UBER DIE INVARIANTEN V0N LINEAREBI
VoN
R. WEITZENB()CK
in AMSTERDAM.
GRUPPEN.
Einleitung.
Der klassischen Invariantentheorie liegt die allgemeine projektive Gruppe, gebildet aus allen linearen und homogenen Transformationen yon ~ u
lichen zu Grunde. Ihre zwei I-Iauptprobleme: die Frage nach der allgemeinen Struktur der projektiven Invarianten gegebener Grundformen und die nach der Endlichkeit, sind gel5st, die erstere durch die symbolische Methode, die alles auf Linearformen und deren Invarianten zuriickfiihrt, die letztere allgemein durch den beriihmten Basissatz yon Iz[ILBERT und den unmittelbar darauf beruhenden H I L ~ T s c h e n Endlichkeitsbeweis. 1 Seine Methode ist,, wie H I ~ E ~ T selbst an- gibt ~, iibertragbar auf Gruppen, >>wenn die Koeffizienten der die Gruppe bestim- menden Substitutionen g~nze and rationale Funktionen einer gewissen Anzahl von Parametern sind, derart, dass durch Zusammensetzung zweier beliebiger Substitutionen der Gruppe eine Substitution entsteht, deren Parameter bilineare Funktionen der Parameter der beiden urspriinglich ausgewghlten Substitutionen sind und wenn es zugleich einen Differenziationsprozess gibt, welcher sich in ent- sprechender Weise zur Erzeugung der zur
vorgelegten
Gruppe gehSrigen In- varianten verwenden l~i,sst, wie der Differenzi~tionsprozess Y2 im F~lle der zur allgemeinen projektiven Gruppe geh5rigen Invarianten.>>HII~B~aT zeigt an derselben Stelle die Anwendbarkeit dieser Methode fiir die orthogonale Gruppe und fiihrt als weiteres Beispiel fiir quatern~re Formen
1 D. I-IILBEBT, ,,0ber die Theorie der algebraischen Formen,,, M~them. Ann. 36 (I89o) , S. 473--534.
Ebenda, S. 532.
die drei-gliedrige G r u p p e I yon l i n e a r e n P u n k t t r a n s f o r m a t i o n e n an, die eine irre- duzible R a u m k u r v e d r i f t e r O r d n u n g unge~tndert lassen.
Eine zweite M e t h o d e fiir den Beweis der E n d l i e h k e i t y o n I n v a r i a n t e n h a t HuI~WiTZ ~ g e g e b e n u n d fiir die p r o j e k t i v e n u n d o r t h o g o n a l e n I n v a r i a n t e n a u e h d u r c h g e r e e h n e t . Sie entst.and aus der fiir endliehe d i s k r e t e G r u p p e n F braueh- baren NIethode, eine g e g e b e n e F o r m allen T r a n s f o r m a t i o n e n y o n F zu u n t e r - werfen u n d aus den t r a n s f o r m i e r t e n F o r m e n s y m m e t r i s c h e F u n k t i o n e n , insbeson- dere ihre S u m m e zu bilden, die d a n n I n v a r i a n t e n bei F s i n d 3
Bei k o n t i n u i e r l i c h e n G r u p p e n g e h t die S u m m a t i o n fiber in eine I n t e g r a t i o n u n d dass diese fiir die allgemeine p r o j e k t i v e u n d ffir die o r t h o g o n a l e G r u p p e sinnvoll u u s f i i h r b a r ist, k o n n t e Hul~WlTZ naehweisen.
I n den letzten ffahren h a b e n im Z u s a m m e n h a n g e m i t der D a r s t e l l u n g s - theorie k o n t i n u i e r l i e h e r u b s t r a k t e r G r u p p e n d u r e h lineare T r a n s f o r m a t i o n e n I.
S c o u r 4 u n d H. W ~ L '~ diesen G e d a n k e n v o n gU~WlTZ wieder aufgegriffen.
I n s b e s o n d e r e k o n n t e W E w nuehweisen, dass die d u r e h ihn v e r a l l g e m e i n e r t e M e t h o d e y o n HuI~WITz fiir alle h a l b e i n f a c h e n G r u p p e n b r a u c h b a r g e m a e h t werden k a n n u n d dass ~damit zum e r s t e n m a l e a u f natfirliche W e i s e ein grup- p e n t h e o r e t i s e h e r Giltigkeitsbereich fiir die I n v a r i a n t e n t h e o r i e a b g e g r e n z t ist~3 I c h h a b e m i e h nie d a m i t b e f r e u n d e n k 5 n n e n , dass m a n zu d e r a r t i g e n rein ul- g e b r a i s c h e n S~tzen wie den, betreffend die E x i s t e n z einer e n d l i c h e n Integrititts- basis in P o l y n o m r i n g e n b e s t i m m t e r Art, t r a n s z e n d e n t e H i l f s m i t t e l wie Volums- integrale, U b e r l a g e r u n g s f l ~ c h e n u n d dgl. n S t i g h a b e n sollte. Es k o m m t dies, u m ein einmal y o n H, W~YL selbst g e b r a u e h t e s W o r t zu v e r w e n d e n , einem ~mit K ~ n o n e n a u f S p a t z e n sehiessem~ gleieh.
D a s P r o b l e m der E n d l i e h k e i t bei beliebigen k o n t i n u i e r l i e h e n U n t e r g r u p p e n (~,,. der a l l g e m e i n e n p r o j e k t i v e n G r u p p e f o r m u l i e r t D. HII, BEI~T in seinem P a r i s e r V o r t r a g y o n I9OO. 7 Es diirfte i h m j e d e n f a l l s e n t g a n g e n sein, duss ein J a h r Auf einem anderen Wege h~be ich deren Inv~rianten behandelt in Proceed. Akad. v~n Wetenseh. Amsterdam 33 (I93O), S. II25--II32.
A. Hu~wI~rz, GSttinger N~chr. (I897), S. 7I.
Vgl. etwa H. W~]BER, Lehrb. d. Algebr~ II (2. Auff.) (1899), S. 227 oder ~usfiihrlicher:
E. NOETHER, M~them. Ann. 77 (I9~), S. 9 o. -- Diese Methode kann bei Kongruenzgruppen und den dazugehSrigen Modul~r-Invarianten vers~gen.
4 I. SCl~UR, Berliner Ber. (I924) , S. I89, 297 u. 346.
:' H. WEYL, Mathem. Zeitschr. 23 (I92~) , S. 271 und ~4 (I9~), S. 238 u. 377.
H. WEYL, Mathem. Zeitschr. 24 (~925), S. 392.
D. H~LBE~T, G5ttinger Naehr. (19oo), S. 28I und Compte rendu du 2 i~me congr~s inter- national des Math6m. P~ris (I9O2), S. 9 ~.
Uber die Invarianten von linearen Gruppen. 233 friiher (I899) dieses Problem im Prinzip durch L. MAugEg gelSst wurde. 1 Auch mir war diese Ta~sache bis vor kurzem unbekannt. Obwohl MAUg~R n u r die Endlichkeit der ubsoluten Invarianten b e w e i s L treten bei ihm doch die drei wesentlichen P u n k t e deuflich hervor:
Erstens
die Endlichkeit bei eingliedrigen Gruppen (vgl. den folgenden Abschnitt I), die auf die bin~ren Semi-Invarianten fiihr~ und wobei yon der Jordanschen Normalform einer Matrix Gebrauch ge- macht wird. ~Zweitens
der Aufbau der (~r-Invarianten aus den I n v a r i a n t e n bezgl, eingliedriger Gruppen, wobei auch auf die Abh~ngigkeit der letzteren Riicksicht genommen wird (Vgl. Abschnitt II). ~ Schliesslichdrittens
in einer besonderen Behandlung dereinfachen
Gruppen 4, wobei betreffs deren Struktur die yon W. KILLINa und E. CAgTAN gefundenen Resultate verwendet werden. ~Sowohl der yon MAUR~R skizzierte als auch der yon mir gegebene End- lichkeitsbeweis ist rein algebmisch und yon einer
bestimmten
Darstellung der Gruppen ( ~ unabh~ngig. Dass die Ergebnisse ~AURERS solange unbeachtet bile- ben, mag vielleicht auf den Umstand zuriickzuffihren sein, dass MACgER wieder- hol~ auf nicht ganz leicht lesbare friihere Arbeiten verweist. ~ Inbesondere ist fiir den Endlichkeitsbeweis seine Einteilung der infinitesimalen Transformationen~Jia~x~
in drei Klassen und die Voraussetzung, dass ~ r )) regul~r )) sei, un- XnStig. ~
Der im folgenden in den Abschnitten I und I I gegebene Endlichkeits- beweis l~sst uns erkennen: der wahre Grund ffir die Existenz einer endlichen In~egrit~tsbasis ffir die Invarianten bezfiglich beliebiger kontinuierlicher Unter-
1 L. MAURER, ,,Ueber die E n d l i c h k e i t d e r I n v a r i a n t e n s y s t e m e ~ , S i t z u n g s b e r . der b a y r . A k a d . d. W i s s . 29 (I899), S. 1 4 7 - - I 7 5 ; z u m T e l l m i t e i n c r a n g e k f i n d i g t e n F o r t s e t z u n g (die n i e m a l s e r - s c h i e n e n ist) n e u b e a r b e i t e t i n M a t h e m . A n n . 57 (I9O3), S. 2 5 5 - - 3 1 3 .
