Gravitino dans l'Univers primordial : un modèle d'extra-dimension et de matière noire

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d’extra-dimension et de matière noire

David Gherson

To cite this version:

Institut de Physique Nu léaire de Lyon

Mémoire de thèse

pour l'obtention du grade de

Do teur de l'Université Claude Bernard - Lyon 1

Spé ialité : Physique théorique

autitre de l'É ole do torale de Physique etAstrophysique fondamentale Rhne-Alpes

présentée et soutenue publiquementle 30O tobre 2007

par M. DavidGherson

Gravitino dans l'Univers

primordial : un modèle

d'extra-dimension et de

matière noire

Je remer ie mon Dire teur de thèse, Aldo Deandrea, pour ses onseils, son aide et sa

gentillessetout aulongde ettethèseet, aussi, Karsten Jedamzik,GilbertMoultaka,pour

leurs onseilsetleursympathie.Jeremer ieJoséPa he odem'avoirinitiéàlaCosmologie.

Jeremer iel'ensemblede mesprofesseurs duDEAde PhysiquethéoriquedeLyonpour

leur pré ieuxenseignement et parti ulièrement ledire teur du DEA, François Deldu .

Jeremer ie tous mes amis de l'IPNLpour leur soutien etleur sympathie.

Jeremer ie, enn,ma famillepour son soutien.

Sommaire

1 Introdu tion 9

2 Cosmologie 15

2.1 Le modèle du Big-Bang. . . 15

2.1.1 La métrique de Robertson etWalker . . . 15

2.1.2 Les équationsd'Einstein . . . 16

2.1.3 L'équation de Friedmann . . . 16

2.1.4 La singularité initiale . . . 17

2.1.5 Les Géométries de l'Univers . . . 18

2.2 L'Univers aujourd'hui :observations et onséquen es . . . 18

2.2.1 Le fonds dius osmologique : Cosmi Mi rowave Ba kground Ra-diation . . . 18

2.2.2 Lesabondan es des élémentslégers,lenombre debaryons, etle pro-blème du Lithium . . . 19

2.2.3 L'expansion etl'a élération de l'Univers . . . 20

2.3 La matièrenoire. . . 21

2.3.1 Théorie etnature de la matièrenoire . . . 21

2.4 La Quintessen e . . . 23

2.4.1 Quintessen e Vs onstante osmologique . . . 23

2.4.2 Les potentielsattra teurs . . . 25

2.4.3 Petite digression sur l'énergie du vide . . . 25

2.5 L'ination . . . 26

2.6 Con lusion . . . 30

3 Au-delà du Modèle Standard 33 3.1 Introdu tion . . . 33

3.2 Supersymétrie: des eets intéressants . . . 34

3.3 Notations . . . 35

3.4 L'algèbre. . . 36

3.5 Théorie des hamps . . . 38

3.5.1 Le lagrangien libre globalementsupersymétrique . . . 38

3.5.2 Les intera tions du multiplet hiral . . . 39

3.5.3 Théorie de jaugesupersymétrique . . . 40

3.5.4 Les modèles

N ≥ 2

. . . 41

3.5.5 Quelques mots sur le formalismedes super hamps . . . 42

3.6 Lesmodèles supersymétriques à basse énergie . . . 42

3.6.1 Lazoologiedu Modèle Standard Supersymétrique Minimal . . . 43

3.6.2 Lemodèle . . . 44

3.6.3 Labrisure dou e de la supersymétrie . . . 45

3.7 Labrisure de la supersymétrie . . . 46

3.7.1 Terme Fet terme D . . . 47

3.7.2 Supersymétrielo aleou Supergravité . . . 49

3.7.3 Supergravité . . . 49

3.7.4 Lemé anisme de Super-Higgs . . . 51

3.7.5 Couplage de la Supergravité àla matière . . . 52

3.7.6 Théorieee tive aux basses énergies . . . 53

3.7.7 Con lusion sur la brisurede lasupersymétrielo ale . . . 55

3.8 Vers une "Théorie de Tout" . . . 56

3.8.1 Lesproblèmes de lagravité quantique. . . 56

3.8.2 Introdu tion àla théorie des ordes . . . 57

3.8.3 Lesgrandes lasses de théories de ordes . . . 59

3.8.4 Lastru ture non-perturbative de la théorie . . . 60

3.8.5 Compa ti ations,prédi tions et limitesdes théoriesde super ordes 63 3.9 Lesdimensions supplémentaires . . . 64

3.9.1 Pourquoi (pas) des dimensionssupplémentaires? . . . 64

3.9.2 Lesdiérents types de modèles . . . 65

3.9.3 Signatures expérimentales . . . 66

3.9.4 Des dimensions en moins à hauteénergie? . . . 67

3.10 Con lusion . . . 67

4 Gravitino et Supergravité 69 4.1 Appro he heuristique de lasupergravité. . . 69

4.2 Supergravité minimale . . . 71

4.3 LeLagrangien général de supergravité . . . 74

4.3.1 Lestermes d'intera tions pertinents du gravitino. . . 78

4.4 Lesthéories de ordes etla supergravité . . . 79

4.5 Legravitino . . . 79

4.5.1 Notations: rappels . . . 79

4.5.2 Leséquations de Rarita-S hwinger . . . 80

4.5.3 Fon tiond'onde etsomme sur les états de spin . . . 81

4.5.4 Sommesur lesétatsd'héli ité

±3/2

pourun gravitinode trèsgrande masse oude masse nulle . . . 84

4.6 Cal ulde l'abondan e primordialede gravitinos . . . 86

4.6.1 Leséquations de Boltzmann . . . 87

4.6.2 Lesintera tions du gravitino . . . 89

4.6.3 Lespro essus de produ tion . . . 90

4.6.4 Le al ul par la méthode des hard thermalloop resummation . . . 93

4.6.5 Résultat pour l'abondan e . . . 97

4.6.6 Cal ulde l'abondan epour des massesde gravitinononnégligeables

par rapportà l'é helle d'énergie . . . 98

5 Extra-dimension et gravitino : le modèle 103 5.1 Contexte . . . 103

5.2 Introdu tiondétailléeau modèle . . . 103

5.3 Intera tion entre KK gravitinos et MSSM . . . 106

5.4 Abondan es des KK modes . . . 108

5.5 Désintégration des modes de gravitino . . . 109

5.6 Neutralinos . . . 111

5.7 Le modèle . . . 113

5.7.1 Les masses . . . 113

5.7.2 Valeurs numériques . . . 114

5.7.3 Les équationsde ontrainte . . . 114

5.8 Gravitons . . . 116

5.9 Resultats. . . 119

6 Con lusions et perspe tives 131 7 Annexe : as

m

lsp

= 200

GeV 133 Référen es . . . 142

C

h

ap

it

re

1

Introdu tion

Une nouvelleère dans l'histoire de la osmologie a ommen é durant les dernières

an-nées. Les observations [1℄,[2℄ ont apporté de nouvelles perspe tives dans la quête d'une

théorie globaledu osmos.

Les énarioduhotbigbangsemblese onrmer.Pourtant,denombreuxmystèresetzones

sombres de notre ompréhensiondemeurent.Le mot sombre prend toutesa valeur

lors-qu'on pense à la présen e de matière noire et d'énergie noire. La matière noire n'est pas

de lamatièrebaryonique maisuneautre formede matièrequiseraitrévélatri ed'une

phy-sique au-delà du modèle standard de la physique des parti ules. La matière noire dans

l'univers plat qui semble être lentre d'après lesobservations représenterait environ

21%

de laquantité totale d'énergie-matièredans l'Univers, lamatière ordinaire

4%

etl'énergie noire

75%

.

Cette dernière semble en ore plus mystérieuse que la matière noire. Pourtant, elle n'est

quel'expression del'énergiedu vided'unethéoriequinousé happeen ore.L'énergie noire

que ertains nommentla quintessen e ( inquièmeélément)peut être dé ritepar un uide

à pression négative qui emplirait l'Univers et dont l'a tion est l'a élérationde l'Univers.

On peut ladé rire soitpar une onstante osmologique dans leséquations d'Einstein,soit

par un hamp s alaire dynamique muni d'un potentiel. Nous reviendrons sur es points

dans lapartie du présent manus ript on ernant la osmologie.

La matière noire quant à elle fait l'objet de tentatives théoriques pour la dé rire et de

tentatives expérimentales pour la mettre en éviden e. Des travaux sont entrepris pour la

déte ter dire tementetindire tement.Con ernantl'appro hethéorique,denombreux

an-didats ontété proposés dans le adre de laphysique des parti ules diteau-delà du modèle

standard.

