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Courbes elliptiques

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Courbes elliptiques

C´edric Bonnaf´e

CNRS (UMR 5149) - Universit´e de Montpellier

Montpellier, Lyc´ee Joffre, Mars 2016

(2)

Coniques : ax2+bxy+cy2+dx +ey +f =0

(3)

Coniques : ax2+bxy+cy2+dx +ey +f =0 Cubiques :

αx3+βx2y +γxy2+δy3

(4)

Coniques : ax2+bxy+cy2+dx +ey +f =0 Cubiques :

αx3+βx2y +γxy2+δy3+ax2+bxy+cy2+dx +ey+f =0

(5)

Coniques : ax2+bxy+cy2+dx +ey +f =0 Cubiques :

αx3+βx2y +γxy2+δy3+ax2+bxy+cy2+dx +ey+f =0 Courbes elliptiques : cubiques sans points singuliers

19`eme si`ecle : Abel, Gauss, Jacobi, Legendre...

(6)

Coniques : ax2+bxy+cy2+dx +ey +f =0 Cubiques :

αx3+βx2y +γxy2+δy3+ax2+bxy+cy2+dx +ey+f =0 Courbes elliptiques : cubiques sans points singuliers

19`eme si`ecle : Abel, Gauss, Jacobi, Legendre...

1920 : Mordell

1970-1995 : Hellegouarch, Frey, Ribet, Taylor/Wiles : preuve du th´eor`eme de Fermat

(7)

Coniques : ax2+bxy+cy2+dx +ey +f =0 Cubiques :

αx3+βx2y +γxy2+δy3+ax2+bxy+cy2+dx +ey+f =0 Courbes elliptiques : cubiques sans points singuliers

19`eme si`ecle : Abel, Gauss, Jacobi, Legendre...

1920 : Mordell

1970-1995 : Hellegouarch, Frey, Ribet, Taylor/Wiles : preuve du th´eor`eme de Fermat

Une r´ef´erence : Elliptic curves, H. McKean & V. Moll, Cambridge University Press (1997).

(8)

x2y = (y −1)3

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

(9)

x2y = (y −1)3

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

(10)

x2y = (y −1)3

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

b

(11)

y2 =x3−5

2x2+7 2

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

(12)

x3+y3−6xy =0

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

(13)

x3+y3−6xy =0

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

(14)

x3+y3−6xy =0

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

b

(15)

Th´ eor` eme de Pascal

(16)

Th´ eor` eme de Pascal

(17)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

(18)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

(19)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

b

(20)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

b

(21)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

b b

(22)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

b b b

(23)

Th´ eor` eme de Pascal

b b b

A B

C

b b b

A’

B’

C’

b b b

(24)

E

bO

(25)

E

bO

bP

b

Q

(26)

E

bO

bP

b

Q

(27)

E

bO

bP

b

Q

b

(28)

E

bO

bP

b

Q

b

(29)

E

bO

bP

b

Q

b b

(30)

E

bO

bP

b

Q

b bP+Q

(31)

E

bO

bP

b

Q

b bP+Q

(32)

E

bO

bP

b

Q

b bP+Q

b

(33)

E

bO

bP

b

Q

b bP+Q

b

(34)

E

bO

bP

b

Q

b bP+Q

b b

(35)

E

bO

bP

b

Q

b bP+Q

b bQ+Q

(36)

Th´eor`eme

E\∆, muni de la loi+, est un groupe (commutatif) ! L’´el´ement neutre est O.

(37)

Th´eor`eme

E\∆, muni de la loi+, est un groupe (commutatif) ! L’´el´ement neutre est O.

Preuve -

(38)

Th´eor`eme

E\∆, muni de la loi+, est un groupe (commutatif) ! L’´el´ement neutre est O.

Preuve -

´El´ement neutre : en effet, O+P =P (voir dessin)

(39)

Th´eor`eme

E\∆, muni de la loi+, est un groupe (commutatif) ! L’´el´ement neutre est O.

