modèle "solid on solid " de Leamy and Gilmer 1975

TT_{R R} = 0.63 J = 0.63 J

(J est l'énergie d'un lien entre proches voisins) (J est l'énergie d'un lien entre proches voisins) T = 0.571 J

T = 0.571 J

T = 0.632 J T = 0.632 J

T = 0.667 J T = 0.667 J

fluctuations des marches:

fluctuations des marches:

l'énergie libre des marches s'annulle à T l'énergie libre des marches s'annulle à T

un raisonnement simple:

un raisonnement simple:

une marche à la surface d'un réseau cubique une marche à la surface d'un réseau cubique longueur Na, énergie de chaque lien : J

longueur Na, énergie de chaque lien : J énergie interne des marches:

énergie interne des marches:

~J/2 par longueur élémentaire a

~J/2 par longueur élémentaire a entropie:

entropie:

3 possibilités sur chaque site, donc k

3 possibilités sur chaque site, donc k_{B B} ln (3ln (3^NN)= Nk)= Nk_BB ln3 ln3 énergie libre

énergie libre par unité de longueur: par unité de longueur:  = (J/2 - k = (J/2 - k_BBT ln3)/aT ln3)/a transition rugueuse à

transition rugueuse à TT_RR = J / 2k = J / 2k_BB ln3 ~ 0. 45 J / k ln3 ~ 0. 45 J / k_BB

où les marches prolifèrent (leur énergie libre s'annulle) où les marches prolifèrent (leur énergie libre s'annulle)

Mais en fait, la surface n'est pas confinée sur un seul plan Mais en fait, la surface n'est pas confinée sur un seul plan

empilement de terrasses près de T empilement de terrasses près de T_RR

a a

fluctuations de surface fluctuations de surface

le modèle de sine - Gordon le modèle de sine - Gordon

un hamiltonien effectif pour les déformations de la surface z(r):

un hamiltonien effectif pour les déformations de la surface z(r):

€

H = ∫ d

^{r ⎡} _⎣ ⎢ ¹ ₂ ^{γ ( ∇z )}

^{+ V cos 2πz} _d ⎤

⎦ ⎥

 = =  + d + d²²  /d/d²² : rigidité de surface (surface : rigidité de surface (surface stiffness)

stiffness)

   surface tension de surface, surface tension de surface,

i.e. énergie libre par unité d'airei.e. énergie libre par unité d'aire V : potentiel cristallin

V : potentiel cristallin hypothèses près de T

hypothèses près de T_{R R} , assumptions :, assumptions : faible amplitude z (

faible amplitude z (zz << 1) << 1) couplage faible avec le réseau (

couplage faible avec le réseau ( V/V/ << 1 << 1 )) calcul de renormalisation:

calcul de renormalisation:

Nozières 1985-94Nozières 1985-94



 

'' ''

Hamiltonien sine-Gordon:

Hamiltonien sine-Gordon:

si V = 0 si V = 0

hauteur z ; composantes de Fourier z

hauteur z ; composantes de Fourier z_kk ; équipartition de l'énergie ; équipartition de l'énergie

 chaque mode a une amplitude <zchaque mode a une amplitude <z_kk²²> = k> = k_BBT / T / kk²²S S (S=L(S=L²² est l'aire de la surface) est l'aire de la surface)

 l'amplitude totale est l'amplitude totale est

divergence logarithmique comme pour la surface libre d'un liquide divergence logarithmique comme pour la surface libre d'un liquide si V ≠ 0

si V ≠ 0 , comme , comme , si on remplace <z , si on remplace <z²²> par son> par son approximation T ln (L/a) / 2approximation T ln (L/a) / 2, la contribution à l'énergie de surface est, la contribution à l'énergie de surface est

qui diverge si T <

qui diverge si T < TT_RR = (2/ = (2/) ) aa^{2 2} : les fluctuations à grande échelle sont tuées par : les fluctuations à grande échelle sont tuées par le potentiel cristallin à T < Tle potentiel cristallin à T < T_RR ; <z ; <z²²> sature au-delà d'une certaine longueur > sature au-delà d'une certaine longueur de corrélation.

de corrélation.