Parmi lesextensions possibles du modèle standard de laphysique des parti ules,la

super-symétrie est l'extension favorite des physi iens des hautes énergies. Cette symétrie relie

boson à fermion et fermion à boson. Elle implique la présen e d'un spe tre de parti ules

partenaires supersymétriques des parti ules du modèle standard au-delà de l'é helle

éle -trofaible.Cette extensiondu modèlestandard est appré iéedes physi iens ar leproblème

dit de la hiérar hie entre l'é helle éle trofaible et l'é helle de Plan k est résolu par la

supersymétrie basse énergie 'est-à-dire ave des parti ules supersymétriques de masse

supérieures ouégalesàl'é helle éle trofaiblejusqu'àdes masses de l'ordrede ladizainede

TeV.L'uni ationdestrois ouplagesde jaugeàhauteénergieseproduit mira uleusement

ave l'adjon tiondu spe tre des parti ules supersymétriques. Enn, une symétrie globale,

laR-paritérémines en e basseénergied'unesymétrieévitantlesintera tionsqui hangent

lasaveur, permetlaprésen e d'uneparti ulesupersymétriquestable appeléLSP(Lightest

Supersymmetri Parti le) qui pourrait être la omposante prin ipale de la matière noire

osmologique. D'autres raisons plus fondamentales ont introduit la supersymétrie omme

un andidat naturelàl'extensiondu modèlestandard :la supersymétrie permetd'étendre

l'algèbrede Poin aré des transformationsd'espa e-temps.

Ce dernier point n'est pas anodin pour la suite de notre exposé. En eet, ette extension

de l'algèbre de Poin aré fait rentrer naturellement la gravité dans le domaine de la

phy-siquedesparti ules puisquelagravitéausens einsteinienduterme estdire tementreliéeà

l'espa e-temps don à l'algèbrede Poin aré. Enl'o uren e, lagravité fait son apparition

dans lathéoriesupersymétrique lorsque lestransformationsde supersymétriesontrendues

lo ales. Cette extensionhaute énergiede la supersymétrieglobales'appelledon la

super-gravité.Deuxnouveaux typede parti ulesfont leurapparition:legravitonetlegravitino.

Le graviton possède un spin 2 et le gravitino qui est son partenaire supersymétrique un

spin

3/2

. Le gravitino est au entre des travaux du présent manus ript omme nous le verrons par lasuite.

Après ette brève introdu tion à la supersymétrie, revenons aux aspe ts osmologiques.

Nos travaux, omme le laisse présager le paragraphe pré édent, font l'hypothèse d'une

parti ule supersymétrique stable, le LSP, pour rendre ompte de la matière noire dans

l'Univers. D'autres s énarii ont été envisagés par la ommunauté s ientique. On peut

iter la théorie MOND [3℄ qui prévoit une modi ation de la gravité ave l'é helle. On

peut iter d'autres andidatsprévus par desthéoriessans supersymétrie, des théoriesave

dimensions supplémentaires omme UED (Universal Extra Dimension) qui prévoient une

parti ulestable (Lightest Kaluza-KleinParti le) quiest le andidat à lamatièrenoire [4℄.

Enn, il existe des modèles ré ents [5℄ omme le

ν

MSM qui est le modèle standard plus des neutrinos massifs droits et gau hes ave le neutrino droit le plus léger andidat pour

lamatière noire.

Con ernant nos travaux,nous nous sommes pla és,dans un modèle supersymétrique ave

pour obje tifde rendre omptede laquantité observée de matièrenoire. Cependant notre

modèlesupersymétrique n'estpas restreintau lassiqueMSSM (MinimalSupersymétrique

Standard Model). Le MSSM est le modèle supersymétrique dont le ontenu en parti ules

est minimal. Notre modèle est un modèle de supergravité au sens qu'il ontient en plus

du MSSM,legravitino.Nousutiliserons leLagrangiende supergravitépour déterminerles

intera tions du gravitinoave le MSSM.

Pourquoi travaillerdans e ontexte? Quelles sont lesmotivationsd'un tel hoix?

Les raisons sont d'ordre théorique. Depuis plus de vingt ans, une théorie appelée théorie

des ordestententd'in lurelagravitédansle ontextedelathéoriequantiquedes hamps:

réaliserle rêve d'avoir unethéorie quipermettede tout dé riredans un seul s héma

théo-rique. En eet, l'intera tion gravitationnelle, à la diéren e des intera tions faible, forte

et éle tromagnétique, ne peut pas être dé rite dans le adre d'une théorie quantique des

hamps. Si l'on tentede dé rirele hamp de gravitéou autrement dit lamétrique omme

un hamp quantique, la théorie devient très vite divergente non renormalisable.La

rie des ordes postule que les parti ules ne sont plus des points sans dimension mais des

objetsunidimensionnels des  ordes. Lorsque l'onquantie lespe tre de vibrationsde es

ordes, on obtient des parti ules de diérents spins et, parmi elles, une parti ule de spin

2, identiée augraviton. Lesdivergen es de lathéorie quantiquedes hamps disparaissent

ar l'intera tionn'estpluspon tuel:onnepeut eneetplusrappro herde manièreinnie

deux parti ules ar la dimension de la orde donne une limite à e rappro hement.

Pour-tant,lathéorieprésentedesanomalies,ausensthéoriedes hampsdumot,à4dimensions:

es anomaliesdisparaissentlorsquelathéoriepossèdeaumoins26dimensions(25d'espa e,

unedetemps)pourle asdela ordeditebosoniqueetaumoins10dimensions(9d'espa e,

une de temps) pour lesthéories ditesde super ordes, théories danslesquelles des fermions

apparaissent : dans es théories, les parti ules peuvent être perçues non plus omme des

ex itations de la orde dans l'espa e usuel 1

mais omme des ex itations de la orde dans

lesuperespa e ( 'est-à-direl'espa eusuel plusdeux oordonnéesgrassmaniennes).Ilexiste

5 théories de super ordes reliées entre elles par diérentes relation de dualité. Une de es

relations de dualité,laS-dualité, permet de prédirel'existen e à ouplage fortd'une

théo-rie à 11 dimensions, la M-théorie. Nous reviendrons sur ette notion de dualité dans un

paragraphe onsa ré auxthéoriesde ordes. LaM-théorie 2

est une théorienon é rite dans

le sens oùson a tionest in onnue. Par ontre, son a tionbasse énergieserait, du pointde

vue théorie des hamps, une supergravité à 11 dimensions [6℄ ave un générateur de

su-persymétrie(

N = 1

).La supergravité prendun nouveau statut: eluide théorieee tive. Lors de sa réationdans lesannées 1970, less ientiques pensèrent qu'ils pouvaients'agir

d'unethéoriedutoutmaisilss'aperçurentquelathéorieétaitnonrenormalisable.L'intérêt

pour ette théorie diminua un peu jusqu'à l'avènement des théories de super ordes et de

la M-théoriequi renouvelal'intérêtpour ette théorieen l'interprétant ommeune théorie

ee tivebasseénergied'unethéoriede ordes,etdon valablejusqu'àune ertaineénergie.

La M-théorie serait au sens de lathéorie des ordes la théorie du tout : ha une des inq

théories de super ordes peut être vue omme un développement perturbatif autour d'un

vide diérent de laM-théorie.Cette théorie, ommenous l'avons é rit,vit dans un espa e

à 11 dimensions (10 d'espa e et une de temps).La dimension supplémentaire par rapport

aux autres théories de super ordes 'est-à-direla

11

ème serait plus grande queles autres pourpermettre l'uni ationdes ouplagesde jaugeave lagravité.Les hémagéométrique

de la théorie est le suivant : deux membranes à 10 dimensions ave les groupes de jauge

E

8

sur ha une, séparée par la11ème dimensionde géométrie

S

1

_/Z

2

.Une membrane or-respondrait ànotre monde,l'autrepourraitdé rirele se teur a hé né essaire à labrisure

de la supersymétrie. Comme la dimension séparant les membranes est plus grande que

les autres dimensions supplémentaires, l'Univers a pu onnaître une phase de son histoire

où il est apparu avoir 5 dimensions : deux membranes à 4d séparées par une dimension

supplémentaire. En eet, plus l'énergieest élevée, plus petite est la taillede la dimension

a essible.

