TD d’analyse spectrale 2018-2019

TD d’analyse spectrale 2018-2019

TD3 - Adjoint et op´ erateurs compacts

Exercice 1. (Quelques exemples de calculs d’adjoint)

Expliciter ce que veut dire “structure hilbertienne canonique”, et d´eterminer l’adjoint deu dans les cas suivants :

1. H =Cⁿ muni de sa structure hilbertienne canonique, etu(x) = Ax, o`uA∈M_n(C).

2. H = L²([a, b],C), muni de sa structure hilbertienne canonique, et u(g) = f g o`u f ∈L^∞([a, b],C) est fix´ee.

3. H = `²(N,C), muni de sa structure hilbertienne canonique, et u est le shift τd vu dans la feuille de TD pr´ec´edente.

Exercice 2.

1. Soit H un espace de Hilbert et soit u un endomorphisme continu de H. Montrer queH = ker(u^∗)⊕Im(u), et que ces deux espaces sont orthogonaux.

2. SoitF un sous-espace vectoriel ferm´e deH, et soitp_F la projection orthogonale sur F. Rappeler la d´efinition. Montrer que pF est autoadjointe.

3. Ici, H =`<sup>2</sup>(N), et F =`⁰⁰(N), l’espace des suites nulles `a partir d’un certain rang.

D´eterminer F. A-t-on H =F ⊕F^⊥?

4. Ici H est quelconque, et u ∈ H est un vecteur non nul. Soit F := vect(u). A-t-on H =F ⊕F^⊥? Donner une expression explicite de la projection orthogonale sur F.

Exercice 3. Soit H un espace de Hilbert et soit u un endomorphisme compact de H.

Montrer que u^∗ est compact.

Exercice 4.

Soit T une application lin´eaire sur un espace de Banach.

1. Si T est inversible, T ou T⁻¹ peuvent-ils ˆetre compacts?

2. On suppose que T est compact, et solution deP(T) = 0 o`uP(X) = Pn

k=0a_kX^k est un polynˆome non nul.

1

(a) On suppose de plus ici que l’espace de Banach est de dimension infinie. Montrer que a₀ = 0. Donner un exemple.

(b) Montrer que le spectre de T est inclus dans les racines de P.

3. On suppose qu’il existe λ >0 tel que pour tout x∈E,kT xk ≥λkxk. Montrer que T n’est pas compact.

Exercice 5.

Soit V(f)(x) = Rx

0 tf(t)dt, t ∈ [0,1], f ∈ L^p([0,1]), 1 < p ≤ +∞. Montrer que V :L^p([0,1]) →L^p([0,1]) est bien d´efini, et que c’est une application lin´eaire compacte.

Exercice 6.

Soit ϕune fonction continue sur [0,1]. On d´efinit l’op´erateur de multiplication parϕ, T f =ϕf, f ∈ C([0,1]).

Montrer que T est compact si et seulement si ϕ= 0.

Exercice 7.

Pour f ∈ C([0,1]), on d´efinit T f par T f(x) =

Z 1−x

0

f(t)dt, x∈[0,1].

1. Montrer que T :C([0,1])7→ C([0,1]) est une application lin´eaire compacte.

2. T admet-il 0 comme valeur propre?

3. (a) Soit λ une valeur propre de T et soit f un vecteur propre assici´e. Montrer que f est de classe C², qu’on a f⁰(0) = 0, λf⁰(1) = −f(0) et d´eterminer une

´

equation diff´erentielle v´erif´ee parf. (b) D´eterminer le spectre de T.

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