Détermination des énergies et fonctions propres à partir de l'opérateur-densité de Maxwell-Boltzmann. - II. Cas des systèmes perturbés

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Détermination des énergies et fonctions propres à partir de l’opérateur-densité de Maxwell-Boltzmann. - II. Cas

des systèmes perturbés

Pierre Smet, Jacques Tillieu

To cite this version:

Pierre Smet, Jacques Tillieu. Détermination des énergies et fonctions propres à partir de l’opérateur-

densité de Maxwell-Boltzmann. - II. Cas des systèmes perturbés. J. Phys. Radium, 1962, 23 (11),

pp.939-944. �10.1051/jphysrad:019620023011093900�. �jpa-00236722�

939.

DÉTERMINATION DES ÉNERGIES ET FONCTIONS PROPRES A PARTIR DE

L’OPÉRATEUR-DENSITÉ

DE MAXWELL-BOLTZMANN.

II. CAS DES

SYSTÈMES PERTURBÉS.

Par PIERRE SMET et

JACQUES TILLIEU,

Institut de

Physique,

Faculté des Sciences de Lille.

Résumé. ^{2014 Les} méthodes, précédemment décrites, permettant ^la détermination des énergies

propres ^et des

projecteurs

correspondants ^à partir ^de l’opérateur-densité ^de Maxwell-Boltzmann,

sont adaptées ^{à un} système perturbé.

A titre d’exemple, ^on examine le cas

de

l’oscillateur anharmonique.

Abstract. ²⁰¹⁴

Previously

described methods for the determination of

eigen-energies

^and corresponding projectors from the Maxwell-Boltzmann density-operator ^are adapted ^{to a} per- turbed system.

As an

example,

^we examine the anharmonic oscillator problem.

PHYSIQUE 23, 1962,

1. Introduction. ^-- Dans un article

précédent [1],

noté

I,

^{nous avons}

indiqué

^{comment l’on}

peut

^dé-

duire les

énergies

propres Ex et les

projecteurs

propres PK ⁼

[K

>

Ki

^d’un

système quantique

à

partir

^de

l’opérateur-densité

^{de Maxwell-}

Boltzmann décrivant l’ensemble

canonique

^corres-

pondant.

^Cet

opérateur

^est

supposé

^solution

rigou-

reuse de

l’équation

de Bloch que l’on

peut,

^en

prin- cipe,

^résoudre

directement,

^{sans connaitre les EA}

et les

Pg.

Nous voulons maintenant montrer comment cette méthode doit être

adaptée

^{au cas où}

l’équa-

tion de Bloch ne

peut

^être

intégrée

que de manière

approchée

^{par une méthode de}

perturbation.

Nous allons d’abord

rappeler rapidement

^la

première

méthode de

I,

^celle

qui

utilise la limite des

températures ^nulles,

^en

l’exposant

^{sous une forme}

quelque

peu modifiée

qui

rend les calculs

plus

directs et

plus élégants.

Supposons

^connu

l’opérateur-densité

de Maxwell- Boltzmann

d’où l’on déduit immédiatement la fonction de

partition

a)

^La connaissance de

Z(g) permet

^{la déter-} mination des

Ex ;

^en

effet,

^{on a}

Cette

expression, qui

^{n’est autre} que

l’énergie

moyenne ^{au sens} de la

thermodynamique

^statis-

tique [2]

^admet pour

limite, lorsque P

^{- 00, l’énei--}

gie

^{de l’état}

fondamental,

^soit

- Le

premier

^{état excité est obtenu} par ^un pro-

cessus voisin de celui décrit dans 1 pour les pro-

jecteurs

^{et l’on a}

résultat que l’on

généralise

facilement pour obtenir le n ^ème état excité

b)

^{Une fois en}

possession

des niveaux

d’énergie,

il est facile de déterminer les

projecteurs

^{corres- .}

pondants

^à

partir de p (p) ;

^{ainsi :}

II. Détermination de

l’opérateur-densité

per- turbé. ^- Avant d’aborder le

sujet

propre de ^ce

travail, rappelons quelques généralités

^{sur la déter-}

mination

approchée

^de

l’op érateur-densit é

^{et de}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019620023011093900

940

l’énergie

^moyenne

(au

^sens

statistique)