Bienquetouslesmodèlesave dimensionssupplémentairesneseratta he pasàunethéorie

1

usuel...maisave 9dimensionsd'espa e! 2

Mpourmysterious,magi , mother,matrix...

de super ordes, de très nombreux travaux ont été faits à 5 dimensions. Deux prin ipales

dire tions ont été suivies : le modèle ADD [7℄, [8℄ où l'extra-dimension est plate et les

modèles de Randall-Sundrum [9℄ où l'extra-dimension est ourbe. Dans es modèles, le

problème de la hiéra hie est réglée par la taille et la géométrie de l'extra-dimension : la

supersymétrie peut ne pas être intégrée. Il existe des versions supersymétriques [10℄,[11℄,

[12℄, [13℄,[14℄ de es modèlesqui peuvent seratta her de manièreplus naturelleaux

théo-ries de super ordes.Les travauxentreprissur lesdimensions supplémentaires ontété faits,

soitsur desmodèlespour traiterde laphénoménologiedes parti ules,soitsur desmodèles

traitant de osmologie (brane world) [15℄. Nous reviendrons dans un paragraphe sur les

diérentsmodèles d'extra-dimension.

Nous nous sommes pla és dans la présente étude dans un modèle de supergravité à inq

dimensions ave seulement les hamps de supergravité 3

(graviton, gravitino) autorisésà se

dépla erdansl'extra-dimensionetles hampsdematièreetdejauge ontraintsàrestersur

labrane.C'estlemodèlequiserappro he de lamanièrelaplussingulièrede laM-théorie.

Dans ette théorie, seuls les hamps de supergravité sont autorisés à se propager dans le

bulk 'est-à-diredanstouteslesdimensionset, auniveaugéométrique, ommenousl'avons

expliqué, la M-théorie est dé rite par deux membranes séparées par une extra-dimension

de géométrie

S

1

_/Z

2

. Notre modèle possède inq dimensions, il est supersymétrique ave deux membranes à 4 d séparés par une extra-dimension ompa te,

S

1

_/Z

2

, 'est-à-dire un er le muni de la symétrie

Z

2

(orbifold). On dit que les membranes se situent au points xes de l'orbifold (pointsxes sous

Z

2

).Les membranesn'ontpas de tensionet lemodèle ne possède pas de onstante osmologique. [16℄ ont montré que e modèle ne permettait

pas de retrouver l'équation de Friedmann lassique. [17℄ ont montré qu'en ajoutant une

onstante osmologique sur la membrane et dans le bulk, donnant ainsi une géométrie

type Randall-Sundrum, l'équation de Friedmann usuelle était retrouvée en dessous d'une

ertaine énergie. Enn, [18℄ ont montré que lorsque le radion était stabilisé (le radion est

le hamp paramétrisant lesu tuations de l'extra-dimension) l'équation usuelle de F

ried-mannétaitretrouvée danslesmodèlesà onstante osmologiquenulle. Lemodèlequenous

onsidérons possède don la ara téristique d'avoir un hamp de radionstabilisé.

Nous avons onfronté les observations (densité de matière noire dans l'Univers,

nu- léosynthèse primordiale) à la présen e d'une parti ule, le gravitino, produit dans le bain

thermiquequia pré édé l'inationpar des pro essusde ollisionsinélastiques. Nousavons

supposé que la matière noire était omposée d'une partie thermique et d'une partie non

thermique provenant de la désintégration du gravitino et de ses modes de Kaluza-Klein.

Cettematièrenoireest supposéeêtre leneutralinoqui,danslemodèle, estleLSP.Dansle

ontexte d'une dimension supplémentaire, nous avons pu on lure qu'il existe des limites

sur la taillede la inquièmedimension ompa te.

La present do ument s'organisera ommesuit. Dansune première partie, nous ferons une

introdu tionà la osmologie.

3

A5dimensions,lesupermultipletdesupergravitépossèdeaussiuneparti uleve teur,legraviphoton,

quenousn'avonspas onsidérédanslemodèle

Dans une se onde partie, nous traiterons de physique des parti ules et de supersymétrie.

Nous présenterons les modèles d'extra-dimension et ferons une introdu tion aux théories

de ordes.

Dans unetroisièmepartie,nous introduironslasupergravité,leLagrangien général,les

in-tera tions du gravitinoave le MSSM etdes outils de al ulpour l'évaluationdes se tions

e a es de produ tiondu gravitino.Nous fournirons le al ul de l'abondan e du premier

mode de gravitino.Nous donnerons ensuite le al ul de l'abondan e pour les modes plus

lourds.

Dans une quatrièmepartie,nousprésenterons lemodèle etlesrésultatsave , entre autres,

une estimationde l'impa tdegravitons de Kaluza-Kleinsurlanu léosynthèse primordiale

des éléments légers.Ce modèle adonné lieuà une publi ation:

Constraintsonthe size ofthe extra-dimensionfromKaluza-Kleingravitinode ay,David

Gherson, Phys.Rev.D76 :043507,2007.

Noustermineronsparlesperspe tivesduprésenttravailauniveaudeproblèmes

osmo-logiques ommelaformationdesstru tures etleproblèmede laprodu tionde lithium6et

7, mais aussi, nous évoquerons l'extensionpossibleà d'autres modèles d'extra-dimension.

C

h

ap

it

re

2

Cosmologie 2.1 Le modèle du Big-Bang

2.1.1 La métrique de Robertson et Walker

L'Univers est homogène et semble plat sur des distan es de l'ordre d'une entaine de

mégaparse s. On peut don le dé rire grâ e à la métrique maximalement symétrique de

Robertsonet Walker:

ds

2

= c

2

dt

2

− a(t)

2

₍

dr

2

1

_{− kr}

2

+ r

2

_dθ

2

_{+ r}

2

_sin

2

_θdφ

2

₎

(2.1)

Cette métrique onstitue le adre géométrique de la osmologie de Friedmann et

Le-maître.

ds

orrespond à

cdt

pour une horloge au repos.

(t, r, θ, φ)

sont les oordonnées appelées ` omoving oordinates'en anglais:un observateuraureposdans es oordonnées

le reste i.e

(r, θ, φ)

in hangés.

a(t)

est le fa teur d'é helle. Il possède la dimension d'une longueur

1

. L'univers évolue au gré de ses variations.

r

est sans dimension : ilvarie entre 0 et 1pour

k = 1

.

k

que l'on nomme ourbure, peut être égale à1, 0ou-1 pour des espa es à ourbures spatiales onstante. Quand

k = 1

, on parle d'espa e fermé. Quand

k = 0

, on parle d'espa e plat oueu lidien. Quand

k =

−1

,on parle d'espa e ouvert.

Les mesures a tuelles sur les supernovae nous pla ent dans un Univers en expansion où

k = 0

(espa e eu lidien).Nousvivons surl'hypersurfa eà4dimensions(3d'espa e,unede temps)d'une hypersphère. L'hypersurfa eàtrois dimensionssedilate.On peut fa ilement

se représenter les hoses en retirant une dimension : nous serions des êtres à deux

dimen-sions vivant àla surfa e d'une sphèrequi gone au ours du temps. Ainsi,un observateur

qui se dépla erait toujours dans la même dire tion à une vitesse supra-lumineuse (pour

pouvoirsortir de sasurfa e ausale) niraitpar revenir à son point de départ.

Le adre géométriquede l'Univers est maintenantposé. Nous allonsmaintenant dé rirela

dynamique des objets sur ette trame géométrique. Cette dynamique est donnée par les

équations d'Einstein.

1

Nousavonssuivi la onventiondeKolbetTurner[19℄.

2.1.2 Les équations d'Einstein

Les équations d'Einstein relient la géométrie de l'espa e-temps à l'énergie et à la

ma-tière. La présen e de matière ou d'énergie induisent une modi ation de la géométrie.

Ainsi,lagravitations'expliquesimplementparlefaitquelestraje toiressuiventla

géomé-trie ourbée par lamatière oul'énergie. Lagravitation est une for e fondamentale omme

les trois autres for es : sa parti ularité est de s'expliquer géométriquement. Les équations

d'Einstein sont :

R

µν

−

1

2

Rg

µν

− Λg

µν

=

8πG

c

4

T

µν

(2.2)

Où

g

µν

est la métrique 2

,

R

µν

est le tenseur de ourbure ou tenseur de Ri i, R est la ontra tion du tenseur de Ri i,

T

µν

est le tenseur énergie-impulsion, G la onstante universelledelagravitationetenn

Λ

estla onstante osmologiquequ'Einsteinintroduisit originellement pour éviter l'expansion de l'Univers. On peut, en eet, toujours é rire les

équationsd'Einstein àuntermeproportionnelà

g

µν

près ar l'ona,d'unepart,

∇

ν

_T

µν

= 0

par onservationdel'énergie,d'autrepart

∇

ν

_(R

µν

−

1

₂

Rg

µν

) = 0

maisaussi

∇

ν

_g

µν

= 0

don quand on intègre

∇

ν

_(R

µν

−

1

₂

Rg

µν

) =

∇

ν

T

µν

, on peut rajouter un terme proportionnel à

g

µν

.Nousreparleronsde laquestionde la onstante osmologiquelorsque nousaborderons le hapitre sur la quintessen e. Cependant, nous pouvons, d'ors et déjà, dépla er le terme

Λg

µν

danslapartieénergiedeséquationsd'Einsteineté rirequela onstante osmologique est le tenseur énergie impulsion:

t

µν

=

Λc

4

8πG

g

µν

.

