L’enseignement
des probabilités
Une discipline « jeune »
• Apparaît en 1966 en Terminale A et B.
• Apparaît en Première A, B, C et D en 1970 (et en Terminale en 1971).
• Grand recul de son enseignement entre 1981 et 1986.
• La statistique inférentielle apparaît en Seconde en 2000.
• Les probabilités arrivent en troisième en 2008.
Raisons de l’introduction des probabilités
• Intention socioculturelle : le monde « réel »;
• Intention épistémologique : rôle de la mathématique ;
• Intention didactique : intégrer des domaines récemment constitués des mathématiques
Entre 1970 et 1981
• Approche très axiomatique : axiomes de Kolmogorov
• On modélise l’équiprobabilité des évènements
élémentaires en se fondant sur une symétrie de la situation étudiée.
• Extrait des instructions de 1970 :
« le paragraphe relatif aux probabilités ne consiste pas à réunir et à résumer des expériences nombreuses sur certains faits, mais bien à bâtir une théorie
axiomatique assez souple pour servir ultérieurement de modèle mathématique aux études statistiques ».
Entre 1970 et 2010 …
Sujet de Bac C, 1975
Sujet de BREVET, 2010
Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes.
Chacune de ces boules a la même probabilité d’être tirée. On tire une boule au hasard.
1. Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge.
2. Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune.
3. Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes.
Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ?
4. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues.
On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à 1/5, calculer le nombre de boules bleues.
Différentes interprétations de la probabilité
• En terme de croyance ou bien en terme de fréquence.
• Dans la première, que Hacking nomme « probabilité épistémique », le mot « probable » est associé aux notions de croyance, confiance, crédibilité, indice.
• Dans la deuxième, nommée « probabilité de type fréquentiste », son usage est associé aux notions de fréquence, disposition, tendance, symétrie,
propension.
• Ces deux interprétations de la probabilité sont parfois dénommées autrement : subjective / objective,
épistémique / aléatoire .
Approche laplacienne
• Basée sur la « géométrie du hasard ».
• Probabilité subjective, déterminée à priori par des considérations non expérimentales.
• Nécessite de se ramener à un univers dans
lequel tous les évènements élémentaires sont équiprobables.
• Réduit le calcul des probabilités à des dénombrements.
• Ne réalise pas de confrontation avec la réalité.
Approche fréquentiste
• Basée sur l’étude expérimentale de phénomènes aléatoires.
• Probabilité : « limite » de fréquences observées expérimentalement.
• Probabilité objective, définie à postériori.
• Résout le problème de la confrontation avec le réel.
• Danger : l’élève ne fait pas le saut conceptuel.
Dans les programmes
Programme de Troisième
Notions de probabilité
• Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.
• Calculer des probabilités dans des contextes familiers
Probabilités définies à partir de considérations de symétrie ou de
comparaison
Dans chacune des situations ci-dessous, deux issues sont possibles, et on a 1
chance sur 2 de tirer “Pile”, de tirer une boule rouge, ou de tomber sur la région P, ce que l’on traduit en disant que la probabilité de chacune d’elles est égale à ½ .
Ces dispositifs peuvent être adaptés pour mettre en évidence des événements n’ayant pas la même probabilité.
Approche fréquentiste de la probabilité
Le lancer d’une punaise
Le jeu de Franc - Carreau
Le jeu de « Franc Carreau » consiste à prendre une pièce de monnaie (de 1 cm de rayon, par exemple), et à la lancer sur un carrelage dont les carreaux sont des carrés (de 10 cm de côté, par exemple).
On fait « Franc Carreau » quand la pièce tombe sur une seule case, dont elle peut toucher les bords, mais sans empiéter sur une autre case. Dans ce cas, on gagne un euro ; sinon, on perd un euro.
Simulations
Document d’accompagnement du programme de Seconde:
« Simuler une expérience, c’est choisir un modèle de cette expérience, puis simuler ce modèle ».
Autre définition:
La simulation est la méthode statistique permettant la reconstitution fictive de l’évolution d’un phénomène.
C’est une expérimentation qui suppose la construction d’un modèle théorique présentant une similitude de propriétés ou de relations avec le phénomène faisant l’objet de l’étude .
Programme de Seconde
Échantillonnage
• Notion d’échantillon.
• Intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95%.
• Réalisation d’une simulation (tableur ou calculatrice)
Probabilité sur un ensemble fini
• Probabilité d’un événement.
Déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité.
• Réunion et intersection de deux événements, formule : p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B).
Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.
Echantillonnage
• Un échantillon de taille n est la liste des n résultats obtenus par n répétitions
indépendantes de la même expérience.
• Exemple d’une pièce Exemple d’un dé
Exemple de deux tirages successifs avec remise dans une urne contenant 2 boules blanches et une boule noire
Intervalle de fluctuation
Par exemple …
• Lors d’une élection, un candidat a obtenu 35%
des voix.
Pour des échantillons de taille 100, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est [0,25; 0,45].
• On simule 100 échantillons de taille 100 et on dénombre les échantillons pour lesquels la
fréquence est en dehors de l’intervalle [0,25 ; 0,45].
TP fourchettes Seconde.xls
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 Liste rouge
Sondages de taille 100
La place de la simulation
modèle
Expérience réelle
Expérience informatique
modélisation simulation
représentation
Le problème des bouteilles
• Un fabricant de bouteilles en verre dispose de 100 kg de verre liquide.
• Avec 1 kg de verre liquide, on peut fabriquer une bouteille.
• Dans les 100 kg de verre liquide, il y a 100 pierres ou
impuretés que l’on ne peut pas enlever et qui sont réparties de manière aléatoire.
• Le fabricant ne s’intéresse qu’à la fabrication de bouteilles de
« haute qualité », c’est-à-dire sans impureté.