Preuve -

´El´ement neutre : en effet, O+P =P (voir dessin) Sym´etrique : voir dessin

(40)

Th´eor`eme

E\∆, muni de la loi+, est un groupe (commutatif) ! L’´el´ement neutre est O.

Preuve -

´El´ement neutre : en effet, O+P =P (voir dessin) Sym´etrique : voir dessin

Commutativit´e : trivial

(41)

Th´eor`eme

E\∆, muni de la loi+, est un groupe (commutatif) ! L’´el´ement neutre est O.

Preuve -

´El´ement neutre : en effet, O+P =P (voir dessin) Sym´etrique : voir dessin

Commutativit´e : trivial

Associativit´e : (P+Q) +R =P+ (Q+R)(th´eor`eme de Pascal)

(42)

E

bO

(43)

E

bO

b

b

b

P R

Q

(44)

E

bO

b

b

b

P R

Q

(45)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b

(46)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b

(47)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b b

(48)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

(49)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

(50)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

b

(51)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

b

(52)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

(53)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

(54)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

A’=

B’= C’=

(55)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

A’=

B’= C’=

(56)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

A’=

B’= C’=

(57)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

A’=

B’= C’=

b

(58)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

A’=

B’= C’=

b b (P+Q)+R

(59)

E

bO

b

b

b

P R

Q

b bP+Q

bb

Q+R

A= B=

C=

A’=

B’= C’=

b b (P+Q)+R

=P+(Q+R)

(60)

Th´eor`eme. E \∆, muni de la loi+, est un groupe commutatif ! L’´el´ement neutre est O.

Pour montrer ce r´esultat, on a utilis´e la r´eunionE ∪∆de la courbe et de la droite :

(61)

Th´eor`eme. E \∆, muni de la loi+, est un groupe commutatif ! L’´el´ement neutre est O.

Pour montrer ce r´esultat, on a utilis´e la r´eunionE ∪∆de la courbe et de la droite :

E ={(x,y)∈R2 | P2(x,y) =0}

∆={(x,y)∈R2 |P1(x,y) =0}

o`uPi est un polynˆome de degr´e total i.

(62)

Th´eor`eme. E \∆, muni de la loi+, est un groupe commutatif ! L’´el´ement neutre est O.

Pour montrer ce r´esultat, on a utilis´e la r´eunionE ∪∆de la courbe et de la droite :

E ={(x,y)∈R2 | P2(x,y) =0}

∆={(x,y)∈R2 |P1(x,y) =0}

o`uPi est un polynˆome de degr´e total i. Donc

E∪∆={(x,y)∈R2 | P1(x,y)P2(x,y) =0}.

C’est une cubique !

(63)

Th´eor`eme. E \∆, muni de la loi+, est un groupe commutatif ! L’´el´ement neutre est O.

Pour montrer ce r´esultat, on a utilis´e la r´eunionE ∪∆de la courbe et de la droite :

E ={(x,y)∈R2 | P2(x,y) =0}

∆={(x,y)∈R2 |P1(x,y) =0}

o`uPi est un polynˆome de degr´e total i. Donc

E∪∆={(x,y)∈R2 | P1(x,y)P2(x,y) =0}.

C’est une cubique ! On a aussi utilis´e son point `a l’infini...

(64)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee.

(65)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Rajoutons-lui les points `a l’infini,

(66)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Rajoutons-lui les points `a l’infini, enlevons-lui les points singuliers.

(67)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Rajoutons-lui les points `a l’infini, enlevons-lui les points singuliers. On obtient C. Fixons O ∈C.

(68)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Rajoutons-lui les points `a l’infini, enlevons-lui les points singuliers. On obtient C. Fixons O ∈C.

SiP, Q ∈C, soitX le troisi`eme point d’intersection de (PQ)∩C.

(69)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Rajoutons-lui les points `a l’infini, enlevons-lui les points singuliers. On obtient C. Fixons O ∈C.

SiP, Q ∈C, soitX le troisi`eme point d’intersection de (PQ)∩C. On note P +Q le troisi`eme point d’intersection de (OX)∩C.

