EIN 8ATZ fIBER DIE ENDLICHEN EINFACHEN GRUPPEN.*
V o n L. R I ~ D E I ill SZEGED (UNGAICN).
w 1. Einleitung.
Eine Gruppe I mit lauter Abelschen maximalen Untergruppen ist stets auf- 15sbar (s. unten) und somit niehteinfaeh. Umgekehrt folgt hieraus, dass eine (nieht- zyklische) einfaehe Gruppe mindestens eine niehtabelsche maximale Untergruppe haben muss. Es liegt als ni~ehster Sehritt nahe diejenigen einfaehen Gruppen zu untersuehen, die lauter Abelsehe zweitmaximale 2 Untergruppen haben. Hiertiber beweisen wit den folgenden:
Satz. 1 ~ Eine Gruppe ist einfach, wenn alle maximalen Untergruppen nicht- abelsch sind ohne Zentrum, mit lauter Abelschen maximalen Untergruppen.
2 ~ Es gilt die Umkehrung: Hat eine einfache Gruppe lauter Abelsche zweit- maximale Untergruppen, 80 sind alle maximalen Untergruppen ohne Zentrum (folglich nichtabelsch ).
3 ~ Es gibt nur eine einfache Gruppe yon gerader Ordnung mit lauter Abelschen zweitmaximalen Untergruppen, das ist die Ilcosaedergruppe ~6o.
Bemerlcung. Aus 3 ~ Iolgt, dass eine einfache Gruppe yon gerader Ordnung (> 60) mindestens eine nichtabelsche zweitmaximale Untergruppe enthi~lt.
Bekanntlich vermutet man, dass es tiberhaupt keine (nichtzyklischen) einfachen
* E i n V o r t r a g des Vmrfassers g e b a l t e n a m 26. A p r i l 1948 i m S e m i n a r v o n P r o f . T. N a g e l l a n der Universit/~t in U p p s M a .
i V o n u n e n d l i m h e n G r u p p e n soll v611ig abgesmhen w e r d e n , ~)Gruppe(~ h e i s s t ~)endliehe Gruppe(~.
2 W i t nennmn einm U n t m r g r u p p e ~ v o n einer G r u p p e I~ z w e i t m a x i m a l , w e n n es mine U n t e r g r u p p e ,~ m i t ~ ( ~ ( (~ gibt, so d a s s ~ m a x i m a l in ~ , l e t z t e r e s wieder m a x i m M in (~ e n t h a l t e n ist. D a s s e h l i e s s t selbstverst/~ndlieh n i e h t a u s , d a s s sieh g~ u n d I~ a u c h d u r e h l/~ngere U n t m r g r u p p m n k e t t m n g~ C ~ t C . 9 . C ~e C (~ (e ~ 2) v e r b i n d e n lassen. W e n n wir tiber die z w e i t m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n miner G r u p p e ~ eine A u s s a g e maehmn, so soll s t e t s m i t e i n v m r s t a n d e n sein, (lass sie a u c h e x i s t i e r e n , d. h. I~ w e d e r eino z y k i i s e h e Gruppm y o n P r i m z a h l o r d n u n g n o e h ~ = 1 ( E i n h e i t s g r u p p e ) i s t ; o f f e n b a r s i n d dimse die einzigen G r u p p e n o h n e z w e i t m a x i m a l m U n t e r g r u p p e n .
9 -- 6421:38 Acta mathematica. 84
G r u p p e n y o n u n g e r a d e r O r d n u n g g i b t . I s t d i e s e V e r m u t u n g r i c h t i g 3, so b l e i b t n u r 3 ~ a l s w e s e n t l i c h e r I n h a l t d e s S a t z e s t i b r i g . E s g l ~ c k t e m i r n i c h t e i n A n a l o g o n y o n 3 ~ f i i r u n g e r a d e O r d n u n g s z a h l e n a u f z u s t e l l e n ( w e d e r v e r n e i n e n d n o c h b e j a h e n d ) , w o r i n m a n e i n e n e u e A n g a b e e r b l i c k e n k a n n , d a s s d i e e i n f a c h e n G r u p p e n y o n u n - g e r a d e r O r d n u n g s i c h s c h w e r e r f o r s c h e n l ~ s s e n .
W e g e n o b i g e r V e r m u t u n g v e r d i e n e n d i e T e i l e 1 ~ 2 ~ d e s S a t z e s e i n e b e s o n d e r e A u f m e r k s a m k e i t . T r o t z m e i n e s b i s h e r i g e n M i s s e r f o l g s (s. u n t e n ) s c h e i n t n ~ m l i c h e i n e u l e i c h t e A u f g a b e z u sein, d i e G r u p p e n v o n u n g e r a d e r O r d n u n g a u f z u s u c h e n , f t i r d i e d i e B e d i n g u n g e n y o n 1 ~ e r f ~ l l t s i n d . W ~ r d e s i c h d a b e i N i c h t - e x i s t e n z h e r a u s s t e l l e n , so w ~ r e d a d u r c h n e b e n b e i d i e g e s a g t e V e r m u t u n g b e d e u t e n d b e k r a f t i g t , i m a n d e r e n F a l l e s e l b s t v e r s t ~ n d l i c h w i d e r l e g t .
A l l e r d i n g s k S n n e n w i t s a g e n , d a s s n a c h 2 + d i e e i n f a c h e n G r u p p e n m i t l a u t e r A b e l s c h e n z w e i t m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n e i n e v e r b l t i f f e n d e S y m m e t r i e i n i h r e n m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n a u f z e i g e n ~. E s i s t e r f r e u l i e h , d a s s es n a c h 3 ~ m i n d e s t e n s e i n e G r u p p e ( n ~ m l i c h (~60) m i t d i e s e r S y m m e t r i c g i b t ~, u n d so w i i r d e m a n s i c h w e n i g e r w u n d e r n , w e n n n o c h w e i t e r e s o l c h e G r u p p e n ( n ~ m l i c h y o n u n g e r a d e r O r d - h u n g ) e x i s t i e r t e m
D e r B e w e i s d e s S a t z e s - - i m w e s e n t l i c h e n d e r e i n z i g e G e g e n s t a n d u n s e r e r A r b e i t - - w i r d z i e m l i c h m f i h s a m . D a b e i w i r d s i c h d e r N a c h w e i s d e r i n 3 ~ b e h a u p t e t e n E i n z i g k e i t y o n @G0 f h r e i n e b e s o n d e r s n e t t e A u f g a b e e r w e i s e n . Z u m E r f o l g h a b e n u n s d i e i n u n s e r e n G r u p p e n i m F a l l e g e r a d e r O r d n u n g e n t h a l t e n e n D i e d e r g r u p p e n v e r h o l f e n - - b e i u n g e r a d e r O r d n u n g f e h l t e n u n s s o l c h e >~Glticksterne',~.
D e n S a t z w e r d e n w i r n o c h i n z w e i R i c h ~ u n g e n e r g ~ n z e n . E r s t e n s w i r d n ~ m l i c h d e r I n h a l t d e s S a t z e s e r s t d a d u r c h i n k l a r e s L i c h t g e s e t z t , d a s s w i t ~lle n i c h t - a b e l s c h e n G r u p p e n o h n e Z e n t r u m m i t l a u t e r A b e l s c h e n m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n
Meines Erachtens ist obige Vermutung bisher nut sehr wenig ,>begr~indet<( wordcn. Solche ,>Griincle*
gibt es n/~mlich zwei. Erstens, man konnte bisher keine (nichtzyklische) einfache Gruppe yon u11ger~der Ordnung auffinden, man bedenke abet hierzu, dass man an Mbglichkeiten vol~ Gruppenkonstruktionen (mit vorgegebenen Eigenschaften) iiberhaupt sehr arm ist, ttnd so auch alle bisher gefundenen ein- fachen Gruppen weniger durch eine ~>Konstruktion<< als dutch elneu gl(icklichen ZufM1 geliefert wurden, wobei (vieIleicht als zweiter Zufall) die 2 unter den Primfaktoren der Gruppenordnung auftrut. Zweitcns, man kennt einige einschrankonde Bedingungen, damit eine zus~mmengesetzte Zahl die Ordnung ei~er einfachen Gruppe sein kann - - die Anzahl der verschiedenen $'rimfuktoren ist gr/Ssser ~ls der kleinste Primfaktor, dieser ist mindestens dreifach, die Anzahl aller Primfaktorcn ist mindestens 8 - - ulle diese Bedingungen lassen aber immer noch eine weite MSglichkeit zur Existenz eincr einfuchen Gruppe yon ungerader Ordnung zu.
4 Eine Symmetrie yon anderer Art steckt in den beka~mte~x einf~chen Gruppen im allgemeinen.
Ich denke, dass eine volle Klarheit iitber die Struktur von ~60 oh~e obigen Sutz nunmehr nicht vorstellbar ist.
E i n S a t z f i b e r d i e e n d l i e h e n e i n f a e h e n G r u p p e n . 131 angeben. Eine solehe Gruppe bezeiehnen wir mit 63~ diese sind bekannt (s. unten), und haben eine sehr elegante Struktur. Zweitens stellen wir einen Zusatz auf, in dem wit die Eigenschaften der einfaehen Gruppen des Satzes n/~her entwiekeln, soweit w i r e s konnten. Dabei h a t uns der Wunseh geleitet, den Weg ffir weitere Untersuehungen zu ebnen.
Beim Beweis (des Tells 2 ~ des Satzes werden wir allgemeiner alle nieht- abelschen Gruppen benStigen, die lauter Abelsehe maximale Untergruppen haben.
Eine solehe Gruppe bezeichnen wir mit @*, so dass dann die 63~ niehts anderes sind als die 63* ohne Zentrum. Mit den 63* haben sieh Miller und Moreno G ferner Sehmidt 7 beseh/~ftigt, genau hat sie dann Verfasser s bestimmt. Bequemliehkeitshalber werden wir die (~* i m w 3 voll aufz/~hlen (teils mit ver/~nderten einfaeheren Bezeiehnungen).