Bei m i r b e h a n d e l t i n Proceed. A k a d . v a n W e t e n s c h . A m s t e r d a m 33 (I93o), S. 4 7 - - 5 o u.
2 2 7 - - 2 3 I .
3 Bei m i r z u m T e i l e b e h a n d e l t e b e n d a , S. 2 3 3 - - 2 4 2 . 4 Bei n l i r d u r c h g e f f i h r t e b e n d a , S. 996--IOO2.
Vgl. die i m w 14 g e n a n n t e L i t e r a t u r .
6 Vgl. a u e h e i n e K r i t i k dreier frfiherer A r b e i t e n i m 3. B a n d e der ,,Theorie der T r a n s f o r m a - t i o n s g r u p p e n , , y o n S. LIE, L e i p z i g (1893), S. 8o6.
7 MAURER n e n n t die i n f i n i t e s i m a l e T r a n s f o r m a t i o n X ( f ) ,,regul/ir y o n e r s t e r Art,,, w e n n die z u X ( f ) g e h S r i g e c h a r a k t e r i s t i s e h e G l e i e h u n g n - t e n G r a d e s A (~) = [ a ~ - - o~ ~ [ = o n u r die W u r z e l n
= o h a t ; X ( f ) i s t ,,regular y o n z w e i t e r Art,,, w e n n A(oJ)= o n u r g a n z e r a t i o n a l e W u r z e l n u n d n u r E l e m e n t a r t e i l e r e r s t e r O r d n u n g h a t . I n a l l e n a n d e r e n F ~ l l e n w i r d X ( f ) ,,irregul~r~ g e n a n n t . E i n e l i n e a r e h o m o g e n e G r u p p e n e n n t e r ,,reguliir,,, w e n n die e r z e u g e n d e n i n f i n i t e s i m a l e n T r a n s - f o r m a t i o n e n so g e w / i h l t w e r d e n k S n n e n , d a s s sie r e g u l a r (I. u n d 2. Art) s i n d .
3 0 - - 3 1 3 5 6 . Acta mathematica. 58. Imprlm6 le 11 f~vrier 1932.
gruppen der allgemeinen projektiven Gruppe ist der, dass sie ganze rationale F u n k t i o n e n sind, die dureh lineare Operatoren (=infinitesimMe Transformationen) reproduzier~ werden oder Nuli liefern:
diese Beproduktiou dutch li~eare Operato- ten liefert die natiirliche Abgre~zung der algebraischen Invariantentheorie.'
I m Abschnitt I I I behandle ieh zwei Probleme, die sieh bei der wirklichen Aufs~ellung der ~,.-Invarianten einstellen und
auf Grm~d des Endlichtceitssatzes
gelSst werden k5nnen: DasTypenproblem
und der sogenannteAdjunldionssatz.
Sie sind zum Teile schon in grobem Umrisse formuliert yon F. KLEIN in seinem ,>Erlanger Programm>>. e Er stellt dort die beiden Aufgaben:
I. >)Es ist eine Mannigfattigkeit und in derselben eine Transformations- gruppe gegeben. Man entwielde die auf die Gruppe beziigliche Invariantentheorie.>>
2. ,>Es sei eine Mannigfaltigkeit und zu ihrer Behandlung eine auf sie be- ziigliche Transformationsgruppe gegeben. Es werde das Problem vorgelegt, die in der MannigfMtigkeit enthaltenen Gebilde hinsichtlich eines gegebenen Gebil-
des zu untersuehen.,>
Sie kSnnen, wie wir im folgenden zeigen wollen, fiir das lineare Gebiet
Gn ( ( n -
I)-dimensionMer projektiver Raum), fiir kontinuierliche Gruppen yon linearen homogenen Transformationen in ihm und ~iir algebraische, durch n-itre Formen darstellbare Mannigfaltigkeiten gelSs~ werden.Ist wieder (~,. die gegebene lineare homogene Gruppe des Gebietes n-ter Sbufe G,~, so kommt die erste obiger k u f g a b e n in exakter Formulierung auf lq'ol - gendes hinaus: Gegeben sind eine Reihe (F} = F~, ~ , . . . yon n-gren Grund- formen: es ist ein volles System yon ganzeu und rationalen | der- selben zu ermitteln. W i r werden zeigen, dass dies geschehen kann durch Auf- bau der (~,.-Invarianten aus ,Invarianten-Typen>>, das sind ~t,.-Invarianten yon hSchstens n - - I Linearformen, und dass letzten Endes die Ermittlung dieser In- variantentypen eine Aufgabe der Theorie der projektiven Invarianten
bi~girer
Formen ist.Die zweite der obigen Aufgaben lautet in strenger Fassung wie folgt: I m
G,,
sind neben den Grundformen (F} n-gre Formen ~"stt-'~ = G1, G~, . . . gegeben, welehe die linearen Transformationen einer Gruppe G~ gestatten und bestimmen.1 Dass die (~r-Inv~rianten e[ne endliche Rationalbasis besitzen folgt unabhfingig vom End- lichkeitssatze aus einem Mlgemeinen Theoreme yon E. NOETHEIr GSttinger N~chr. (3 o. Juli I926), S. 29"
F. KLEIN, ~Vergleichende BetrachSungen fiber neuere geometrische F o r s c h u n g e n , , Erl~ngen (I872); wieder ~bgedruckt in M~them. Ann. 43 (I893), S. 6 3 - - I o o .
{~ber die I n v a r i a n t e n y o n l i n e a r e n G r u p p e n . ~235 / t
E s s i n d die | y o n , F J z u e r m i t t e l n . W i r w e r d e n z e i g e n , da.ss h i e r i n a l l g e m e i n s t e r W e i s e d e r >>Adjunkti0nssa.tz>> g i l t : Ma.n e r h i i l t a.lle | d e r G r u n d f o r m e n eF* ~ w e n n m a n d i e p r o j e k t i v e ~ I n v a . r i a . n t e n des v e r e i n i g t e n S y s t e m s
~ . j . ~ G j e r m i t t e l t , die i n d e n K o e f f i z i e n t e n d e r F o r m e n f~'~ ga.nz u n d ra.tiona.1, i n d e n K o e f f i z i e n t e n d e r F o r m e n { G } h i n g e g e n a l g e b r a i s c h s i n &
D e r A d j u n k t i o n s s a t z f i i h r t a.uf b e k a n n t e P r o b l e m e d e r p r o j e k t i v e n Inva.ria.n- t e n t h e o r i e . I s t h i n g e g e n die G r u p p e n i c h t d u r c h i h r e I n v a . r i a . n t e n , s o n d e r n d u r c h i h r e i n f i n i t e s i m a . l e n T r a . n s f o r m a t i o n e n g e g e b e n , so m u s s ma.n e r s t d i e i n d e n b e i d e n e r s t e n A b s c h n i t t e n d a . r g e s t e l l t e n M e t h o d e n a . n w e n d e n u m d i e z u r G r u p p e 6L. g e h 5 r i g e n I n v a . r i a . n t e n t y p e n zu b e r e c h n e n . U n d b i e r 5 f i n e r s i e h ffir d i e I n - v a . r i a . n t e n t h e o r i e d e r l i n e a . r e n G r u p p e n e i n w e i t e s F e l d .
I . w 2.
w 3.
w 4.
w 5.
w 6.
w 7.
w 8.
w 9' I 0 . IX, 1 2 .
w
w I 4 . w I 5 9
w
w I 7 .
w I9.
I n h M t .
A b s e h n i t t I. E i n g l i e d r i g e G r u p p e n .
Seite.
Die JORDANsehe N o r m a l f o r m . ' . . . 236
Die n i c h t - l i n e a r e n N - I n v a r i a n t e n . . . 239
Die R a t i o n a l b a s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
A b s o l u t e u n d r e l a t i v e A - I n v a r i a n t e n . . . 246
M i n i m a l p o l y n o m e D ( A ) . . . 248
A b s c h n i t t II. M e h r g l i e d r i g e G r u p p e n . Die a l l g e m e i n e S t r u k t u r y o n (~ . . . 250
(~(i)-Invarianten . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Die i n f i n i t e s i m a l e n T r a n s f o r m a t i o n e n ~[ . . . 254
Die ~ - I n v a r i a n t e n q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Der {~bergang v o n 63 (0- zu (~5(i-1)-Invarianten . . . . . . . . 259
Beispiel fiir eine auflSsbare G r u p p e . . . . . . 260
A b s o l u t e I n v a r i a n t e n bei a u f l g s b a r e n G r u p p e n . . . 262
E i n f a c h e @ruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Dreigliedrige e i n f a c h e G r u p p e n . . . . . .: . . . . 267
r-gliedrige e i n f a c h e G r u p p e n . . . ' . . . 269
t I a l b - e i n f a c h e G r u p p e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
G r u p p e n m i t ( ~ ' - ~ - ( ~ , die n i c h t h a l b - e i n f a c h s i n d . . . 272
Z u s a m m e n f a s s u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2 0 . 2 1 .