^{dans le cas}

d’un

système perturbé. -

a) Lorsque

l’hamiltonien décrivant le

système quantique

^est de la forme

on cherche une solution de

l’équation

^{de Bloch}

sous la forme

(*)

d’où, immédiatement,

^les

équations

pour les diffé- rents ordres

III convient de remarquer que

p(O)()

^et

p(P)()

. obéissent à des ^« conditions initiales »

différentes ;

on a, ^en effet

Suivant une méthode

indiquée

initialement par

Feynman [3],

la connaissance de

solution de

(12-0)

satisfaisant à

(13-1), permet

ensuite

l’intégration

^{des autres}

équations (12),

^avec

les

conditions (13-2),

pour

lesquelles pCO)

^{est la fonc-}

tion de Green

(propagateur) [4, 5].

On obtient ainsi :

(*) Ne pas confondre les p(p) de cet article et les _p, de I.

b) D’après

^{la formule}

(11)

^de

p(g),

la fonction de

partition peut également

être écrite

avec

La connaissance de _{p et} de Z

permet

^{de définir}

l’opérateur-densité

^normé

L’opérateur pp)

^{est obtenu en}

développant (17’) jusqu’au

^{terme en X°.}

On obtient

ainsi, jusqu’à

^{l’ordre deux :}

c) L’énergie

moyenne ^est alors donnée par l’ex-

pression

et l’on voit facilement que la

perturbation

^d’ordre p est

IV. Détermination des niveaux

d’énergie

per- turbés et des

projecteurs correspondants.

^{- Consi-}

dérons maintenant

l’aspect

formel des différents

p(zl)

et Z(1)) dans le cadre d’une théorie des

pertur-

bations. A

partir

^des

développements

^habituels

on obtient facilement

d’où immédiatement en identifiant les termes de même

degré

^{en À dans}

(22)

^{et dans}

(11)

941

Puis,

^en utilisant le

résultat

^Tr

F#>

^{= 0}

(pour p =1= 0) qui

^{découle de la condition} de normali- sation Tr Pg ⁼

Tr 1 (0)

^{= 1}

p ’et ZO)

correspondent

évidemment au

système

non

perturbé et permettent

la détermination des

et

^des

I-1"

suivant la méthode

indiquée

^dans

l’introduction.

Pour le calcul des

EJ:)

^et

Tf),

^{cette méthode doit}

être

adaptée

^à

l’aspect

^{formel de}

chaque

^{ordre de}

perturbation

^tel

qu’il

^{a été}

indiqué

dans les for- mules

(22)

^à

(24).

a)

^{A titre}

d’exemple

déterminons seulement les

perturbations

^{des 1 er et} 2e ordres pour les

énergies,

en

supposant préalablement

obtenus les

L(Ol

^et

Fg’.

- Z(l) est

supposée

^{connue à}

partir

^de

(14-1)

^et

(16).

^D’autre

part, d’après

^{la forme}

(24-1),

^{on voit}

que

- Z(2) est

supposée

^{connue à}

partir

^de

(14-2)

^et

(16)

^{et d’autre}

part, d’après (24-2),

^{on obtient de}

même

b)

^{Pour les}

perturbations

^des

projecteurs

^corres-

pondants,

^on

procède

^{d’une manière tout à fait}

analogue :

^-

p(l)

^est

supposé

donné par

(14-1)

^et

on déduit alors de

(23-1)

^{à l’aide des}

jE qui

viennent d’être calculés :

-

p’2)

^est

supposé

^donné par

(14-2)

^{et on déduit}

alors de

(23-2) :

IV.

Remarques

^{diverses. - 1. Les résultats}

pré-

cédents ont été établis pour

l’opérateur-densité.

^Si

l’on utilise une

représentation déterminée,

les pas- sages à la limite ^sont effectués de manière tout à fait semblable sur la matrice-densité correspon-

dante ;

^ils conduisent à la

représentation

matricielle des

opérateurs FJ.>.

^Par

exemple,

^{dans le cas de la}

.représentation

q, pour le 1er

ordre,

^on

partira

^de

l’équation suivante, qui remplace (14-1)

2.