Hier bemerken wir fiber die 6J* im allgemeinen nur, dass sie sieh auf Grund ihrer Eigensehaften in drei Typen mit je unendlich vielen Gruppen - - von denen wir eine beliebige bzw. mit (~i, 63H,
63III
bezeiehnen werden - - einteilen lassen, denen noeh (als vierter Typ bestehend aus einer einzigen Gruppe) die Quaternionengruppe hinzu- kommt, diese bezeiehnen wir mit (~s. Selbst die N~ maehen dabei einen Teil aller @i aus und sind fiberhaupt in mehrerer Hinsieht die bemerkenswertesten unter allen 63*%Wir ffihren folgende Bezeiehnungen ein:
p, q sind versehiedene Primzahlen;
k(p ~) (e ~
1) ist der (endliehe kommutative) K6rper yon p* Elementen;O(x)
bezeiehnet die Ordnung yon z, wobei x eine Gruppe oder ein Gruppen- element ist; f~r x e/c(p*), ~: 0 wirdO(x)
dadureh sinnvoll, dass m a n x als ein Ele- ment der multiplikativen Gruppe aller Elemente (4= 0) vonlc(p ~)
auffasst;O(p
(rood q)) bezeichnet die ~>Ordnung von p mod q<~ d. h. die kleinste positive ganze Zahl e m i t p~ ~ 1 (mod q).6 G. A. Miller a n d H . C. Moreno, N o n - a b e l i e n g r o u p s in w h i c h e v e r y s u b g r o u p is a b e l i a n , T r a n s - a c t i o n s A m e r . M a t h . Soe. 4 (1903), 3 9 8 - - 4 0 4 .
v O. S e h m i d t , U b e r G r u p p e n , d e r e n s/~mtliehe Teiler spezielle G r u p p e n s i n d ( r u s s i s e h m i t d e u t s e h e r Z u s a m m e n f a s s u n g ) , R e e e u i l M a t h . de la Soe. M a t h . d. M o s e o u 31 (1924), 3 6 7 - - 3 7 2 .
s L. R6dei, D a s ~sehiefe P r o d u k t * in d e r G r u p p e n t h e o r i e m i t A n w e n d u n g e n a u f die e n d l i e h e n n i e h t k o m m u t a t i v e n G r u p p e n m i t l a u t e r k o m m u t a t i v e n e e h t e n U n t e r g r u p p e n u n d die O r d n u n g s z a h l e n , z u d e n e n n u r k o m m u t a t i v e G r u p p e n g e h 6 r e n , C o m m e n t a r i i Mat. H e l v . 20 (1947), 2 2 5 - - 2 6 3 .
9 N a e h d i e s e m l~sst sieh der I n h a l t d e r Teile 1 ~ 2 ~ d e s S a t z e s f o l g e n d e r w e i s e n/iher b e s p r e e h e n . W i r l e g e n u n s alle G r u p p e n m i t l a u t e r A b e l s e h e n z w e i t m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n vor. Diese l a s s e n sieh a n d e r s so e h a r a k t e r i s i e r e n , d a s s als m a x i m a l e U n t e r g r u p p e n n u r A b e l s e h e G r u p p e n u n d die ~ I , ~ I I , (~IIr, (~s z u g e l a s s e n w u r d e n . N u n s p r e e h e n 1 ~ 2 ~ a u s , d a s s eine solehe G r u p p e d a n n u n d n u r d a n n ein- f a e h ist, w e n n u n t e r allen, hier v o r g e z ~ h l t e n G r u p p e n k e i n e A b e l s e h e n u n d k e i n e (~II, (~III, (~s s o n d e r n n u r die (~I u n d a u e h u n t e r d i e s e n n u r die C ~ als m a x i m a l e U n t e r g r u p p e n wirklieh a u f t r e t e n . (Vgl. die o b e n a n s e h l i e s s e n d u n d in w 3 folgende B e s e h r e i b u n g y o n ~ ~ bzw. aller (~*.)
Aus w 3 n e h m e n wir folgende A n g a b e n tiber die obigen Gruppen ~ ~ (SpeziM- fall u = 1 y o n (!ti) vorweg. Die (~~ 8tehen mit den (geordneten) Paaren p, q in ein- eindeutiger Zuordnung, weshalb wir @~ = 6J~ q) 8chreiben d~rfen, wobei
(1) 0((~~ q)) = ~ q (e = 0 b, (mod q)))
gilt ~~ Und zwar ldisst sich @~ dutch tin System erzeugender Elemente P~ (~ ~ k (p~)), Q angeben, wof~r die >)definierenden Gleichungen<< 11
(2) P~' : Qq = 1(~ 4= o), P~Pt+ = P~+fl, QP~Q-~ : P,.~
gelten mit cinem beliebigen, festen ~o von der Eigenschaft12:
(3) o(o ) = q + k ( p ~ .
U m uns m i t diesen Gruppen (~~ v611ig b e k a n n t zu machen, stellen wir hier ihre weiteren Eigenschaftcn zusammen, die sich n u n m e h r u n m i t t e l b a r einsehen lassen.
Alle verschiedenen E l e m e n t e y o n 63 ~ sind die P Qi(c< c k(p~); i = 0 . . . q--1) m i t der P r o d u k t r e g e l
p i : p ~i+~
(4)
~Q 9 P ~ Q ~ ~ + o ~ 9Die Potenz berechnet sieh (durch eine I n d u k t i o n nach t) zI1 la
p i t " .
( 5 ) =
Das Einselement ist P 0 ( = 1), alle tibrigen E l e m e n t e sind y o n P r i m z a h l o r d n u n g , p i 9 . 1) sind von p-ter bzw. q-ter u n d zwar die P , ( ~ # 0 ) u n d die : Q ( ~ = 1, . . , q - -
Ordnung. Die Sylowgruppen s t i m m e n m i t den m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n iiberein (sind Abelseh). Die p-Sylowgruppe u m f a s s t alle P , ist elementar 14 v o n d e r O r d n u n g p+, sie ist zugleich die einzige echte normale Untergruppe. Die q-Sylowgruppen sind (zyklisch) y o n der O r d n u n g q, ihre Anzahl ist p+, keine von ihnen wird <lurch ein ausserhalb liegendes E l e m e n t in sich transformiert.
0 b r i g e n s li~sst sich N~ selbstverst~tndlich auch schon d u r c h irgendzwei nicht- v e r t a u s c h b a r e E l e m e n t e erzeugen. Insbesondere m i t P~, Q geht das so. Vor allem gilt n a c h (4)
lo E s ist Mar, dass s t e t s O((~~ q)) =~ O(~~ p)) ist, u n d so sind die (~~ s e h o n d u r e h 0((~ ~ e i n d e u t i g b e s t i m m t .
11 Die Eleganz y o n (2) h a b e n wir so erreicht, dass wir die E l e m e n t e P a m i t den a ( ~ k(pe)) ( s t a r t e t w a m i t 1, 2 . . . . ) *numeriert(( h a b e n .
13 Die zu d e n q - - 1 v e r s e h i e d e n e n ~0 in (3) g e h S r e n d e n (~~ q) sind i s o m o r p h .
la D a s E i n s e l e m e n t bezeiehnen wir sowohl in G r u p p e n als a u e h in k(p e) m i t 1, w a s a b e r zu k e i n e m M i s s v e r s t g n d n i s fiihren wird.
14 E i n e Abelsehe G r u p p e n e n n e n wir tiblieherweise e l e m e n t a r , w e n n ihre I n v a r i a n t e n gleiehe P r i m - z a h l e n sind. Zykliseh ist eine solehe n u r d a n n , w e n n sie y o n P r i m z a h l o r d n u n g ist.
Ein Satz fiber die endliehen einfachen Grupi)en. 133
(6) Q~P1Q i ~_ Peoi.
D a o) b e k ~ n n t l i e h ein p r i m i t i v e s E l e m e n t y o n k(p ~) ist, so lassen sieh alle E l e m e n t e y o n k(p ~) eindeutig in der F o r m ~ = col-kqo)-k...-~-c~_v, ~-1 sehre~ben m i t K o e f f i - z i e n t e n c i ---- 0, . . . , p - - 1 . D a n n liefern (6) u n d
p xQ]C PlO. l)Cr ' 1 131C
die gewtinschte E r z e u g u n g . Diese B e m e r k u n g w i r d w e i t e r n i c h t v e r w e n d e t . W i r k o m m e n a u f u n s e r e n Satz zuriick, d e n wit n u n m e h r (zugleich die b e i d e n Teile 1 ~ 2 ~ vereinigt) k u r z a u c h so ~ u s s p r e c h e n :
Die Gruppen mit lauter maximalen Untergruppen ~~ sind die si~mtlichen ein- faehen Gruppen mit lauter Abelsehen zweitmaximalen Untergruppen, unter ihnen
kommt nut (9~0 mit gerader Ordnung vor.