,~ 2 2 .
w
23.2 4 .
w 25.
Abschnitt III. D a s T y p e n p r o b l e m u n d d e r A d j u n k t i o n s s a t z .
Seite.
Die symbolische Methode . . . 276
I n v a r i a n t e n t y p e n . . . 278
Reduktion auf n - - i Punkte . . . 280
Der Adjunktionssatz . . . 282
Bemerkungen zum Adjunktionssatz . . . 286
Beispiele zum Adjunktionssatz . . . 288
E i n e
X l ~ X 2 ~ 9 9 .~ X n
(i)
A B S C H N I T T I.
Eingliedrige Oruppen.
w i. Die Jordansehe Normalform.
eingliedrige G r u p p e l i n e a r e r T r a n s f o r m a t i o n e n in n V e r ~ n d e r l i c h e n is~ d u r c h eine einzelne infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n
O f ak " ~ O f ~
A (f) =3-f~ xk '~ a. xk
O X i i ~ 1 k = l
also d u r c h eine M a t r i x
I[a ll
gegeben. Gilt fiir eine F o r m f ( x ) der x, i d e n t i s c h in diesen V e r g n d e r l i c h e n(2) A ( f ) = a - f ,
so n e n n e n wir f eine A-Invariante.
Zwecks E r m i t t l u n g aller A - I n v a r i a n t e n f ( x ) g e h e n wir v e r m i t t e l s einer l i n e a r e n h o m o g e n e n T r a n s f o r m a t i o n x - ~ S(y) oder xi ~ s~ Yk m i t n i c h t verschwin- d e n d e r D e t e r m i n a n t e Is~l zu n n e u e n V e r ~ n d e r l i c h e n Yl, Y~ .. . . . , y~ fiber. D a b e i wird aus j e d e m f ( x ) ein g(y), aus (2) e n t s t e h t
(3) N(g) =
wobei N(g) gleich dem t r a n s f o r m i e r t e n A ( f ) , also gleich "
(4) Og -k 0 g n~ yk
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen.
__ ki
ist. Start der Matrix A - Ha~l] h a b e n wir d a n n die t r a n s f o r m i e r t e Matrix 237
(5) N = s - ~ A s --114ll mit n ~ i = S~-'~s k ~l m"
W i r wollen n u n S so w~thlen, dass N die sogenannte JORDA~sche Normal- f o r m yon A darstellt. H i e r z u die folgende E r k l ~ r u n g )
Die zur M a t r i x A gehSrige charakteristische Gleichung (6) D e t I~" E - - A I - ( ~ - - ~ , ) ~ ' ( ~ - - ~ ) ~ . . . (Z--X~)v~ = o
(~ # ~), (~ + ~, + + ~ - - . )
habe h versehiedene Eigenwerte oder W u r z e l n ~i u n d zwar Et vl-fach, ~ v2-faeh, ..., gh vh-fach. Fiir die JORDANsche N o r m a l f o r m gilt d a n n erste,ns
(7) I[N][ = IILxl[ + IiL~ll+ "-4-i[L~li,
wobei die )) L~tnder >> Li quadratische lViatrizen m i t v~ Reihen sind u n d die rechte Seite yon (7) a n d e u t e n soll, dass diese L~Lnder l~ngs ihren H a u p t d i a g o n a l e n nach- einander aufgereiht werden. I n [[Ni[ ist d a n n jedes E l e m e n t ausserhalb der L~tn- der gleieh Null, z. B. :
IIxIl =
L i L2
L3
Zweite~s gehSrt zu j e d e m L a n d e L~ m i t vi R e i h e n eine geordnete Folge yon wenigstens einer a n d hSchstens vr ganzen positiven Zahlen dr1, d~2, ...,diet, (I--<Qi--<vi), deren Summe = v ~ ist. Diese >> Feldzahlen ,) bestimmen die er g e l d e r F % , in die das Land Li zerf~llt:
(s) IiLtl = I[F~II + I I ~ ! l + - - +IIF%/I.
Alle Elemente yon Li ausserhalb dieser F e l d e r sind wieder = o.
t Vgl. J. WELLSTE~X, Crelle I63 (I93O), S. I 6 6 - - I 8 2 . Wegen eines Beweises ffir die Trans- formierbarkeit auf die Jordansche Normalform (nach It. WEYL)vgl. z. B. F. KLEIN-BLASCHKE, Vorles. fiber hShere Geom., S a m m h m g Springer Nr. 22. 3" Anti. (I926), S. 388.
E i n F e l d F~ik schliesslich h a t die G e s t a l t
h i I O
o h~ I
~ : 0
0
0 0
0 O
0 0 0
h i I
hi
Z u s a m m e n f a s s e n d h a b e n wir also fiir die J o r d u n s c h e N o r m a l f o r m : _Y h a t in der H a u p t d i a g o n a l e die E i g e n w e r t e hi, u n m i t t e l b a r r e c h t s yon diesen N u l l oder Eins u n d die "Einsen bilden eine R e i h e y o n Einser-Serien, d e r e n L ~ n g e n d u r c h die Z a h l e n ~i,.k-- I g e g e b e n sind; alle a n d e r e n E l e m e n t e in 2V sind ~ u l l .
N a e h (4) h a b e n wir d a n n
(9) N ( y i ) = h~ 9 y j oder : h i 9 ~ } ' J - y j 4 - 1
je n a c h d e m in der j - t e n Zeile y o n 5 r rechts der H a u p t d i a g o n a l e eine N u l l o d e r eine Eins steht. S t e h t eine Null, so zeigt (9), dass y j eine l i n e a r e N - I n v a r i a n t e
m i t dem M u l t i p l i k a t o r h/ darstellt. Es gilt a u c h das U m g e k e h r t e : alle l i n e a r e n N - I n v a r i a n t e n setzen, sich l i n e a r u n d h o m o g e n aus den N - I n v a r i a n t e n y j ~ , ~ . i 2 , . . .
zusammen, die zum selben 3/Iultiplikator hi gehSren. Soll n~mlich
i i
9 7, '
m y~ ~- m y~
eine N - I n v a r i a n t e sein, so muss iY [m~ yi) : ~ T [ ^.'l a . m y~, i . also
m i ( ~ k y i + ~ i y i + l ) = a 9 m y i , d . h . i
(io)
m i . h k + m i - 1 - ~ i - - l ~ c ~ ' m iwerden, wo ce k o n s t a n t ist u n d ei gleich N u l l oder gleich Eins zu setzen ist, je n a c h d e m in der /-ten Zeile y o n N eine Eins s t e h t o d e r nicht. Aus (IO) f o l g t d a n n , d~ss n u r diejenigen, zum selben Multiplik~tor hk g e h S r e n d e n m ~ n i c h t N u l l sein miissen, die zu einer Zeile m i t ei ~ o gehSren..
T r e t e n in tier N o r m a l f o r m keine E i n s e n auf, so ist jedes yi eine N-In- v a r i a n t e u n d die yi bilden also selbst eine endliche I n t e g r i t ~ t s b a s i s fiir alle N - I n - v a r i a n t e n g (y). W e n n in N n u r ein einziger E i n s e r v o r h u n d e n ist, z. B, bei
Uber die Invarianten y o n linearen Gruppen. 239 N ( y ~ ) ~ ~ , t ' y l - t - y , ~ , so bilden y~, y ~ , . . . , yn die I n t e g r i t ~ t s b a s i s fiir alle N - I n - v a r i a n t e n u n d y~ k a n n in k e i n e m g(y) u u f t r e t e n . E r s t y o n zwei E i n s e n an fin- der m a n neue, nicht-lineare -Y-Invarianten g (y).
w 2. Die n i c h t - l i n e a r e n N - I n v a r i a n t e n .