(70)

SoitC une cubique irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Rajoutons-lui les points `a l’infini, enlevons-lui les points singuliers. On obtient C. Fixons O ∈C.

SiP, Q ∈C, soitX le troisi`eme point d’intersection de (PQ)∩C. On note P +Q le troisi`eme point d’intersection de (OX)∩C.

Th´eor`eme. (C,+) est un groupe commutatif. L’´el´ement neutre est O.

(71)

Courbes elliptiques :

(72)

Courbes elliptiques :

Dor´enavant,

C ={(x,y)∈R2 | y2 =F(x)}

o`uF(x) =x3+ax +b, a,b ∈R.

(73)

Courbes elliptiques :

Dor´enavant,

C ={(x,y)∈R2 | y2 =F(x)}

o`uF(x) =x3+ax +b, a,b ∈R.

On a doncy =±p

F(x)et,

(74)

Courbes elliptiques :

Dor´enavant,

C ={(x,y)∈R2 | y2 =F(x)}

o`uF(x) =x3+ax +b, a,b ∈R.

On a doncy =±p

F(x)et, lorsque x →+∞, on a y ∼±x3/2.

?

(75)

Courbes elliptiques :

Dor´enavant,

C ={(x,y)∈R2 | y2 =F(x)}

o`uF(x) =x3+ax +b, a,b ∈R.

On a doncy =±p

F(x)et, lorsque x →+∞, on a y ∼±x3/2.

?

O

(76)

Courbes elliptiques :

Dor´enavant,

C ={(x,y)∈R2 | y2 =F(x)}

o`uF(x) =x3+ax +b, a,b ∈R.

On a doncy =±p

F(x)et, lorsque x →+∞, on a y ∼±x3/2.

?

O

C=C∪{O}.

(77)

Courbes elliptiques :

Dor´enavant,

C ={(x,y)∈R2 | y2 =F(x)}

o`uF(x) =x3+ax +b, a,b ∈R.

On a doncy =±p

F(x)et, lorsque x →+∞, on a y ∼±x3/2.

?

O

C=C∪{O}.

Remarque - `a transformation projective pr`es, toute cubique est de cette forme...

(78)

A quoi ressemble ` C ?

(79)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3

(80)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2

(81)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2 y2=x33x

4 +1 4

(82)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2 y2=x33x

4 +1

4 y2=x3x

(83)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2 y2=x33x

4 +1

4 y2=x3x

y=x3

(84)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2 y2=x33x

4 +1

4 y2=x3x

y=x3 y=x3x

2 +1

2

(85)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2 y2=x33x

4 +1

4 y2=x3x

y=x3 y=x3x

2 +1

2 y=x33x

4 +1

4

(86)

A quoi ressemble ` C ?

y2=x3 y2=x3

x 2+1

2 y2=x33x

4 +1

4 y2=x3x

y=x3 y=x3x

2 +1

2 y=x33x

4 +1

4 y=x3x

(87)

Lissit´ e :

C est lisse (i.e. n’a pas de points singuliers)

(88)

Lissit´ e :

C est lisse (i.e. n’a pas de points singuliers)

⇐⇒ F(x) n’a pas de racine double (ou triple...)

(89)

Lissit´ e :

C est lisse (i.e. n’a pas de points singuliers)

⇐⇒ F(x) n’a pas de racine double (ou triple...)

⇐⇒ 4a3+27b2 6=0.

(90)

Lissit´ e :

C est lisse (i.e. n’a pas de points singuliers)

⇐⇒ F(x) n’a pas de racine double (ou triple...)

⇐⇒ 4a3+27b2 6=0.

Dor´enavant, on suppose que 4a3+27b2 6=0

(91)

Lissit´ e :

C est lisse (i.e. n’a pas de points singuliers)

⇐⇒ F(x) n’a pas de racine double (ou triple...)

⇐⇒ 4a3+27b2 6=0.

Dor´enavant, on suppose que 4a3+27b2 6=0 C est donc une courbe elliptique.

(92)

Lissit´ e :

C est lisse (i.e. n’a pas de points singuliers)

⇐⇒ F(x) n’a pas de racine double (ou triple...)