D a wir n a c h o b i g e m die @~ g e n a u k e n n e n , so w u r d e uns e r s t h i e r d u r c h der I n h a l t des Satzes klar. H i e r z u k o m m t noch, wie o b e n a n g e k t i n d i g t , der folgende:
Z u s a t z . Eine im obigen Satz charakterisierte (daher einfache) Gruppe ~ hat die folgenden Eigensehaften 1--1315:
1. Die maximalen Untergruppen sind lauter Gruppen ~~
2. Die Sylowgruppen sind ele~nentare Abelsche Gruppen.
3. Jede zwei verschiedenen Sylowgruppen sind fremd1%
4. Alle verschiedenen echten Untergruppen sind die maximalen und die Unter- gruppen (4= l) der Sylowgruppen.
5. Die Normalisatoren der Sylowgruppen sind die maximalen Untergruppen.
6. Der Index einer Sylowgruppe in ihrem Normalisator ist eine Primzahl.
7. Jede Sylowgruppe ist der Normalisator aller ihrer eehten Untergruppen.
8. Die Elemente (~= l) sind yon Primzahlordnung.
9. Vertausehbar sind zwei Elemente dann und nut dann, wenn sie in eine Sylow- gruppe gehdren.
Man setze v = 0(~), pit und definiere e = e(p) dutch
p~l/v17,
bezeichne mit @p eine p-Sylowgruppe, mit O~p ~ |176 p') ihren Normatisator, wobei dann p'--p'(p) ein durch p eindeutig bestimmter Primfa]ctor (~ p) von ~ ist und15 D a v o n i s t 1. n i c h t s a n d e r e s , als die d e f i n i e r e n d e E i g e n s e h a f t v o n ~. Die 2 . - - 1 3 . h a b e n w i r in e i n e r R e i h e n f o l g e z u s a m m e n g e s t e l l t , in d e r sie sieh a u e h l e i c h t n a e h e i n a n d e r b e w e i s e n l a s s e n w e r d e n .
16 F r e m d s i n d zwei G r u p p e n , w e n n sie a u s s e r 1 k e i n g e m e i n s a m e s E l e m e n t h a b e n . 17 ab]]c b e z e i e h n e t aS]c, a b+l ~( c.
(7) O(@p) = p+, O(~p) = pep, (e = O(p (mod p'))) gilt. (Die Abbildung p ~ p' braucht rCtclcwi~rts nicht eindeutig zu sein!).
10. Die Anzahl der verschiedenen Konjugierten von ~p (und aueh yon 9~p) ist
(s) F p " 7)
gleich dem Index yon ?~p.
11. Zwei verschiedene Konjugierte von ?~p sind entweder fremd oder ihre Durch- schnittsgruppe ist v o n d e r Ordnung p', letzterer Fall tritt f~tr jedes O~p wirklich auf.
12. Die Anzahl der Elemente p-ter Ordnung ist (9)
sie zerfallen in (lo)
~(F-1)
pep, ,
~9 e - 1
p'
Klassen konjugierter Elemente. Folglich gilt die Gleichung
(ll) 1 + ~ " ~ ( F - 1 ) _
,;Iv pep, und die Ungleichung
1 1
(12) 1 < . ~ < 1 + Z .
pl~ P ~P~ pep, 13. (s ldsst sich dutch zwei Elemente erzeugen.
Bemerkungen. Dieser Zusatz bezieht sich n a c h d e m Satz insbesondere auf ---- ~60 (mit u = 6 0 ~ 2 ~ . 3 . 5 , 2 ' = 3, 3'--~ 5' = 2), wie m a n das leicht a u c h d i r e k t einsehen k a n n .
D a m i t es zu einer u n g e r a d e n v ein ~ gibt, muss n a c h 12. die Gleichung (11) erfiillt sein, die wir wegen grSsserer D u r c h s i c h t i g k e i t a u c h in der F o r m
v - - 1 1 /)e--1
(13) -- ~ ' p e
r pry 2)'
schreiben. D e r zweite F a k t o r im S u m m a n d ist n a c h (10) ganz, u n d so h a n d e l t es sich u m eine P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g m i t den N e b e n b e d i n g u n g e n p'], (p' P r i m z a h l ) , e = O(p (rood p')). Diese rein z a h l e n t h e o r e t i s c h e A u f g a b e ist o f f e n b a r keine leichte (die uns im Z u s a m m e n h a n g m i t den ~ n u r ffir 2 4" u angeht). W i r k o n n t e n n i c h t beweisen, dass es n u r endlich viele L S s u n g e n gibt, was iibrigens sehr wahrscheinlich
Ein Satz fiber die endlichen einfaehen Gruppen. 135 ist. A u c h glfickte es u n s n i c h t ausser v = 60 weitere g e r a d e L S s u n g e n zu l i n d e n . W i r h a b e n eine u n g e r a d e L S s u n g g e f u n d e n : v - - 1004913 ~ 33. 7 . 13 9 409 (mit 3' ~ 13, 7' - - 13' ~ 409' =- 3). H i e r z u k a n n es a b e r ein ~ sehon aus d e m G r u n d e n i e h t geben, wei| die A n z a h l der P r i m f a k t o r e n bloss 6 ist. D e s h a l b k 6 n n e n wir a u s s p r e c h e n , dass die ( z a h l e n t h e o r e t i s e h e ) B e d i n g u n g (13) n i c h t hinreieht, d a m i t es ein ~ m i t 0 ( ~ ) = v g i b t is.
U n s s c h e i n t i n s b e s o n d e r e l l. einen A n s a t z zu bieten, u m a u s i h m w e i t e r e (notwendige) z a h l e n t h e o r e t i s c h e B e d i n g u n g e n ftir v zu gewinnen, das h a t uns a b e r n i e h t gegliiekt.
W i r beweisen d e n Satz u n d Z u s a t z in d e r R e i h e n f o l g e : 1 ~ 2 ~ Z u s a t z , 3 ~ Die m e i s t e Mtihe w e r d e n wir d a b e i m i t 2 ~ h a b e n .
W i r b e m e r k e n noeh, dass wir alle n i c h t e i n f a c h e n G r u p p e n m i t l a u t e r A b e l s e h e n z w e i t m a x i m M e n U n t e r g r u p p e n b e s t i m m e n k o n n t e n , w o r a u f wir in einer a n d e r e n A r b e i t z u r t i e k k o m m e n . Diese sind s ~ m m t l i c h aufl6sbar.
w 2. B e w e i s v o m T e i l 1 ~ d e s S a t z e s . Z u r V o r b e r e i t u n g beweisen wir den f o l g e n d e n :
Hilf88atz. H a b e n @~ q), (9~ r) (q + r) die g e m e i n s a m e p - S y t o w g r u p p e | legt m a n d a b e i fiir @~ q) die B e z e i e h n u n g e n (1)-(3) zu G r u n d e , so g i b t es eine P e r m u t a t i o n S~ der E l e m e n t e ~ y o n k(l~ e) m i t
(14) S(~x+fl) -~ S . x + S f l , R p s ~ R i P s ( ~ ) ,
wobei R u n d ~; je ein festes E l e m e n t y o n @~ r) bzw. k ( l f ) b e z e i e h n e t m i t O(R) = 0 ( ~ ) -- r.
N a c h w 1 k a n n m a n n a m l i c h die E l e m e n t e P v o n | so m i t P b e z e i c h n e n , dass bei p a s s e n d e n R, ~ (vgl. (2))
P~P~ = -P +[3, R P R 1 ~
gilt. D e f i n i e r t m a n die P e r m u t a t i o n S d u r c h P~ = P s i , so folgt (wegen P s P s ~ = Ps~+s~) die g i c h t i g k e i t des Hilfssatzes.
U m d e n Teil 1 ~ des Satzes zu beweisen, n e h m e n wir an, dass eine G r u p p e (~
m i t l a u t e r m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n @~ eine e e h t e n o r m a l e U n t e r g r u p p e ~ h a b e , w o r a u s wir einen W i d e r s p r u e h ableiten. W i r dfirfen 0 ( ~ ) m 6 g l i c h s t gross a n n e h l n e n , lS Dagegen folgen aus (13) far die ~ sofort die ersten zwei yon den am Endo der Fussnote ~ er- wghnten drei notwendigen Bedingungen (insbesondere die erste hiervon in der verschhrften Form (12)).
woraus folgt, dass die Faktorgruppe (9/~ einfach ist, und unterscheiden die folgenden Fi~lle 1), 2), wovon sich 1) in 'die weiteren F~tlle ll), 12) spalten wird.
1) ~ sei zugleich maximale Untergruppe yon (9. Dann ist ~ ein (9~ wir setzen
(15) ~ - - (9o(p, q)
mit O(~)~) = peq. ])a 9~ maximal und normal in (9 ist, so kann (9/9~ keine echten Untergruppen haben, d . h . 0((9/9~) ist eine Primzahl r mit 0 ( ( 9 ) = peqr. Wgre r = p, so gilt 0((9)----pe+lq, woraus folgt, d~ss die p-Sylowgruppe von (9 eine maximale Untergruppe d. h. ein (9~ ist. Diese sind aber keine p-Gruppen, und so folgt aus diesem Widerspruch r 4 p. Bezeichne ~p die p-Sylowgruppe yon ~ , die nunmehr wegen p~[]O((9) auch eine Sylowgruppe yon (9 ist. Da ferner @p naeh (15) normal in 0~ ist, so muss ~ im Norm~lisator yon @v enthalten sein. D~bei ist Gleichheit unm6glich, denn dann miisste nach bekanntem Satz ~ sein eigener Normalisator sein, wobei doch 9~ normal in (9 ist. Folglich ist ~ echt enthalten im Normalisator yon Gv, der also n u t (9 sein kann. Wir h~ben gewonnen, d~ss @p normal in (9 ist mit O((9/@p) -- qr.
11) Es sei r = q. Dann gilt
(16) 0((9) = p~q".
Bezeichne @q eine'q-Sylowgruppe yon (9. Fiir (15) iibernehmen wir die Bezeich- nungen in (2), (3), und dann diirfen wir Gq (unter den Konjugierten) so wghlen, dass eben Q ~ | gilt. Andererseits ist ~q echt enthalten in einer maximalen Unter- gruppe yon (9, die wegen (16) und O(| ~ q2 offenbar nur ein (9O(q, p) sein kann mit O((9~ p)) ~ q2p. Da Gt, normal in (9 ist, so liegen alle Elemente p-ter Ord- nung von (9 in ihm, noch mehr in (15). Es folgt, dass beide Gruppen (15), (9~ p) ein gemeinsames Element P ( : = 1) h~ben. Nach (2) gilt Q p Q - i = p ~ . Weiter ist | normal in (9O(q, p), und so folgt ffir sein Element Q-l, dass auch das Kon- jugierte (man beaehte p71 = p_~)
in | liegt. Offenbar ist dieses Element wegen ~o 4= 1 mit Q nicht vert~uschbar, obwohl beide Elemente in der (wegen O(@q) -- q2) Abelsehen Gruppe @q liegen.