Lorsque

^{l’état non}

perturbé El..O) est y

^fois

dégénéré,

^la méthode décrite ne

permet

pas de lever la

dégénérescence ;

^en

effet,

la formule

(25-n)

^four-

nit seulement la somme

des y perturbations El’ Il)

(oc = 1, 2,

^...,

y) qui

^{ne sont} pas

séparées,

^c’est-à-

dire seulement la trace de la matrice de rang ^g, associée à

l’opérateur

^{Ha) et à} la valeur propre

LIIO).

Quant

à la formule

(27-n),

elle donne un

opérateur qui,

de même que le

projecteur Pl,», agit

^{sur un}

sous-espace

à p. dimensions,

^sans que les

projecteurs élémentaires l J qui

y

figurent

^{soient nécessai-}

rement ^ceux _qui

diagonalisent

^R(l).

3. Pour obtenir les

L(l)

^{et les}

F(l)

^on

pourrait également partir

des formules

(18) appliquées

^à

des

grandeurs provenant

^du

développement,

par

rapport

^à

X,

^des

opérateurs p(P)

définis dans l’article

I,

^{mais cette méthode se révèle}

rapidement plus compliquée.

4. Dans l’article

I,

nous avons

exposé

^une

seconde méthode basée sur l’utilisation de la trans- formée de

Carson-Laplace.

^{Cette méthode est}

plus

difficile à

appliquer

que la

première,

^{surtout en ce}

qui

^concerne l’obtention des

projecteurs,

^{car il faut}

déterminer les transformées inverses

d’expressions

souvent

compliquées.

a)

^D’un

point

^{de vue}

mathématique,

^il

peut

^être

intéressant d’utiliser les résultats de la

première

méthode pour établir ^ces transformées inverses.

L’expression (23)

^{de 1 devient dans le cas} per- turbé

942

En utilisant

(21-1 et:21-2)

^{et en faisant un déve-}

loppement

^de

Taylor

^{de la}

^fonction

^{de Dirac}

&[E - E)

^-

(X ^{+ À 2} E"i’

+

....)]

^autour de la valeur E -

..b})

^{on obtient}

après

^{une inté-}

gration

^{sur E}

(cf.

^formule

(24)

^de

1) :

Si l’on tient

compte

^du fait que

p (p)

^{est la trans-}

formée de

Carson-Laplace

^de

R(E),

^on obtient faci- lement les résultats aux divers ordres en X :

Une fois déterminés les

E’1.)

^{et les}

P)

^à

partir

des

pel)(p)

par la méthode des

paragraphes précé- dents ;

^nous pouvons construire les

Ii (f)(E)

par les formules

(30) ;

les formules

(31)

^{ou leurs inverses}

donnent des

correspondances

^{au sens de la trans-}

formée de

Carson-Laplace.

b) D’ailleurs,

^en

appliquant

^la

propriété

^sui-

vante;[6]

(avec f (3)

⁼

£,[F(E)j

^et

l’hypothèse

que la limite de

F(E) existe),

^les

expressions (30)

conduiraient pour E -->

0,

^{aux mêmes}

EJ.>

^et

P(’P)

^{à condition}

d’utiliser des formes

correspondant

^{à celles}

figurant

dans

(25).

^{On montre ainsi la}

parfaite analogie

^des

deux méthodes

indiquées :

la 1ère utilise

l’espace

des fonctions

de P

^et la 2e celui de leurs trans- formées de

Carson-Laplace.

5. Il est facile de voir que la méthode de

Feynman

^{décrite au}

paragraphe

²

équivaut

^{à la}

méthode habituelle de

Rayleigh-Schrôdinger.

^Mon-

trons le pour le

premier ordre ; lorsqu’on porte l’opérateur-densité

^non

perturbé.

dans

l’équation (14-1),

^{on obtient :}

d’où en effectuant

l’intégration

La

perturbation

^du

1 er- ordre

de la fonction de

partition

^devient

L’application

^{de notre} méthode fournit immédia-

tement, d’après (25)

^et

(27)

résultats

identiques

^{à ceux de la} méthode de

Rayleigh-Schrôdinger.

V.

Exemple

de l’oscillateur

harmonique.

^{- A}

titre

d’illustration, nous’allons

traiter le cas de l’oscillateur

anharmonique,

c’est-à-dire d’un oscil- lateur

harmonique perturbé

par ^un

potentiel en q3 ou q4 ;

^nous prenons donc :

Nous savons que la matrice densité solution du

problème

^non

perturbé

^est

1. PERTURBATION EN

q3.