⇐⇒ 4a3+27b2 6=0.

Dor´enavant, on suppose que 4a3+27b2 6=0 C est donc une courbe elliptique.

On la munit de la structure de groupe+ telle que le point `a l’infiniO est l’´el´ement neutre.

(93)

y2=x3 y2=x3x 2

+1

2 y2=x33x

4 +1

4 y2=x3x

(94)

y2=x3x 2

+1

2 y2=x3x

(95)

Addition :

y2 =x3−4x

(96)

Addition :

y2 =x3−4x

O

(97)

Addition :

y2 =x3−4x

O

b

bP

Q

(98)

Addition :

y2 =x3−4x

O

b

bP

Q

(99)

Addition :

y2 =x3−4x

O

b

bP

Q

b

(100)

Addition :

y2 =x3−4x

O

b

bP

Q

b

(101)

Addition :

y2 =x3−4x

O

b

bP

Q

bb

P+Q

(102)

Formule :

(103)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors

(104)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,

(105)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,yQ(xP −xP+Q) +yP(xP+Q −xQ) xQ −xP

(106)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,yQ(xP −xP+Q) +yP(xP+Q −xQ) xQ −xP

P +P =2P =

−2xP +3xP2 +a 2yP

2

| {z }

x2P

,

(107)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,yQ(xP −xP+Q) +yP(xP+Q −xQ) xQ −xP

P +P =2P =

−2xP +3xP2 +a 2yP

2

| {z }

x2P

, −yP −(x2P −xP)(3xP2 +a) 2yP

(108)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,yQ(xP −xP+Q) +yP(xP+Q −xQ) xQ −xP

P +P =2P =

−2xP +3xP2 +a 2yP

2

| {z }

x2P

, −yP −(x2P −xP)(3xP2 +a) 2yP

Cons´equences : On peut travailler sur n’importe quel corps (par exemple, Q, R, C,

(109)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,yQ(xP −xP+Q) +yP(xP+Q −xQ) xQ −xP

P +P =2P =

−2xP +3xP2 +a 2yP

2

| {z }

x2P

, −yP −(x2P −xP)(3xP2 +a) 2yP

Cons´equences : On peut travailler sur n’importe quel corps (par exemple, Q, R, C,Z/pZ...)

(110)

Formule :

SiP = (xP,yP) et Q = (xQ,yQ), alors P+Q =

−xP −xQ +yQ −yP

xQ −xP

2

| {z }

xP+Q

,yQ(xP −xP+Q) +yP(xP+Q −xQ) xQ −xP

P +P =2P =

−2xP +3xP2 +a 2yP

2

| {z }

x2P

, −yP −(x2P −xP)(3xP2 +a) 2yP

Cons´equences : On peut travailler sur n’importe quel corps (par exemple, Q, R, C,Z/pZ...). Il suffit de prendre a etb dans ce corps.

(111)

Multiples d’un point :

(112)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

(113)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

(114)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

(115)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

b

(116)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

b

(117)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

(118)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

(119)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

b

(120)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

b

(121)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

bb

3P=(13/9,-35/27)

(122)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

bb

3P=(13/9,-35/27)

(123)

Multiples d’un point :

y2 =x3 −3x +3

b

P=(1,1)

bb

2P=(-2,-1)

bb

3P=(13/9,-35/27)

4P=(97/4,953/8)

(124)

Torsion :

(125)

Torsion :

D´efinition. Un point P est dit de torsion s’il existe un entier naturel non nulm tel que mP =O.

(126)

Torsion :

D´efinition. Un point P est dit de torsion s’il existe un entier naturel non nulm tel que mP =O.

2P =O ⇐⇒ la tangente `a C en P est verticale

(127)

Torsion :

D´efinition. Un point P est dit de torsion s’il existe un entier naturel non nulm tel que mP =O.

2P =O ⇐⇒ la tangente `a C en P est verticale 3P =O ⇐⇒P est un point d’inflexion...