Wegen dieses Widerspruchs ist der vorliegende Fall 11) unm6glich.
12) Es sei r ~ q. Da auch r :~ p gilt, so sind jetzt p, q, r die verschiedenen Primfaktoren yon
(17) 0((9) -- p~qr.
Da (9/~v eine Untergruppe r-ter Ordnung hat, so h a t 63 eine (maxim~le) Unter-
Ein 8atz fiber die endlichen einfachen Gruppen. 137 g r u p p e p ~ r - t e r O r d n u n g , in der @~, (nach obigem ngmlich sogur in (~) n o r m a l ent- h a l t e n sein muss. D a andererseits nach der V o r a u s s e t z u n g diese U n t e r g r u p p e ein (~~ u n d zwar ein ~ ~ r) oder ein 6~~ p) ist, so bleibt h i e r v o n n~ch w 1 n u r die erste MSgliehkeit/]brig. Also e n t h S l t (~ ein @~ r) mit
( x s ) r)) -
u n d dabei ist @v eine g e m e i n s a m e p - S y l o w g r u p p e y o n dieser G r u p p e u n d y o n (15).
Der Hilfssatz k o m m t s o m i t zur Geltung, aus d e m wir a u c h die B e z e i c h n u n g e n S, R, ~ i i b e r n e h m e n dfirfen.
D~ (15) in (~ n o r m a l e n t b a l t e n ist, so gilt
(19) R Q R ~ : P~,Q~'
m i t einem ~ c k ( p ~) u n d einer ganzen Zahl a ( q ~(a). Bei passender W a h l y o n R darf Q = 0(Pe -- 1) gesetzt werden. D e m Hilfssatz gegenfiber v e r h ~ l t e n sich n~im- lich ~lle R ' ~- P ~ R ( ~ ~ k(,p~)) als g l e i e h b e r e c h t i g t e E l e m e n t e (sogar m i t g e m e i n s a m e n S, ~, was uns n i c h t wichtig ist), weshalb wir R d u r c h R' ersetzen dfirfen. Man b e r e e h n e t n~ch (19) u n d (2)
W e g e n (3) u n d q ~ a ist 1 - - o / ' # O, u n d so g e h t der erste F ~ k t o r reehts ftir ein passendes ~ in P0 = 1 fiber. Das beweist die B e h a u p t u n g fiber (19), wofiir somit v o n v o r n h e r e i n
(20) R Q R -1 ._ Q(~
a n g e n o m m e n w e r d e n daft.
W i r b e t r a c h t e n die E l e m e n t e v o n (~ y o n der F o r m
(21) R 1 ~ P s 1 Q i R
u n d beweisen
(22)
Rtl
PuQi(1+"+"" + ~ t - b R t (t = 1, 2, . . . ) , wobei zur Abkfirzung(23) 7r ~- S 1 @ o ) i S ~ o + e ) i ( l + ~ ) S ~ e + . 9 9 + ( j ( l + ~ , + . . . +at--g) s~)t--1
gesetzt wurde. Vor allem ist (22) f i i r t = 1 richtig, da d a n n ~ : $1 ist. W i r n e h m e n (22) fiir ein t an, u n d b e r e c h n e n
Rt ~1 _ RtlR1 . Da n a c h (14)
RtP,s~1 = P s~7/.R t gilt, so folgt n a c h E i n s e t z u n g v o n (21), (22):
Rt+l p~oi(l+~,+...+~,t b p ~ . ~ , R t Q i R
W e n d e t m a n hier n o c h (2) u n d (20) a n (nach l e t z t e r e m ist R t Q i = QiatRt), so ent- s t e h t n a c h (23) eben (22) m i t td-1 s t s t t t, u n d so ist die l~ichtigkeit dieser F o r m e l allgemein bewiesen.
Da (~ n i c h t z y k l i s c h ist, so ist jedes E l e m e n t (-~ 1) in einer m a x i m a l e n U n t e r - g r u p p c e n t h a l t e n . Diese sind l a u t e r ~~ u n d so sind alle E l e m e n t e (4- 1) y o n v o n P r i m z s h l o r d n u n g . F e r n e r ist die U n t e r g r u p p e (15) v e t o I n d e x r in 61, weshalb die ausserhalb (15) liegenden E l e m e n t e die O r d n u n g r h a b e n miissen. Das b e z i e h t sich s u c h auf die E l e m e n t e R 1 in (21), u n d so muss ~ n a c h (22) ftir t = r v e r s c h w i n d e n . Das l a u t e t n a c h (23):
(24) S 1 q - e o i S ~ q - o J ( l + " ) S K ) 2 - ~ . 9 9 q - e J ( ] + " + +J-2)S~r 1 __ 0 .
H i e r a u s leiten wit a b e r einen W i d e r s p r u c h ab. W e g e n (3) gilt o) c - 1 - 0 d a n n u n d n u r d a n n , wenn qlc ist, u n d so folgt
q - I 09qc _ _ ]
(25) 2 ~ ~ - - o (~ ~ c).
i = 0 o ) C - - ][
Andererseits k a n n n i c h t Q R = R Q sein, d e n n d a n n wttre Q R ein E l e m e n t y o n qr-ter O r d n u n g in @, was doch, wie gesagt, ausgeschlossen ist. W e g e n (20) folgt hieraus a ~ 1 (rood q). W i e d e r wegen (20) u n d O ( R ) = r muss o f f e n b a r a r ~ 1 (rood (/) gelten, u n d so gilt auch a, a: . . . a ~-I ~_ 1 (rood q), d. h.
l , l q - a . . . . , l q - a d - . . . q - a r ~ _~ 0 (mod q ) .
A d d i e r t m a n also die Gleichungen (24) fiir i ~ 0 . . . . , q - - 1 , so e n t s t e h t wegen (25) einfach q S 1 = 0. Da q d u r e h die C h a r a k t e r i s t i k p y o n / c ( p ~) n i e h t teilbur ist, so folgt hieraus S1 = 0. Andererseits gilt n a c h (14) a u c h SO - - 0, beide e r g e b e n : S1 = SO.
D a aber S eine P e r m u t a t i o n ist, so folgt hieraus die falsche Gleichung 1 = 0 (im K 6 r p e r /c(p~)). Dieser W i d e r s p r u c h zeigt, dass Fall 1) unmSglich ist.
2) ~ sei keine m a x i m a l e U n t e r g r u p p e v o n ~3. Wir wghlen eine m a x i m a l e U n t e r - g r u p p e (~3 ~ fest, die ~ (echt) enthitlt. D a 6} ~ n u r eine echte n o r m a l e U n t e r g r u p p e enth/*lt, ngmlich eine (Sylowgruppe) v o m P r i m z a h l i n d e x , so muss diese m i t 9t z u s a m m e n f a l l e n , u n d so folgt, dass 0(63~ eine P r i m z a h l ist. Andererseits ist
@~ eine m a x i m a l e U n t e r g r u p p e y o n (~/~, h a t also sich selbst oder ~ / g t z u m N o r m a l i s a t o r . D e r zweite fall ist unm6glich, weil GJ/~ einfach ist. W i r h a b e n also gewonnen, dass (~~ v o n P r i m z a h l o r d n u n g und sein eigener N o r m a l i s a t o r ist, a u e h miissen d a n n die K o n j u g i e r t e n paarweise f r e m d sein. N a c h e i n e m Satz y o n F r o -
E i n Sat~z fiber die e n d l i c h e n e i n f a c h e n Grul)pen. 1 3 9
benius 1~ folgt hiemus, d~ss @/~ nicht cinfach ist. Dieser Widerspruch beweist Teil 1 ~ des Satzes.
Alle gilt : (28) (29) Es ist
(30)
w 3. Die Gruppen m i t lauter A b e l s c h e n m a x i m a l e n U n t e r ~ r u p p e n . Als Vorbereitung zum w 4 z~h|en wir hier nuf Grund der Arbeit s Mle nicht-
~belschen Gruppen auf, die l~uter Abeische maximMe Untergruppcn h~ben. Wie w i r e s im w 1 schon gesagt haben, bezeichnen wit diese Gruppen mit fie* und teilen diese in die Gruppen CgI, @ii, G3~I* und (~s ein. Die letzterc ist (wie schon erw~hnt) die Quaternionengruppe, die tibrigen geben wit hier an (vgl. die Fussnote 22).
])as Zentrum und die K o m m u t a t o r g r u p p e bezeichnen wit bzw. mit ~i, ~1i, ~ili und ~l, ~1,, ~m, die maxim~len Untergruppen mit 9)~l, ~J[~i, ?J[m-
('~, ist definiert durch '~~
(26) P~ = Qq~ : i , P Pp -- P~+t? , Q p Q-1 = e,,)~ (~x, fi ~ k(pe)) , wobei p, q und u ( ~ 1) beliebig gegeben sind, e = O ( p ( m o d q)) ist, und o) ein festes (sonst beliebiges) Element von /c(p ~) mit 0 ( o J ) ~ q bezeichnet. (~, ist (bis auf Isomorphe) dutch p, q, u eindcutig bestimmt, wesh~lb wir es nStigenf~lls mit (~,(p, q, u) bezeichnen. Es gilt
(27) O ( ( ~ l ) : ~ ) e q u .
verschiedenen Elemente sind die p~Qi(~ ~/c(y~); i = 0 . . . q ~ - l ) , und es
p~Qi 9 Pf~QJ = P c,+cutfl,~d ~4+j , ( p , Qi)t = Pc~ (l+(~Ji~ -,- +~oi(t-1)) @~t .
