DEVOIR SURVEILLE N° 3 TERMINALE S 5 Vendredi 22 novembre 2002
EXERCICE 1 ( 6 points )
a) On considère le nombre complexe ω = ei23π ; écrire ω et ω² sous forme algébrique.
b) Montrer que 1 + ω + ω² = 0 et ω ω= 2 , où ω désigne le conjugué de ω.
c) Montrer que ω = 1 + ω ; le complexe ω vérifie-t-il la même égalité ? d) On considère un nombre complexe z vérifiant la relation z = 1 + z ; montrer que la partie réelle de z vérifie Re(z) = 1
−2.
Question subsidiaire : On considère un nombre complexe z ≠ -1et de 0 vérifiant la relation Arg( z ) =Arg(1 + z ) ; montrer que z est réel.
EXERCICE 2 ( 6 points )
a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation z2−2 2z+ =4 0. Ecrire les solutions sous la forme exponentielle complexe.
b) Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé ( O;u,v )r r
( unité graphique : 2 cm), placer les points A, B et C d’affixe respective zA=2i, zB= 2 1( −i ), zC = 2 1( +i ).
c) Montrer que zA=e zi34π B.
d) Déterminer l’affixe zD du point D vérifiant zD =e zi34π A. Placer le point D.
e) Montrer que zB=izD .
f) Montrer que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
EXERCICE 3 ( 7 points )
On considère les trois fonctions f, g, h définies sur ] -1 ; +∞[ par f ( x ) ln(= 1+x ) ,
3 2
3 2
x x
g( x )= − +x et 2
2 h( x ) x
=x + .
a) Montrer que les courbes représentatives Cf, Cg, Ch de ces fonctions admettent la même tangente en x = 0.
b) On souhaite préciser la position relative de ces trois courbes sur ] -1 ; 1 [ ; pour cela, on considère la fonction d définie sur ] -1 ; 1 [ par d(x) = f(x)- g(x) , et la fonction j définie sur ] -1 ; 1 [ par j(x) = f(x)- h(x) .
Déterminer les variations des fonctions d et j sur ] -1 ; 1 [ et en déduire le signe de d(x) et de j(x) sur ] -1 ; 1 [ . c) En déduire la position relative des trois courbes Cf, Cg, Ch sur ] -1 ; 1 [ .
d) Déterminer un encadrement de ln(1,01) par deux rationnels, à 10−6 près . e) Résoudre dans R l’équation foh(x) = 1
−2 .