une estimation approchée de T une estimation approchée de T

€

H = ∫ d

^{r ⎡} _⎣ ⎢ ¹ ₂ ^{γ ( ∇z )}

^{+ V cos 2πz} _d ⎤

⎦ ⎥

€

〈 z

〉 = 1

4π

2πkdk T γk

2π /L 2π /a

∫ ⁼ _2πγ ^{T ln ⎛} _⎝ ^{⎜ L} _a ^⎞ _⎠ ^⎟

€

cos2πz

a = exp −2π ² z² a²

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

€

ΔE = L²V exp −2π² a²

T

2πγ ln L a

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥=VL

2−π T γ a²

⎛

⎝⎜

⎜

⎞

⎠⎟

⎟

quelques prédictions théoriques quelques prédictions théoriques

la transition rugueuse est de type

la transition rugueuse est de type " "Kosterlitz - Thouless"Kosterlitz - Thouless"

comme la transition superfluide en 2D, la transition liquide-solide en 2D, comme la transition superfluide en 2D, la transition liquide-solide en 2D, la transition magnétique du modèle XY, la transition isolant-conduteur d'un la transition magnétique du modèle XY, la transition isolant-conduteur d'un plasma 2D, etc.

plasma 2D, etc.

ordre infini

ordre infini : l'énergie libre des marches s'annule exponentiellement : l'énergie libre des marches s'annule exponentiellement la rigidité de surface présente un "

la rigidité de surface présente un "saut universelsaut universel""

et une singularité en racine carrée:

et une singularité en racine carrée:

T < T

T < T_RR : rigidité infinie : rigidité infinie  = ∞ (une surface lisse est plane) = ∞ (une surface lisse est plane) T = T

T = T_RR : :  (T (T_RR) = ) =   TT_RR / 2a / 2a^{2 2} T > T

T > T_RR : :  (T) = (T) =  (T (T_RR) )

[ [

] ]

où t = T/T

où t = T/T_RR - 1 est la température réduite - 1 est la température réduite

(t(t_cc caractérise l'amplitude du couplage au réseau à l'échelle caractérise l'amplitude du couplage au réseau à l'échelle microscopique)microscopique)

comparaison avec les expériences comparaison avec les expériences dans l'helium: l'énergie de marche dans l'helium: l'énergie de marche

l'énergie des marches l'énergie des marches s'annule

s'annule

exponentiellement:

exponentiellement:

 ~ exp [ -~ exp [ -  /2(tt/2(tt_cc))^1/21/2]] où t = 1 - T

où t = 1 - T_RR/T est la /T est la température réduite température réduite et tet t_cc mesure la force du mesure la force du couplage de la surface au couplage de la surface au réseau sous-jacent

réseau sous-jacent mesure dans l'hélium mesure dans l'hélium (ENS 1983-92) :

(ENS 1983-92) : TT_RR = 1.30 K = 1.30 K

tt_cc = 0.58 (couplage faible) = 0.58 (couplage faible)

0.0 0.5 1.0 1.5

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35

Temerture (K)

une mesure dynamique une mesure dynamique

faire croître un faire croître un cristal à travers un cristal à travers un

troutrou observer la observer la relaxation de la relaxation de la surface vers sa surface vers sa

hauteur hauteur d'équilibre d'équilibre dans une cavité dans une cavité interférométrique:

interférométrique:

précision ~1 précision ~1 mmmm

HH vv

cristal d'helium cristal d'helium

liquide liquide

(Wolf, Gallet, Balibar et al. (1983-87) (Wolf, Gallet, Balibar et al. (1983-87)

nucléation de nucléation de

terrasses terrasses

mesure mesure

interférométrique interférométrique de la relaxation de la relaxation de la hauteur H de la hauteur H d'une surface d'une surface cristalline vers sa cristalline vers sa position

position d'équilibre d'équilibre

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

1.13K 1.145K 1.155K 1.173K 1.178K 1.19K 1.23K

1/H (mm^-1) 10^-1

10^-2

10^-3

10^-4

10^-5

évidence expérimentale:

évidence expérimentale:

vitesse

vitesse v = k v = k mm exp[- exp[-  ²²/(3a/(3arr_CC mm k k_BBT)]T)]

différence de potentiel chimique:

différence de potentiel chimique:

mm = H (= H (rr_CC--rr_LL)/)/rr_CCrr_LL pente

pente  énergie de marche énergie de marche 

terrasse terrasse

marche marche

aa

linéaire linéaire

et et

non-linéaire non-linéaire

T < T

T < T_RR : croissance non-linéaire : croissance non-linéaire

(v dépend de la force appliquée selon une loi quadratique (spirales autour de (v dépend de la force appliquée selon une loi quadratique (spirales autour de dislocations-vis) ou exponentielle (nucléation de terrasses)

dislocations-vis) ou exponentielle (nucléation de terrasses) T > T

T > T_RR : croissance linéaire : croissance linéaire v = k

v = k mm (attachement d'atomes un par un) (attachement d'atomes un par un)