P o = 1, O(Pc,) = p(~ # O) , O(Q) -: q~.
Die Ordnung Mler Elemente l~sst sich nach der Regel bestimmen:
i PO(QI), wenn ~ x # o , q]i,
(31) O(P~Q i)
I
O(Qi), wenn c~ = 0 oder q y i .19 Dcr Satz yon Frobenius lautet: Ist eine Untergruppe einer Gruppe ihr eigener Normalisator und sind die konjugierten Untergruppen paarweise fremd, so bihten die ausserhMb dieser U n t e r g r u p p e n l[egenden Elemente mit 1 zusammen eine, (echte) normale Untergruppe der gegebenen Gruppe. (S. z.B. : Speiser, Theorie der Gruppen von endlieher Ordnung, 3. Aufl., 1937, Satz 180, S. 202.)
2~ Das wird selbstverst~ndlich so gemeint, dass (~I dureh die in (26) vorkommenden Elemente erzeug~ wird.
(36) (37) Es gilt (38)
Alle P bilden eine p-Sylowgruppe | sic ist elementar, y o n der O r d n u n g p~, u n d normal. Die q-Sylowgruppen sind die {p Q}2~, zyklisch y o n der Ordnung q~, ihre Zahl ist p~. Es gilt
(32) 3 I = {Qq}, ~ I = @ '
die 9J~ I sind {| Qq} u n d die q-Sylowgruppen.
6Jli ist definiert dureh
(33) A~,~ i = BpV = ] , B A B 1 = Al+P u (U, V _~ 1) .
N6tigenfalls schreiben wir genauer @H(P, u, v). Es gilt
(34) 0(6j~i) =_ pu+v+~.
Alle verschiedenen E l e m e n t e sind die A i B k ( i = 0 . . . p~+~--l; k = 0 . . . . , p ~ - - l ) u n d es gilt
(35)
O ( A ) = ti u+~, O ( B ) = .pv, A i B ~ . A J B l __ Ai+J+J~'pUBt'+l 'u t (AiB~)t = Ait+p ik(s) Bkt .
(41)
(42)
(43)
Es gilt (44)
3 I I = { A p , B P ) , ~ I I = { A p U } , die ~ ] i sind die { A B ~, B~'} (i = 0 . . . p - - l ) u n d {At', B}.
~-}II[ i s t de{iniert d u r c h
(39) A ~'~ = B ~'~ = C ~ = l, A C = C A , B C = C B , B A B 1 __ A C ( u ~ V >
1).
N6tingenfalls sehreiben wir genauer (~III(P, ~g, V). Es gilt
( 4 0 ) O ( ( ~ i i i ) = ~)u4:.v+t.
Alle versehiedenen E l e m e n t e sind die AiB~'Cm(i - - 0 . . . p ~ - - 1 ; Ic = 0 . . . p V _ 1 ;
m - 01 . . . . p--1), u n d es gilt
O ( A ) = p ~ , O ( B ) = p ~ , O ( C ) = p , A i B ~ C , ~ . A iB1C . = Ai+JBX'+lcm+'~+Jl: '
( A i B k v r n ) t = AitBktCik(~) "
3 I I I = { A p , BP, C} , ~ I I I ---- {C} ,
die ~(~liI sind die { A B ~, B p, C} (i =- 0 . . . 1)--1) u n d {A p, B, C}.
21 )){ }(( b e z e i c h n e t die d u r c h die e i n g e k l a m m e r t e n E l c m e n t e erzeugte Gruppe.
E i n S a t z t i b e r d i e e n d l i c h e n e i n f a e h e n G r u p p e n . 141 Diese 63I(P, q, u), 63II(P, u, v), 63in(P, u, v) sind aueh versehieden m i t der einzigen A u s n a h m e , dass die Gruppen 63ii(2, l, 1), 63in(2, 1, 1) gleich sind. (Und zwar sind letztere gleieh der Diedergruppe 8-ter Ordnung). Wir wiederholen nun- m e h r genauer, dass die 63i, 63~1, 63m (wobei m a n z. B. von 63n(2, l, l) abzusehen hat) u n d 63s alle verschiedenen 63* sind. Wir h a b e n aueh zu bemerken, dass 63s b e k a n n t l i c h ein Z e n t r u m 2-ter O r d n u n g hat, u n d so liest m a n y o n (32), (38), (44) ab, dass u n t e r allen 63* n u r die 631(P, q, 1) (d. h. Fall u = 1 von 631) ohne Z e n t r u m sind; da (26) ffir u -- 1 in (2) tibergeht, so sehen wir, dass die 630 in der T a t die s~tmtlichen 63* ohne Z e n t r u m sind, wie w i r e s i m w 1 schon v o r w e g g e n o m m e n h a b e n 22.
w 4. B e w e i s v o m T e i l 2 ~ d e s S a t z e s .
U m Teil 2 ~ v o m Satz zu beweisen n e h m e n wir eine einfaehe Gruppe 63 m i t lauter Abelschen z w e i t m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n an, u n d d a n n h a b e n wir zu zeigen, dass die m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n lauter 63~ sind.
Bezeichne @ eine p-Sylowgruppe (mit p]0(63)), ~YYt eine m a x i m a l e U n t e r g r u p p e , X ein nicht in ~ liegendes E l e m e n t von 63, ~ eine echte normale U n t e r g r u p p e v o n
~J~ (deren Existenz erst n a c h h e r sichergestellt wird), ~ das Z e n t r u m von ~ . (Wir h a b e n eben zu beweisen, dass stets ~ = 1 ist.) Wir setzen im allgemeinen a ' = X a X -1, wobei a ein E l e m e n t oder eine U n t e r g r u p p e y o n 63 sein darf. I m Beweis gehen wir so vor, dass wir n a c h e i n a n d e r die folgenden a - - m zeigen.
a. Es gilt ~ ' # : ?])t. Sonst ware n~tmlieh ~)t normal in 6 3 - - { ~ , X}, wobei doeh 63 einfach ist.
b. Bei l~assender Wahl yon X sind Yj~, ~2;t' nicht fremd, was w i t fortan annehmen wollen. W~ren n~mlich alle 9J~' f r e m d zu 9~, so wtirde wegen a aus dem Satz von
22 I n der A r b e i t s b a b e ieh die ~ * ~ l - s t u f i g n i e h t k o m m u t a t i v e Gruppen<~, k u r z ~ G r u p p e n 1-ter Stufe<~ g e n a n n t u n d sie d o r t i m S a t z 4 (S. 234) a n g e g e b e n . D a b e i h a b e ieh eine e t w a s a b w e i e h e n d e Be- z e i e h n u n g v e r w e n d e t , so d a s s ieh fiir die d o r t i g e n Gi(p, q, u), Gii(P, u, v), GIII(P, u, v) in v o r l i e g e n d e r A r b e i t ~ I ( q , P, u), {~II(P, v - - 1, u), ~3III(P, u, v) g e s e h r i e b e n h a b e . ( I n s b e s o n d e r e s i n d also bei G I bzw.
~ I die p, q u m g e t a u s e h t w o r d e n . ) E s ist n o e h z u b e m e r k e n , d a s s ieh in der A r b e i t s die 63i, ~ I I , (~iII in drei w e i t e r e n F o r m e n (S/~tze 5, 6, 7, S. 241---244) a n g e g e b e n h a b e . Obige F o r m y o n 1~I w e i e h t n u r u n w e s e n t l i e h y o n d e r F o r m ab, in der ieh ~ I i m S a t z 5 (S. 241 in d e r A r b e i t s) a n g e g e b e n h a b e , wie m a n d a s leieht e i n s e h e n k a n n . D a g e g e n e n t n e h m e m a n ~-~II, ~ I I I a m b e s t e n a u s Satz 7 (S. 244 in d e r A r b e i t s). Vgl. n o e h S a t z 8 (S. 2 5 7 - - 2 5 9 in der A r b e i t s). E s soll b e m e r k t w e r d e n , d a s s alle G r u p p e n 1~* sieh m i t grosset" begrifflieher E i n f a e h h e i t als sehiefe P r o d u k t e a n g e b e n l a s s e n (vgl. S a t z 4 in d e r A r b e i t s), o b e n w o l l t e n wir u n s a b e r lieber e i n e r ~expliziten<~ D e f i n i t i o n der G r u p p e n ~ * b e d i e n e n . A u e h b e m e r k e ieh, d a s s ieh b a l d a n einer a n d e r e n Stelle d e n Begriff des s e h i e f e n P r o d u k t e s verall- g e m e i n e r n werde.
Frobenius 19 wieder ein dem vorigen ~thnlieher Widersprueh folgen, dass ~ eine eehte normale U n t e r g r u p p e hat.
c. ~;~ ist ein (9*. (Hieraus folgt n a e h w 3 die Existenz y o n ~ . ) Wegen der An- n a h m e sind ngmlieh alle m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n von ~J~ Abelseh. Mit anderen W o r t e n ist ~ ein 6j* oder Abelseh. I m letzteren Fall w/~re aber der D u r e h s e h n i t t 9J~ r'~ gJ~' wegen b eine eehte normale U n t e r g r u p p e von ~ = {~J~, ~ ' } , u n d so ist die B e h a u p t u n g riehtig.
d. I s t | Abelsch, so ist es zyklisch oder elementar. W e g e n c ist n~mlieh ~ kein 9Jr, muss also in einem ~ eeht e n t h a l t e n sein. Dieses ~ ist d a n n keine p-Gruppe mehr, u n d so folgt aus c u n d w 3, dass ~J~ ein (~I ist. Da die Sylowgruppen y o n (~I zyklisch oder elementar sind, so bezieht sieh dies auch auf (seine Untergruppe) | womiL die B e h a u p t u n g bewiesen ist.
e. 9)~ r-, gJ~' enth~lt keine Untergruppe (4- 1), die in 9J~ und ~l~' normal ist.
