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Décomposition de domaine pour l’étude double-échelle de milieux hétérogènes
Willy Leclerc, Philippe Karamian
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Willy Leclerc, Philippe Karamian. Décomposition de domaine pour l’étude double-échelle de milieux hétérogènes. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. �hal- 01717082�
CSMA 2013
11e Colloque National en Calcul des Structures 13-17 Mai 2013
Décomposition de domaine pour l’étude double-échelle de milieux hé- térogènes
Willy LECLERC1, Philippe KARAMIAN1
1LMNO, Université de Caen Basse-Normandie, France, willy.leclerc@unicaen.fr
Résumé— La communication porte sur la mise en place de la décomposition de domaine pour l’étude double-échelle de milieux hétérogènes. Nous nous intéressons à l’étude des propriétés élastiques ef- fectives de composites dont les renforts sont fortement enchevêtrés et forment un réseau géométrique complexe. Dans un tel contexte, une étude éléments finis basée sur une modélisation numérique viable s’avère difficile à concevoir sans un coût de calcul prohibitif. L’objectif consiste à accélerer l’estimation des propriétés grâce à l’outil de décomposition de domaine. Dans ce but, des adaptations des méthodes du complément de Schur et FETI au cadre de l’homogénéisation double-échelle sont proposées.
Mots clés— décomposition de domaine, éléments finis, volume élémentaire représentatif, matériau com- posite, calcul parallèle.
1 Introduction
La microstructure des composites renforcés en fibres aléatoirement réparties présente un fort enchevê- trement des hétérogénéités. La géométrie du réseau de fibres en est alors complexe et difficile à appré- hender dans un cadre éléments finis. Les maillages sont en effet difficile à générer dans un tel contexte, et s’avèrent souvent mal structurés. Un tel inconvénient de conception devient rédhibitoire dans un cadre automatisé pour lequel un échantillonnage entier de motifs représentatifs du matériau doit être mis en place. C’est pourquoi, nous avons opté pour une conception de maillages par pixelisation en 2D ou voxe- lisation en 3D [1, 2, 3]. Le concept est basé sur une approximation de la géométrie à l’aide d’une grille d’élements quadrangulaires ou hexaédriques. Il permet de générer des microstructures complexes avec une grande fiabilité. Cependant, une telle approche est particulièrement coûteuse lorsque la finesse de la microstructure est requise ou que le motif représentatif à concevoir est de grandes dimensions. Dif- férentes techniques s’avèrent efficaces pour améliorer le concept parmi lesquelles nous retrouvons les méthodes de lissage [4]. Nous avons choisi le modèle d’approximation d’ordrenbasé sur le concept de raffinement de maillage adaptatif [5, 6]. Celui-ci se fonde sur une génération en deux temps du réseau d’hétérogénéités. Tout d’abord les renforts sont approximés selon une grille grossière d’éléments de lar- geur égale à une dimension caractéristique de l’hétérogénéité considérée. Dans une deuxième étape, un processus de raffinement local permet d’affiner la géométrie en zone utile. L’approche est efficace pour des motifs pour lesquels le rapport d’échelle entre celui-ci et le renfort est faible (inférieure à 10) mais devient inefficace au-delà.
La notion de VER est d’une grande importance dans le domaine des milieux hétérogènes et nécessite une détermination précise laquelle dépend de la configuration matérielle [7, 8]. Ainsi, certains types de matériaux exigent un motif aux larges dimensions pour que celui-ci soit considéré comme VER.
Dans ce contexte, l’approche par voxelisation via le modèle d’approximation d’ordren perd toute son efficacité. Afin de palier au problème, nous considérons l’outil de décomposition de domaine. L’idée est de subdiviser le VER initial en motifs de plus petites tailles pour lesquels l’approche considérée demeure efficace. Dans l’optique du calcul des propriétés effectives du matériau par le concept double-échelle et périodique décrit par [9], les méthodes classiques que sont le complément de Schur [10] et FETI [11]
doivent être légèrement modifiées. Il s’agit d’une part de faire apparaître des termes liés aux coefficients homogénéisés, d’autre part de prendre en compte l’hypothèse de périodicité. Le présent papier a pour but de présenter la mise en place de l’outil de décomposition de domaine dans le cadre spécifique des
milieux hétérogènes fibreux et du calcul de leurs propriétés effectives par la méthode double-échelle.