0 10 20 30 40 50

0 200 400 600 800 1000

1.205K 1.218K 1.234K 1.252K 1.285K

heiht dierence (μm)

près de la près de la température de température de transition rugueuse transition rugueuse

comportement comportement

critique du critique du

taux de taux de croissance croissance

La théorie de renormalisation de Nozières's RG décrit aussi La théorie de renormalisation de Nozières's RG décrit aussi l' évolution du taux de croissance l' évolution du taux de croissance (i.e. la mobilité de la surface) (i.e. la mobilité de la surface)

ajustements avec les mêmes valeurs des paramètres que pour l'énergie des ajustements avec les mêmes valeurs des paramètres que pour l'énergie des marches (T

marches (T_RR = 1.30 K ; t = 1.30 K ; t_cc = 0.58 ; L = 0.58 ; L₀₀ = 4 a ) = 4 a ) rugosité dynamique

rugosité dynamique : les facettes sont détruites par une croissance rapide : les facettes sont détruites par une croissance rapide ( un"( un"effet de taille finie"effet de taille finie" dans le calcul de renormalisation) dans le calcul de renormalisation)

la relation universelle la relation universelle

k k

T T

= (2/ = (2/ ) )   (T _(T

) a ) a

Quand T

Quand T  T T_RR = 1.30 K , la rigidité de surface = 1.30 K , la rigidité de surface

    (T(T_RR) = ) =  k k_BBTT_RR / 2 a / 2 a²² = 0.315 erg.cm = 0.315 erg.cm^-2-2

accord avec les mesures de courbures de Wolf et al. et de Babkin et al.

accord avec les mesures de courbures de Wolf et al. et de Babkin et al.

universelle

universelle : ne depend pas de quantités micoscopiques telles que : ne depend pas de quantités micoscopiques telles que le potentiel cristallin.le potentiel cristallin.

la théorie de Nozières's prédit aussi

la théorie de Nozières's prédit aussi la variation angulaire de la variation angulaire de   , , comme un autre "effet de taille finie".

comme un autre "effet de taille finie".

une dynamique une dynamique

de croissance de croissance

remarquable remarquable

surfaces lisses: mouvements de marches surfaces lisses: mouvements de marches

surfaces rugueuses: collisisions avec les phonons

surfaces rugueuses: collisisions avec les phonons (cf. électrons dans les métaux) (cf. électrons dans les métaux) v = k

v = k mm with k ~ T with k ~ T ^-4-4 : le taux de croissance diverge à basse T: le taux de croissance diverge à basse T

les cristaux d'helium croissent suffisamment vite en dessous de 0.5K pour que des

les cristaux d'helium croissent suffisamment vite en dessous de 0.5K pour que des ondes ondes de cristallisation

de cristallisation puissent se propager à leur surface comme s'il s'agissait de liquides.puissent se propager à leur surface comme s'il s'agissait de liquides.

solide solide

superfluide superfluide

liquide normal liquide normal

gazgaz

pression (bar)pression (bar)

température (K) température (K)

00 2525

22 11

les cristaux d'helium 4 croissent à partir d'un

les cristaux d'helium 4 croissent à partir d'un superfluidesuperfluide (viscosité nulle, grande conductivité thermique(viscosité nulle, grande conductivité thermique))

la chaleur latentela chaleur latente est très faible (cf. diagramme de phases) est très faible (cf. diagramme de phases) cristaux

cristaux extrêmement pursextrêmement purs, de , de grande conductivité thermiquegrande conductivité thermique

-> résistance à la croissance négligeable dans le liquide et dans le solide, -> résistance à la croissance négligeable dans le liquide et dans le solide,

la vitesse de croissance n'est limitée que par des effets de surface la vitesse de croissance n'est limitée que par des effets de surface

crystallization waves

QuickTime™ et undécompresseur Animationsont requis pour visionner cette image.