Sonst wtirde n~imlieh wieder die Existenz einer eehten n o r m a l e n U n t e r g r u p p e y o n (g = {~JI, .qJ~'} folgen, was falseh ist.
f. E s gilt 9~ # ~ ' . Da n~tmlieh ~lt u n d ~ ' je eine eehte normale U n t e r g r u p p e y o n ~)2 bzw. ~ ' ist, so folgt die B e h a u p t u n g aus e.
~. E s ist ~ ~: @s. B e k a n n t l i e h enth~Llt @s alle U n t e r g r u p p e n normal, u n d so folgt die B e h a u p t u n g aus b u n d e.
h. ~ und ~ ' sind fremd. Da ~ r', ~ ' normal in gj~ u n d 9~' ist, so ist die Be- h a u p t u n g wegen e riehtig.
i. Alle Elemente (4- 1) yon 9J~ r-~ 9J~' sind yon Primzahlordnung. N a e h e u n d g ist n~tmlieh ~ (und aueh ~JV) ein @i, (~H oder 6j m. Die zwei letzteren sind p-Gruppen, ftir die n a e h (37), (38) u n d (43), (44) die p-te P o t e n z jede s E l e m e n t e s in 3i~ bzw. ~ n i liegt. W e n n also ~J~ ein @i~ oder Gj~I Ii s t , so liegt die p-te P o t e n z jedes E l e m e n t e s y o n 9J~ r-~ ~J~' in ,3 ~ 3 ' , woraus wegen h die R i e h t i g k e i t der B e h a u p t u n g ftir diese F~lle folgt. I m tibriggebliebenen Fall ist ~ ein ~ I =
@~(p, q, u). I s t dabei u = l, so ist ~ ein @~ u n d d a n n sind sogar alle E l e m e n t e y o n ~ y o n der b e h a u p t e t e n Eigensehaft. I m Falle u ~ 2 bezeiehne U ein E l e m e n t y o n @~ y o n z u s a m m e n g e s e t z t e r Ordnung. D a n n ist n a e h (31) entweder pqlO(U) oder ist O(U) eine Potenz ( ~ q~) y o n q. E n t s p r e e h e n d liegt U ~ bzw. U q naeh (29),
(32)
leieht ersiehtlieh in ~ . Gibt es also ein solehes E l e m e n t U in ~Y)2 r-~ ~Jt', so liegt U p bzw. Ue in ~ r'~ ~ ' . Das s t e h t m i t h in einem Widersprueh, woraus die Be- h u p t u n g folgt.j. 9J~ ist kein ( ~ I I = {~II(P, ~, V) m i t O((~H) > 8. D e n n n e h m e n wir an, dass 9J~ = ~ i i , O((~i) > 8 ist. Bezeiehne U(4- 1) ein E l e m e n t y o n 9)2 r~ 9X'. N a e h h
Ein Satz fiber die endlichen einfachen Gruppen. 143 gilt U ~) = 1. W i t b e h a l t e n fiir GII die B e z e i e h n u n g e n in (33) u n d zeigen, dass U y o n der F o r m
(4,5) U = A~'~'XB ~'~'-~
ist. D e n n setzen wir U----A~B ~. Es ist p~]i, p"-l[k zu zeigen. W e g e n U t ' = ] u n d (37) gilt
d . h . wegen (35)
H i e r a u s fotgt die b e h a u p t e t e T e i l b a r k e i t ffir i u n d k, oder es muss
gelten. D a n n ist a b e t gewiss
also u = 1, p )( k, v ~ 1, p = 2 u n d n a c h (34) O(~J~) -- 8. Mit diesem W i d e r s p r u e h h a b e n wir (45) gezeigt.
Wir zeigen v ---- 1. Sonst liegt n/tmlieh U wegen (45), (38) in 3 u n d aus S y m m e - t r i e g r i i n d e n auch in ~ ' . Das stSsst in h, u n d so ist in der T a t v = 1.
W i r setzen ~ = {A p, B}; es ist ~ m a x i m a l also a u c h n o r m a l in (der p - G r u p p e ) g)~. W e g e n (45) gilt U ~ 9~, u n d so gilt aus S y m m e t r i e g r t i n d e n a u c h U ~ ~ ' . D a
~ , ~ ' Abelseh sind, so ist {U} n o r m a l in {~, 9~'}, folglieh muss {~, ~t'} C @ gelten.
Ausserdem gilt n a e h f 9~ ~= ~ ' .
Wir zeigen, dass {9~, ~ ' } keine p - G r u p p e ist. D e n n n e h m e n wit das GegenteiI an. D a ~ m a x i m M in ~J~ u n d 4= ~ ' ist, so folgt hieraus, dass {~, ~ ' } eine p-Sylow- g r u p p e y e n @, also z u g)~ k o n j u g i e r t ist. N u n sind a b e r alle E l e m e n t e y o n ~ (wegen v = 1) o f f e n b a r y o n einer O r d n u n g < O(A) (-- p,+l). Das gilt a u e h ffir 9?', u n d so folgt aus d e m obengesagten, dass sieh ~J~(-- @II(P, u, 1)) d u t c h E l e m e n t e y o n der O r n u n g < O(A) erzeugen Igsst. Folglieh muss es m i n d e s t e n s ein E l e m e n t AiB~'(p ;c i) m i t O(AiB ~) <=-O(A) = p~ 1 geben. Aus (37) ( m i t t = p~) ergibt sieh wegen (35)
P
also p ~ , p 2, u = 1. Wegen v = 1 sind wit wieder auf den Widersprueh O(g)~) = 8 gestossen. Wir h a b e n gezeigt, dass {~, 9~'} keine p-Gruppe ist.
Hier~us folgt naeh obigem aueh, dass {9?, 9 t ' ) n i e h t a b e l s e h , also m a x i m a l in ist. Da {9~, 9~'} die Abelsche, niehtzyklisehe p-Untergruppe 9t h a t , so muss {~I~, ~?'} naeh w 3 ein ~ ( p , q, u) sein u n d die (einzige) p-Sylowgruppe dieser Gruppe muss 9~, ~?' enthMten. Diese p-Sylowgruppe ist abet Abelseh, u n d so folgt, dass aueh {~, N'} Abelseh ist. Dieser W i d e r s p r u e h beweist die B e h a u p t u n g .
k. 93~ ist kein @IH = (~III(P, u, v) mit O((6ni ) > pa. Der Beweis wird d e m y o n j sehr/ihnlich aber etwas leichter. Wir n e h m e n wieder an, dass die B e h a u p t u n g falsch also 9J~ -= (Slm, O((91i ) > p3 ist, u n d bezeichnen m i t U(~- l) ein E l e m e n t y o n 9)? ~-~ 9)2', wofiir nach h wieder U ~ ' ~ I gelten muss. Aus (43) folgt sofort
(46)
U ---- A p'' ~XBS ~YC z .Wieder zeigt sieh v = 1, d e n n sonst liegt-U wegen (44), (46) in 3, ebenfalls aueh in ~ ' , ein Widersprueh m i t h.
Aus v ---- 1, (40) u n d der A n n a h m e O(9J~) > pa folgt u ~ 2.
W i t setzen j e t z t 9t = {A t,, B, C}; wieder ist 9l maxinlal u n d normM in ~rj~.
N a e h (46) gilt U c ~l u n d aus S y m m e t r i e g r t i n d e n U c 9?', u n d weiter folgt ebenso wie bei j {9?, 95'} C (9, ~? ~ 9Y.
Wieder zeigen wir, dass {9?, ~ ' } keine p-Gruppe ist. Sonst folgt, dass {~?, 9?'}
eine p-Sylowgruppe m i t h i n zu .qrj~ konjugiert ist. Anderseits sind wegen v = 1, u ~ 2 u n d (43) die E l e m e n t e y o n 9l y o n einer Ordnung < O ( A ) ( : p~), desgleiehen die y o n 9V, u n d so 1/~sst sieh ~)2 d u t c h E l e m e n t e v o n der O r d n u n g < O(A) erzeugen.
Folglieh muss es ein E l e m e n t A i B t C m ( p "r i) m i t O(A'iBhC "~) ~ - O(A) 1 ~ - p u - 1 geben, P
ein offenbarer W i d e r s p r u e h m i t (43). I n der T a t ist {N, ~Y} keine p-Gruppe.
Von hier an gilt der Beweis w6rtlieh ebenso wie'bei j, u n d so ist die B e h a u p t u n g riehtig.
1. ?f2 ist kein ffCni-- ~ n l ( P , u, v) mit O ( ~ m ) = pa. D e n n n e h m e n wir an, dass g2 ---- ~JIII, O ( ~ t ] j / ) ~- pa (also u = v ~ 1) ist. Wegen O(gJ~) --~ O(~J~') ist O(9J~ r-~ ~)Y)< p2, d e n n sonst wi~re 9J~ z-~ ~Jl' normal in ~ u n d 9Jt' h n Gegensatz zu f. Wegen b li~sst sieh also ~ r-~ 9J~' = {U} setzen m i t O(U) =- p.
N a e h ( 4 4 ) i s t j e t z t 3 ~ {C}, ~ ' -- {C'}. Diese sind naeh h verschieden, u n d so l/~sst sieh aus S y m m e t r i e g r i i n d e n a n n e h m e n , dass U kein E l e m e n t y o n (C} ist.
W i t setzen ~ = {U, C} u n d
Ein Satz fiber die endlichen einfachen Gruppen.
145
{U, C'}, wenn {U}=4= {C'},
52= {U,A'},
wenn { U } = {C'}.Diese Gruppen ~, 52 sind Abelseh und elementar yon der Ordnung p2, und somit normal in OJ~ bzw. T)~' enthalten. Hieraus folgt naeh e ~ 4= ~2. Andererseits ist {U}
normal in {~, 52}, und so ist diese Gruppe eeht enthalten in 63. Aueh ist sie n i c h t - abelseh, denn sonst wi~re sie Abelseh yon der Ordnung p3 und somit konjugiert zur Sylowgruppe T~; das ist aber unm6glieh, da TJ~ niehtabelseh ist. Naeh diesem ist
{~, 52} niehtabelseh und maximal in (~.