U m diese letzteren zt~ e r m i t t e l n g e h e n wir allgemein aus von einer F o r m p - t e n Grades der y~, y~, . . . , yn
(~ ~) g(y) = z g , , ~ .,~ y~,~ .,~ .... y~n (pi +p~ + + ~ = p )
m i t Koeffizienten gp,~ .... Pn, die wir nns lexikografisch g e o r d n e t d e n k e n : wir s a g e n g~)i~. ) . . . . P?~ ~ gq~q . . . . q n ' wenn beim ersten der n I n d i z e s p a a r e p~ q~, p.~ qe, . . . , p ~ q,~, bei dem n i c h t beide Ziffern gleich sind,p~>q~. Es ist also z. B. g m 9 9 9 >g~s~ 9 9 9 u. s. w. u n d g~oo.., ist der grSsste, goo...p der kleinste Koeffizient~.
W i r b e r e c h n e n N ( g ) = ~'~q n~y~ u n d finden aus (I i):
a iy"
~ ] ' ( g ) = Z { p l gp, p2 .. . p n y P ' - - l ( Z l Y l ' ~ ~ l y 2 ) y p2 9 9 " yPnn'2[- ~O2gp, p:~. . . P n . ~ l :r a,P, ~IP ~--1 9
9 (z~y~ + ~ y ~ ) y ~ y~: + }
P
9 y ~ , - i y ~ + ~ . . . y , ~ } ,
oder, wenn wir d i e innere S u m m e r e c h t s wieder n a c h den t ) o t e n z p r o d u k t e n y ~ , . . , y~, o r d n e n u n d ein gik~.., m i t einem n e g a t i v e n I n d e x gleich N u l l setzen:
y ~ l , y~n + (~) 2 v ( g ) - ~ { ( p l ~ , + p ~ z . ~ + - . + p ~ z , ~ ) . . q ~ ~
P
I-Iieraus e r g e b e n sich die Koeffizienten ~ y o n N ( g ) :
( I 3 ) gP, P . . . . P n = ( ( P l Z t + - ~ 2 ~ ' 2 " z F "'" ~ ~ n Z n ) " g P , P . . . . Pn +-]01~1 "gp,-t-I, P2--1, P . . . . Pn + + P ~ e e " g p , p2+~,p3--1 . . . . Pn + "" " ) wobei wie oben st ~ I oder ~ o ist, je n a c h d e m N in der /-ten Zeile eine Eins h a t oder nicht.
Die durch die Gleichung (I3) dargestellte lineare Transformation der Koef- fizienten gp,~ .... p~ ist wegen
g p l + l , p~-- l, Pa . "'Pn ~ g P l P 2 . . . Pn gp~, p.~+l, Pa--I,P4, . .. Pn ~ gP~Pe " ' ' P n
halbreduziert, das heisst ihre Transformationsmatrix h a t in der Hauptdiagonale iiberall eine Zahl p~Z~ +P2 Z.~+... +p~Z,~ und rechts oberhalb der Hauptdiagonale Nullen stehen. Fiir eine N-Invariante g ( y ) ~ o , bei der . N - ( g ) = g ( y ) : a .g(y) 9 ist, folgt also zun~chst, dass der Multiplikator a die Gestalt
(I4)
h a t u n d dass weiters
a : p , Z 1 § Z.2 § " +iO~ Z,,
Og Og Oq Og _y~ = o
a yk uy,--i
sein muss. Letzteres beweist man wie folgt. W i r teilen die n Vedinderlichen YL, Y 2 , . . . , Y,~ entsprechend den Einserserien und den in der Hauptdiagonale von N allenfalls stehenden Z~, die weder oberhalb noch rechts eine Eins haben, in Abschnitte
Y l , Y 2 , . 9 y ~ § 2'1, z 2 , . . . , 2',-t-1; . . . ( # ~ o , ~ ~> o , . . . ) .
Eine N-Invariante g(y) geht dunn fiber in ein Polynom G(y, z , . . . ) , das wir in eindeutiger Weise in G = G l § G 2 § so zerlegen, dass G 1 homogen vom Grade p' in den y, homogen vom Grade q' in den z , . . . ; da,ss G 2 homogen vom Grade p "
in den y, homogen vom Grade q" in den z , . . . ; u . s . w , wird. Diese Zerlegung sei angedeutet durch
p ' q' p " q,,
G---- GI(y, z, ...) + 62(y, z, ...) + . . . .
Keine zwei der Zahlenfolgen to', q', . . . ; p " , q", . . . ; . . . sind dann identisch.
Aus N ( G ) = a. G folgt dann, dass dieselbe Gleiehung fiir jedes Gi gilt:
N(Gi) = a " Gi,
d . h . wir kSnnen yon vorneherein amlehmen, dass g homogen vom Grade p in
Uber die I n v a r i a t e n yon linearen Gruppen. 241 d e n y, h o m o g e n v o m G r a d e q in d e n z , . . . ist. G e h S r t d a n n Zl zu den y, ~ zu d e n z , . . . (es k a n n a u c h At = Z~ sein), so g i b t
N ( g ) = e . g :
~T(g)=r162 . g : (p~l +q)~,2+ ...) g + Z ~ j i s i Y i+1 + Z Og
~ ' q ~k,~k-I-l+ "'"OZk
H i e r a u s ergib~ sich d a n n w e g e n
a : p ~ l + q ~ + ...
die G l e i c h u n g (I5).U m g e k e h r t ist (IS) a u c h h i n r e i c h e n d fiir die N - I n v a r i a n z v o n
g(y).
B e z e i c h n e n w i r j e t z t die y~, die z u r e r s t e n E i n s e r s e r i e gehSren, m i t Yl, Y2. - ' , y~+l, die zur z w e i t e n E i n s e r s e r i e g e h 5 r i g e n m i t z~, z ~ , . . . , z~+~ u. s. f., so k5n- n e n w i r a n Stelle y o n (I5) a u c h s c h r e i b e n
(I6)
( O.q O.q Og )
oder, w e n n ~ die S u m m a t i o n fiber alle v e r s c h i e d e n e n E i n s e r s e r i e n b e d e u t e t : 8
y ~ + - - - + . . - § =
Oy y ~ ~yt y~+~ o.
8
Diese D i f f d r e n t i a l g l e i c h u n g ist a b e r n i c h t s a n d e r e s als die c h a r a k t e r i s t i s c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
fiir Semi-Invarianten bin&'er 1;'ormen ~
(,:) (:)
(18;
Eine Integrit~tsbasis ffir alle N-]~nvarianten ,q (y) - - und damit aueh ffir alle A - I n v a r i a n t e n
f(x) - -
w i r d also g e g e b e n d u r c hein volles System von Semi- invarianten dieser binSren Formen
(~8). D i e G r a d e dieser l e t z t e r e n sind d u r c h die A n z a h l der E i n s e n in d e n v e r s c h i e d e n E i n s e r s e r i e n s fes~geleg~.Vgl. z. B. E. B. ELLIOT, Algebra of Qu~ntics, Oxford (x895), S. II2 ft. (,,Annihilator,, O, der die * Anti-Semiinvari~nten* ch~rakterisiert). Hierzu auch L. MAVRER, Miinchener Ber. 29 (I899), S. 152.
3 l - 31356. Acta mathematica. 58. Imprim6 le 11 f6vrier 1932.
Die Semiinvurianten sind projeld~ive Invuri~nten der Grundformen, zu de- nen noch eine spezielle Line~rform hinzu genommen wird (hier ~.2). ~r erh~lt ulso die Endlichkei~ fiir die Semiinwri~nten uus der fiir die projektiven In- variunten und die Semiinv~ri~nten selbst finder m~n, indem m~n ulle Komit~nte~
(In- und K o w r l a n t e n ) der Grundformen (~8) ~ufsucht und in den Kovuriunten
~ , ~,, durch o, ~ ersetzL
w 3. Die Rationalbasis.
D~ die Aufstellung voller Systeme yon Semiinv~riunten bei li~ngeren Ein- serserien eine reichlich komplizierte S~che sein kunn, wollen wit uuch eine Ra- tional-Basis fiir alle N-[nvuri~nten g (y) ermitteln, hier lassen sich ni~mlich die Basisinwriunten explicite angeben.
Sei zuniichst eine" einzige Einserserie mit den d~zu gehSrigen Ver~nder- lichen Yl, Y~, . . . , Y,,~, Y~+I gegeben. D~nn huben wir die Differenti~lgleichung
Og 00~ ~ ~-~ y~ Oq
( I 9 ) Cgy l y ~ - b + ' " § ~)~ y , + l = O ,
die leicht uuf die gewShnliche Weise zu integrieren ist und die tt unubh~ngigen Integr~le liefert:
I 2 C] (y) - - Y , - 1 yl,-~ l - - 2 yt~
C 3 (y) = y [ t - 2 ~ + 1 - - y , t - 1 Y , Yt~-~.l + I y~
(2o) 3
. . . . . . . . . , .
I __ I
I . ~--2 f t - I #
-~ ( - - I ) / ~ ( ~ _ _ 2 i ! Y / t Y l t - - l Y l t-b1 - - ( - - I ) ~ f - - y / ~ .