la relation de dispersion des ondes de cristallisation la relation de dispersion des ondes de cristallisation

2 forces de rappel 2 forces de rappel : : - rigidité de surface

- rigidité de surface  (à haute fréquence ou courte longueur d'onde) (à haute fréquence ou courte longueur d'onde) - gravité g ( à basse fréquence ou grande longueur d'onde)

- gravité g ( à basse fréquence ou grande longueur d'onde) inertie : flux de masse dans le liquide

inertie : flux de masse dans le liquide ( ( rr_CC > > rr_LL))

  mesure expérimentale précise de la rigidité de surface mesure expérimentale précise de la rigidité de surface 

€

ω

= ρ

ρ

− ρ

( )

[ γq

+ ( ρ

− ρ

) gq ] superfluide

superfluide

cristal

cristal

surfaces à marches surfaces à marches

simulation d'une surface (115) de cuivre (J. Lapujoulade, Saclay) simulation d'une surface (115) de cuivre (J. Lapujoulade, Saclay)

mesures de mesures de

rigidité de rigidité de

surface surface

Rolley et al. (ENS - Paris) Rolley et al. (ENS - Paris) PRL 72, 872 (1994)

PRL 72, 872 (1994)

J. Low Temp. Phys. 99, 851 J. Low Temp. Phys. 99, 851 (1995)

(1995)

l'anisotropie des surfaces à marches l'anisotropie des surfaces à marches

pour une surface de pour une surface de

faible angle d'inclinaison faible angle d'inclinaison   par rapport à la facette, par rapport à la facette,

deux composantes du tenseur deux composantes du tenseur de rigidité:

de rigidité:

  : énergie de marche: énergie de marche

d d : interaction entre marches: interaction entre marches

€

γ

= β aφ

€

γ

= 6δ a

φ

aa



interactions entre marches interactions entre marches

interaction entropique:

interaction entropique:

pas de croisements pas de croisements car pas de surplombs car pas de surplombs

les marches sont confinées par leurs les marches sont confinées par leurs voisines

voisines  réduction d'entropie réduction d'entropie répulsion entropique

répulsion entropique

interaction élastique:

interaction élastique:

recouvrement des champs de recouvrement des champs de déformation

déformation dd_elel/l/l^{2 2} ~ ~ ²²/El/El²²

(E : module d'Young) (E : module d'Young)

répulsion

répulsion élastique:élastique:

€

δ_S

l² = π ² 6

(k_BT)² β l²

€

δ

l

≈ γ

E l

l l

l l

interactions élastiques + entropiques interactions élastiques + entropiques

courbe pleine:

courbe pleine:

prédiction théorique prédiction théorique pour des marches bien pour des marches bien séparées (dans la

séparées (dans la limite

limite     0).0).

dans l'helium les dans l'helium les marches sont très marches sont très étalées (couplage étalées (couplage faible) et la mesure faible) et la mesure exige d'être faite à très exige d'être faite à très faible inclinaison

faible inclinaison

distribution de distribution de

largeurs de largeurs de terrasses dans le terrasses dans le

silicium silicium

E.D. Williams and N.C. Bartelt, E.D. Williams and N.C. Bartelt,

Science 251, 393 (1991) Science 251, 393 (1991) Schartzentruber et al.

Schartzentruber et al.

PRL 65, 1913 (1990) PRL 65, 1913 (1990)

les transitions rugueuses les transitions rugueuses

des cristaux mous des cristaux mous

module de cisaillement << tension de surface:

m a << 

les marches se transforment en les marches se transforment en dislocations-coins sous la surface dislocations-coins sous la surface -> l'énergie de marche

-> l'énergie de marche  ~ ~ mama²²/4/4 est très  est très faible

faible

les marches sont très étalées,

les marches sont très étalées, leur interaction leur interaction élastique

élastique dd ~ ( ~ (a)a)²² / / mlml²² est grande est grande

  et et d se compensent, et la température de d se compensent, et la température de rugosité T

rugosité T_RR d'une surface (1,n,0) est : d'une surface (1,n,0) est :

€

T

= 2

π γ

γ

a

= 2 π

6βδ

a

a

≈ γa

n

finalement, beaucoup de facettes parce que la finalement, beaucoup de facettes parce que la cellule unité est grande ( a ~ 50 Angström) cellule unité est grande ( a ~ 50 Angström) pour des surfaces (1, 1, 2) T

pour des surfaces (1, 1, 2) T_RR ~ 27000 K ! pour ~ 27000 K ! pour des surfaces (9, 8 , 15) T

des surfaces (9, 8 , 15) T_RR ~ 360 K ~ 360 K

experiences: Pawel Pieranski et al. (PRL 84, 2409, 2000 et Eur. Phys. J. E5, 317, 2001) théorie: P. Nozières, F. Pistolesi and S.