Il est structuré comme suit, tout d’abord nous décrivons la modélisation numérique par l’approche par voxelisation. Dans un second temps, nous décrivons la méthode d’évaluation des propriétés. Enfin, dans un troisième et dernier temps, nous nous intéressons aux méthodes de décomposition de domaine et aux modifications réalisées pour les adapter au cadre double-échelle.
2 Modélisation numérique
2.1 Construction de la géométrie
Nous générons des cellules unitaires du composite renforcé en fibres courtes en suivant plusieurs étapes.
Tout d’abord, nous considérons des motifs carrés ou cubiques selon la dimension d’étude choisie (2D ou 3D). Les dimensions du motif représentatif dépendent du rapport d’échelle souhaité entre ces dernières et la longueur moyenne de chaque hétérogénéité. Il est important de savoir à ce stade que ce choix est crucial afin de garantir la représentativité du VER final [8]. Nous générons par la suite une microstructure selon un choix prédéfini de paramètres morphologiques, à savoir la longueur, le diamètre, l’orientation ou encore la courbure et la tortuosité de chaque fibre. Il s’agit de tirer aléatoirement chacune de ces variables selon des lois de distributions données. Cependant, la mise en place d’une telle conception s’avère délicate si l’interpénétrabilité des fibres n’est pas autorisée. Ainsi, les méthodes d’adsorption séquentielle aléatoire [12, 13, 14, 15], lesquelles se basent sur une telle hypothèse, exhibent un coût de calcul parfois prohibitif, en particulier pour des fractions volumiques d’hétérogénéités élevées. Dans le présent travail, nous avons préféré concevoir des microstructures pour lesquelles le recouvrement des fibres est possible. L’avantage de cette approche est double, d’une part elle permet de conserver l’efficacité d’une génération aléatoire. D’autre part, la distribution de chaque paramètre morphologique est ainsi respectée sans génération de biais. Dans l’hypothèse où la courbure de la fibre n’est pas prise en compte, nous générons chaque fibre par un cylindre parfait en 3D et une coupe de cylindre dans le plan en 2D. Enfin, chaque hétérogénéité est reproduite par périodicité si elle est en contact avec un ou plusieurs bords en 2D ou faces en 3D du motif unitaire.
2.2 Modèle d’approximation d’ordre n et partitionnement
La génération de maillages sur une géométrie complexe avec recouvrement possible des hétérogénéi- tés présente plusieurs inconvénients. Ainsi, si une reconstruction des frontières du réseau de fibres est toujours possible, l’opération peut s’avérer particulièrement coûteuse. D’autre part, les maillages trian- gularisés autour de ces mêmes interfaces sont souvent peu structurés et leurs défauts impactent direc- tement sur la résolution éléments finis. Nous avons préféré opter pour une approche par pixelisation ou voxelisation du domaine. Il s’agit d’approximer la géométrie réelle du réseau d’hétérogénéitiés selon une grille d’élements quadrangulaires en 2D ou hexaédriques en 3D [1, 2, 3]. Un tel procédé est parfaite- ment fiable et automatisable pour n’importe quel type de microstructures. Cependant, il s’avère prohibitif lorsque la géométrie exigée est fine et nécessite un nombre très important d’élements quadrangulaires ou hexaédriques. Différents concepts permettent d’améliorer l’efficacité de cette approche. Notre choix s’est porté sur le modèle d’approximation d’ordrendécrit par [5, 6] basé sur la notion de raffinement de maillage adaptatif (RMA). Dans cette approche, les éléments sont tout d’abord choisis de taille équiva- lente au diamètre de chaque fibre puis localement raffinés selon une puissance de 2 afin d’approcher au mieux la géométrie de la microstructure. La puissancenest appelée ordre d’approximation et est définie comme suit,
n = log2
(Diamètre de la fibre Largeur du voxel
)
(1) Le modèle peut être amélioré en vue de privilégier le gain de temps à la précision géométrique. De plus, un tel concept est parfaitement fiable et adapté à une subdivision régulière du domaine en vue de calculs parallélisés. La Figure 1 illustre une microstructure 3D (a) générée aléatoirement et composée de 40 fibres de longueur 0,2. Le réseau est approximé à l’aide du modèle d’approximation d’ordre 0 (b), c’est à dire le concept pour lequel la taille des voxels est égale au diamètre des fibres. Nous observons
que malgré l’aspect irrégulier des hétérogénéités, les paramètres morphologiques sont tous respectés et permettent d’obtenir un réseau visuellement proche de celui initialement mis en place.