Zuerst nehmen wir an, dass {~, 52} ein ( ~ ist. Da aber {2, 52} die zwei ver- sehiedenen nichtzyklischen Abelsehen p-Untergruppen ~ff, 52 enthi~lt, die elementen- weise nieht miteinander vertausehbar sind, so ist diese Annahme falseh.
Es bleibt nur iibrig, dass {~, 52} eine nichtabelsche p-Gruppe, somit konjugiert zu ~ ist. Dabei sind diese Gruppen versehieden, denn sonst w~tre 52 C ~ ; ausserdem giit 52 C TJ~' also s C___ Ts ~-a ~j~', wobei doeh die reehte Seite gleieh {U} (C !~) ist.
Dieser Widersprueh beweist {~, 52} 4= TT~. Nun ist ~ (maximal also) normal in {~, 52} und TX, folglieh aueh normal in {{~, 52}, gJl} = ~. Dieser Widersprueh be- weist die Behauptung.
m. ~ ist ein (~~ Naeh c ist n~tmlieh ~ ein (~* und nach g, j, k, 1 keine p-Gruppe (man nehme in Rfieksieht, dass der Ausnahmefall ~J~ ---- ~H, O(6Jli) = 8 yon j wegen (~ii(2, 1, 1) = (~iii(2, 1, 1) in 1 erledigt wurde). Folglieh ist ~J~ ein I~I =- (~I(P, q, U). W i r haben also nut noch u = 1 zu zeigen. Nehmen wir deshalb u ~ 2 an.
Da das obengesagte ftir alle maximalen Untergruppen yon 63 gilt, so kSnnen wit hieraus die Bemerkung voransehicken, dass alle Sylowgruppen von (~ Abelsch und zwar zykliseh oder elementar sind.
Bezeichne G0 die p-Sylowgruppe yon ~ , die also elementar v o n d e r Ordnung p~ und normal in ~ ist. Wir setzen ~ ~ {Go,
Qq}.
Dies ist die einzige (maximale) Untergruppe yon der Ordnungp~qU-1
yon (~i, ist auch normal und Abelsch.Go ist auch eine Sylowgruppe yon (~. Bezeichne n~tmlich @ eine Sylowgruppe yon (~ fiber Go. W~tre Go C 6 , so w~re Go normal in ~ und ~c)~, also auch in ~ = {Go, ~ } . Dies ist unm6glich, und so ist in der Tat Go = 6 . Deshalb schreiben wir naehher ~ statt 6o.
~ ' ist nicht enthalten in ~J~, denn nach e ist ~ ' ~= ~, und ~ ist die einzige Untergruppe yon g2 v o n d e r Ordnung
p~qU-~.
Wir zeigen, dass ~ , ~ ' fremd sind. Denn setzen wir ~o = ~ r~ ~ ' und nehmen
1 0 - 6 4 2 1 3 8 Acta mathematica. 8 4
~o # 1 an. ~0 ist normal in ~J~ und 9~', folglich auch in {9~, ~t'}, und so ist letztere Gruppe echt enthalten in (9. Auch ist sie nichtabelsch, denn sonst mfissen die in den ~ , 9~' enthaltenen Sylowgruppen 6 , 6 ' von (~ gleich sein; dies bedeutet 6
X 6 X -1,
woraus folgt, dass 6 normal in 6j = {~J~, X} ist. Wegen dieses Wider- spruehs ist {~t, ~'} in der T a t nichtabelseh, und so ist es nach obigem ein (9 I.Dabei ist 6 nicht normal in {~, ~'}. Da n i m l i e h ~ ' nicht in 2 liegt, so ist (~ = { 2 , ~'}; w i r e n u n 6 normal in {~, ~'}, so mfisste es auch normal in (9 sein, was nicht sein kann. Andererseits ist 6 eine Sylowgruppe yon {~t, 9~'}, und so folgt aus beiden n a c h w 3, dass 6 zykliseh ist. Es ist auch elementar v o n d e r Ordnung p~, woraus folgt e = 1 ( 0 ( 6 ) = p). Wegen
qlO(~)
gilt noch mehr qlO({~, ~'}). An- dererseits folgt aus 0 ( 6 ) = 15, dasspllO(q~)
und so ist aueh1)110({?~,
~'}). Beide ergeben, da {~, ~'} ein @~ ist, dass 0({~, ~'}) =pqt
gilt mit einem t > 1. Nun h a t also {~, ~t'} naeh w 3 eine einzige normale Sylowgruppe ~ . Diese ist aueh elementar und yon der 0 r d n u n g p oderqt.
Andererseits haben wir schon bemerkt, dass 6 nicht normal in {~, ~'} ist, und so muss 0 ( ~ ) =qt
gelten. Da ferner {9~, ~'}maximal in @ ist, so 1/~sst sieh das oben fiber (60 = ) 6 bewiesene aueh auf anwenden, naeh dem also 6 eine q-Sylowgruppe yon | ist. Das hat zur Folge, dass es (wie in 6 auch) in (~ keine Elemente yon einer dureh q~ teilbaren 0 r d n u n g gibt. Das ist aber ein Widerspruch, da schon 2 zyklische q-Sylowgruppen yon der 0 r d n u n g q~(> q~) e n t h i l t . Wir haben gezeigt, dass ~, ~ ' fremd sind.
Wegen ~ = {6, Q~} und (31) besteht ~ aus allen Elementen yon 2 , deren 0 r d n u n g # q~ ist. Ahnlieh besteht ~ ' aus allen Elementen yon 2 ' , deren 0 r d n u n g
# q~ ist. Hieraus folgt nach dem eben bewiesenen, dass alle Elemente ( # 1) yon 2 r', 2 ' yon der 0 r d n u n g q~ sind. Wegen u > 2 folgt hieraus offenbar, dass 2 r~ 2 ' fiberhaupt kein Element # 1 enth~lt. Dies steht mit b in einem Wider- spruch, womit wir (m und auch) den Teil 2 ~ des Satzes bewiesen haben.
w 5. B e w e i s des Zusatzes.
Alte Behauptungen 1.-13. des Zusatzes beweisen wir der l~eihe nach so:
ad 1: Dies ist n i m l i c h eine Wiederholung der Definition yon ~15.
ad 2: Bezeichne 6 eine Sylowgruppe v o n @ . Da 6 kein (9 ~ ist, so ist es in e i n e m (9~ (9i(p, q, 1)) echt enthalten. Hieraus folgt die Behauptung.
ad 3: Denn betrachten wir zwei verschiedene, nicht fremde Sylowgruppen 6 , 61, die dann notwendig zu demselben p geh6ren, und setzen ~ ) = 6 r-~ 61(#1).
Dann ist ~) normal in {6, 61}, folglich ist diese Gruppe echt enthalten in ~. Auch
Ein Satz fiber die endlichen einfachen Gruppen. 147 muss sie nichtabelsch, d . h . ein (~~ q) oder (~~ p) sein. Von diesen Gruppen kann aber nur die erste die p-Gruppe ~ normal enthalten, und dabei muss ~) die p-Sylowgruppe yon (~~ q) ( ~ ( ~ , ~1}) sein. Hieraus folgt O(@)JO(~)). Da auch O(~))t0(~) gilt, so ist O(~) ---- O(,~) ( ~ O(~,)). Hiernach enthi~lt (~O(p, q) die ver- schiedenen normalen Sylowgruppen @, ~1. Dieser Widerspruch beweist die Be~
hauptung.
ad 4: Die maximalen Untergruppen (~o yon ~ enthalten n~mlich nur solche echten Untergruppen, die von Primzahlpotenzordnung sind.
ad 5: Bezeichne @ eine Sylowgruppe yon ~ und ~ ihren Normalisator. Wegen des schon bewiesenen 4. gentigt es zu zeigen, dass ~ C ~ gilt. Andernfalls w~re sein eigener Normalisator, und dann folgte aus 3. und dem Satz von Frobenius TM der Widerspruch, dass ~ nichteinfach ist.
ad 6: Folgt aus 5.
ad 7: Denn bezeichne ~ eine Sylowgruppe yon ~, C0 eine echte Untergruppe yon ihr, ~0 den Normalisator yon ~o. Wegen 2. ist ~ ~ ~}o- Wenn also die Be- hauptung falsch ist, so ist @ C ~0, also nach 4. ~0 ein (~o. Dies enth~lt aber nur die einzige echte normale Untergruppe ~, dieser Widerspruch beweist die Behauptung.
ad 8: Ni~mlich ist jedes Element in einem (~~ enthalten.
ad 9: Es seien U, V zwei vertauschbare Elemente yon ~. Dann ist (U, V}
Abelsch, und so folgt die Behauptung aus 4.
ad 10: Da ~ ) sein eigener Normalisator ist, so folgt die Richtigkeit yon (8).
ad 11: Betrachten wir ein ~ p = ( ~ ~ p') und eine der Konjugierten ~p(~:~p).
Wir setzen ~ --~ ~p r-~ ~p. Die p-Sylowgruppen yon ~p, ~p sind verschieden, denn sie haben die verschiedenen Normalisatoren ~p, ~p, folglich sind sie nach 3. auch fremd. Hieraus folgt p ~ 0 ( ~ ) , und so ist in der Tat nur 0(~)) ~ 1 oder p' mfglich.
