DEVOIR SURVEILLE N° 2 TERMINALE S 5 Lundi 21 octobre 2002

DEVOIR SURVEILLE N° 2 TERMINALE S 5 Lundi 21 octobre 2002

EXERCICE 1 ( 7 points )

On considère les deux suites ( u )_n et ( v )_n définies par u₀=0, ₁ 3 1 4

n n

u₊ = u + et v₀ =2, ₁ 3 1 4

n n

v₊ = v + ;

a) On considère la suite ( s )_n définie par s_n =u_n+v_n . Montrer par récurrence que la suite ( s )_n est constante . b) On considère la suite ( d )n définie par sn= −vn un . Montrer que la suite ( d )n est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

c) En déduire nlim( vn u )n

→+∞ − .

d) Ecrire un en fonction de sn et de dn, puis en fonction de n . Ecrire vn en fonction de sn et de dn, puis en fonction de n . En déduire la limite de u_n et celle de v_n.

Question subsidiaire : Les suites ( u )n et ( v )n sont-elles adjacentes ?

EXERCICE 2 ( 6 points )

On considère le polynôme P défini par P(x) = x³−6x²+12x−16. a) Calculer P(4). En déduire une factorisation de P.

b) Déterminer les solutions de l’équation P(x) = 0 dans C. c) On considère le repère orthonormé ( O;u,v )r r

du plan et les points A, B, C d’affixes respectives z_A= +1 i 3,

1 3

zB= −i et zC =4.

d) Déterminer le module et un argument de z_Aet de z_B. Placer les trois points A, B et C dans le plan.

e) Déterminer la nature du triangle ABC.

EXERCICE 3 ( 7 points )

On considère la fonction g définie sur R par g( x ) x= ³−3x−4. a) Etudier le sens de variations de g sur R.

b) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α sur R . Donner une valeur approchée de α à 10⁻² près.

c) En déduire le signe de g(x).

d) On considère la fonction f définie sur ]1 ; +∞ [ par ³₂ 2 ² 1

x x

f ( x ) x

= +

− . Déterminer la dérivée f’(x) de f . e) Démontrer que f’(x) a le même signe que g(x) sur ]1 ; +∞ [.

f) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Dresser le tableau de variations de f . Donner une valeur approchée de f(α).

g) Montrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote oblique à la courbe Cf représentative de la fonction f en +∞.

h) Déterminer une équation de la tangente à C_f au point d’abscisse 2.