COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

X Maths PC 2009 — Énoncé 1/4

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2009 FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Sur certaines matrices à déterminant positif et sur les matrices orthogonales

Pournun entier>1, on noteMnl’espace vectoriel des matrices carréesn×nà coefficients dans R. On note ^tM la matrice transposée d’une matrice M ∈ Mn. On noteIn la matrice identité etD_nl’ensemble des matrices diagonalesn×nà coefficients diagonaux dans l’ensemble {−1,1}. On identifiera un vecteur deRⁿavec la matrice colonne à nlignes correspondante, et une matriceM∈ Mnavec l’application linéaireRⁿ→Rⁿ,X7→M X.

SoitM = (mij)une matrice de Mn. SoitΣun sous-ensemble de 1, n^✁. On note M^(Σ) la sous-matrice obtenue en supprimant lai-ème ligne et la i-ème colonne deM pour touti∈Σ.

Par convention,M^(∅)=M. On noteM⁺_n l’ensemble des matrices MdansMn telles que, pour toutes les partiesΣde 1, n^✁, les déterminants des matricesM^(Σ) sont strictement positifs.

SoientX =^t(x1, . . . , x_n), Y =^t(y1, . . . , y_n)∈Rⁿ. On noteX Y (resp.,X ≻Y) si pour touti∈ 1, n^✁,xi>yi(resp.,xi> yi).

Première partie

1.a)Montrer que siM∈ M⁺_n, alors^tM∈ M⁺_n.

1.b)Montrer que pour toute matriceM ∈ Mn, pour toute matrice diagonaleD∈ Dn et pour tout sous-ensembleΣde 1, n^✁,M^(Σ)D^(Σ)= (M D)^(Σ).

1.c)Montrer que pour toutM∈ M⁺_n et pour toute matrice diagonaleD∈ Dn,DM D∈ M⁺_n. 2.Montrer que, pour toutX∈Rⁿ, il existeD∈ D_ntel queDX0.

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X Maths PC 2009 — Énoncé 2/4

3.SoitM= Ça b

c d å

∈ M⁺₂.

3.a)SoitX=^t(x₁, x₂)∈R²tel que0M X. Montrer que siX≻0alorsb60etc60.

3.b)Montrer queX0et0M XimpliquentX= 0.

3.c)Montrer qu’il existeX∈R²,X≻0, tel queM X≻0. [On pourra distinguer les casb>0 etb <0.]

Deuxième partie

Soitk >1un entier. On considère la série de fonctions d’une variable complexez, X∞

n=0

1

kn+ 1z^kn+1.

4.Montrer que cette série converge pour toutz∈ O, oùOest le disque ouvert de centre0et de rayon1dansC. Soitf(z)sa somme.

On identifieCàR²en posantz=x₁+i x₂ etf(z) =u(x1, x₂) +i v(x1, x₂), oùu= Re(f) etv= Im(f). On considère l’applicationF :O →R², définie par

X= Çx₁

x₂ å

7→F(X) =

Çu(x₁, x₂) v(x1, x₂) å

.

5.a)Montrer que l’applicationF est de classeC¹et préciser ses dérivées partielles que l’on pourra exprimer en fonction du nombre complexeζ= (x₁+i x₂)^k.

5.b)SoitJ_F la matrice jacobienne deF. Montrer que, pour toutX∈ O,J_F(X)∈ M⁺₂.

Troisième partie

On se propose de démontrer par récurrence sur l’entiern>1la propriété(Qn)suivante : SiP ∈ M⁺_n etX∈Rⁿsont tels queX0et0P X, alorsX= 0.

On fixe n > 2 et l’on suppose que la propriété (Q_n−1) est satisfaite. Soit P ∈ M⁺_n et X=^t(x1, . . . , x_n)∈Rⁿ tels queX0et0P X.

6.a)On considère l’équation linéaireP àu₁

u₂ ...

u_n í

= à1

0...

0 í

. Montrer queu₁>0.

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X Maths PC 2009 — Énoncé 3/4

6.b)SoitC=^t(c₁, . . . , cn)la première colonne deP⁻¹. Montrer quec₁>0et que m= inf

ßx_i

c_i |c_i>0, i∈ 1, n^✁

™

existe et est positif ou nul. On notejun entier tel quem=xj

c_j. 6.c)On poseY =X−mC. Montrer queY 0et que0P Y.