2.1.3 L'équation de Friedmann

Jusqu'à présent, nous n'avions pas déni le tenseur énergie-impulsion. Pour un uide

parfait de densité d'énergie

ρ

etde pressionP :

T

µν

= (P + ρ)U

µ

U

ν

_{− P g}

µν

(2.3)

où

U

µ

₌

dx

µ

dτ

désigne la quadrivitesse et où P et

ρ

dépendent du temps. Le uide est hoisi parfait ar 'est la plus simple réalisation d'un tenseur énergie-impulsion diagonal

etqui, par isotropie,atoutesses omposantes spatialeségales. Eneet, letenseur énergie

impulsion doit être onsistant ave les symétries de la métrique. Notons qu'un uide

im-parfait ave une vis osité de volume pourrait aussi satisfaire les exigen es de symétrie de

lamétrique.

On peut, toujours dans la perspe tive du paragraphe pré édent, interpréter la onstante

osmologique, omme un uide au repos par rapport aux oordonnées de Robertson et

Walkeret é rire que

−P

Λ

= ρ

Λ

=

Λc

4

8πG

.On remarque que pour

Λ

positif, ladensité d'éner-gie est positive alors que la pression est négative. Pour un uide uniforme, ette pression

négativeengendreuneexpansiona éléréedel'univers.Danslasuite,onin lutla onstante

osmologique dans le tenseur énergie-impulsion. Ainsi,

ρ = ρ

Λ

+ ρ

mat,rad

. Dans l'Univers primordialet ela jusqu'à une époque ré ente à l'é helle de l'Univers, la onstante

osmo-logiquejoueunrleinsigniant.Eneet,aprèsl'èredePlan k,ladensitéd'énergie duvide

2

La onventionadoptéeest elledeLandau :pourlamétriqueplate deMinkowski:+1,-1,-1,-1

est

10

125

fois plus petite que la densité de radiation. D'après les mesures sur les

superno-vae, la densité d'énergie du vide n'a dominé les autres uides (radiation et matière) que

ré emment (

z = 1

) : aujourd'hui, on l'estime à

4

KeV/

cm

3

. A e stade de notre exposé,

nous ne prenons pas en ore en omptela notion d'ination qui produit une valeur élevée

pour l'énergiedu vide dans l'Univers primordial.

En ombinantleséquationsd'Einsteinave lamétriquede RobertsonetWalker, onobtient

les équations de Friedmann. Pour être plus pré is, nous dirons que d'abord, on tire de la

métrique l'expression des onnexions anes puis elle du tenseur de Ri i et de sa tra e.

On pla e es expressions dans les équations d'Einstein dans lesquelles ona, bien

évidem-ment, pla é letenseur d'énergie impulsiondé rit pré édemment dans l'équation (2.3). On

obtient:

˙a

2

a

2

+

k

a

2

=

8πG

3c

2

ρ

(2.4)

2

¨a

a

+

˙a

2

a

2

+

k

a

2

=

−

8πG

3c

2

P

(2.5)

Par onservation du tenseur énergie-impulsion(2.3), onobtientaussi ette équation :

dρ

dt

+ 3

˙a

a

(P + ρ) = 0

(2.6)

Ladeuxièmede es troiséquationsest appelée équationde Friedmann.Elle orrespond

à la omposante

00

des équations d'Einstein. Si l'on résout la troisième des équations en posant

P = ωρ

ave

ω

onstant ar l'Univers primordialest susamment homogène pour ela,ontrouveque:

ρ

∝ a

−3(ω+1)

.Or,pourlamatière

ω

≈ 0

,don onobtient

ρ

∝ a

−3

.Pour la radiation

ω =

1

3

, onobtient

ρ

∝ a

−4

. On omprend pourquoi dans l'Univers primordial

où

a

≪ 1

, l'Univers est dominé par la radiation. Si l'on se pla e dans un Univers plat ( 'est-à-dire

k = 0

), e que onrme les observations,l'équation de Friedmanndevient :

˙a

2

a

2

=

8πG

3c

2

ρ

(2.7)

Sil'onrésout l'équationdeFriedmannave

ρ

∝ a

−3(ω+1)

,ontrouveque

a

∝ t

2

3(1+ω)

. On obtient don

a

∝ t

1

2

pour un Univers dominé par la radiation et

a

∝ t

2

3

pour un Univers dominé par la matière.

2.1.4 La singularité initiale

Les trois équations pré édentes sont reliées par les identités de Bian hi et seulement

deux sont indépendantes. En faisant la diéren e entre les deux premières équations, on

obtientune équationpour l'a élération:

¨a

a

=

−

4πG

3c

2

(ρ + 3P )

(2.8)

Si dans lepassé,

ρ + 3P

était toujourspositif,l'équationimplique que

¨

a

étaittoujours négatif don à un temps ni dans le passé,a doit avoir été nul. On appelle et instant

leBig-Bang :onl'identiegénéralementautemps 0.Lorsque

a = 0

,ily a une singularité. Extrapoler au-delà de la singularité est impossible dans le adre de la relativité générale

lassique.Obtenirune singularitéest lesigne quelathéoriequil'obtientn'estplus valable.

2.1.5 Les Géométries de l'Univers

Le taux d'expansion de l'Univers est donné par le paramètre de Hubble :

H =

˙a

a

. Ce paramètre n'est pas onstant. Ce que l'on appelle la onstante d'Hubble est la valeur

présentedeHquel'onnomme

H

0

.L'équationdeFriedmannpeutêtreréé ritedelamanière suivante:

k

H

2

_a

2

=

ρ

3H

2

_c

2

8πG

− 1 ≡ Ω − 1

(2.9)

Où

Ω

est le rapport de la densité à la densité ritique

ρ

c

'est-à-dire

Ω = ρ/ρ

c

. On dénit la densité ritique omme étant la densité où

k = 0

'est-à-dire

ρ

c

= 3c

2

_H

2

_/8πG

.

L'equation(2.9) montre un rapport entre la géométriede l'Univers etle signe de

Ω

− 1

:

• k = 1 ⇒ Ω > 1

:onditquel'Univers est fermé.Il roît,atteintun maximum,puis se ontra te.

• k = 0 ⇒ Ω = 1

: onditque l'Univers est plat.L'espa e-temps est sur de très grandes é helles de distan e, un espa e-temps eu lidien. L'Univers s'étend indéniment.

• k = −1 ⇒ Ω < 1

: on dit que l'Univers est ouvert. L'Univers s'étend indéniment mais de manière plus rapide quedans le as

k = 0

.

2.2 L'Univers aujourd'hui : observations et onséquen es

La ompréhension a tuelle de l'évolution de l'Univers est fondée sur le modèle

os-mologique de Friedmann-Robertson-Walker(FRW) que l'on nomme ouramment modèle

du Hot Big Bang. Ce modèle est devenu le modèle osmologique standard. En eet, des

preuves dire tes appuient e modèle jusqu'au début de la nu léosynthèse primordiale soit

un entième de se onde après leBig-Bang.

2.2.1 Le fondsdius osmologique:Cosmi Mi rowaveBa kground

Radiation

Lehautdegréde symétriedu modèleFRWest unehypothèsefondamentaledumodèle.

L'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie mérite véri ations. Une des preuves les plus

spe ta ulaires de ette propriété d'homogénéité est l'uniformité, quelque soit la dire tion

de l'espa e vers laquelle on observe, de la température du CMBR qui orrespond

parfai-tement au spe tre d'émission d'un orps noir. En 2006, WMAP [1℄ a donné les dernières

mesures :

T

0

= 2.725

± 0.001

K. La mesure des anisotropies donne :

∆T /T

≤ 10

−5

. Nous

rappelons queleCMBR est formédes photons quisesont dé ouplés de lamatièredans la

`soupe primordiale'. En eet, dans l'Univers primordial,la matièreet la radiation étaient

en onstante intera tion don à l'équilibre thermique (à ause des rapides intera tions

entre photons et éle trons). Lorsque la densité d'éle trons libres est devenue trop faible

pour maintenir l'équilibre thermique, à ause de la formation des atomes, les photons se

sont dé ouplés de la matière. En d'autres termes, le dé ouplage s'est produit lorsque le

libre par ours moyen des photons est devenu plus grand que la distan e de Hubble

cH

−1

qui ara térise l'expansion de L'Univers. Ce sont es photons qui se sont é happés de la

soupe primordiale, ou de l'Ylem selon Gamow, que l'on observe aujourd'hui et que l'on

nommeCMBR.Sil'expansiondel'Universétaitgrandementanisotrope,nousobserverions

aujourd'huides u tuations de grande ampleurau niveau des températures mesurées. La

remarquable uniformitéduCMBRindique qu'àl'époquedu dé ouplage(soit

z

≃ 1100

soit àpeu près

300000

ansaprès leBig-Bang),l'Univers étaithautementisotropeethomogène. Le CMBRfournit une preuve manifestequel'Universdébuta parle HotBigBang.Les

in-homogénéitésobservées inférieuresà

10

−5

sont né essairespour expliquerlaformationdes

stru tures.Nouspouvons,d'orsetdéjà,faireuneremarqueenrelationave lesparagraphes

suivants:un Univers ave delamatièrepurementbaryoniqueimpliquerait:

∆T /T

≥ 10

−5

.

