Développement des fractures géologiques sous l'effet de la contrainte lithostatique

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Développement des fractures géologiques sous l’effet de

la contrainte lithostatique

David Picard, Dominique Leguillon, Claude Putot

To cite this version:

David Picard, Dominique Leguillon, Claude Putot. Développement des fractures géologiques sous

l’effet de la contrainte lithostatique. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005,

Giens, France. �hal-01813066�

Nom de la revue. Volume X – n° X/2001, pages 1 à X

sous l'effet de la contrainte lithostatique

David Picard*,** — Dominique Leguillon**

— Claude Putot*

*

Institut Français du Pétrole, Direction Mécanique Appliquée. 1 et 4 avenue de Bois-Préau, 92852 Cedex France

**Laboratoire de Modélisation en Mécanique, CNRS UMR 7607. France. Université Paris VI, tour 55, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 France

RÉSUMÉ. En géologie pétrolière, il est important, notamment pour caractériser les écoulements de fluide en cours de production, de connaître les mécanismes ayant conduit à des réservoirs naturellement fracturés. La présence de zones de fracturation intense comme les couloirs de fracturation, par exemple, risque d’avoir un effet très surprenant sur la production ou l’étanchéité des couvertures. En outre, dans les zones stratifiées, alternant bancs et interbancs, la présence de diaclases majeures (persistantes) peut aussi constituer un

chemin privilégié à l'écoulement du fluide. L'optimisation de la production pétrolière

nécessite une meilleure caractérisation des réservoirs fracturés. Cet objectif passe en fait par la résolution de questions importantes :

Quels sont les éléments déterminant la continuité d’une diaclase à travers la stratification, son degré de "persistance"? Comment une diaclase ordinaire (limitée à un banc) devient-elle une diaclase majeure – traversant une bonne partie de la formation?

Comment expliquer le développement vertical des couloirs de fracturation dont l'extension

semble ignorer les alternances lithologiques?

ABSTRACT. In petroleum geology, it is important to understand the factors that contribute to the success of oil recovery. In particular, describing mechanisms leading to naturally fractured reservoirs is proved to be essential. As a matter of fact, a high density of fractures such as fracture swarms may have an impact on the production or the caprock integrity where the loss of fluid through barrier formations has to be reduced to a minimum. Moreover, the connectivity of the joint network at mechanical interbedding in reservoirs might be determinant. The optimisation of the oil production requires a better characterisation of naturally fractured reservoirs.

We consider systematic joint arranged in an homogeneous way; joint spacing is linked to individual bedding thickness with propagation frequently interrupted by stratigraphic interfaces.

MOTS-CLÉS : Rupture fragile, couches sédimentaires, diaclases, couloirs de fracturation, approches asymptotique et numérique.

KEYWORDS: Brittle fracture, bedded sedimentary rock, joints, fracture swarms, asymptotic and numerical methods.

1. Introduction

En excluant les failles, discontinuités jouant plutôt en cisaillement, on peut trouver différents types de fractures dans les alternances lithologiques :

des diaclases : fissures simples traversant les bancs (Fig 1).

des couloirs de fracturation : zone d'intensification de la densité de fractures parallèles (Fig 2).

La propagation des fissures dans leur plan est généralement expliquée par un chargement orthogonal, traction au loin s'exerçant horizontalement, sollicitant la fissure en mode d'ouverture (mode I). La fracturation naturelle des couches géologiques nous incite à reconsidérer ce type de chargement.

En effet, on constate que le mode I, traction effective au loin résultant d'une pression de pore anormale s'opposant à la pression latérale des terrains, ne peut pas être le seul facteur responsable de l'activation et la propagation des fissures. Nous montrons dans cette étude, que la contrainte lithostatique, résultant du poids des terrains, peut également engendrer une fissuration verticale.

Une analyse est effectuée par développements asymptotiques à l'aide d'une approche à deux échelles, l'épaisseur e des interbancs dans le cas des diaclases et l'épaisseur c du couloir dans l'autre cas jouant le rôle de petit paramètre. Les mécanismes d'amorçage sont étudiés au moyen d'un critère de rupture incrémental assurant la validation simultanée d'un critère en contrainte et d'un critère en énergie

c c G≥G ≥σ ,

σ .

Une meilleure compréhension de la propagation de ces fractures est nécessaire pour mieux appréhender les circulations de fluide qui peuvent suivant les cas améliorer ou pénaliser les conditions de récupération du pétrole.