Fig. 1 – Exemple de VER dont la géométrie initiale composée de 40 hétérogénéités est approximée à l’ordre 0.
2.3 Efficacité de la méthode
L’efficacité du modèle d’approximation géométrique est étudiée pour différentes valeurs de l’ordre n.
Une comparaison est effectuée pour les premiers ordres (n=0, 1 et 2) avec une voxelisation classique sans RMA à taille de voxel identique. Nous considérons des VERs pour lesquels les fibres sont aléatoi- rement distribuées et orientées, et de longueur 0,2. Les simulations numériques sont effectuées à l’aide d’un processeur Intel(R) Xeon(R) W3670 @ 3.20 GHz. Il est remarquable que le raffinement local est particulièrement efficace lorsque l’ordre de la méthode est importante et mène à une géométrie fine et bien approximée. Plus la densité de fibres est importante et plus l’apport en efficacité est réel. Cependant, dans le cadre des tests ici effectués, si l’ordre est égal à 0, l’approche par RMA n’est guère meilleure voire pire que celle sans RMA. Cette obervation est liée aux dimensions des éléments utilisés lesquelles génèrent alors un faible stockage mémoire.
Modèle 1 fibre 25 fibres 100 fibres 500 fibres
Voxelisation classique (ordre 0) 00h00’03”7 00h01’14”8 00h05’05”9 00h26’22”3 Voxelisation classique (ordre 1) 00h00’39”4 00h10’36”9 00h40’16”8 03h33’01”5 Voxelisation classique (ordre 2) 00h28’56”4 10h31’00”7 >1 jour − Voxelisation avec RMA (ordre 0) 00h00’03”8 00h01’15”2 00h05’04”9 00h31’19”2 Voxelisation avec RMA (ordre 1) 00h00’05”5 00h01’58”4 00h08’20”1 01h01’01”4 Voxelisation avec RMA (ordre 2) 00h00’13”9 00h05’49“8 00h25’23”4 03h20’32”2
Tableau 1 – Comparaison en temps de calcul CPU de la méthode de voxelisation avec et sans RMA
3 Evaluation des propriétés
3.1 Homogénéisation double-échelle
Les propriétés élastiques du composite sont estimées à l’aide de la méthode d’homogénéisation multi- échelle introduite par [9]. Il s’agit d’évaluer par éléments finis le tenseur de complaisance du milieu
hétérogène modélisé par un VER. L’approche consiste à prendre en compte l’influence d’hétérogénéités microscopiques voire nanoscopiques à l’échelle macroscopique. Elle s’appuie sur des outils asympto- tiques et une hypothèse de périodicité à l’échelle des inclusions. Dans le présent travail, nous nous limitons à deux échelles, l’échelle microscopique y liée au VER et l’échelle macroscopique x liée au matériau. Dans cette approche, l’équation fondamentale décrivant la loi de comportement du matériau est développée selon un paramètre ε lequel décrit le rapport d’échelle entre le composite et son motif représentatif. Ainsi, dans l’hypothèse d’un milieu continu élastique linéaire, nous avons,
{−divσ(uε) = f (+C.L.)
