w 2o. Die symbolische Methode.
I m G e b i e t e n-ter S t u f e G~ (projektiver, ( n - - I ) - d i m e n s i o n a l e r R a u m R~ 1) h a t m a n die K o o r d i n a t e n r e i h e n : P u n k t k o o r d i n a t e n xi, L i n i e n k o o r d i n a t e n ~r, ik-~
: (xy)ik, E b e n e n k o o r d i n a t e n zik~ ~ (xyz)~k~, G d - K o o r d i n a t e n
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen. 277
]~[1 i.," 9 "i d ( x y " " z)i~ i2. . . i d
X i ~ X ~ 2 . . . X f ( t Y i t Yi2 . . . Y i d
~*i~ Zi,z . . . . . ~ i d
. . . und sehliesslich G~-FKoordinaten oder Raumkoordinaten u~. Eine n-gre
~ > G r u n d f o r m > > F i s t dann ein Polynom mit einer oder mehrerer dieser K0ordina-
tenreihen, homogen in den GrSssen jeder Reihe.
Ist im G~ eine Gruppe | linearer homogener Transformationen ~:i = a~ xk gegeben, so induziert jede ihrer Transformationen in den versehiedenen Koordi- natenreihen und in den Koeffizienten A i k t . . . , B , k a . . . , . . . yon gegebenen Grund- formen 1"~, F ~ , . . . ebenfalls lineare homogene Transformationen. Das ttauptpro- bIem der zur Gruppe | gehSrigen Invariantentheorie is{ dann die Bestimmung eines vollen Systems J~, J 2 , . . . , J~ yon | der Grundformen
G , G , . . .
Man kann n u n ebenso wie bei projektiven I n v a r i a n t e n in dieser Mlgemeinen Aufgabe die Grundformen F durch eine Reihe yon L i . n e a r f o r m e n in Punktkoor- dinaten xi und in Raumkoordinaten u' i ersefzen: das ist der Grundgedanke der symbolisehen Darstellung jeder Grundform F. Dass dieses Zuriickgehen auf Li- nearformen ~ueh bei @,.-[nwrianten m5glich ist, beruht erstens darauf, dass - - vgl. die beiden vorhergehenden Absehnitte - - jede solche Invariante J homogen in jeder in ihr enthaltenen GrSssenreihe (Koeffizienten- oder Koordinatenreihe) vorausgesetzt werden darf; zweitens aber auf der Vertauschbarkeit yon Polaren- prozess und linearer Transformation. Gebraucht man start der letzteren die in- fini{esimMe Transformation, so besagt dies: I s t die Form @(g) der Vergnderlichen
~,, ~ , . . . , ~,~ eine X-Invariante, also
X(o)= kgk= .
iden~isch in den ~i und ist V~ eine zu ~ kogrediente Reihe, so ist aueh
eine X-Inv~riante mit demselben Multiplikator ~.
W i r h a b e n n g m l i c h
0 ~ (p 0 0
D a r i u s folg~ weiter, duss a u c h das symbolische Z e r l e g e n von F o r m e n k o e f f i z i e n - t e n in K o e f f i z i e n t e n r e i h e n yon (symbolischen) L i n e a r f o r m e n g e g e n i i b e r 63r in- v ~ r i a n t ist.
I s t ~lso J ( A i k z . . . , . . . ) eine IN,.-Inwriante, die die K o e f f i z i e n t e n Aik>.. einer G r u n d f o r m /~' im G r a d e p enthi~lt, so polurisieren wir J mit. p - I i i q u i w l e n t e n R e i h e n B i k > . . , Cikt...,... ( p - - I)-mul(Evekt~ntenprozess), bis uus J e i n e 6 ~ - [ n w r i u n t e
J1 (A~kl. :., Bikl. 9 . . .)
e n t s t e h t , die linear is~ in den Aik~..., in den B~k~..., . . . . S~ellt n m n d a n n J1 in der iiblichen W e i s e symbolisch d a r I, so g e h t aus J~ eine ~)~-Invariante
y o n Linearformen
4 (.', b ' , . . . ; . ,
~ , . . . )(.'x) = . ; < + . ; . ~ + + .',~<,, (b' x), . . . in P u n k t k o o r d i n ~ t e n x~ u n d y o n e b e n s o l c h e n
( ~ ' ) = < < + ~ u'2 + +~,~<~, ( ~ . ' ) , .
in R a u m k o o r d i n u t e n u' k h e r v o r : J ist symbolisch dargestellt. Das Z u r i i c k g e h e n y o n J,2 zu J ist d u r c h Z u s u m m e n z i e h e n der S y m b o l e zu Koeffizienten AiT~l..., B i k z . . . , . . . u n d n a c h h e r i g e s G l e i c h s e t z e n
Aikl... : Bikl... ~ "
e i n d e u t i g mSglich.
Mun k e n n t also die S t r u k t u r der (Sir-Invuriunten beliebiger G r u n d f o r m e n , w e n n m a n die | y o n beliebig vielen L i n e u r f o r m e n m i t Koeffizienten- r e i h e n a', b ' , . . , u n d a, f l , . . , a n g e b e n kunn.
w 2I. Invariantentypen.