Fiir C.~ h~ben wir neben (2I) C ~ = - . ~ ~ . ~ - ~ - - I
r!
m--2
y~y~-m+2 y~+~ ~ .. . .
_~ ( _ _ i ) m I . . . 2.. 1"" ( _ _ I ) m ~ y / - I m ( m - 2 ) ! ~" Y ' - ~ + ~ - - . ~ Y" "
Erber die Invarianten yon linearen Gruppen. 243"
die Rekursionsformel
( 2 2 ) C m = ~ ~ . m - - 1 I I
I I m
- -
{ m -
Jedes rationale I n t e g r a l von (I9) ist d a n n ein P o l y n o m der
C,~(y}
yon (2o),geteilb durch eine Po{enz yon y , + l .
A n a l o g fiir eine zweite Einserserie yon v Einsen u n d den dazu gehSrigen Variabeln &, z ~ , . . . , z,, z~+l. H i e r t r i t t d a n n neben die P o l y n o m e
{'~11 (2') --- Zvq-1
I C~ (z) ~ z~,-12%,+1 . . . . z,~
2
{v ~ - I g~
~'1Z,v+ 1 i ! Z" Z2 ~+1
noch die N - I n v a r i a n t e
(z3) A ~ = y , z~+~ - - y,+~ z~
u n d d~sselbe gil~ ffir alle weiteren Einserserien.
So ergibt sich im allgemeinsten Falle das Resulta~, dass jede rationale s
g(y, z,...)
ein Bruch is~, in dessert Z~hler ein P o l y n o m der C~(y), C , ~ ( z ) , . . . , /t12, His, H'a~, .. 9 steht u n d dessen N e n n e r yon einem P o t e n z p r o d u k t e~ gebildet wird.
Y ~ + l Z ~ + I 9 ' "
w 4. Beispiele.
Zur VerdeuHichung des Obigen seien einige einfache Beispiele besprochen.
I. Sei n = 4. D a n n h a b e n wir die folgenden tiinf nicht-gquivalenten Ty- pen yon N o r m a l f o r m e n :
~2
&
I
11 I
Bei Ta sind alle vier Yi selbst N - [ n v a r i a n t e n ; bei T 2 n u r y~, Ys u n d Y4;
bei Ts h a b e n w i t zwei E i n s e r s e r i e n yon je e i n e r Eins, also n a c h (I8) die beiden binfiren L i n e a r f o r m e n
qJu-- a ~ - yj~l +y2~-~
cf~ = fl~ = z, ~ + z~ ~., = y.~~ + y~ ~_~.
I h r e S e m i i n v a r i a n t e n sind also y.~, y~ u n d (aft) --- y~ y~ --- Y2 Ya u n d diese drei Poly- h o m e bilden die I n t e g r i t ~ t s b a s i s fiir diesen Fall.
Bei T~ e r g e b e n sich n e b e n y~ aus der bin~il'en q u a d r a t i s c h e n F o r m
2
zun~chst d e r e n S e m i i n v a r i a n t e n
a~ (aft)'-'
u n d aus diesen die N - I n v a r i a n t e n YsI 2
u . d .v~ us - - ~ y : (vgl. (2o)).
B e i T~ schliesslich h a b e n wir Y4 u n d die bin~re kubische F o r m
~Y a~ ~ I 3 2
D e r e n S e m i i n v a r i a n t e n sind
ct~, (afl)2 ct~fl~, (afl)~ (za) fl~7~
u n d(a fl)" (76)" (a6) (f17);
sie l i e f e r n (vgl. (20)) n e b e n y~ die N - I n v a r i a n t e n
I 2
c'~(u) --- u.~ .us - 2 u,
Ca(Y) = Y l f f ] - - Y ~ Y a Y 4 + I s
3 y.~
D ( y ) = - - is.u,u.~usU~ + ~/lu~ + 9:,;, u~ + s;/~ y , - - 3 v~:u~.
Dies ist die Integriti~tsbasis fiir alle g (Y); Y4, C2 (y) u n d G~ (y) bilden die Ratio- nalbasis. W i r h a b e n in der Ta~ 1
= - - - ( 8 C ~ + 9C~).
D ( y ) u]
i u F~I,LIOT, ]. C. S. 219.
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen.
2. Sei n = 8 u n d N die M a t r i x
N =
~3 I
~L~ I
245
W i r h a b e n h i e r also drei L~tnder m i t je einem F e l d u n d im g a n z e n zwei Einser- serien. Fiir die N - I n v a r i a n t e n g (y) e r h a l t e n wir die R a t i o n a l b a s i s
Y4, Ys, Ys.= za, ~/1~ = Y3 z8 - - Y~ z2 = ya Ys ~ Y4 Y7 I ~., C3 (~]) Yl Y~ - - -~- I a
n n d als N e n n e r t r e t e n n u r P o t e n z p r o d u k t e y ~ z ~ - - Y4 Y8 auf. ~
Die Bes~immung einer Integriti~tsbasis fiir die N - I n v a r i a n t e n g (y) e r f o r d e r t die B e r e c h n u n g eines vollen Systems yon S e m i i n v a r i a n t e n einer bini~ren ku- bischen F o r m
~0 3 = 6 f f l ' ~ -~ 6 Y 2 ' ~, ~2 -~- 3 Y3 ~ ~] + Y~ ~8~
u n d einer biniiren q u a d r a t i s c h e n F o r m
~ = 2 y ~ . g~ + 2 y < ~1 g~ * y ~ . g~.
M a n h a t also ein volles S y s t e m y o n p r o j e k t i v e n I n v a r i a n t e n yon ~03 u n d ~v,~ aufzu- s~ellen u n d in den K o v a r i a n t e n ~1, ~ d u r c h o, I zu ersetzen. Es e r g e b e n sich so I5 I n v a r i a n t e n l ; also en~hiflt die g e s u c h t e Integritiitsbasis, da n o c h Y5 m i t zu ziihlen ist, i6 I n v a r i a n t e n .
Vgl. GORDAN-KERSCHENSTEINER, Vorlesungen tiber I n v a r i a n t e n t h e o r i e II, Leipzig (I887), S. 323 .
w 5. A b s o l u t e u n d r e l a t i v e A - I n v a r i a n t e n .
W i r sehreiben j e t z t w i e d e r x start y u n d es sei die F o r m f ( x ) e i n e A- I n v a r i a n t e m i t d e m M u l t i p l i k a t o r al:
(2) A (.f) - - c~. f .
W a n n G e s t a l t h a t
gibt es absolute A - I n v a r i a n t e n ? W i r wissen n a c h (I4), dass a die
a = p ~ h 1 + p ~ h ~ + " + p ~ h , ~
Wo die pi ganze Zahlen _-->o u n d die hi die W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g ] h E - - A ] = o sin& N o t w e n d i g fiir die E x i s t e n z y o n a b s o l u t e n I n v a r i a n t e n (a ~ - o ) ist also das B e s t e h e n e i n e r positiv-ganzzahligen R e l a t i o n
(24) Pl hi + P2 h.2 4 "'" +pn h,~ = O.
U n d dies ist a u c h h i n r e i c h e n d , d e n n es gibt n a c h (IO) zu j e d e m hi w e n i g s t e u s eine lineare I n v a r i a n t e L i u n d n a c h (24) ist also L ~ ' L ~ . . . LhPh eine absolute A - I n v a r i a n t e . F e r n e r : es gibt n u r relative, ganze, r a t i o n a l e I n v a r i a n t e n , w e n n keine G l e i c h u n g (24) mSglich ist, u n d es gibt n u r absolute I n v a r i a n t e n , w e n n alle ~x ~ o sind.
J e t z t seien f + const., f l , ~ , . . . f ~ A - I n v a r i a n t e n m i t den M u l t i p l i k a t o r e n a, al, a ~ , . . . , a ~ . D a n n gilt der
Satz 1: I s t
(25) f = f l + f2 + " " + f~,
so kSnnen rechts alle f i weggelassen werden, bei denen c~i @ ce ist.
alle ai 4 a, so f o l g t f=-- o { x } . '~
S i n d also z. B.
Beweis. Es seien a~, c~, . . . , ar die u n t e r e i n a n d e r u n d y o n a v e r s c h i e d e n e n M u l t i p l i k a t o r e n der R e i h e %, % , . . . , a~. W i r bilden den O p e r a t o r
(A) = ( A - - iE)(A - - ( A - - E ) ;
1 L. )/[AuRER, 1. C. S. I54 nennt bei einem reguliiren A (f) zweiter Art eine relative Invari- ante f eine ,,ausgezeichnete Funktion,, und die g~nze Zahl s~ in (2) ihren ,,Index,,.
Hierzu tI, WE~ZL, Mathem. Zeitschr. 23 (I925) S. 277.