(128)

Corps des nombres complexes

(129)

Corps des nombres complexes

Soit(λ1, λ2) une R-base de C

(130)

Corps des nombres complexes

Soit(λ1, λ2) une R-base de C SoitΛ={mλ1+nλ2 | (m,n)∈Z2}

(131)

Corps des nombres complexes

Soit(λ1, λ2) une R-base de C SoitΛ={mλ1+nλ2 | (m,n)∈Z2} On pose

Λ(z) =℘(z) = 1

z2 + X

λ∈Λ\{0}

1

(z+λ)2 − 1 λ2

.

(132)

Corps des nombres complexes

Soit(λ1, λ2) une R-base de C SoitΛ={mλ1+nλ2 | (m,n)∈Z2} On pose

Λ(z) =℘(z) = 1

z2 + X

λ∈Λ\{0}

1

(z+λ)2 − 1 λ2

.

g2(Λ) =g2 = X

λΛ\{0}

1

λ4 et g3(Λ) =g3 = X

λΛ\{0}

1 λ6

(133)

Corps des nombres complexes

Soit(λ1, λ2) une R-base de C SoitΛ={mλ1+nλ2 | (m,n)∈Z2} On pose

Λ(z) =℘(z) = 1

z2 + X

λ∈Λ\{0}

1

(z+λ)2 − 1 λ2

.

g2(Λ) =g2 = X

λΛ\{0}

1

λ4 et g3(Λ) =g3 = X

λΛ\{0}

1 λ6

Λ:C→C∪{∞}est appel´ee la fonction elliptique de Weierstraß (associ´ee `a Λ)

(134)

Corps des nombres complexes

Soit(λ1, λ2) une R-base de C SoitΛ={mλ1+nλ2 | (m,n)∈Z2} On pose

Λ(z) =℘(z) = 1

z2 + X

λ∈Λ\{0}

1

(z+λ)2 − 1 λ2

.

g2(Λ) =g2 = X

λΛ\{0}

1

λ4 et g3(Λ) =g3 = X

λΛ\{0}

1 λ6

Λ:C→C∪{∞}est appel´ee la fonction elliptique de Weierstraß (associ´ee `a Λ)

Λ(z +λ) =℘Λ(z) si z ∈C et λ∈Λ.

(135)

Corps des nombres complexes (suite)

(136)

Corps des nombres complexes (suite)

Th´eor`eme

(z)2 =4℘(z)3−g2℘(z) −g3

(137)

Corps des nombres complexes (suite)

Th´eor`eme

(z)2 =4℘(z)3−g2℘(z) −g3

Corollaire

SoitC ={(x,y)∈C2 | y2 =4x3−g2x −g3}∪{O}. Alors

℘: C/Λ −→ C

z 7−→ (℘(z), ℘(z)) est un isomorphisme de groupes

(138)

Corps des nombres complexes (suite)

Th´eor`eme

(z)2 =4℘(z)3−g2℘(z) −g3

Corollaire

SoitC ={(x,y)∈C2 | y2 =4x3−g2x −g3}∪{O}. Alors

℘: C/Λ −→ C

z 7−→ (℘(z), ℘(z)) est un isomorphisme de groupes (alg´ebriques).

(139)

Corps des nombres complexes (curiosit´ e)

(140)

Corps des nombres complexes (curiosit´ e)

g2(Z+Zτ) = 4π4 3

1−240 X

n=1

σ3(n)e2inπ τ

(141)

Corps des nombres complexes (curiosit´ e)

g2(Z+Zτ) = 4π4 3

1−240 X

n=1

σ3(n)e2inπ τ

g3(Z+Zτ) = 8π6 27

1+504 X

n=1

σ5(n)e2inπ τ

(142)

Corps des nombres complexes (curiosit´ e)

g2(Z+Zτ) = 4π4 3

1−240 X

n=1

σ3(n)e2inπ τ

g3(Z+Zτ) = 8π6 27

1+504 X

n=1

σ5(n)e2inπ τ

o`u σk(n) = X

d | n

dk

(143)

Corps des nombres rationnels

(144)

Corps des nombres rationnels

On suppose ici a, b ∈Q.