Die | beliebig vieler L i n e u r f o r m e n m i t K o e f f i z i e n t e n r e i h e n a', b ' , . . , a n d a, fl . . . oder, wie wir kiirzer sagen wollen, die @~-Invuri~nten ))von
Vgl. meine ,,Invariantentheorie,,, Groningen (I923) , S. 9 I.
Uber die Invarianten yon linearen Gruppen. 279 Reihen>> a', b ' , . . . , c~, f l , . . , bilden die zur G r u p p e
(~Jr
gehSrigen >>Invariantentypen>>:zum gleichen T y p u s rechnet man zwei I n v a r i a n t e n dieser Reihen, wenn die eine aus der anderen durch B u c h s t a b e n v e r t a u s c h u n g hervorgebt, i I s t z. B. (S3,. die allgemeine projektive Gruppe, so h a b e n wir drei I n v a r i a n t e n t y p e n : die beiden Klammerfak~oren
u n d den L i n e a r f a k t o r ( a ' a ) = a : a ~ + a'~ a,. + ... + a: %,; (b'a) oder (b' fl) sind yon gleichem Typus wie (a' a).
Der Satz, welcher ffir
(~r
alle I n v a r i a n t e n t y p e n angibt, wird >>erster Funda- mentalsatz (der symbolischen M e t h o d e ) f i i r (~-Invarianten>> genannt. D e r soge- n a n n t e >>zweite Fundamentalsatz>> z~thlt dann die T y p e n yon irreduziblen Syzygienerster A r t der | auf.
D u r e h die symbolische Me~hode ist die F r a g e nach den | be- liebiger G r u n d f o r m e n zurfickgebracht auf die nach den I n v a r i a n t e n t y p e n beziig- lich der Gruppe (~r. H i e r k a n n man n u n noch einen Schrit~ wei~er gehen und alles auf Invariantentypen mit n u t einer A r t yon Beihen, z. B. ~, fl . . . . (kogre- dient zu xi) reduzieren. Dies geschieht mit Itilfe von ( n - I)-f~ltigen Komplex- Symbolen. ~
I s t
(3) J = g(a', b ' , . . . ; a, ~ , . . . )
ein I n v a r i a n t e n t y p u s bezfiglich ~t~ und k o m m t in J die Reihe a' im Grade q > I vor, so gehen wir vorerst wieder durch ( q - - I ) - m a l i g e s Polarisieren mit n e u e n R e i h e n b ' , c ' , . . , zu einem
J l = J l ( a ' , b ' , c ' , . . . ; a,~, . . .)
fiber, das linear in alien R e i h e n mit Strich a', b', c ' , . . , ist. detzt zerlegen wir (4) a: = ( - - i ) ' ~ - - i a , a ~ . . . a n , a', = - - ( - - I ) ' * - - i a i a 3 . . . a , , , . . .
u n d ebenso bei b', c', . . . . J i geht hierdureh fiber in ein A g g r e g a t yon | rianten
(5) J ~ - - J~(a, b, c , . . . ; c~, f l , . . . )
i H. WEYL, Mathem. Zeitschr. 20 (I924) , S. I34 sagt ,,Grundinvari~nten,,; E. WANNER, Dissert. Z~irich (I926) sagt >~Grundinva.rian~entypen~ (fiir Vektorinvarian~en).
VgL I n v a r i a n t e n t h e o r i e , G r o n i n g e n (I923) , S. 88.
die n u t m e b r R e i h e n o h n e S t r i c h e n t h a l t e n , wobei u n t e r diesen j e t z t a u c h (,~--i)- f~ltige K o m p l e x - S y m b o l e u u f t r e t e n kSnnen.
K e n n t mun u m g e k e h r t ulle ( ~ . - I n v a r i ~ n t e n t y p e n (5) m i t u n t e r e i n ~ n d e r ko- g r e d i e n t e n R e i h e n a, b, c , . . . , so k a n n m~n e i n d e u t i g zu den T y p e n (3) zuriick- k e h r e n . M~n h~t die A n n u h m e zu m a c h e n , dass eine oder m e h r e r e tier R e i h e n a, b , . . . , z. B. die R e i h e a, ( n - - I ) - f ~ l t i g e K o m p l e x s y m b o l e sind. J e n - - ~ R e i h e n a h u t mun dunn zu einer R e i h e a' n~ch ( 4 ) z u s a m m e n zu ziehen (>>tJbergang a ~ a'>~), w o d u r c h im ~llgemeinen n e u e I n v ~ r i ~ n t e n ~ y p e n ents~ehen werden. I n den so e n t s t e h e n d e n T y p e n h a t m u n n e u e r d i n g s die A n n ~ h m e zu m a c h e n , d~ss eine Reihe, z. B. b, ( n - - I ) - f i i l t i g e K o m p l e x s y m b o l e sind u n d diese R e i h e n b h~t m~n d a n n wieder zur e i n e n Reihe b' zu vereinigen. Diese IJberg~tnge b ~ b ' , c ~ c ' , . . , sind so l~nge zu w i e d e r h o l e n bis keine n e u e n T y p e n (3) m e h r ~uf- t r e t e n .
