Unecuveàélectrolyse Analyse,TP1:corrigéIntroductionàlasimulation.

(1)

Mathématiques 2 1

Analyse, TP1 : corrigé Introduction à la simulation.

Objectif

Tous les problèmes décrits dans ce TP seront traités à l’aide du logiciel COMSOL. Les fichiers d’exemples sont sur le site du cours.

FIG. 1 – Électrolyse : intensité le long d’une droite passant par les électrodes.

Une cuve à électrolyse

•Quelle équation aux dérivées partielles permet de déterminer l’intensité ?

Corr.: La conservation de la charge implique∇. ~j= 0et le champE~ est relié au potentielV par E~ =−∇V

donc

−σ∆V = 0 (1)

•Quelle condition au bord, naturelle, peut-on ajouter pour déterminer l’intensité ?

Corr.: On peut supposer que les parois de la cuve sont non conductrices, donc~j.~n= 0sur ces parois (notéesΓ0), i.e.

∂V

∂n = 0 Sur les électrodes (notéesΓ₁etΓ₂) le potentiel est fixé.

•Choisir un modèle de calcul permettant de résoudre ce problème. Dessiner la géométrie (on pourra

ECP 2006-2007 Analyse

(2)

Mathématiques 2 2

modifier le pas de la grille).

Corr.: C’est un problème de Poisson, comme en diffusion et dans beaucoup d’autres domaines. Si on veut retrouver le bon “vocabulaire”, choisir le modèle “Electromagnetic>Conductive media DC”.

• Visualiser l’intensité (Option “Sous-domaines” dans les paramètres d’affichage) et les lignes de courant. Déterminer l’intensité sur la droite qui joint les électrodes.

Corr.: Voir la figure 1

•Raffiner le maillage en utilisant l’adaptation a posteriori (“adaptation” dans le menu “paramètres de calcul”).

•Que penser du résultat ?

Corr.: Le résultat est mathématiquement correct : c’est le modèle mathématique qui est éventuel- lement en cause, mais pas l’approximation. La solution de (1) présente des singularités sur tous les

“coins rentrants” du domaine : plus précisément le champ et donc l’intensité est infinie en ces points (c’est “l’effet de pointe”), voir les exercices de la séance 2. Quand on raffine le maillage cette singula- rité apparaît avec une précision de plus en plus grande. Ce phénomène est partiellement non physique : l’intensité est limitée par des “effets de seuil” ce qui implique que la relation entre~j etE~ n’est plus linéaire pour les champs intenses. Introduire une telle relation (pas toujours connue) complique évidemment le modèle.

En pratique ces singularités ont de désagréables effets numériques, alors même qu’elles n’ont pas toujours de sens physique ; elles font perdre de la précision aux calculs et surtout elles gênent l’adaptation automatique du pas du maillage : le raffinement automatique se fera autour de toutes les singularités, augmentant considérablement le nombre d’inconnues dans des zones où une bonne précision n’est pas nécessaire.

Equation hyperbolique

On considère l’équation d’advection étudiée en cours







∂u

∂t +η(x)∂u

∂x = 0 u(x,0) = ˆu(x)

(2)

On considère quex∈[−1,1]ett∈[0,3]. On choisitu(x) =ˆ −^tanh(x)_tanh(1) + 0.1.

• On considère que η(x) = 1. Rappelons que nous avons vu en cours que l’équation admet une solution et une seule si on fixe en plus une condition en−1, choisissons

u(−1, t) = 1.1

En choisissant en1Dle modèle ”Convection diffusion” en transitoire, représenter ce problème dans COMSOL (faireu= 1etD= 0). Utiliser l’option de visualisation “Animate” pour suivre l’évolution de la solution calculée. Qu’observe-t-on ?

Corr.: Des instabilités, qui comme nous l’avons vu en cours se manifestent par des oscillations sur la longueur d’un pas de calcul. C’est la méthode d’approximation qui est instable.

•Ajouter une diffusion faible (D = 0.001puis D = 0.01). Noter qu’il faut imposer une condition aux limites enx= 1(laquelle ?). Qu’observe-t-on ?

En x = 1 on peut mettre une condition qui ne perturbe pas l’équation (3) en écrivant que le flux

(3)

Mathématiques 2 3

est convecté (η^∂u_∂n = 0). L’ajout d’une diffusion stabilise l’approximation numérique (nous avons vu, (séance 6) que l’équation de la diffusion est régularisante, elle lisse des oscillations en annulant les harmoniques hautes fréquences, or les instabilités font apparaître ces harmoniques). Une diffusion trop forte lisse la solution réelle.

•Que se passe-t-il si on impose enx= 1la conditionu(1, t) = 1.1 +t?

Elle crée une discontinuité en ce bord : nous avons vu que la solution de (3) était déterminée par la seule condition enx=−1.

•Reprendre le problème avecη(x) =−xen ajoutant (pourquoi ?) enx=−1la condition aux limites u(1, t) =−0.9.

Corr.: C’est à un changement de variable près l’exemple de la séance 7. Les caractéristiques sont rentrantes en x = 1 et x = −1. On doit donc mettre une condition en chaque extrémité. Il faut toujours ajouter de la diffusion pour stabiliser l’approximation.

Equation hyperbolique non linéaire

On considère l’équation de Riemann, équation non linéaire du premier ordre étudiée en cours







∂u

∂t +u∂u

∂x = 0 u(x,0) = ˆu(x)

(3)

On considère quex∈[−1,1]ett∈[0,5]. On choisitu(x) =ˆ −^tanh(x)_tanh(1) + 0.1.

•Rappelons que nous avons vu en cours que l’équation admet une solution et une seule si on fixe en plus une condition en−1, choisissons

u(−1, t) = 1.1

. En choisissant le modèle1D ”Convection diffusion” en transitoire, représenter ce problème dans COMSOL (faireu = cetD = 0). Utiliser l’option de visualisation “Animate” pour suivre l’évolu- tion de la solution calculée. Qu’observe-t-on ?.

Corr.: des instabilités !

•Ajouter une diffusion faible (D = 0.001puis D = 0.01). Noter qu’il faut imposer une condition aux limites enx= 1(laquelle ?). Qu’observe-t-on ?

Corr.: mêmes remarques que dans la question précédente. En dimension supérieure à 1, il y a des variantes permettant d’orienter le sens de la diffusion ou de limiter son application. COMSOL implante quelques variantes (“artificial diffusion” dans la fenêtre “physic”), avant de les utiliser il faut com- prendre leur signification (voir la doc.) et adapter les coefficients. La documentation de COMSOL sur la diffusion artificielle fait appel à des notions qui vont au delà du cours, mais qui sont, maintenant, de votre niveau de compréhension...