(Iber die I n v a r i a n t e n von linearen Gruppen. 2 4 7 w e n d e n w i r i h n a u f (25) an, so e n s t e h t r e c h t e r H a n d N u l l u n d links
f . 9 ~(c~) = (c~ - - cei) (a - - c~k)... (~ - - (~r)" f ,
wir wiirden also f = o b e k o m m e n , w e n n ein m" y o n ~ v e r s e h i e d e n wgre, g e g e n u n s e r e V o r a u s s e t z u n g f q= eonst.
Satz I gilt in d e r s e l b e n Weise, w e n n A ( f ) d u r e h eine beliebige T r a n s - f o r m a t i o n X einer G r u p p e ~ e r s e t z t w i r d u n d f sowie die f i | sind.
Es g i l t w e i t e r s der
S a t z 2. Aueh die absoluten A-Tnvarianten F ( x ) bilden einen endliehen s
tegri tdtsbereich. 1
B e w e i s . D i e a b s o l u t e n A - I n v a r i a n t e n F ( x ) sind n g m l i c h P o l y n o m e P ( f . ) a b s o l u t e r u n d r e l a t i v e r A - I n v a r i a n t e n 3~(x) m i t A ( F ) - ~ o . N a c h d e m H I L - nE~Tschen B a s i s s a t z lassen sich aus allen /;' eine endliche A n z a h l 1~, F 2 , . . . , 2~m so auswghlen, (lass jede a b s o l u t e A - I n v a r i a n t e T ' in der G e s t a l t
.(26) ~ ' = /~'1 " G ~ ( f ) + !~' 2 9 G 2 ( f ) ~ + ~ " G,,~(f)
g e s c h r i e b e n w e r d e n k a n n , wo die Gj ( f ) wieder P o l y n o m e der .1~, also e n t w e d e r selbst A - I n v a r i a n t e n o d e r S u m m e n solcher sin& W e n d e n w i r also S a t z I a n a u f die G l e i c h u n g (26), so f o l g t A ( G j ) = o, d . h . die Gj k S n n e n so g e w g h l t wer- den, dass sie a u c h a b s o l u t e A - I n v a r i a n t e n sind, w o d u r c h S a t z 2 b e w i e s e n ist.
Zu j e d e r u b s o l u t e n A - I n v a r i a n t e F ( x ) g e h 5 r t , w e n n sie als P o l y n o m d e r r e l a t i v e n I n v a r i u n t e n d a r g e s t e l l t w i r d - - w i r setzen j e t z t voruus, duss es solche g i b t - - n u c h (24) eine v e r s c h w i n d e n d e L i n e a r f o r m d e r s m i t g a n z z a h l i g e n Koeffi- z i e n t e n pi-->--o u n d u m g e k e h r t . D e r I n h u l t des Satzes 2 k a n n d a n n a u c h wie f o l g t f o r m u l i e r t w e r d e n :
S a t z 3. Gegeben n komplexe Zahlen ~,, ~ , . . . , ~,~. A u s der Gesamtheit der Gleiehungen P =29, ~ +P2 ~2 + " +29n ~n -~ 0 m i t ganzen p~ >= o ldsst sich eine end- liche A n z a h l 1)1, 1)2, . . . , P~** derart auswdhlen, dass jedes P in der Gestalt
P = gl -Pl + g~ P~ + "'" + gm Pm m i t ganzen g~ >= o dargestellt werden kann. ~
L L. MAURER, 1. c. S. I62.
2 Dies ist ein spezieller Fall eines allgemeinen Satzes tiber Linearformen yon J. G. VAN
DER CORPUT; vgl. Proceed. Akad. yon Wetensch. Amsterdam 34 (I93I), S. 372--382. Vgl. such A. OSTROWSKI, Math. Ann. 78 (I918), S. 98 und 8I (I92o), S. 22.
Schliesslich k S n n e n wir die E n d l i e h k e i t der A - I n v a r i a n t e n n o e h wie f o l g t f o r m u l i e r e n als
k O f Bat~. 4: Alle ganzen rationalen Integrale der Differentialgleichung a t Xk O x t
o f
~: xk = o bilden -= a . f oder auch die der homogenen Differentialgleichu~g a t O~x,.
ellen e~dlichen I~tegrith'tsbereich.
Es sei h i e r n o c h auf den U n t e r s c h i e d h i n g e w i e s e n zwischen A - I n v a r i a n t e n f ( x ) u n d den I n v a r i a n t e n g (x) bei der einzelnen e,~,dlichen linearen Transforma-
O f
tion A." fiir e r s t e r e h a b e n w i t A ( f ) = a~ xk :~x i : c~ . f , fiir letztere h i n g e g e n g (~i) = g (a~ xk) -~ te " g (xt). Diese l e t z t e r e n F o r m e n g (x) bilden im a l l g e m e i n e n keinen endlichen I, ntegrith'tsbereich. D e n n w e n n wir die M a t r i x I! a~![ w i e d e r a u f ' die J o r d a n s c h e N o r m a l f o r m t r a n s f o r m i e r e n , so gibt es zu j e d e r W u r z e l s we- nigstens eine l i n e a r e I n v a r i a n t e yt, wofiir also akiYk = Zi yi ist. I s t n u n ~ = o, so gilt fiir jedes P o l y n o m g ( y ) = yt" P(y), wo P ( y ) beliebig, g (~))~ o, d . h . jedes solche g(y) ist eine I n v a r i ~ n t e bei der e n d l i c h e n T r a n s f o r m a t i o n A u n d e s existier~ h i e r k e i n e endliche Integritiitsbasis. ~
w 6. l l l i n i m a l p o l y n o m e D (A).
Sei f ( x ) ~ eonst, eine F o r m p-ten G r a d e s der n V e r ~ n d e r l i e h e n x l , x~, . . . ,
9 k O'f
x,~, n i c h t n o t w e n d i g eine A - I n v a r i a n t e . A ( f ) a~ xk ~ ist d a n n wieder eine
x i
F o r m der xt, yore selben G r a d e wie f o d e r = o . E b e n s o A ~ ( f ) = A ( A ( f ) ) , A 3 ( 2 f ) , . . . . D a es n u r endlich-viele linear-unabhiingige P o l y n o m e v o m G r a d e - p in den xi gibt, muss zu j e d e m f ( x ) m i t k l e i n s t e m m >--o ein >>Minimal~olynom>>
Dm+I(A) d e r G e s t a l t
[Dm+~ (A) = A m+~ + d~ A m + d~ A? n-1 + ... + d m A + d~+~ =
(27) 1 - (A - - 1)(A - - ( A - -
existieren, d e r a r t , dass
(28) Dm+l (d) ( f ) ---- o {x~}
l I n v a r i a n t e n b e i e i n e r e i n z e l n e n e n d l i c h e n T r a n s f o r m a t i o n A b e h a n d e l t 1t. HILTON, Proc.
L o n d o n M a t . Soc. IO (I9O2), S. 4 2 3 - - 4 4 5 u n d II (I912), S. 9 6 - - I O 3 .
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen. 249 gil~. I s t
f ( x )
eine A - I n v u r i a n t e m i t d e m M u l t i p l i k a t o r a, so ist bereits ( A - - a ) . ( f ) = o, also m : o u n d I)m+l(A) = Da (A) = A - - ~. U n d u m g e k e h r t ist fiir m = o f eine A - I n v a r i a n t e .u diesen M i n i m a l p o l y n o m e n gilt der
S a t z 5:
Zu jedem f(x)=~ const, gibt es ein einziges Minimalpolynom Dm+~(A).
Lvt P(A)=Vconst. ein Polynom in A und verschwindet P(A)(f),
so istP(A) dutch
Dm+i(A)teilbar.
Beweis. D e r erste Tell des Satzes f o l g t aus der M i n i m a l e i g e n s c h a f t u n d aus (27); d e n n hiitten
D:,+~(A)
u n d / ) ~ + I ( A ) die E i g e n s c h a f t (28), so w a r a e ihre Differenz ein kleineres m ergeben. Z u m Beweise des zweiten Teiles dividie- r e n wir B ( A ) m i t D.,+~(A):P (A) = Q (A). D~+~ (d) + B (A),
wo
B(A)
hSchstens v o m m-ten G r a d e in A ist. S c h r e i b e n wir r e c h t s yon allen G l i e d e r n der letzten G l e i c h u n g f , so f o l g t R ( A ) ( f ) = o, also R (X)---o fiir alle X, w . z . b . w .Es seien j e t z t f l , f ~ , . . . , d ~ A - I n v a r i a n t e n m i t d e n M u l t i p l i k a t o r e n ai, also
A - ( x )
u n d w e i t e r ( P ( f ) ein P o l y n o m dieser f~. q) ist i. a. n i c h t w i e d e r eine A-In- variante. W i r bilden das zu @ ( f ) g e h 5 r i g e M i n i m a l p o l y n o m
D~+~(A)
u n d be- weisen hieriiber denSatz 6:
Die Gleichung D,~+~(X)= o hat nur eiufache Wurzeln.