• Si une bouteille contient au moins une pierre, elle est mise au rebut !
• Combien peut-il espérer obtenir de bouteilles de « haute qualité »?
Choix d’une méthode de simulation
• On peut schématiser le problème sous la
forme d’un tableau cartésien de 10 cases sur 10 cases, chacune des cases représentant la place d’une bouteille.
• Puis on répartit de manière aléatoire les 100 impuretés sur ces 100 cases.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chiffre des dizaines Chiffre
des unités
Modélisations du problème
• Première approche
Soit A l’ensemble des impuretés et B l’ensemble des bouteilles.
Une répartition des 100 impuretés dans les 100 bouteilles peut être interprétée comme une application de A vers B.
On choisit comme univers l’ensemble des applications de A vers B, noté F (A, B).
On choisit aussi l’hypothèse la plus simple, c’est – à – dire celle d’équiprobabilité des évènements élémentaires.
Soit p la probabilité que la bouteille Bi soit de « haute qualité » et B’ = B \ {Bi}.
Alors: p 0,3665
On a donc entre 36 et 37 bouteilles de “haute qualité”.
Première approche
Deuxième approche
Premières générales
L obligatoire au choix ES S
Notion d’expérience aléatoire Ensemble des
éventualités et vocabulaire des événements.
Loi de probabilité sur un ensemble fini.
Probabilité d’un événement, de l’événement contraire.
Relation entre les probabilités de deux évènements, de leur réunion et de leur
intersection.
L’équiprobabilité : une
hypothèse parmi d’autres pour proposer un modèle.
Modèles issus d’une observation
expérimentale.
Définition d’une loi de
probabilité sur un ensemble fini.
Espérance, variance, écart- type d’une loi de probabilité.
Modélisation d’expériences de référence menant à
l’équiprobabilité ; utilisation de modèles définis à partir de fréquences observées.
Définition d’une loi de
probabilité sur un ensemble fini.
(énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres).
Espérance, variance, écart-type d’une loi de probabilité.
Variable aléatoire, loi d’une variable aléatoire,
espérance, variance, écart-type.
Modélisation d’expériences aléatoires de référence (lancers d’un ou plusieurs dés ou pièces discernables ou non, tirage au hasard dans une urne, choix de chiffres au hasard, etc.).
Loi des grands nombres
• En langage vulgarisé (prog de Première S):
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité p, les distributions de fréquences obtenues dans des séries de taille n se rapprochent de p quand n devient grand.
• Enoncé mathématique:
Si (Xn) est une suite de variables indépendantes de Bernoulli de paramètre p et si la moyenne des
variables (Xn) est notée Fn, alors pour tout a > 0, la probabilité que | Fn – p| > a tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
Premières technologiques
STG ST2S STI
Épreuves, événements élémentaires ou
issues, univers, répartition de probabilité.
Réunion, intersection d’événements,
événements disjoints ou incompatibles,
événement contraire.
Probabilité d’un événement Cas où les événements élémentaires
sont équiprobables.
Expérimentation et simulation.
Vocabulaire des probabilités (cas discret)
Univers, événements, événements
élémentaires.
Réunion, intersection d’événements,
événements disjoints (ou incompatibles),
événement contraire.
Probabilité d’un événement Cas où les événements élémentaires sont
équiprobables.
Sur des exemples simples, étude de cas où les
événements élémentaires ne sont pas
équiprobables.
Événements, événements élémentaires ; la
probabilité d'un
événement est définie par addition de probabilités d'événements
élémentaires. Événements disjoints (ou
incompatibles), événement contraire, réunion et
intersection
de deux événements.
Cas où les événements élémentaires sont
équiprobables.
Terminales générales
L obligatoire au choix ES S
Statistique et simulation
(adéquation de données à une loi équirépartie)
Représentation d’un modèle probabiliste attaché à une épreuve aléatoire par un arbre pondéré.
Conditionnement par un
évènement de probabilité non nulle.
Indépendance de deux évènements.
Formule des probabilités totales
Simulation (adéquation de données à une loi
équirépartie).
Conditionnement par un
évènement de probabilité non nulle, puis indépendance de deux évènements.
Formule des probabilités totales.
Modélisation d’expériences indépendantes.
Cas de la répétition d’expériences
identiques et indépendantes.
Lois de probabilités discrètes Espérance et variance d’une loi numérique.
Expériences et lois de Bernoulli.
Lois binomiales.
Conditionnement par un évènement de probabilité non nulle, puis indépendance de deux évènements.
Indépendance de deux variables aléatoires.
Formule des probabilités totales.
Statistique et modélisation Expériences indépendantes.
Cas de la répétition d’expériences identiques et indépendantes.
Exemples de lois discrètes Introduction des combinaisons Formule du binôme
Loi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois.
Exemple de lois continues - loi uniforme sur [0,1]
- loi de durée de vie sans vieillissement
Statistique et simulation
(adéquation de données à une loi équirépartie).
Le problème de l’adéquation
• Une expérience :
CHOISIR sans réfléchir et très vite un
CHIFFRE parmi les quatre chiffres 1, 2, 3, 4.
Ecrivez – le sur un morceau de papier.
• Adéquation - 4 chiffres.xls
« Processus » opératoire du problème de
l’adéquation
Terminales technologiques
STG ST2S STL STI
Conditionnement Probabilité, sachant B, de A .
Indépendance de deux événements.
Probabilité conditionnelle Conditionnement par un événement de probabilité non nulle.
Indépendance de deux événements.
Evénements disjoints (ou incompatibles), événement
contraire, réunion et intersection de deux événements
Variable aléatoire (réelle) prenant un nombre fini de valeurs et
loi de probabilité associée ; fonction de répartition, espérance
mathématique, variance, écart- type.