Nous onstatons,grâ eauxmesuressurleCMBR,qu'ilyaunené essitédematièresombre

non baryonique.

2.2.2 Les abondan es des éléments légers, le nombre de baryons,

et le problème du Lithium

La théorie de la nu léosynthèse primordiale est un des tests majeurs du modèle

stan-dard osmologique.Lesoriginesprimordialesdesélémentslégerssontprévusparlemodèle.

Le modèle prédit que les réa tions nu léaires qui ont eu lieu entre 0.01 se onde et 100

se- ondes aprèsle Big-Bangontproduitles élémentslégers ommeleDeutérium,l'Hélium3,

l'Hélium 4 et le Lithium 7. La omparaison entre les abondan es prédites par le modèle

et elles observées a tuellement fournit une véri ation supplémentaire de la osmologie

standard.

Or, les résultats des observations on ordent remarquablement, pour la plupart des

éléments ités, ave e que prévoit le modèle. On trouve que le ratio baryons sur photons

est ompris entre

4 10

−10

et

7 10

−10

e qui orrespond à

0.015

≤ Ω

B

h

2

_{≤ 0.026}

où h est

un fa teur multipli atifde

H

0

pris égal à

100

Km/s/Mp due àl'indéterminationsur ette valeur etoù

Ω

B

est la densitéde baryons sur ladensité ritique.

Lesrésultatsde WMAP3[1℄donnent

Ω

B

h

2

_{= 0.0223}

+0.0007

−0.0009

et l'arti le[2℄ quiutiliseles ontraintes sur lessupernovae, lesamasde galaxies etlaforêtde raie Lyman-

α

en plusdu

CMB donne

h = 0.703

+0.013

−0.013

et

Ω

B

h

2

_{= 0.0224}

+0.0007

−0.0006

.

Nous itons et arti le ar, pour déterminer la valeur de h,le CMB seul n'est pas très

ontraignant.Dansla suite,nous avons toujours utiliséles données de e papier.Le al ul

théorique de la BBN (Big Bang Nu leosynthesis) fournit don la plus pré ise

détermina-tion du nombre de baryons. On trouve

Ω

B

≈ 0.045

. Sila fra tion de baryons par rapport à ladensité était d'ordre 1,le Deutérium serait beau oup moins abondant etl'Hélium IV

et le Lithium VII serait beau oup trop abondants par rapport aux mesures. Don si

Ω

0

, la densité a tuelle sur la densité ritique, est pro he de 1, e vers quoi on ordent les

observations sur les supernovae, on peut en déduire que l'essentielde l'énergie-matière de

l'Univers seprésente sous une autreforme queles baryons.

Lathéoriede lanu léosynthèseprimordialeprésente ependantdes problèmes[20℄,[21℄

à expliquer lesabondan es de Lithium 7 etde Lithium 6.La théoriede la nu léosynthèse

donne une quantité deux à trois fois plus grande pour le Lithium 7 que les quantités

évaluées à partir des mesures sur les étoiles de faiblemétalli ité.Quant aulithium 6, Les

mé anismes astrophysiques de réation de et élément semblent ne pas pouvoir expliquer

son abondan e qui pourrait avoir don une origine primordiale. Le problème est que la

théorie de lanu léosynthèse primordialen'en produit pas susamment pour expliquer les

observations.

2.2.3 L'expansion et l'a élération de l'Univers

L'expansion de l'Univers est une des ara téristiques majeures de la osmologie

stan-dard. L'expansion fut dé ouverte au ours des années 1920. Cette expansion a été mis en

éviden e par la mesured'un dé alage vers lerouge des objetsobservés. Ainsi,avant 1993,

des mesuresde dé alage vers lerougesur30000galaxies ontété faites.Onrappellede

l'ex-pansionestpriseen omptedansl'expressiondelamétriquede FRWparlebiaisdufa teur

a(t)

.Lavaleur

H

0

= ˙a(t

0

)/a(t

0

)

estletauxd'expansiona tuelle.Ilseraitde

70

Km/s/Mp . L'observationde handellesstandards, 'est-à-dired'objetsrayonnantstoujourslamême

quantité d'énergie, etdontlamagnitude absolue,ladurée d'émissionet lespe tre sont

in-dépendants de l'espa e et du temps, a permis de déterminer la magnitude apparente m,

le redshift z de es sour es et la magnitude absolue M. Or, il existe une relation entre la

magnitude apparente, la magnitude absolue, le redshift et les paramètres osmologiques.

On peut don obtenir les paramètres osmologiques 'est-à-dire

Ω

M

, la densité d'énergie-matière sur la densité ritique,

Ω

Λ

, le densité d'énergie du vide sur la densité ritique, et

Ω

k

la densitéd'énergie liée àune ourbure k non nullesur ladensité ritique.

Les objets hoisis omme handelles standards sont lessupernovae de type Ia.Ce sont

àl'origine des nainesblan hes quia rètent du gaz dansl'enveloppe stellaired'un

ompa-gnon. Lorsque lamasse de lanaine blan he atteintle seuilde lamasse de Chandrasekhar,

l'équilibre hydrostatique de l'étoile devient instable et son oeur s'eondre : la densité et

la températureaugmente jusqu'à e quele arbone etl'oxygène entrent en fusion

thermo-nu léaire, la pression n'est plus ontrebalan ée par la gravité et l'étoile explose. Puisque

la masse qui fusionne est toujours donnée par la masse de Chandrasekhar (

1.4 M

⊙

), les supernovae de type Ia sont don de bonnes handelles standards. Lors de l'explosion, la

luminosité atteint un pi de

10

10

_L

⊙

: la supernova devient aussi brillante que la galaxie hte et est visible àdes distan es osmologiques.

LeSupernovaCosmologyProje t[22℄aainsi mesuré quelemeilleurjeu de paramètres

osmologiques était une ourbure k nulledon un Univers plat 'est-à-dire

Ω = 1

ave

Ω

M

de l'ordrede 0.28 et

Ω

Λ

de l'ordre de 0.72.L'Univers a élère ar la ondition

Ω

Λ

> Ω

M

/2

est remplie. Les observations de WMAP onrme le modèle d'un Univers plat ontenant

environ

30%

de matièreet

70%

d'une énergie noirequi se omporte ommeune onstante osmologique ou un uide de quintessen e.

2.3 La matière noire

L'existen esupposéede lamatièrenoirereposeentreautressurla ontradi tionentrela

masse de diérents objets de l'Univers (galaxieou amas) estiméepar des méthodes

dyna-miques et elle quel'on évalue àpartirde leurs onstituants visibles.La massedynamique

est systématiquement plusgrandequelasommedesmassesdes onstituantsidentiés. On

est ainsi amenéàpostulerlaprésen e d'unemasse invisiblede matière. Lamasse de ette

matière sombre est 10 à100 foisplus importanteque elle de la matièrelumineuse.

En1933, Zwi ky en étudiantladistributionde vitesse des galaxiesdans legrand amas

de Coma, on luait que les galaxies ne ontribuaient qu'à

10%

de la masse de l'amas. La question est restée un peu oubliée pendant un demi-siè le puis est revenue à la surfa e

devant l'a umulation de données qui suggéraientqu'une fra tion importante de la masse

del'Universn'étaientpaslumineuse.Ontrouve ettematièresombreàl'é helledesgalaxies

où son extension supérieure à elle de la matière lumineuse se traduit par des vitesses de

rotationanormalementélevées; mais aussi àl'é helle des amasde galaxies, oùsaprésen e

a élère lesgalaxies et déformeen ar s les galaxiesd'arrière-plan.

2.3.1 Théorie et nature de la matière noire

La présen e de matière noire non baryonique semble requise à l'é helle osmologique.

