DEVOIR SURVEILLE N° 2 TERMINALE S 5 Lundi 21 octobre 2002
EXERCICE 1 ( 7 points )
On considère les deux suites ( u )n et ( v )n définies par u0=0, 1 3 1 4
n n
u+ = u + et v0 =2, 1 3 1 4
n n
v+ = v + ;
a) On considère la suite ( s )n définie par sn =un+vn . Montrer par récurrence que la suite ( s )n est constante . b) On considère la suite ( d )n définie par sn= −vn un . Montrer que la suite ( d )n est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
c) En déduire nlim( vn u )n
→+∞ − .
d) Ecrire un en fonction de sn et de dn, puis en fonction de n . Ecrire vn en fonction de sn et de dn, puis en fonction de n . En déduire la limite de un et celle de vn.
Question subsidiaire : Les suites ( u )n et ( v )n sont-elles adjacentes ?
EXERCICE 2 ( 6 points )
On considère le polynôme P défini par P(x) = x3−6x2+12x−16. a) Calculer P(4). En déduire une factorisation de P.
b) Déterminer les solutions de l’équation P(x) = 0 dans C. c) On considère le repère orthonormé ( O;u,v )r r
du plan et les points A, B, C d’affixes respectives zA= +1 i 3,
1 3
zB= −i et zC =4.
d) Déterminer le module et un argument de zAet de zB. Placer les trois points A, B et C dans le plan.
e) Déterminer la nature du triangle ABC.
EXERCICE 3 ( 7 points )
On considère la fonction g définie sur R par g( x ) x= 3−3x−4. a) Etudier le sens de variations de g sur R.
b) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α sur R . Donner une valeur approchée de α à 10−2 près.
c) En déduire le signe de g(x).
d) On considère la fonction f définie sur ]1 ; +∞ [ par 32 2 2 1
x x
f ( x ) x
= +
− . Déterminer la dérivée f’(x) de f . e) Démontrer que f’(x) a le même signe que g(x) sur ]1 ; +∞ [.
f) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Dresser le tableau de variations de f . Donner une valeur approchée de f(α).
g) Montrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote oblique à la courbe Cf représentative de la fonction f en +∞.
h) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 2.