σi j(uε) =Ci jklε ekl(uε) (2)
où σ est le tenseur des contraintes, e le tenseur de déformations,Cεi jkl le tenseur de rigidité local et f un chargement volumique. En outre, les initiales C.L.font référence aux conditions aux limites. Le déplacementuεdépend deεcomme suit,
uε(x,y) = u0(x) +εu1(x,y) +ε2u2(x,y) +o(ε2) (3) Deux nouvelles formulations de l’équation 2 sont obtenues après injection du développement deuε(x,y) dans celle-ci. La première dite microscopique correspond aux termesε−1, et la seconde dite macrosco- pique correspond aux termesε0. Une étude variationnelle effectuée sur la première nous permet alors de réécrire la seconde sous une forme analogue à l’équation 3. D’où, par analogie, nous tirons ensuite une expression du tenseur de complaisance homogénéiséCi jklhomcomme suit,
Ci jklhom = 1
|Y| Z
Y
Ci j pq(y)
[δkpδlq+epqy
( κkl(y)
)]
dY (4)
oùY désigne le VER etκkl(y) est une fonctionY-périodique dépendant uniquement dey solution du problème local. Ainsi, la formulation des propriétés homogénéisées est la somme de la moyenne intégrale des propriétés et d’un terme correctif lié à l’influence de la microsctructure à l’échelle macroscopique.
3.2 Discrétisation et calcul éléments finis
Le tenseur de complaisance homogénéiséCi jklhom est obtenu par résolution d’une nouvelle formulation variationnelle dont la discrétisation par la méthode de Galerkin mène aux systèmes matriciels suivants :
K KEt KE E
| {z }
K
ωkl Pi jkl
| {z } ukl
=
0kl δkiδlj
| {z } fkl
(5)
oùK est la matrice de rigidité,E la moyenne intégrale du tenseur de complaisance sans terme correctif etKEune matrice de couplage entreKetE.ωklest le déplacement local à l’échelle de la microstructure.
La résolution s’effectue pour les 6 kl problèmes et mène à une estimation directe dePi jkl et ωkl. On montre [9] que pour un choix judicieux du second membre,Pi jkl n’est autre que le tenseur de souplesse homogénéisé, en d’autres termes, l’inverse deChomi jkl.
3.3 Evaluation asymptotique
La taille du VER est une question cruciale de laquelle dépend la représentativité du motif élémentaire et le coût de calcul nécessaire à l’obtention des propriétés homogénéisées. Ainsi, si un VER de grande taille permet d’assurer la question de la représentativité au détriment de l’efficacité, un petit VER permet lui une génération efficace au détriment de la fiabilité. Notre choix est d’évaluer asymptotiquement les propriétés en effectuant un tirage aléatoire de motifs élémentaires. Le processus allie efficacité et fiabilité mais nécessite une étude préalable de la taille optimale. Cette dernière est effectuée à l’aide d’outils statistiques tels la portée intégrale [8]. D’autre part, le nombre de réalisations nr à effectuer peut être évalué pour une erreur donnée par simple connaissance du paramètre de variance [5, 8, 16]. En effet,
l’erreur absolueεabscommise sur une propriétéEest liée au volume du VER, à l’écart-type deE,DE(V) et ànrcomme suit,
εabs = 1.96DE(V)
√nr
(6) Les propriétés effectives sont alors estimées de la façon suivante. Tout d’abord nous estimons le tenseur de complaisance pour chaque VER d’un échantillonnage donné de motifs représentatifs par la méthode double-échelle décrite précédemment. Puis, dans un second temps, nous évaluons l’espérance du champ des résultats lequel tend asymptotiquement vers le tenseur de complaisance homogénéisé.
4 Décomposition de domaine
4.1 Subdivision du domaine
Chaque motif représentatif peut être partitionné dans l’optique d’une mise en place parallélisée à la fois de la génération du maillage et de la résolution éléments finis. La subdivision s’effectue automatiquement après la phase de génération de la microstructure et mène à un partitionnement régulier du domaine initial. Un traitement spécifique est alors réalisé afin d’assurer à la fois la périodicité des bords et faces extérieurs et la continuité aux interfaces internes entre sous-domaines. La Figure 2 montre l’exemple d’un VER 3D composé d’une quarantaine d’hétérogénéités et subdivisé en 8 sous-domaines de mêmes dimensions. Il est remarquable que chaque inclusion traversant une ou plusieurs faces intérieures est prise en compte par l’ensemble des sous-domaines visités. Dans l’ensemble de la présente section, nous notonsΓil’ensemble des noeuds situés sur les frontières intérieures,Γel’ensemble des noeuds situés sur les frontières extérieures et Γ=Γi∩Γe la réunion des deux précédents ensembles.Ωn est le domaine correspondant à la subdivision numérondu domaine initialΩ.