En eet, ette matière noire semblené essaire pour expliquer la théorieselon laquelle les

grandes stru tures, galaxies et amas, se forment à partir de petites u tuations

primor-diales de densité qui roissent ensuite par instabilité gravitationnelle. La di ulté d'un

s énario purement baryonique est une question de temps : la roissan e des u tuations

est freinée par l'expansion de l'Univers : les u tuations des baryons ne ommen ent à

roître qu'après la re ombinaison des ions et éle trons, quand les photons se dé ouplent.

C'est déjà trop tard pour expliquer la formation des stru tures. Si par ontre, l'essentiel

de la matière dans l'Univers n'interagit pas ou faiblement ave les photons, ses propres

u tuations débutent leur roissan e dès qu'elle ontrle l'expansion (i.e quand l'Univers

est dominé par lamatière), 'est-à-direbien avantle dé ouplage.Les u tuationsde ette

matière qui interagit faiblement ave les photons ont le temps de roître et forment de

profondspuits de potentieldans lesquelslesbaryons sepré ipitentdès quele ouplage des

baryons aurayonnement disparaît. Uneu tuation de densité ne roît que si elle ontient

une masse supérieure à une masse ritique appelée masse de Jeans. Deux théories

prin i-pales ont été développées : la matière noire haude (Hot Dark Matter) et la froide (Cold

Dark Matter). La matière noire haude se dé ouple de la matière ordinaire alors qu'elle

est ultra-relativiste.C'est e que l'on appellele s énariotop-down : lesparti ules

onsidé-rées étant ultra-légères, leur masse de jeans est élevée. On ommen e don par réer des

grandes stru tures (super amas) qui se fragmentent en plus petites. Son in onvénient est

quelesstru tures que e s énariopermetde former sontformées troptard. L'avantage est

le grand nombre de stru tures formées. Dans le s énario de matière noire froide, les

par-ti ules de matière noire se dé ouplent du reste de l'Univers sans être relativistes. Ce sont

des parti ules massives (au-delàde ladizaine de GeV) :leur masse de Jeans est beau oup

plus faible que pour les parti ules ultra-relativistes. On ommen e don par former des

stru tures nettement pluspetitesquedes galaxies. C'estles énarioDown-Top. Lemodèle

le plus en vogue aujourd'huiest le modèle d'un Univers en expansiona élérée ave de la

matièrenoire froide(modèle

Λ

CDM).Pourtant,un modèle de matièrenoire froidesemble ne pas expliquer ertaines stru tures : il existe en eet des stru tures `petites' (galaxies)

plus jeunes que des stru tures plus étendues (amas).Nous émettons l'hypothèse peut-être

vériable dans le modèle que nous développerons, d'un modèle melangeant de la matière

noire froide et de la matière noire tiède (Warm Dark Matter) qui pourrait peut-être

ré-soudre lesla unes de ha un des modèles.

Bienquelanu léosynthèseprimordialelaissepenserqu'unepetitefra tiondelamatière

noire soit baryonique, l'essentiel de la matière noire doit être non baryonique. De façon

générale,unhalodematièresombrebaryoniqueposeleproblèmedesaformation:pourquoi

une partie de la galaxie seserait-elle ondensée en un disque de gaz etd'étoileset lereste

en un halo formé d'objets ompa ts? Un halo de matière noire non baryonique évite e

problèmeen attribuantlesbaryons audisqueetlamatièresombrenon-baryonique auhalo

sphérique.Laplupartdes andidatspourrendre omptedelamatièrenoires'expliquentpar

unerelationdueàZeldovit h,LeeetWeinberg,entremasse, ouplageetabondan ea tuelle

d'une parti ule élémentaire. Si une parti ule se dé ouple sans être relativiste, sa densité

sur ladensitéde photonsdé roitexponentiellement:eneet, ellepeuts'annihilerave son

anti-parti ule.Mais ommel'Universest enexpansion,ladensitéde etteparti uledevient

si faible qu'elle n'a plus le temps de trouver son antiparti ule : le rapport de sa densité

sur elle elle des photons se stabilise, on dit qu'elle gèle. En première approximation,

en égalant le taux d'annihilation ave le taux d'expansion, on trouve la densité de gel.

Pour des parti ules massives de masse omprise entre 1 GeV et 100 GeV et de se tion

e a edonnéepardesintera tionséle trofaibles,ontrouveunedensitépro hedeladensité

ritique.Cerésultatsuggèrequelamatièresombrenonbaryonique pourraitêtre omposée

de parti ules massives(au-delàdu GeV)interagissantfaiblementd'oùlenomgénériquede

WIMPs (Weakly Intera ting Massive Parti les). Le Neutralino le plus léger prédit par le

MSSM est un andidat pour dé rire ette matièrenoire non baryonique.

2.4 La Quintessen e

2.4.1 Quintessen e Vs onstante osmologique

La onstante osmologique, omme nous l'avons vu, permet d'obtenir naturellement

un uide à pressionnégative. Ce uide (qui seraitl'expression de l'énergiedu vide) serait

responsable de l'a élération a tuellede l'Univers puisque sa densité d'énergie dominerait

elui de la matière à notre époque. Pourtant, une pure onstante osmologique présente

deux problèmes [23℄. Le premier est onnu sous le nom de ne-tuning : pourquoi un tel

é art entre l'énergiedu vide etl'énergie de Plan k :

ρ

0

Λ

/ρ

P lanck

∼ 10

−123

?

D'autre part, l'Univers est aujourd'hui en phase d'a élération : la densité d'énergie

du vide n'est devenu prépondérante que maintenant. L'autre problème est don elui des

onditions initiales. En eet, une onstante osmologique doit être inniment ajustée au

`départ' pour ne devenir prépondérante que maintenant. A l'époque de Plan k alors que

l'Universestdominéparlaradiation,la ontributiondela onstante osmologiqueà

l'éner-gie totale était inniment faible :

ρ

i

Λ

/ρ

i

rad

∼ 10

−125

(i signiant initial). Le problème est don que toute autre valeur qui ne serait pas elle si pré isément xée pour la onstante

osmologique onduiraitàuneévolutiondiérentede l'Universtelquenousle onnaissons.

L'avantage du modèle de la quintessen e est, omme nous allons l'expliquer, de régler le

problème des onditions initiales. En eet, e modèle permet d'avoir une plage très large

pour les onditions initiales de l'énergie du vide. On ne règle ependant pas le problème

du ne tuning entre l'é helle de Plan k et elui de lavaleurde l'énergiedu vide.

Avant d'introduire la modélisation de la quintessen e, nous allons iter les diérentes

époques sesu édant.Durantlespremières fra tionsde se onde après leBig-Bang, 'est-à

dire jusqu'à

10

−43

se onde, prendpla e e quel'on appelle l'ère de Plan k. C'est l'époque

de la gravité quantique dont on ne peut rien dire dans l'état a tuel des onnaissan es.

Après ette période, l'Univers est dominé par la radiation jusqu'à e qu'arrive la phase

inationnaire qui peut avoir eu lieu entre

10

−30

et

10

−26

se onde : il n'y a pas vraiment

de prérequis pour la position dans le temps de la phase inationnaire si e n'est qu'elle

ait lieu avant la nu léosynthèse primordiale. Il y a un autre prérequis, plus théorique,

ve-nant de s énarios de baryogénèse via leptogénèse qui né essitent une haute température

de ré hauage(reheating)etdon une inationquialieudans lagammede tempsdonnée

i-dessus. L'inationpeutaussi trèsbienavoireulieuavant.L'Universest ensuitedominée

par la radiationjusqu'à

580000

ans après leBig-Bang puisvientl'ère de domination de la matière.

300000

ans après le Big-Bang a lieu le dé ouplage des photons ave la matière. A une époque ré ente à l'é helle de l'Univers,

z = 1

soitaprès

3

milliards et

300

millions

d'années,ladensitéd'énergieduvideoul'énergienoireoulaquintessen edominel'Univers.