Sei n~mlich q) als P o l y n o m d e r ~ ausgeschrieben, m i t K o e f f i z i e n t e n @p,p .... pj (29) @ = Z
q)p:p:~...pj . f ~ f ~ . . . f j P j .
W i r h a b e n d a n n :
(3o)
A ( (D) = ~ (~)p,p . . . . pj ( ~ l ~ + ~)~ (%.2 + " " " + ~ j (%j) fPl i f p~ . . . f jPJ
- - . . . . + . . Y ? J
D,~+I(A) e n t s t e h t aus (29) u n d (30) d u r c h E l i m i n a t i o n der P r o d u k t e @p .. . . pj.
9 f p l . . , f f j . B e z e i c h n e n wir also m i t di, d.a . . . . , dm+i die u n t e r e i n a n d e r verschie- d e n e n W e r t e y o n
Pl ~1 +P,~ a . 2 + + P j a j
in den G l e i c h u n g e n (30), so w i r d32--31356. Acta mathematica. 58. I m p r i m 6 le 12 f6vrier 1932.
u n d h i e r a u s
D~+~(A)(qJ)=
(/) I . . . . . . . . . . I
A (m) d, . . . d,,+~
2 2
A 2 ( ~ ) dt . . . ~ m + l
Am+l ( ~ ) (~lm+l (~ra+l
. . . m + 1
~ - O .
D m + l ( A ) = (A - - (~1)(A--(~2) . . . (A - - dm+~) 9 H ( & - - &), w o r a u s w e g e n d~4dk S a t z 6 folg~.
I s t q) s e l b s t w i e d e r A - I n v a r i a n t e , so w i r d m = I u n d dl = P l al + . . + pj aj h a t ffir alle E x p o n e n t e n s y s t e m e p~ d e n s e l b e n W e r t .
A B S C H N I T T I I .
J e t z t sei
w
Mehrgliedrige Gruppen.
Die allgemeine Struktur yon |
(~) = G1, G~, . . . , G r ( r > I )
e i n e r - g l i e d r i g e k o n t i n u i e r l i e h e G r u p p e h o m o g e n e r l i n e a r e r T r a n s f o r m a t i o n e n in n V e r i ~ n d e r l i c h e n x l , x , ~ , . . . , x,, u n d e r z e u g t d u r c h die r l i n e a r - u n a b h i i n g i g e n ( m i t k o n s t a n t e n K o e f f i z i e n t e n ! ) i n f i n i t e s i m a l e n T r a n s f o r m a t i o n e n
(i)
O f k O f b ~ x k , . . .G1 = A ( f ) = --Oxi a.z Xk, G 2 = B ( f ) =
(fiber i u n d k w i r d y o n I bis n s u m m i e r t ) .
I s t ~ = G i, G ~ . , . . . , Gj ein T e i l s y s t e m y o n ~ , ffir w e l c h e s alle K l a m m e r - a u s d r f i c k e
[Gi ek] = I'~k e l (i, k = i , 2, . . . , j )
w i e d e r n u r d u r c h G1, G ~ , . . . , Gj a l l e i n a u s d r i i c k b a r sind, so i s t ~ e i n e Unter- gruppe y o n (~. G i l t ffir j e d e s G,~ a u s ( ~ ( m ~ I, 2, . . . , r):
(2) [G~G,~]=F~mG~+F],,~Ge+ ' " + F J m G i ( i = I, 2, . . . , j ) , so h e i s s t ~ eine invariante o d e r ausgezeichnete Untergruppe (Normalteiler) y o n |
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen. 251 H a t | ausser sich selbst u n d der Identit~tt o keinen Normalteiler, ist also ohne >>eigentlichen>> Normalteiler, so heisst |
einfach.
Einfache, n i c h t ein-glied- rige G r u p p e n h a b e n wenigstens die O r d n u n g drei.Die G e s a m t h e i t der K l a m m e r a u s d r i i c k e [G~ G~.] (i, /c : I, 2, . . . , r) bilden einen l~lormalteiler | yon (~; er wird die (erste)
Ableitung
yon (~ g e n a n n t . En- digt die Reihe der A b l e i t u n g e n @, (~', | ...,.(~(8-1), | mit | o, d a n n sind alle infinitesimalen T r u n s f o r m u t i o n e n yon (~(~-1) u n t e r e i n ~ n d e r vertauschbar,| ist also ein AB~.Lscher N o r m a l t e i l e r yon | (~ heisst d a n n
autiSm'bar
oderintegrabel.
Enthiilt eine Gruppe (~ k e i n e a
auflb'sbaren
Normalteiler, so heisst siehalb- eiufach.
J e d e ha!b-einfache Gruppe ~ ist als direktes P r o d u k t ~1, ~_~ . . . . ,@m(mHI) yon einfachen Gruppen darstellbarl: ist
Ei
aus @i, /~k aus ~k, so gilt fiir i ~ ]c stets [El Ek] =O.
W i r werden in diesem ~ von einer Gruppe (~ ausgehen, bei der die Reihe der Ableitungen m i t (~j(8)(s H I) abbricht, wo also | . . . . ist. I s t
| so ist | auflSsbar; ist | so stellt (~(~) eine Gruppe dar, die m i t ihrer A b l e i t u n g zusammenfiillt. Letzteres ist z.B. bei allen halb-einfachen Grup- p e n der Fall; es gibt a b e t a u c h nieht-h~lb-einfache Gruppen m i t dieser Eigen- schaft.
l~ehmen wir d a n n eine Basis (I) ffir | so an, dass in ihr die infinitesi- malen T r a n s f o r m a t i o n e n yon | e n t h a l t e n sind, so haben wir folgendes Schema:
(3)
@' - - e:~ , G~ . . . ~' Gh,; |
I | = G~ ~), G~),. . . .
G(~; |(~(~) ~ ~(~)
I-Iierbei ist h > hi > h~... > h8-1 > h8 = o.
I s t ferner
X (i-1)
eine willkiirliche infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n yon (~(i-1) u n d X (i) aus (~(i), so ist [X (*-1) X(')] entweder l~ull oder wieder in | e n t h a l t e n . W i r setzen h H I voraus; die G r u p p e n | m i t @3'---| werden wir spgter behandeln.l Vgl. E. CARTA~, Th~se, Paris (1894), S. 53.
w 8. |
Eine F o r m
F(x)
der Ver~nderlichen xi, fiir die identisch in allen x~. die r Gleichungen geltenA (~') = a . 1~', B (F) = fl- 1~', . . . , heisst (~-Invariante.
W i r werden die E n d l i c h k e i t der ~ - I n v a r i a n t e n schrittweise beweisen. I s t (~ nich~ selbs~ anfl5sbar, so werden wir voraussetzen,
dass die Endlichkeit der (~(~)-Invariante~ feststeht und dass wir eine IntegritStsbasis der ~(~)-Invarianten kennen.
Von diesen a u s g e h e n d werden w i t die E n d l i c h k e i t der |ten, d a n n die der ~3(~-2)-Invarianten u. s.f. bis zu den | selbst be- weisen. I s t dagegen (~(s)- o, also (~ selbst auflSsbar, so n e h m e n wir eine be- liebige infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n X(h~-l) yon (~(~-1) u n d suchen deren In- varianten; die E n d l i c h k e i t dieser X~-~}-Invarianten s t e h t n a c h A b s c h n i t t I lest.
I s t h~-i > ~ so n e h m e n wir eine zweite infinitesimMe T r a n s f o r m a t i o n X (~'-:)
h s__ 1 --1
u n d b e s t i m m e n die P o l y n o m e der x~, die bei X~[~_~_~ u n d X~ -~).~_~ i n v a r i a n t sind.
Dies wird solange fortgesetzt, bls wir die | haben. Von diesen k o m m e n wir d a n n wieder zu den (~(~-2)-Invarianten u. s. f. bis zu den ~ - I n v a r i a n - ten. Es eriibrigt sich d a n n n o c h die Fi~lle ( ~ - ~ ~ halb-einfache Gruppe u n d (~ ~ ~ , ( ~ ' = (~j zu behandeln. W i r werden sehen, dass der Endlichkeitsbeweis fiir diese F~lle a u f ganz ~hnliche Weise, wie eben geschildert, geliefert werden k a n n durch A u f b a u e n yon ~ aus einfachen Gruppen ~i.
Es s e i f eine @(i)-Invariante, also X (f) -- ~ . f fiir jede infinitesimale Trans- f o r m a t i o n X aus ~(i) a n d A sei eine infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n aus (~(i-1), aber nicht auch yon | Es ist d a n n
[AX]
wieder in (~(i) e n t h a l t e n oder ver- schwindet. W i r beweisen jetzt denSatz:
Ist f eine | so auch A (f).