^- La formule

(14-1) permet

de calculer sans

trop

^de difficultés la

pertur-

bation du le" ordre de la

matrice-densité,

^soit

La

perturbation correspondante

^{de la} fonction de

partition

^{est alors}

ce

qui

^entraine la nullité de ^tous

les E(ll,

^résultat

bien connu.

Le calcul de limite

indiqué

^au

paragraphe III,

conduit à la

représentation q

^des

perturbations

^du

943 1er ordre des différents

projecteurs ;

par

exemple

pour les deux

premiers

2. PERTURBATION EN

q4.

^{- En}

procédant

^{de la}

même manière on

obtient, toujours

^au 1er ordre :

1

On a ensuite

A

partir

^de

Z(1)()

^on

peut

calculer la

pertur-

bation du 1er ordre des niveaux

d’énergie :

Les

perturbations

^des

projecteurs correspondants

sont

3.

REMARQUES. - a)

^{Les formules}

(39), (41)

^et

(42)

^sont

identiques

^{à celles} obtenues par

l’emploi

direct de la méthode habituelle de

Rayleigh- Schrôdinger.

^En

particulier,

les formules

(41)

^véri-

fient bien la relation

générale

b)

Des calculs assez

longs, quoique

^{sans difficulté}

particulière,

^sont nécessaires pour obtenir les

expressions (38)

^et

(40).

^Leur

longueur augmente

très

rapidement

^avec l’ordre de la

perturbation,

^ce

qui peut

restreindre les

applications pratiques

^{de la}

méthode de

Feynman

^{décrite au}

paragraphe

^II.

Manuscrit reçu le ²⁷ juin ^1962.

944

BIBLIOGRAPHIE [1] ^SMET (P.) et TILLIEU (J.), ^J. Physique Rad., 1962,

23,299.

[2] ^HILL (T. L.), Introduction to statistical thermo-

dynamics, ^Addison Wesley ^Publ. Co, 1960, p. 12.

[3] ^FEYNMAN (R. P.), Phys. Rev., 1949, 76, 749 et 769.

[4] ^MONTROLL (E. W.), La théorie des gaz neutres et ionisés, Hermann, 1960, p. ^{26 et 31} sq. ; Termodinamica ^dei

processi

irreversibili, Societa Italiana di Fisica, 1960, p. ²²⁵ sq.

[5] ^HEDIN (L.) ^et LUNDQVIST (S. O.), Introduction to the field theoretical approach to the many electron _pro- blem. Notes polycopiées ^du Quantum chemistry

group, Uppsala University, ^{Suède, novembre 1960,}

p. ^20.

[6] ^DOETSCH (G.), Introduction à l’utilisation pratique ^de

la transformation de Laplace, Gauthier-Villars, 1959, p. 118.

REVUE DES LIVRES ARSAC (J.), Transformation de Fourier et théorie des

distributions. (1 vol., ^{16 x} 25 cm, XV + 347 p., 28 fig., ^relié toile, Dunod, Paris, 1961, ⁴⁸ NF.)

La transformation de Fourier est devenue, ^en physique

contemporaine,

^un puissant instrument d’investigation théorique. Moins utilitaire que la transformation ^de La-

place,

^elle

l’emporte

^{sur cette dernière} quand ^il s’agit ^de

décrire et d’interpréter ^le mécanisme fondamental des observations, ^en optique, acoustique ^ou électromagné-

tisme.

Cependant

^elle soulevait des difficultés mathéma-

tiques considérable, qui ^n’ont pu être levées _{que tout} récemment, grâce ^à la théorie des distributions.

Élaborée par Laurent Schwartz, ^{cette dernière est arri-} vée à point pour légitimer certaines audaces mathéma-

tiques dont l’efficacité était autrefois la seule justification (calcul symbolique d’Heaviside, ^{fonction de} Dirac). Cepen-

dant il existe entre l’artifice de calcul de ces précurseurs ^et

la méthode des distributions la même différence qu’entre

une recette artisanale et un procédé industriel. L’usage ^des

distributions régularise, simplifie ^et généralise ^{aux fonc-}

tions discontinues beaucoup de résultats qui, ^sans elle, ^ne seraient valables que pour des fonctions continues.