Danslespériodesétudiées, lamatièreetlerayonnementsuiventl'équationd'état:

P =

ωρ

.Pour laradiation,

ω = 1/3

.Pourlamatière,

ω

≈ 0

.Pour la onstante osmologiqueou laquintessen e,

P

Q

= ω

Q

ρ

Q

et

ω

Q

est negatif.Nousrappelonsladiéren eentre onstante osmologique et quintessen e : la onstante osmologique omme son nom l'indique est

onstante alors que la quintessen e est une grandeur dynamique. Le uide dé rit a une

pressionnégative.Si

ω

Q

=

−1

àtouteslesépoques,onesten présen ed'unepure onstante osmologique.Si

ω

Q

varieau oursdutempsenprenantaujourd'huiunevaleurnégative,on l'appellequintessen e. Le nom`quintessen e' signie inquième élément(les quatre autres

éléments étant lamatière noire, lesbaryons, les photons et lesneutrinos). On modélise la

quintessen e par un hamps s alaire

φ

neutre. Ce hamps est asso iéau Lagrangien :

L =

1

2

g

µν

_∂

µ

φ∂

ν

φ

− V (φ)

(2.10)

Leséquationsd'Euler-Lagrangepermettentdetrouverleséquationsdu mouvement.Ainsi,

si l'on se pla edans lamétrique de Robertson-Walker, on trouve,en prenant un hamp

φ

homogène (puisque dans le modèle osmologique FRW, l'homogénéitéest esssentielle), ne

dépendant quedu temps :

¨

φ + 3Hφ +

dV

dφ

= 0

(2.11)

ave

H = ˙a/a

.D'autre part, ave l'expression générale du tenseur énergie-impulsion :

T

µν

= ∂

µ

φ∂

ν

φ

− g

µν

L

(2.12)

ontrouve dans le as de la métriquede Robertson-Walker:

ρ

φ

= T

00

=

1

2

φ

˙

2

_{+ V (φ)}

(2.13)

pour la omposantetemporelle, et pour les omposantes spatiales:

T

ij

=

−P

φ

g

ij

(2.14) e qui donne:

P

φ

=

1

2

φ

˙

2

− V (φ)

(2.15)

On obtient don pour l'équationd'état :

ω

φ

=

P

φ

ρ

φ

=

˙

φ

2

2

− V (φ)

˙

φ

2

2

+ V (φ)

(2.16)

On remarque que

ω

φ

est omprisentre

−1

et

1

: lorsque le potentiel l'emporte,

ω

φ

est négatif etle hamp joue alors lerle de la onstante osmologique.

2.4.2 Les potentiels attra teurs

Le hamp de quintessen e est apable d'évoluer dynamiquement. Comme nous allons

le voir, ela permet de xer plus librement les onditions intiales de la densité d'énergie

du vide. Les ontraintes imposées à la quintessen e est de ne devenir prépondérante que

maintenant et d'être sous-dominante aupauravant pour ne pas perturber l'évolution de

l'Universetlaformationdesstru tures. [24℄ontdéveloppél'idéedes potentielsattra teurs

quipermettentderéglerleproblèmedes onditionsinitiales.Nous her hons uneévolution

de

φ

quitendevers une solutionattra teur :quelque soitles onditionsinitiales,le hamp relaxe vers ette solution.La tradu tion des ontraintes imposées à la solution attra teur

onduit àdes onditions sur le potentiel :

Γ = V

′′

_{V /V}

′2

_{> 1}

(2.17)

etle long de la solutionattra teur :

ω

φ

=

ω

B

− 2(Γ − 1)

1 + 2(Γ

_{− 1)}

(2.18)

On vérie que des potentielsde laforme

V

∝ φ

n

ave

n < 0

vérient la ondition mais aussi des potentiels de la forme

e

(

_M/φ)

. Ce dernier potentiel présente l'avantage de ne

faire sortir du fondl'énergie de quintessen e que ré emment.Steinhardt et al.[24℄ partent

du maximum d'énergie allouable à la quintessen e après l'ination 'est-à-dire une

équi-partition entre les diérents degrés de liberté e qui donne omme densité d'énergie pour

la quintessen e, un millièmede la densité d'énegie totale. On peut ependant partir ave

une énergie entfois moindreetaboutiràlamême onvergen e verslasolutionattra teur.

La densité d'énergie de quintessen e rejoint le potentiel attra teur au bon moment

'est-à-dire avant l'équipartitionmatière-rayonnement e qui permetàl'énergiede quintessen e

d'émerger du fondau bonmoment 'est-à-dire ré emment (à un reds hift z de l'ordre 1).

2.4.3 Petite digression sur l'énergie du vide

L'énergie du vide ouénergie noirepeut paraîtreplus mystérieuse quela matièrenoire.

Pourtant, auniveau on eptuel, ilne s'agit pas d'autre hose quede l'énergiedu vide.Le

`Tout' est de pouvoir la déterminer théoriquement. Prenons l'exemple de l'eet Casimir :

ettefor en'estpasautre hosequel'énergieduvidedelathéoriequantiquede

l'éle trody-namique. Levide de toutes lesthéoriesphysiques onstruites à e journe peut pas rendre

ompte de l'énergie du vide : ainsi le vide de la QCD est totalement impropre à dé rire

le vide représenté par la onstante osmologique. La supersymétrie donne une énergie du

vide nulle. Or,l'énergiedu videest faiblemais n'estpas nulle.Lesthéoriesde super ordes

quiviventdansdes espa es à10dimensionsfont orrespondre etteénergiedu videà4dà

la onformation géométriquedes dimensions ompa tes orilexiste un nombre gigantesque

(

10

500

)de possibilitésde ompa ti ationquiobtiennentlabonneénergieduvide.C'est e

qui est appeléle Lands ape. C'esten quelque sorteune des la unesdes théoriesde ordes.

Aujourd'hui, au une théorie physique n'est apable de prédire l'énergie du vide. Le vide

osmologique n'est ni le vide éle trofaible, ni le vide de l'intera tion forte, ni le vide de

la supergravité et il n'est pas prévisible en théorie des ordes.. Il manque quelque hose

en ore dans notreappréhension du monde..

2.5 L'ination

Selon la théorie de l'ination, l'Univers dans ses premiersinstants, a onnu une phase

d'expansion extraordinaire. Cettethéorie fut développée pour plusieursraisons.

La première des raisons est la platitude a tuelle de l'Univers. Si l'on devait expliquer un

universplatdanslemodèleFRW,les onditionsinitialesdevraientêtreinnimentajustées.

Ainsi à l'époque de Plan k,

|Ω − 1| ≤ (10

−60

₎

. L'ination qui entraîne une roissan e

exponentielle du paramètre a pourrait expliquer que

k

H

2

_a

2

= Ω

− 1

soit pro he de 0 et ela sans avoir des onditions initialesaussi innimentajustées.

Un autre problème résolu par l'ination est e que l'on peut appeler le problème de

l'horizon.LeCMBRquinousparvientest onstituédesphotonsémislorsdudé ouplagede

lamatière ave le rayonnement. Ladistan e propretraversée par des photons émis depuis

la surfa e de dernière diusion jusqu'à nous est donnée par

l = a(t

0

)

R

t

0

t

s

c

a(t)

dt

où

t

s

est l'instant de dé ouplage et

t

0

notre époque. Comme au moment du dé ouplage, l'Univers est dominépar la matière,on a

a

∝ t

2/3

d'où

l = 3ct

0

(1

− (t

s

/t

0

)

1/3

₎

. De plus, onsait que

a(t

0

)/a(t

s

) = (t

0

/t

s

)

2/3

= T

s

/T

0

= 3000/2.7

. On obtient don

l

≈ 2.909ct

0

.

L'horizonau momentdu dé ouplage est :

R

h

(ts) = 3 c t

s

ar ladimension de l'horizon à

t

s

est donnée par l'expression :

R

h

(t

s

) = a(t

s

)

R

t

s

0

c

a(t)

dt

. On remarque que e que l'on appelle horizon est simplement la distan e propre maximale à laquelle l'énergie peut se

propager en tenant ompte de l'expansion de l'Univers d'où lasimilitude entre la formule

donnant la distan e propre par ourue par un photon et la taille de l'horizon. En eet,

au une informationne peut sepropager plus vite que lalumière.

L'horizonà l'instant

t

s

est observée aujourd'hui: ilfaut don tenir omptede l'expan-sion de l'Univers. Ainsi,l'horizon à

t

s

vu de

t

0

est

R

h

= R

h

(t

s

)

a(t

0

)

a(t

s

)

= 3ct

s

(t

o

/t

s

)

2/3

.

On obtient l'angle ausal d'observation par e rapport :

θ = R

h

/l = 0.03

Rad. C'est pré isément e résultat qui est di ilement ompréhensible sans ination : notre iel se

dé omposerait en

4π/0.03

2

_{≈ 14000}

régions quin'auraient pas eu de onta t ausal par le

passé mais qui envoie lemême rayonnement à

2.7

K.

Pour résoudre e problème, ilfaut introduire l'ination.Il faut qu'àun moment donné

l'espa e se soit dilaté de manière supra-lumineuse (

a(t)

∝ exp(H

v

t)

où

H

2

v

= 8πGV

0

/3c

2

est le paramètre de Hubble pendant l'ination et

V

0

est la densité d'énergie du hamps inationnaire qui domine l'Univers au début de l'ination) pour dis onne ter des régions

qui étaient en onta t ausal. Si l'on dénit

N = Hτ

où

τ

est la durée de l'ination, il sut que

N

≥ 55

pour régler e problème.