Balibar, Eur. Phys. J. B24, 387 (2001)

une instabilité mécanique une instabilité mécanique

R.J. Asaro and W.A. Tiller 1972:

R.J. Asaro and W.A. Tiller 1972:

un précurseur de la fracture et de la corrosion un précurseur de la fracture et de la corrosion M.A. Grinfeld 1986-93 :

M.A. Grinfeld 1986-93 : instabilité mécanique instabilité mécanique

  formation de motifs en hétéroépitaxieformation de motifs en hétéroépitaxie P. Nozières 1993 + C. Misbah 1994:

P. Nozières 1993 + C. Misbah 1994:

l'instabilité est du premier ordre (saut l'instabilité est du premier ordre (saut d'amplitude au seuil)

d'amplitude au seuil)

les sillons sont profonds et concentrent les les sillons sont profonds et concentrent les contraintes

contraintes

seuil de contrainte:

seuil de contrainte:

€

σ

= γ Eq

1− σ

with q

= (ρ

− ρ

)g

γ

étude étude

expérimentale expérimentale

dans l'helium dans l'helium

R. Torii and S. Balibar R. Torii and S. Balibar

J. Low Temp. Phys. 89, 391 (1992) and J. Low Temp. Phys. 89, 391 (1992) and M. Thiel, ..., S. Balibar and P. Leiderer M. Thiel, ..., S. Balibar and P. Leiderer Europhysics Lett. 26, 707 (1992)

Europhysics Lett. 26, 707 (1992)

mesure de la longueur d'onde au seuil mesure de la longueur d'onde au seuil * = 7 mm (the capillary length)* = 7 mm (the capillary length)

et surtout de la déformation au seuil:

et surtout de la déformation au seuil:

u* = 7.5 10u* = 7.5 10^-5-5

en accord avec le calcul de Nozières en accord avec le calcul de Nozières l'instabilité est bien du premier ordre l'instabilité est bien du premier ordre

formation spontanée de motifs en formation spontanée de motifs en

hétéroépitaxie hétéroépitaxie

une instabilité des films déposés en hétéroépitaxie une instabilité des films déposés en hétéroépitaxie formation de cristallites 3D (boites quantiques) formation de cristallites 3D (boites quantiques) pas de dislocations

pas de dislocations

  une origine purement élastique ?une origine purement élastique ? composés Ga

composés Ga_xxInIn_(1-x)(1-x)AsAs_yyPP_(1-y)(1-y) A. Ponchet et al.

A. Ponchet et al. [ Appl. Phys. 74, 3778 (1993)][ Appl. Phys. 74, 3778 (1993)]

composés SiGe / Ge composés SiGe / Ge A.J. Pidduck et al.

A.J. Pidduck et al. [ Thin Solid Film 78, 222 (1992)][ Thin Solid Film 78, 222 (1992)]

désadaptation de la maille cristalline désadaptation de la maille cristalline

  une déformation locale u > 10une déformation locale u > 10^-2-2

prédiction théorique : la longueur d'onde du mode le plus prédiction théorique : la longueur d'onde du mode le plus

instable

instable   ~ (~ (    EuEu²⁾²⁾ ~ 100 to 1000 nm ~ 100 to 1000 nm une question relativement ouverte

une question relativement ouverte

pas encore d'étude systématique (à ma connaissance).

pas encore d'étude systématique (à ma connaissance).

conclusion conclusion

la transition rugueuse et l'existence de facettes à la surface la transition rugueuse et l'existence de facettes à la surface des cristaux

des cristaux

l'interaction entre marches cristallines l'interaction entre marches cristallines

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Helium crystals as a probe in materials science"

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Sol. State Comm. 92, 19, 1994 Sol. State Comm. 92, 19, 1994

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The surface of helium crystals"

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à paraître dans Rev. Mod. Phys. 2004 à paraître dans Rev. Mod. Phys. 2004