Der zweite Fall hiervon muss nach w 4 b ffir mindestens ein ~p wirklich vorkommen, und so ist die Behauptung richtig.
ad 12: Da jedes ~p genau p~--I Elemente p-ter Ordnung enth~tlt, so folgt (9) aus (8) und 2. Wegen 8. ergibt sich dann (11) aus (9). Nach 9. hat jedes Element p-ter Ordnung genau -- Konjugierte, und so folgt hieraus und aus (9) die Richtig-
p~
keit von (10). Aus ( l l ) ergibt sich auch (12).
ad 13: Es geniigt zu zeigen, dass es in @ zwei Elemente X, Y ( # 1) gibt, die in keiner maximalen Untergruppe ~p ~ q6~ p') liegen. Das trifft gewiss zu, wenn
O(X), O(Y)
ein Paar verschiedener Primzahlen ist, das mit keinem Paar p, p' (oder p', p) iibereinstimmt. Bezeichne t die Anzahl aller verschiedenen Primfaktoreny o n v. D a n n ist t zugleich die A n z a h l der P a a r e p, p ' , a n d e r e r s e i t s lassen sich a u s d e n v e r s c h i e d e n e n P r i m f a k t o r e n y o n v g e n a u ( ; ) P a a r e bilden. W e n n also ( ; ) > t, d . h . t > 3 ist, so folgt aus d e m o b e n g e s a g t e n die R i c h t i g k e i t der B e h a u p t u n g . D a w e g e n der E i n f a c h h e i t y o n (~ t > 3 isC 3, so h a b e n wir n u t n o c h d e n F a l l t = 3 zu u n t e r s u c h e n . B e z e i c h n e n w i t m i t p, q, r die v e r s c h i e d e n e n P r i m f a k t o r e n y o n v.
K o m m e n n i c h t alle P a a r e p, q; p, r; q, r (in i r g e n d e i n e r R e i h e n f o l g e der E l e m e n t e ) u n t e r d e n p, p'; q, q'; r, r' vor, so schliesst m a n e b e n s o wie v o r d e m . I m iibrigge- b l i e b e n e n F a l l gilt m i t g e e i g n e t e r B e z e i c h n u n g
p ' : : q , q ' = r , r ' = p .
1 1 1
Aus (12) folgt n o c h - + - -t - > 1, u n d so miissen p, q, r in i r g e n d e i n e r R e i h e n f o l g e p q r
m i t 2, 3, 5 f i b e r e i n s t i m m e n . D a s li~sst n u r die zwei M6glichkeiten zu:
2 ' = 3 , 3 ' = 5 , 5 ' = 2 o d e r
2 ' - - 5 , 5' = 3 , 3' = 2 .
D a i m a l l g e m e i n e n e = O ( p ( m o d p ' ) ) gilt, so m u s s e n t s p r e c h e n d v : 2 " - 3 4 . 5 bzw. v = 24. 3 . 5 ~ sein. M a n r e c h n e t a b e t leicht n a c h , d a s s (11) in k e i n e m dieser zwei Fglle b e f r i e d i g t ist, w o m i t wir d e n Z u s a t z bewiesen h a b e n .
w 6. B e w e i s v o m T e i l 3 ~ d e s S a t z e s .
W i r zeigen z u e r s t folgendes (tibrigens b e k a n n t e s ) L e m m a , y o n d e m wir i m n a c h - f o l g e n d e n Beweis y o n 3 ~ w i e d e r h o l t G e b r a u c h m a e h e n w e r d e n .
I r g e n d z w e i v e r s e h i e d e n e E l e m e n t e X , Y v o n 2-ter O r d n u n g einer G r u p p e e r z e u g e n s t e t s eine D i e d e r g r u p p e . W i r d Z = X Y g e s e t z t , so gilt X Z X - I = Z -~
u n d O({X, Y}) = 20(Z). Alle v e r s e h i e d e n e n E l e m e n t e y o n {X, Y} sind Z i u n d x z i ( i = 0 . . . . , O ( Z ) - - I ) , die l e t z t e r e n sind y o n 2-ter O r d n u n g .
H i e r v a n b r a u e h e n wir n u t X Z X -1 = Z -~ zu zeigen. Diese Gleichung ist richtig, d e n n links u n d r e c h t s s t e h e n die gleichen E l e m e n t e Y X - I , Y - ~ X -~.
Bezeiehne n u n m e h r @ eine (einfache) G r u p p e m i t l a u t e r A b e l s c h e n zweit- m a x i m a l e n U n t e r g r u p p e n u n d g e r a d e r O r d n u n g . W i t h a b e n zu beweisen, dass
= q~0 ist.
2a t ~ 3 folgt auch aus (12).
Ein Satz tiber die endlichen einfachen Gruppen. 149 Wir i i b e r n e h m e n ftir (~ alle B e z e i c h n u n g e n des Zusatzes, so dass d a n n j e t z t 2Iv gilt. I n s b e s o n d e r e setzen wir
(47) 2 ' = ~ r , 2~l[v, ~[2~--1 c = O ( 2 ( m o d ~ ) ) ,
wobei d a n n : r e i n u n g e r a d e r P r i m f a k t o r y o n v ist u n d n o t w e n d i g c > 2 gilt9 Die Anzahl der 2 - S y l o w g r u p p e n | ist n a c h (8)
?)
(48) ~ _
2c7~
W i r w~hlen ein @2 fest, das wir m i t ~ bezeichnen. Alle E l e m e n t e ( # 1) y o n u n d den tibrigen @2 b e z e i c h n e n wir bzw. m i t (vgl. Z u s a t z 2., 3.):
(49) A 1 . . . . , A2~_ 1 ,
(50)
B 1, 9 . . , B ( i t _ l ) ( 2 c _ U 9Wir bilden alle P r o d u k t e AiBj, ihre Za,hl ist
(51) ( ~ . 1) (2 ~ - 1 ) 2 ,
u n d zeigen, dass sie alle v e r s c h i e d e n sind. W e n n n~mlieh A i B j ~ A k B t i s t , so ist Bj ~-- (AiAk)B l y o n der 2-ten Ordnung, d. h. (A,:A~)B t = Bt(AiAk). Dies ist wegen Zusatz 9. n u r m i t AiA k = 1 m6glich, u n d d a n n gilt A i = A k , B j = B l. I n der T a t sind die AiBj verschieden.
Wir zeigen
(52) ~ = 2 ~ - 1 .
N a c h d e m j e t z t bewiesenen ist (51) die Mindestzahl der E l e m e n t e ( # 1) v o n ~, u n d so folgt aus (48)
v = 2 ~ / ~ > ( f ~ - - l ) ( 2 ~ - 1 ) 2 .
W~re n u n (52) falseh, so ist wegen (47) 2 ~ - 1 ~ 3~, u n d d a n n h a t m a n aus v o r i g e m
H i e r a u s folgt
3(2c--1) > / ~ ( 2 . 2~--3) 9 W e g e n (48) ist aber ,u ~ 3, u n d so folgt wetter
2c--1 > 2 - 2~--3 d . h . 2 > 2 ~, c < 1. Dieser W i d e r s p r u c h beweist (52).
D a wieder n a c h Zusatz 9. alle P a a r e A~, Bj u n v e r t a u s c h b a r sind, so sind die
( A i , Bj} n a c h d e m L e m m a n i c h t a b e l s c h e D i e d e r g r u p p e n , zugleich also m a x i m a l e U n t e r g r u p p e n y o n @. D a n n muss jedes {Ai, B j } ein (~~ 2) sein 24.
W i r b e z e i c h n e n deshalb m i t p~ . . . . , pt(t ~= 1) alle v e r s c h i e d e n e n P r i m f a k t o r e n y o n ~ m i t der E i g e n s c h a f t , dass es in @ U n t e r g r u p p e n (~~ 2) gibt. (Mit a n d e r e n W o r t e n sind die p~ sgmtliche LSsungen y o n p~ = 2) 25. W e g e n p, 4= 2, 21p,--1 ist O(p~. (rood 2)) = 1 u n d so enthi~lt v alle p, n u r e i n m a l :
(53) A u c h gilt (54)
p i . . . . , p~l I~'.
o ( ( ~ ~ 2 ) ) = 219~ (~ - 1 . . . . , t) . E s folgt noch, dass alle A i B j v o n einer O r d n u n g p~, . . , Pt sind~%
W i r zeigen
(55) t = 2 .
M a n n s u m m i e r e n~mlich in (13) n u r fiber die p = pa . . . Pt; jedesmal ist wegen (53) e = 1 zu setzen, u n d so folgt
d. h.
1 > ~ , ~ ~ - - ~ 1 - - ,
i=1 2Pi 2.= Pl
1 1
- - + . . . + -- > t - - 2 .
I91 Pt
Die linke Seite ist im Fall t > 3 n i c h t gr6sser als 8 9 u n d so muss t < 2 gelten. Z u m vollen Beweis y o n (55) n e h m e n wir t = 1 an. D a n n sind alle A i B / v o n d e r O r d n u n g Pl. W e g e n (9) ( a n g e w a n d t ffir p = Pl) u n d (51) Iolgt hieraus
v(Pl--1) :> ( # - - 1 ) (2c--1) 2 . 2px
N a c h (52) gilt d a n n
- > ~ ( z - 1 ) ( 2 c - 1 ) . 2
Man setze (48) ein:
24 Die a n d e r e Moglichkeit {Ai, B]} ~ ~ ~ p) f~llt aus, d e n n die einzige echte n o r m a l e U n t e r - g r u p p e dieser G r u p p e ist ein ~ also (wegen c ~ 2) nichtzyklisch, wobei d o c h alle D i e d e r g r u p p e n min- d e s t e n s eine zyklische echte n o r m a l e U n t e r g r u p p e e n t h a l t e n .
25 W i r wollen b e m e r k e n , d a s s ~ s e h r w o h l u n t e r den Pl . . . . , Pt v o r k o m m e n k a n n , d e n n 2' = ~, z ' = 2 schliessen e i n a n d e r n i c h t aus.
~ Weil n~mlich {AiB]} die einzige echte n o r m a l e U n t e r g r u p p e y o n {Ai, B]} ist,