Fig. 2 – Exemple de partitionnement à 8 sous-domaines d’un VER 3D
4.2 Méthode du complément de Schur
Dans une première approche, nous nous intéressons à la méthode du complément de Schur [10]. Le but est de mettre en place une méthode facilement implémentable et de la modifier afin d’évaluer directement les propriétés du matériau selon la technique double-échelle vue en sous-section 3.1. Le processus usuel consiste à réduire le problème initial à un problème d’interface prenant en compte les frontières inté- rieures mais aussi extérieures du fait de l’hypothèse de périodicité du VER. La modification principale se résume alors à faire intervenir des termes supplémentaires liés à l’homogénéisation. Le processus ini- tial se compose d’une renumérotation du système matriciel 5. Ainsi, dans l’hypothèse d’une subdivision enNsous-domaines, la matrice renumérotée ˜K deK est comme suit,
K˜ =
1 . . . i . . . N Γ C
1 K1 0 . . . . . . 0 KΓt1 KE1t
... 0 . .. ... ... ... ... i ... . .. Ki . .. ... KΓti KEit ... ... . .. ... 0 ... ...
N 0 . . . . . . 0 KN KΓNt KENt
Γ KΓ1 . . . KΓi . . . KΓN KΓ KEΓt
C KE1 . . . KEi . . . KEN KEΓ E
(7)
La matrice de rigidité K est subdivisée enN matrices Ki où iest le numéro du sous-domaine. Il faut garder à l’esprit que chaque matriceKiest seulement composée des contributions strictement intérieures au domaineΩi correspondant. En effet, les contributions aux interfaces au domaineisont rassemblées dans une matriceKΓi pour laquelle nous considérons indistinctement noeuds aux interfaces extérieures et intérieures. De plus, nous supposons que chaque noeud à l’interface constitue une unique contribution et ce quelque soit le nombre de sous-domaines auxquels celui-ci appartient.KEi représente une matrice de couplage analogue àKE sur le sous-domainei. La moyenne intégraleEi du tenseur de complaisance Csur le sous domainein’est ici pas directement visible. Elle apparaît dans la matriceE, comme étant la moyenne intégrale effectuée sur l’ensemble du VER, du fait que :
Ei = 1
|Ωi| Z
Ωi
CdY (8)
et,
E =
∑
i
1
|Ωi| Z
Ωi
CdY =
∑
i
Ei (9)
D’autre part, les second membre ˜fkl et solution ˜ukl sont définis par analogie avec fkl et ukl tels que vus en section 3.2. Ainsi, nous obtenons un système matriciel renuméroté ˜Ku˜kl=˜fkldont la résolution s’effectue via le problème d’interface suivant,
Su˜ Γ = ˜fklΓ S˜ = K˜Γ−
∑
i
K˜ΓiKi−1K˜Γti (10) où ˜Sest une matrice très proche du complément de Schur et dont la particularité est de prendre en compte des termes supplémentaires liés aux coefficients homogénéisés. Les expressions de ˜KΓi, ˜KΓ, ˜fklΓ etuΓsont comme suit,
K˜Γi =
KΓi KEi
K˜Γ =
KΓ KEΓt KEΓ E
˜fklΓ =
0kl δkiδlj
uΓ =
ωΓkl Pi jkl
(11)
La résolution du problème d’interface 10 permet alors une obtention directe de la matrice de complai- sance homogénéisée. L’avantage de la méthode réside dans la dimension finale du problème à résoudre laquelle se limite aux contributions aux interfaces et aux 6 termes liés à la technique d’homogénéisation.
Ainsi, le système matriciel ˜Ku˜kl=˜fkln’est que partiellement résolu sans que cela n’impacte l’évaluation des propriétés élastiques.