L’ouvrage de M. J. Arsac comporte quatre parties. ^La première, purement mathématique, expose les propriétés

de la transformation de Fourier et des distributions tem-

pérées unidimensionnelles puis multidimensionnelles. La deuxième partie ^{en montre trois} applications ^{directes :}

diffraction à l’infini, impédances complexes ^et propaga- tion des ondes en milieu homogène. La troisième étudie d’une façon plus approfondie ^{le vaste} problème des filtres

linéaires, ^avec application ^{au calcul du} pouvoir séparateur

d’un instrument

d’optique

^et de la sensibilité d’un radio-

,

télescope

^en présence ^du bruit de fond. Enfin, ^en guise ^de conclusion, ^on envisage ^le problème ^{du calcul} numérique

effectif d’une transformée de Fourier.

Écrit _par un physicien pour des

physiciens,

^{ce livre leur}

sera un guide précieux. Sa lecture exige ^{sans doute une cer-}

taine attention, mais, grâce ^{à des} rappels judicieux (al- gèbre linéaire,

topologie,

théorie de l’intégration) ^{elle ne}

demande pas de connaissances mathématiques dépassant

celles de la licence de

physique.

M. JESSEL.

BLANC-LAPIERRE (A.) ^{et PICINBONO}

(B.),

Propriétés ^statis- tiques du bruit de fond. (1 vol., ^{16 x} 25 cm, Masson et

Cie, Paris, 1961).

Cet ouvrage constitue ^une excellente introduction à l’étude des

problèmes

posés par le bruit de fond ^et surtout

de l’extraction d’un signal ^{dans un} bruit. Si les théorèmes

mathématiques ^{ne sont pas} systématiquement démontrés, l’enchaînement des idées est clairement indiqué ^et permet

au lecteur ayant des connaissances du niveau mathéma-

tiques générales d’acquérir des notions de base suffisantes pour étudier les cas concrets qu’il peut rencontrer, ^ou bien

approfondir ultérieurement la théorie de la détection.

Le livre débute par deux chapitres concis mais suffisants

sur le calcul des probabilités, ^{la notion de} variable aléa- toire et celle de fonction aléatoire. Ensuite sont exposées ^la

définition des fonctions aléatoires stationnaires d’ordre deux et les techniques mathématiques utilisées pour étudier leurs structures par l’analyse harmonique ^et leurs transfor- mations dans des filtres linéaires.

Le cas des fonctions aléatoires gaussiennes, qui ^{a une} importance fondamentale en électronique, ^{est détaillé et, en} particulier, ^on étudie les fonctions aléatoires déduites des

premières par des transformations ^non linéaires simples (carré, ^valeur absolue, écrétage).

L’étude se termine par

l’application

^à la détection d’un

signal ^{dans un bruit. A ce} propos sont mis ^en évidence les deux principaux critères de détection ; rapport signal ^sur

bruit et probabilité de fausses alarmes et de détection. Les méthodes par filtrage-détection-intégration, ^d’une part, ^et

par corrélation ^et détection synchrone, ^d’autre part, ^sont

successivement analysées.

L’ouvrage ^se termine par ^une bibliographie ^sommaire d’ouvrages ^de synthèse récents. Ce livre, écrit par deux

spécialistes ^des problèmes statistiques, ^{est à} conseiller pour

sa clarté et sa concision ^- moins de 100 pages. Nous terminons en signalant ^la rigueur des notations et l’excel- lente impression des formules et des graphiques, ^contri-

buant à rendre la lecture du livre attrayante.

P. SICARD.

TARLAIS

(J.),

Réaumur, (1 ^vol. broché, 475 p., ^{14 X} 23,5, Albert Blanchard, Paris, 1961.)

Cette

biographie

du savant du xvme siècle écrite en 1935 vient d’être rééditée. Grâce à une riche documentation inédite, ^{l’auteur a su mettre en} évidence la grande figure ^de

Réaumur. Les recherches scientifiques ^de Réaumur l’ont conduit ^à s’occuper ^de biologie, d’entomologie, ^de

physio-

logie, ^de métallurgie ^{et de} physique. ^Le but de l’auteur est de faire mieux connaître la personnalité ^{de ce savant} qui

s’intéressait à toutes les manifestations de la vie. En même temps l’auteur fait revivre les jeunes ^savants qui gravitaient autour de Réaumur. Une riche

bibliographie

accompagne l’ouvrage.

O. FRIDMANS.