Beweis~: Die m + I F o r m e n der linearen F o r m e n s c h a a r S~+~
(4) A ~ A ( f ) = f ' ,
A ( f ' ) = A ~ ( f ) = f '', . . . , A'~(f)=f('~)
seien linear nnabhi/ngig, f ( ~ + ~ ) = A ~+~ (f) d a g e g e n linear-abhi~ngig yon den For- m e n (4). I s t A ( f ) = o oder = a . f , so ist niehts m e h r zu beweisen; wir kSn-
Vgl. dell y o n I t . WEYI, g e g e b e n e n B e w e i s d e s L I E s c h e n T h e o r e m s fiber d i e E x i s t e n z y o n I n v a r i a n t e n b e i a u f l S s b a r e n G r u p p e n : M a t h e m . Z e i t s c h r . 24 (I925) , S. 375.
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen. 253 hen also m~--I voraussetzen. Jedes
f(m+k):A'*+k(f)
(k--I, 2, ...) ist dann linear- homogen durch die Formen der Schaar S~+l auszudriicken: S~+i bleibt also als (m + I)-dimensionaler Raum bei der Operation A invariant. W i r wollen zeigen, dass S~+~ such bei ]eder Operation X, X', X", . . . yon | inv~riant bleibt.Zun~chst ist, da f eine |
(5) x(/)=~./, x ' ( f ) = g ' . Z x " ( f ) = g " . f , . . . ;
dann:
x (f') = X A (I) = [XA] (f) + A X ( / ) : X'(f) + ~ . A(f),
da [XA] = X'
wieder in ~(i) liegt; also wird(6) X (f') = ~'. f + g. f ' .
Welters, in derselben Weise:
X ( f " ) = X A (f') = [XA] (f') + A X ( f ' ) = X ' ( f ) + A X ( f ' ) ,
also, daX ' ( f ' ) = X ' A ( f ) = [ X ' A ] ( f ) + A X ' ( f ) = X " ( f ) + ~'. A ( f ) = ~" . f + ~' . f '
ist und X ( f ' ) aus (6) entnommen werden kann:X ( f " ) = f ' . f + f . f ' + A ( f . f + ~ . f ' ) = ~" .f+~' .f+~' " f +~.f",
(7) x ( f " ) = E' . f + 2 ~' . f ' + ~ . f " .(s)
d.h.
Allgemein hat nlan bei X die folgende Transformation des Raumes Sm+l:
I X ( f ) = - ~ . f
X ( f ' ) = ~ ' . f -+-~. f '
| X(f") --f'./+2~'.f'+~.f"
X (f(m)) __ ~(.~). f + . . . § ~. f(m).
Diese Gleichungen stellen eine line,re Transformation X des Ruumes S~+l dar, deren Spur = ( m + I).~ ist, wobei nach (5) ~ der z u f g e h S r i g e Multiplikator yon X war. Die S~+i-Transformationen
X ' , X " , ...
haben also die Spuren(m + 1) 9 ~', (m + I) 9 ~", ....
Nun ist aber A ebenfalls eine lineare S,~+l-Trans- formation und es warX ' = [XA]
gesetzt; duher: Spur yon X ' ~ S p u r yon[XA] -- X A - - A X ,
also = Null, also ~ ' - - o. U n d ebenso sehliesst m a n ~"-~- . . . .= ~ ( m ) ~ O, SO dass (8) i i b e r g e h t in
X (f(k)) = ~. f(k).
Also ist i n s b e s o n d e r e
X ( f ' ) = X A ( f ) = ~ . f ' = g . A ( f ) , d.h.
(9)
X A ( f ) = X(f) = A ( f ) .A ( f ) ist also so wie f selbst eine | w. z. b. w.
M a n sieht sofort, dass obiger Satz fiir jede G r u p p e u n d a l l g e m e i n e r fiir jede M e n g e infinitesimaler T r a n s f o r m a t i o n e n ~ = X1, X ~ , . . . u n d eine ausser- halb ~ liegende infinitesimule T r a n s f o r m a t i o n A gilt, w e n n n u r jedes
[AXi]
wieder zu ~ g e h 5 r t : fiir jede ~ - I n v a r i u n t e f i s t auch A ( f ) eine ~ - I n v a r i a n t e .
w 9. Die infinitesimale Transformation ?/.
W i r setzen j e t z t voraus, dass wir ein kleinstes volles S y s t e m
z = { / . ) = A , A , . . . , f.
yon (~(~)-Invarianten kennen, f i sei eine dieser Basisinvarianten u n d v o m Grade p~ in den xi. Es gibt zu j e d e m G r a d e p~ n u r endlich-viele
linear-unabh~ngige
(~(~)-Invarianten f~, f ~ , J~', . . . . N e h m e n wir diese fiir jedes v = I, 2, 3, . . . , s zum S y s t e m e ~ hinzu, so e n t s t e h t wieder ein endliches S y s t e m(II) *~,'=
(f~, t~, d'<:',...}yon
untereinander linear-unabhh'ngigen
F o r m e n u n d jede (~(i)-Invariante ist ganz u n d r a t i o n a l d u r c h die F o r m e n aus ~' darstellbar. I n 2 ' w e r d e n aber, was bei n i c h t der Fall ist, im allgemeinen F o r m e nf(x)
v o r h a n d e n sein, die g~nz u n d r a t i o n a l - - aber n i c h t l i n e a r - - d u r e h a n d e r e I n v a r i a n t e n y o n 2 ' a u s g e d r i i c k t w e r d e n kSnnen. Is~ z. B.so l a u t e t ~':
~ , ~ X 1, X 2; X,~X 4 3 V x 5 x 6,
x~, x~; x~l, xl x~, x~, x3 x4 + x5 x6.
N u n sei A eine infinitesimMe T r a n s f o r m a t i o n yon ~j(i-1) a u s s e r h a l b | ge-
Uber die Invarianten von linearen Gruppen. 255 legen, sodass also entweder | A, | m i t (~(i-1) identisch ist oder doeh eine invari~nte U n t e r g r u p p e von | darstellt, deren A b l e i t u n g = ~(i) ist.
W i r denken uns die ~(i)-Invarianten (I I) n a e h den Graden in den x~ ge- ordnet:
(I2) : ' ~ f t , f~, f ~ ' , . . . , fi'"); f~,, f~, . . . . ,fl:'); . . . . {fa}, { / ~ * } , . . . ,
sodass alle fz F o r m e n vom Grade pa, alle f ~ F o r m e n vom Grade _ps, . . . in den Vergnderlichen x/ sin& J e d e s f yon 2 ' h a t d a n n bei der allgemeinen infinitesi- mMen T r a n s f o r m a t i o n )~ X + 4' X ' + )J' X;' + ... von ~(~) einen b e s t i m m t e n Mul- tiplikator Z 9 g + A' - ~' + .. :
(I3) ( Z X + X ' X ' + . . . ) ( f ) = ( , ~ . ~+,~'. ~' + . . . ) . f = _ d . f .
Wit" ordnen rerner die fz (*) jedes Absehnittes {3~,} y o n (I2) n a c h diesen Multi- plikatoren u n d erhal~en so schliesslich s t a t t (I i):
( I 4 ) "~t~-fl, f 2 , ' " . , f st; gl, g 2 , ' " ", ~s~; hi, h 2 , . . . , hsa; . . . .
D a n n haben alle j~ aus (14) denselben Grad Pl in den x~ u n d denselben Multi- plikator -//1 bei einem beliebigen X aus | ebenso sind ~lle gi F o r m e n vom Grade P,2~Pl in den x~ u n d haben denselben Multiplikator //~=_//~ u. s. f.
N u n bilden wir A(2~). Dies ist wieder vom Grade Pt in den x~ (oder ver- schwindet) u n d ist nach dem vorigen w wieder eine (~(i)-Invariante u n d also we- g e n d e r K o n s t r u k t i o n von 2~' linear a n d h o m o g e n durch die fz, g / * , . - , vom Grade Pl darstellbar-1
(i 5) A (j~) = ?l~fx + ~l~' g~, + - . .
Der M u l t i p l i k a t o r yon A (.)q) bei | ist n a e h (9) gleich d e m von J~, also - - z / 1 . N a e h dem Satze I des w 5 stehen d a n n in ( I 5 ) r e e h ~ s n u r die fz u n d keine gt*, h,, . . .; dies gibt
(i6)
A (fi)=?l~.fz, A (gk)=?~ g,, A (hj)=?I] h,, . . . .H i e r a u s folgt, dass die infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n A in den F o r m e n r e i h e n f z , gt~, h ~ , . . , eine infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n 9~ induziert m i t
1 Fiir a b s o l u t e I n v a r i a n t e n vgl. L. MAUREI~, 1. C. S. I65 (infinitesimale T r a n s f o r m a t i o n C;;~ (f)); b e i MAUI~EI~ f e h l t die hiel" unerl~issliche E r w e i t e r u n g yon X zu ~ ' .