(145)

Corps des nombres rationnels

On suppose ici a, b ∈Q.

AlorsC ={(x,y)∈Q2 |y2 =x3+ax +b}∪{O} est un sous-groupe deC(R).

(146)

Corps des nombres rationnels

On suppose ici a, b ∈Q.

AlorsC ={(x,y)∈Q2 |y2 =x3+ax +b}∪{O} est un sous-groupe deC(R).

Th´eor`eme (Mordell, 1922)

Il existe P1,. . . , Pn tels queC =hP1,P2, . . . ,Pni.

D´efinition

On noterang(C) le plus grand entier r tel qu’il existe P1,. . . , Pr ∈C qui soientZ-lin´eairement ind´ependants.

(147)

Corps des nombres rationnels

On suppose ici a, b ∈Q.

AlorsC ={(x,y)∈Q2 |y2 =x3+ax +b}∪{O} est un sous-groupe deC(R).

Th´eor`eme (Mordell, 1922)

Il existe P1,. . . , Pn tels queC =hP1,P2, . . . ,Pni.

D´efinition

On noterang(C) le plus grand entier r tel qu’il existe P1,. . . , Pr ∈C qui soientZ-lin´eairement ind´ependants. Le nombre rang(C) est appel´e le rang de C.

(148)

Conjecture

Il existe des courbes elliptiques de rang aussi grand que l’on veut.

(149)

Conjecture

Il existe des courbes elliptiques de rang aussi grand que l’on veut.

Record du monde (Elkies, 2006) : rang >28

(150)

Conjecture

Il existe des courbes elliptiques de rang aussi grand que l’on veut.

Record du monde (Elkies, 2006) : rang >28 y2+xy+y =x3−x2

−20067762415575526585033208209338542750930230312178956502 x

+34481611795030556467032985690390720374855944359319180361266008296291939448732243429

(151)

Conjecture

Il existe des courbes elliptiques de rang aussi grand que l’on veut.

Record du monde (Elkies, 2006) : rang >28 y2+xy+y =x3−x2

−20067762415575526585033208209338542750930230312178956502 x

+34481611795030556467032985690390720374855944359319180361266008296291939448732243429

P1 = (−2124150091254381073292137463,

259854492051899599030515511070780628911531)

P2 = (2334509866034701756884754537,

18872004195494469180868316552803627931531)

· · ·

P28 = (2230868289773576023778678737,

28558760030597485663387020600768640028531)

(152)

Conjecture

Le rang moyen d’une courbe elliptique est1/2,

(153)

Conjecture

Le rang moyen d’une courbe elliptique est1/2, avec probabilit´e 1/2 pour le rang0 et probabilit´e1/2 pour le rang1.

(154)

Conjecture

Le rang moyen d’une courbe elliptique est1/2, avec probabilit´e 1/2 pour le rang0 et probabilit´e1/2 pour le rang1.

Th´eor`eme (Bhargava-Shankar, 2013)

Le rang moyen d’une courbe elliptique est 60,885.

(155)

Corps finis

(156)

Corps finis

a, b∈Z/pZ, p nombre premier

(157)

Corps finis

a, b∈Z/pZ, p nombre premier

C(Z/pZ) ={(x,y)∈Z/pZ |y2 =x3+ax +b}∪{O}.

(158)

Corps finis

a, b∈Z/pZ, p nombre premier

C(Z/pZ) ={(x,y)∈Z/pZ |y2 =x3+ax +b}∪{O}.

On poseNp =|C(Z/pZ)|.

Th´eor`eme (Hasse, 1936)

|Np− (p+1)|62√p.

(159)

Corps finis

a, b∈Z/pZ, p nombre premier

C(Z/pZ) ={(x,y)∈Z/pZ |y2 =x3+ax +b}∪{O}.

On poseNp =|C(Z/pZ)|.

Th´eor`eme (Hasse, 1936)

|Np− (p+1)|62√p.