On observe des régionsqui semblentne pas avoireu de onta t ausal etqui émettent

lemêmerayonnement:en fait,avantlaphase inationnaire, es régionsétaienten onta t

ausal et l'ont perdu après l'ination pour le retrouver avant notre époque ou à notre

époque. Certaines régions sont en ore dis onne tées ausalement et ne seront onne tées

que plus tard. On ditque les objets sortent de l'horizon puis réentrent dans l'horizon ar

la vitesse d'expansionest plus faiblequelavitesse de la lumière: e phénomèneest onnu

sous lenom de `goodbye and hello again'.

Un autre problème du modèle osmologique sans ination est plus d'ordre théorique

puisqu'il on erne la dilution de reliques non observées produites dans les théories grand

uniées. Ainsi dans ertaines théories GUT (grand unied theory), des monopoles sont

produits. Or nous n'en observons pas a tuellement. L'ination dilue la densité de

mono-poles de manière très importante : pour

N

≥ 55

, la densité de monopoles est diluée de

70

ordres de grandeurs. D'autres parti ules indésirables sont diluées omme les gravitinos prédits par les théoriessupersymétriques.

Enn,l'inationpermetd'expliquerlesu tuationsde densitéduCMBRquisontselon

le modèle standard à l'origine de la formation des stru tures. Une des hypothèses fortes

pour avoir un hamps inationnaire est le `slow-roll' que nous allons dénir et qui est au

oeur de l'expli ationde la formation des stru tures.

Revenons tout d'abord sur la modélisation. On modélise généralement l'ination par

un hamps s alaire

Φ

. La densité d'énergie de e hamp ou `va uum energy' est

ρ

v

=

1

2

˙Φ

2

_{+ V (Φ)}

et la pression est

P

v

=

1

2

˙Φ

2

_{− V (Φ)}

. On hoisit un potentiel assez plat pour

que l'essentiel de l'énergie du hamps soitsous formepotentielle. Ce i est fait dans le but

d'obtenir une pression négative né essaire à l'expansion a élérée que l'on souhaite. On

obtientdon ave unpotentielplat :

P

v

≈ −V

0

=

−ρ

v

.Cettephase estappeléeleslow-roll. L'équation de Friedmann est :

H

2

=

8πG

3c

2

(ρ

r

+ ρ

v

)

(2.19)

Laradiationest toujours régie par la onservation du tenseur énergie-impulsion :

dρ

r

dt

+ 3

˙a

a

(P

r

+ ρ

r

) = 0

(2.20)

quel'on peut é rire en remplaçant

P

r

par

1

3

ρ

r

:

dρ

r

dt

+ 4

˙a

a

ρ

r

= 0

(2.21)

La solutionde ette équationest

ρ

r

= β/a

4

.

La onservation du tenseur énergie-impulsion liée au hamp inationnairenous donne

l'équationdeKlein-Gordon(onpeutaussil'obtenirparleséquationsd'Euler-Lagrangesur

le Lagrangiendu hamp ouen ore de manière plus générale, en minimisantl'a tion):

¨

Φ + 3H ˙Φ +

dV

dΦ

= 0

(2.22)

Lors duslow-roll,leterme

Φ

¨

estnégligeabledevantlesautrestermes.Nousreviendrons sur ette équation lorsque nous dis uterons des u tuations de densité.

On obtient en remplaçant

ρ

r

par sa valeur et

ρ

v

par

V

0

dans l'équationde Friedmann (2.19) :

2

√

Aa

2

+ 2

√

B + Aa

4

_{= 2}

√

_Be

2

√

At

(2.23) ave

A =

8πG

3c

2

V

0

et

B =

8πG

3c

2

β

.

Pour t petit devant

1/(2

√

A)

, on obtient

a

2

_{≈ 2}

√

_Bt

et de manière équivalente

ρ

r

=

3c

2

32πGt

2

.La radiationdomine en orele hamp inationnaire.

Lorsque

t = 1/(2

√

A) = t

i

ave

t

i

le temps de début de l'ination, la densitéd'énergie potentielle du hamp

V

0

est à peu près égale à la densité d'énergie de la radiation. On trouve

t

2

i

=

3c

2

32πGV

0

en utilisantsoit

t

i

= 1/(2

√

A)

soiten égalant

ρ

r

ave

V

0

. Quand

t > 1/(2

√

A)

, letermeen exponentielledans l'équation(2.23)devient prédomi-nant etonobtient:

a(t)

_{≈ (}

β

4V

0

)

1/4

_e

H

v

t

(2.24) où

H

2

v

= A =

8πG

3c

2

V

0

.

L'Univers entre dans une phase de De Sitter. Le paramètre d'expansion grandit de

manière formidable. Durant ette phase inationnaire, le refroidissement est important

T

∝ e

−4H

v

t

. L'ensemble du ontenu en matière rayonnement de l'Univers est dilué : tout

disparaît.Maisalorsd'oùvientlamatièrequinousentoure?L'énergiepotentielledu hamp

nit pars'annuler :le hamp os illeautour du minimum etpardissipation transformeson

énergiesen parti ules(remarquonsquedansl'équation(2.22)nousn'avons pas onsidéréle

termede ouplage àlamatièrequine devientee tifquepro hedu minimum).Onappelle

ette phase le ré hauage ou `reheating' ar l'Univers qui avait subi un important

refroi-dissementave une densitéen matière-rayonnementpro he de 0,seré haue :

T

rh

∝ V

1/4

0

.

Ladensitéd'énergie

V

0

est formidablementgrandepuisqu'elleégaleladensitéd'énergie de

radiation àdes tempstrès primitifsde l'histoirede l'Univers.

Il existe une ontrainte d'ordre théorique sur la température de reheating venant de

s énariode Baryogénèse viaLeptogénèse quiné essitent des neutrinos droits ultralourds;

es parti ules ne peuvent se former quesi la température du bain thermique est

susam-ment élevée pour les produire. Ainsi,des températures au-delàde

10

8

GeV, voire

10

9

GeV

sont né essaires.

D'autre part, il existe des ontraintes [41℄ venant de la produ tion de gravitinos de

masses plus basses que

20

TeV. Les gravitinos n'étant ouplés que gravitationnelement, leur duréede vieest longue.S'ilssont trop abondants, ilspeuvent perturber laBBN (Big

Bang Nu leosynthesis) leur abondan e est proportionnelle à la température de reheating.

Ce i implique que les températures de reheating ne doivent pas être trop hautes. Il se

trouve que pour des gravitinos de moinsde 10TeV, ilest di ile d'a ommoder

Leptogé-nèse thermique etsupersymétrie.

Ledéveloppementquenousvenonsdefaire,vanouspermettrede omprendre omment

l'inationpermetd'expliquerlesu tuations dedensitéquen'expliquepasune osmologie

standard FRW. Commetout hamp, le hamp inationnaireest soumisà des u tuations

quantiques. Dans l'espa ede De Sitterde l'inationdes pointsquiétaienten onta t

au-sal avant l'ination peuvent ne plus l'être juste après. On dit que es points ont traversé

l'horizon des évènements. L'espa e de De Sitter est similaire à un trou noir inversé : dans

ette espa e,nous sommes`àl'intérieur'etletrounoirnousentoure detoutepart à

l'exté-rieur puisqu'unobjetqui entre dansun trounoir perd tout onta t ausal ave l'extérieur.

Ainsi, exa tement omme dans le as du trou noir, il y a des u tuations quantiques de

type thermique gouvernées par la température de Hawking :

T

H

= H/2π

. Dans ette ex-pression etdans la suite, les onstantes fondamentales h, et k sontprises égales à 1.

Le hamps est sans masse pendant le slow-roll ar

V

′′

_{≪ H}

2

. Pour un hamp sans

masse, les u tuationsquantiques sont dont données par l'expression :

(δΦ)

quant

=

H

2π

(2.25)

Ces u tuations du hamp induisent des u tuations de densité :

δρ = V

′

δΦ = V

′

H

2π

(2.26)

Nousallonstenterdedonneruneexpli ationsommairede etteeet.Lorsdel'ination,

les u tuations quantiques des modes du hamp sortent de lasphère ausale et ommela

mi ro-physiquene jouequedans lasphère ausale,( ar pour qu'ily aitintera tion, ilfaut

que l'informationarrive), on dit que les modes gèlent. Lorsque les modes fran hissent de

nouveau l'horizon, ils deviennent des u tuations de densité. Les u tuations quantiques