4.3 Méthode mixte FETI 1 - complément de Schur
L’approche proposée dans le cadre de la méthode du complément de Schur est dite primale. Le terme s’explique par la manière dont sont prises en compte à la fois les conditions de continuité et celles
de périodicité ; c’est à dire, en associant à chaque noeud d’interface la sommation des contributions de chaque sous-domaine auquel il appartient. Une seconde approche dite duale consiste à prendre en compte les conditions aux limites sous forme de multiplicateurs de Lagrange lesquels peuvent être vus comme les réactions aux noeuds d’interfaces. La méthode FETI mise en place par [11] fournit un cadre à la fois théorique et numérique au concept dual. La méthode consiste à travailler dans l’espace des multiplicateurs de Lagrange contraint par un second niveau de multiplicateurs prenant en compte les modes de corps rigides liés à l’existence de domaines flottants. Cependant, dans la présente approche où la périodicité induit le caractère flottant de l’ensemble des sous-domaines, nous avons préféré opter pour un concept mixte primal/dual. Il s’agit de prendre en compte les conditions de continuité sous forme duale et les conditions aux limites périodiques sous forme primale. Enfin, identiquement à la méthode du complément de Schur, tout noeud situé à l’interface est pris en compte une unique fois quel que soit le nombre de sous-domaines auquel il appartient. Ainsi, le problème d’interface FETI, lié à une renumérotation du système 5 analogue à celle vue en sous-section 4.2, est comme suit,
FI GI
G0I O
λkl αkl
=
dkl 0kl
(12)
où FI est le complément de Schur associé au problème dual et prenant en compte les connections aux interfaces et les coefficients homogénéisés.GIdécrit les traces des modes de corps rigides aux interfaces.
Enfin, le second membredklse réduit à une matrice identité prolongée de 0 du fait que nous ne considé- rons aucune force additionnelle. La résolution s’effectue par un gradient conjugué préconditionné projeté sur l’espace des multiplicateurs ou par un algorithme de type Uzawa. La solution λkl fournit alors à la fois les multiplicateurs de Lagrange liés aux conditions de périodicité, les déplacements locaux liés aux conditions de continuité et la matrice de souplesse homogénéisée.
5 Validation numérique
Nous générons un échantillonnage de VERs 2D pour lesquels les fibres sont aléatoirement distribuées et orientées. Nous fixons la longueur et le diamètre de chaque hétérérogénéité respectivement à 1/12 et 1/240. Chaque inclusion est droite sans courbure dans le plan et le recouvrement entre les renforts est autorisé. Nous considérons, en outre, une subdivision régulière et sans recouvrement de chaque VER en sous-domaines de même forme. La densité de fibres est tirée aléatoirement entre 0 et 30 fibres par cellule unitaire ce qui correspond à une fraction surfacique inférieure à 25%. Le maillage est quant à lui généré selon le modèle d’approximation géométrique d’ordre 0. En d’autres termes, nous considérons le modèle pour lequel les éléments sont de taille égale au diamètre des hétérogénéités. L’évaluation des propriétés homogénéisées est effectuée à l’aide de la méthode du complément de Schur présentée en sous section 4.2 par la méthode double-échelle présentée en sous-section 3.1. Chaque fibre est supposée suivre une loi de comportement isotrope transverse. Les moduli de Young longitudinal et transversal sont fixés respectivement à 1050 GPa et 600 GPa. Le module de cisaillement est fixé à 450 GPa. La matrice est une résine époxy de moduli de Young et de cisaillement fixés respectivement à 4,2 et 1,55 GPa. Afin de vérifier la fiabilité de la méthode du complément de Schur dans le présent contexte des composites à fibres courtes aléatoirement dispersées, nous considérons différentes subdivisions en 4, 9, 16 et 36 sous- domaines. Les Figures 3a) et b) illustrent l’influence de la densité de fibres sur les moduli de Young et de cisaillement effectifs du milieu hétérogène supposé isotrope. Il est important de préciser que le maillage de chaque sous-domaine est obtenu après un découpage du maillage du VER initial, de sorte que le nombre total de degrés de liberté soit conservé. Un comparatif des résultats avec ceux obtenus selon le même processus sans décomposition de domaine montre une bonne fiabilité du modèle. Un certain écart est cependant remarquable à forte densité d’hétérogénéités où l’erreur relative atteint une valeur de près de 3% à densité de 30 fibres par cellule unitaire pour le cas du module de Young. Il a été vérifié que l’écart est lié au traitement aux interfaces garantissant la continuité du milieu entre les sous-domaines et non à la méthode mise en place.
Fig. 3 – Influence de la densité de fibres sur a) le module de Young homogénéisé et b) le module de cisaillement homogénéisé pour différentes subdivisions des VERs
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