Exemple : y2 =x3−3x +3

p 2 3 5 7 11 13 · · · 129 · · · 1361

Np−p−1 −1 −1 0 −3 3 1 · · · −13 · · · 55

(160)

Corps finis (suite)

(161)

Corps finis (suite)

On prends icia,b ∈Z et on note

C(Q) ={(x,y)∈Q2 | y2 =x3+ax +b}

et C(Z/pZ) ={(x,y)∈(Z/pZ)2 | y2 =x3+ax +b}.

(162)

Corps finis (suite)

On prends icia,b ∈Z et on note

C(Q) ={(x,y)∈Q2 | y2 =x3+ax +b}

et C(Z/pZ) ={(x,y)∈(Z/pZ)2 | y2 =x3+ax +b}.

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Il existe une constante c ne d´ependant que de C telle que Y

p6x

Np

p ∼

x+ cLog(x)? .

(163)

Corps finis (suite)

On prends icia,b ∈Z et on note

C(Q) ={(x,y)∈Q2 | y2 =x3+ax +b}

et C(Z/pZ) ={(x,y)∈(Z/pZ)2 | y2 =x3+ax +b}.

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Il existe une constante c ne d´ependant que de C telle que Y

p6x

Np

p ∼

x+ cLog(x)rang(C(Q)).

(164)

Corps finis (suite)

On prends icia,b ∈Z et on note

C(Q) ={(x,y)∈Q2 | y2 =x3+ax +b}

et C(Z/pZ) ={(x,y)∈(Z/pZ)2 | y2 =x3+ax +b}.

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Il existe une constante c ne d´ependant que de C telle que Y

p6x

Np

p ∼

x+ cLog(x)rang(C(Q)).

Th´eor`eme (Bhargava-Skinner-Zhang, 2014)

Au moins 66% des courbes elliptiques v´erifient la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

(165)

Corps finis (suite)

On prends icia,b ∈Z et on note

C(Q) ={(x,y)∈Q2 | y2 =x3+ax +b}

et C(Z/pZ) ={(x,y)∈(Z/pZ)2 | y2 =x3+ax +b}.

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Il existe une constante c ne d´ependant que de C telle que Y

p6x

Np

p ∼

x+ cLog(x)rang(C(Q)).

Th´eor`eme (Bhargava-Skinner-Zhang, 2014)

Au moins 66% des courbes elliptiques v´erifient la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (!).

(166)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire :

(167)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes)

(168)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques)

(169)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß)

(170)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer)

(171)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer) de la cryptographie

(172)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer) de la cryptographie

la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat (Wiles, Taylor-Wiles) :

(173)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer) de la cryptographie

la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat (Wiles, Taylor-Wiles) : siap+bp =cp avec p premier >3 et abc 6=0, alors la courbe elliptique d´efinie par l’´equation

y2 =x(x+ap)(x −bp)

(174)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer) de la cryptographie

la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat (Wiles, Taylor-Wiles) : siap+bp =cp avec p premier >3 et abc 6=0, alors la courbe elliptique d´efinie par l’´equation

y2 =x(x+ap)(x −bp)

est trop bizarre pour exister (courbe de Hellegouarch).

(175)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer) de la cryptographie

la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat (Wiles, Taylor-Wiles) : siap+bp =cp avec p premier >3 et abc 6=0, alors la courbe elliptique d´efinie par l’´equation

y2 =x(x+ap)(x −bp)

est trop bizarre pour exister (courbe de Hellegouarch).

de la g´eom´etrie...

(176)

Avec les courbes elliptiques, on peut faire : de l’alg`ebre (th´eorie des groupes) de l’analyse r´eelle (int´egrales elliptiques) de l’analyse complexe (fonction de Weierstraß) de la th´eorie des nombres (Birch et Swinnerton-Dyer) de la cryptographie

la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat (Wiles, Taylor-Wiles) : siap+bp =cp avec p premier >3 et abc 6=0, alors la courbe elliptique d´efinie par l’´equation

y2 =x(x+ap)(x −bp)

est trop bizarre pour exister (courbe de Hellegouarch).

de la g´eom´etrie...

• •N

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