6.d)SoitP^‹=P^({j})∈ Mn−1 et soitY^‹∈Rⁿ⁻¹le vecteur obtenu à partir deY en supprimant laj-ème ligne. Montrer queY^‹= 0et en déduire queY = 0.

6.e)En déduire queP X0.

6.f )Conclure.

Quatrième partie

On se propose de démontrer par récurrence sur l’entiern>1la propriété(Pn)suivante : Pour toute matrice orthogonaleM∈O(n), il existeX≻0dansRⁿet une matrice diagonale D∈ D_n tels queM X=DX.

Un tel couple(D, X)sera appelé une solution pourM.

7. Étudier (Pn) pour n = 1 et pourn = 2. [Pour n = 2, on pourra supposer d’abord que M est la matrice d’une rotation d’angleθ, 06 θ < 2π, et chercher un vecteur X ∈ R² de la forme

Çcosα sinα å

.]

8. Soient X₁ et X₂ ∈ Rⁿ tels que X₁ ≻ 0 et X₂ ≻ 0. Montrer que si D ∈ Dn satisfait

tX₁DX₂ = ^tX₁X₂, alors D= I_n. En déduire que si (D₁, X₁) et(D₂, X₂) sont deux solutions pourM∈O(n), alorsD₁=D₂.

On fixe n > 2et l’on suppose que la propriété (P_n−1) est satisfaite. On fixe une matrice orthogonaleM∈ M_n que l’on écritM=

ÇW U

tV ρ å

oùW ∈ M_n−1,U, V ∈Rⁿ⁻¹etρ∈R. 9.a)Écrire les relations entreW,U,V etρqui expriment queM est une matrice orthogonale.

Montrer que|ρ|61.

9.b)Lorsque|ρ|= 1, montrer queW est orthogonale et construire une solution pourMà partir d’une solution pourW.

On suppose désormais que|ρ|<1et l’on poseM₁=W+_1−ρ¹ U^tV etM₂=W−_1+ρ¹ U^tV. 10.Démontrer queM₁ etM₂sont orthogonales.

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X Maths PC 2009 — Énoncé 4/4

11.Soit(D1, X₁)(resp.,(D2, X₂)) une solution pourM₁ (resp.,M₂).

11.a)Montrer que

tX₂D₂D₁X₁=^tX₂X₁−σ(^tV X₁)(^tV X₂),

oùσest une constante positive que l’on déterminera en fonction deρ.

11.b)On suppose queD₁6=D₂. Montrer que les réels^tV X₁et^tV X₂sont non nuls et de même signe. Montrer que l’on peut construire une solution(D, X) pourM telle queX est l’un des vecteurs

Ç X₁

1 1−ρtV X₁

å ou

Ç X₂

−_1+ρ^{1 t}V X₂ å

.

11.c)On suppose queD₁=D₂. Montrer que l’un des réels^tV X₁ ou^tV X₂est nul. En déduire qu’il existe une matriceD∈ Dnet un vecteurX0tel quexi>0pouri∈ 1, n−1^✁ satisfaisant M X=DX.

11.d)On suppose encore queD₁=D₂. Montrer qu’il existe une matriceD^′∈ Dnet un vecteur X^′0tel quex^′_i>0pouri∈ 2, n^✁ satisfaisantM X^′=D^′X^′.

12.a)Construire une solution pourM. [On pourra considérer l’égalitéM(X+X^′) =DX+D^′X^′ et utiliser le fait queMest orthogonale pour montrer que l’on peut se ramener au cas oùD=D^′.]

12.b)Conclure.

13.SoitN∈ M_n(R)une matrice antisymétrique.

13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de N parmi toutes les valeur propres complexes. En déduire queIn+N est inversible.

13.b)On poseM= (In+N)⁻¹(In−N). Montrer queM est orthogonale.

13.c)Soit(D, X)une solution pourM. Montrer queY =X+DX satisfaitY 0,N Y 0et Y+N Y ≻0.

14.SoitP une matrice de Mn. En considérant une matrice antisymétrique deM_2n adaptée, montrer qu’une des propriétés suivantes est vraie :

- soit les inégalités larges0^tP Y etY 0ont une solution non nulle dansRⁿ, - soit les inégalités strictesP X≻0etX≻0ont une solution dansRⁿ.

15.SoitP une matrice deM⁺_n. Montrer que les inégalités strictesP X ≻0etX ≻0ont une solution dansRⁿ.

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