W i r k S n n e n uns ulso w e i t e r h i n a u f | beschr~nken, die n u r eine Ar~ yon l~eihen, z. B. a, b, c , . . . ohne S~rich e n t h a l t e n : g e o m e t r i s h ge- sprochen, 6 ) ~ - I n w r i a n t e n yon P u n k t e n (-~ Vek~oren) x, y, z , . . . .
w 22. R e d u k t i o n a u f n - - I P u n k t e . Sei
(6) J : J ( x , y , . . . , z , t , . . . )
ein ~ - I n w r i a n t e der P u n k t e x, y , . . . . T r e t e n in J m e h r als n R e i h e n auf, so k a n n m a n n~ch einem b e k ~ n n t e n Satze ~ J ~ls S u m m e yon P o l u r e n von F o r m e n J ' m i t h S c h s t e n s n R e i h e n durstellen. Sind die J ' bekunnt, so ~uch die 3-, d e n n d u r c h P o l ~ r i s i e r e n k S n n e n keine n e u e n I n v ~ r i ~ n t e n t y p e n e n t s t e h e n , W i r kSn- n e n uns ulso u u f diese (~r-Inv~rianten J ' beschr~nken. E n t h ~ l t J ' g e r a d e n R e i h e n x, y , . . . , z, t, so e n t w i c k e l n wir J ' in eine G O R D A ~ - C A r E L L I s c h e i ~ e i h e 2 n~ch P o t e n - zen des K l a m m e r f u k t o r s ( x y . . . z t ) :
(7) g ' = ~ Lf'~ Jo + ( x y . . . z t ) . ~ z~ (1) J i - F ' " -F ( x y . . . z t ) h . j(h) j h .
H i e r b e d e u t e n j i 0 ) ~/(~),... z u s u m m e n g e s e t z t e P o l u r o p e r ~ t i o n e n , d. h. P o l y n o m e der A r g u m e n t e
D ~ = ~" 0 ~ ~ 0 (~i ~] = x, y , . . . , z, t).
i Vgl. z. B. meine ~Invariantentheorie~, Groningen (I923) , S. I37.
ebenda.
Uber die Invarianten von linearen Gruppen. 281 Die Formen J0, Ji . . . . , Jh enthaRen hSchstens ~ - I Reihen x, y , . . . und gehen aus J ' durch Polarisieren und mehrmalige Anwendung des s yon CXYLEY
~ n
~ +
-- 0 x l 0 y ~ . . . 0 Zn--1 0 tn
hervor. Alle diese Prozesse sind bei (~r invariant, d. h. Jo, J 1 , . . . , Jh sind selbst (~r-Invarian~en mit h5chstens n - I Reihen.
Die Frage nach allen Invariantentypen (6) ist also, wenn man den Klam- merfaktor ( x y . . , zt) mit n P u n k t e n als besonderen Typus aufz~hlt (er ist selbst bei allen linearen Gruppen eine Invariante, da er projektiv-invariant ist), zuriick- gebrach~ a u f die einf~chere: E r m i t t l u n g aller @ ~ - l n v a r i a ~ t e n t y p e n vo~ hb'ch~tens n - - I R e i h e n x , y, . . ., z. ~
W e n n (~,. durch ihre infinitesimale Transformationen gegeben ist, deren all- gemeinste
O f a~ x k
z (f)
sei, so haben wir bei n -- I Reihen x, y , . . . , z als allgemeine infinitesimale Trans- formation
O I k O l ak i xk + O I a~ yk + . . . + _ _ a. z~.
and die Bestimmung einer Integrit~tsbasis fiir alle (~.-Invarianten J ( x , y , . . . , z) wird nach den beiden vorhergehenden Abschnitten eine in endlich-vielen Schritten 15sbare Aufgabe.
W i r sahen, dass bei einer einzelnen Reihe x fiir eine einzelne infinitesi- male Transformation X die Ermittlung der X-Invarianten f ( x ) auf ein bin~res Formenproblem reduzierbar ist: Ermittlung der Semi-Invarianten yon bin~ren Formen ~%(x), 9~ ( x ) , . . . der Grade t t , ~ , . . . . "Die Hinzunahme weiterer Reihen y, z , . . . ~ndert hieran nichts; es wird nur die Zahl der bin~ren Grundformen grSsser. Neben 9%(x), q ~ ( x ) , . . , treten dann die gleichartigen Formen
....
Zusammenfassend kSnnen wir also sagen: D i e JErmittlung der O r - I n v a r i a n t e n gegebener n-&~er G r u n d f o r m e n k a n n z u r i i c k g e f i i h r t w e r d e n a u f die A u f s t e l l u n g aller
1 I-Iierzu i . WEYL, 1. C.
3 6 - - 3 1 3 5 6 . Acta mathematiea. 58. I m p r i m d le 13 fdvrier 1932.
Invaria~tentypen beziiglich ( ~ yon hSchstens n - I Punkten x , y , . . . , z und diese Aufgabe ist letzten Endes ein Problem der projektiven [nvariantentheorie bindrer
~oFmen.
(9)
Es seien