2. Les diaclases

L’affleurement (Fig 1) présente un empilement de couches gréseuses intercalées par des interbancs argileux (bandes noires). Un examen attentif révèle trois types de

comportements de la fissure au passage de l'interbanc argileux.

La fissure s'arrête dès qu'elle entre en contact avec l'interbanc argileux.

La fissure traverse l'interbanc argileux.

La fissure s'arrête à l'interbanc et s'amorce dans le grès supérieur avec un décalage

de l'ordre de l'épaisseur de l'interbanc. On appelle Step-over cette propagation

discontinue.

L'objectif est de déterminer le mécanisme de fissuration pertinent pour une

géométrie donnée, à caractéristiques de comportement fixées - à la fois élastiques

(module d'Young, coefficient de Poisson) et à la rupture (ténacité, contrainte à

rupture) - et pour le chargement supposé.

Antérieurement à tout mécanisme d'amorçage de la fissure principale lorsque celle

ci se retrouve en contact avec l'interbanc, le problème se ramène à la résolution d'un

problème d'élasticité posé sur Ωe (Fig 3). Le chargement est bidimensionnel avec

une contrainte verticale effective prépondérante T due aux poids des sédiments, une

contrainte horizontale σ_t effective, d'évaluation plus incertaine, variant

notablement selon la pression interstitielle. Le champ de déplacement U solutione

de ce problème doit vérifier à l'équilibre le système d'équations habituel (relation

d'équilibre, loi de comportement élastique, relation de compatibilité et conditions

limites). Prendre en compte simultanément la petitesse relative de l'intercalation

argileuse, traduite par le rapport

a e

, et la singularité de la fissure ne sont pas chose

aisée. Afin de simplifier la résolution du problème réel posé sur Ωe, on le scinde en

deux problèmes communément appelés extérieur et intérieur (Fig 3).

Figure 3. Schémas des domaines extérieur (Ωext

) et intérieur (Ωint

)

Problème réel posé sur Ωe

a a

Problème extérieur posé sur Ωext

1

Problème intérieur posé sur Ωin

a e a e → 0 0 e , " e 1 "× →

x

x

x₁ x₂ y₁ y₂ 2 2 y 2 1 y e r 2 2 x 2 1 x r e i x i y + = = + = =

2.1. Le problème extérieur (domaine extérieur : Ωext

)

Le problème extérieur ignore l'interbanc d'épaisseur e et considère une séparation

immatérielle (e tendant vers 0). Le problème à résoudre se ramène à l'étude d'une

fissure, de longueur a, dans un milieu homogène. La solution du problème extérieur

posé sur Ωext, reflet de la solution du problème réel pour un observateur lointain où

l'interbanc argileux n'apparaît pas, constitue une approximation satisfaisante de Ue

dès qu'on s'éloigne de l'interbanc d'où sa désignation d'extérieure.

La solution en déplacement de ce problème, au voisinage de la pointe de fissure, est connue sous le nom de développement en série de Williams (1956).

Se réduisant au cas d'un chargement n'entraînant qu'un mode d'ouverture, le

développement dit extérieur s'écrit :

(

x₁,x₂

)

=U

( ) ( )

r,θ =U 0 +K ru

( )

θ +Trt

( )

θ +... Ue e _{I I}

( )

( )

( )

( )

) singulière non contrainte aussi (appelée e n vertical compressio fissure la de ouverture d' mode au relatif contrainte de intensité d' facteur e n vertical compressio la à lié t déplacemen de champ fissure la de ouverture d' mode au lié t déplacemen de champ fissure la de ouverture d' mode au lié t déplacemen de champ rigide corps de on translati la à lié rigide corps de t déplacemen de champ 0 T K t u u U I I I θ θ θ

Cette information est incomplète, en particulier quand on s'intéresse à des

mécanismes de rupture d'où la nécessité d'une description plus fine donnant le

problème intérieur, véritable loupe du problème réel au voisinage direct de

l'interbanc.

2.2. Le problème intérieur (domaine intérieur : Ωin

)

Le problème intérieur (Fig 3), dilatation du problème réel, s'obtient en

multipliant les longueurs et les déplacements par 1/e et en faisant tendre e vers 0.

On obtient alors un domaine non borné Ωin

dans lequel l'épaisseur de l'interbanc est

dilatée à 1 et la fissure de longueur infinie. On cherche alors une autre

représentation de la solution sous la forme d'un développement dit intérieur (en

champ proche). La résolution de celui-ci, s'effectue dans le plan (0,y₁,y₂)

homothétique de (0,x₁,x₂).

On postule que le champ de déplacement s'écrit sous la forme suivante

(développement intérieur avec lim (F_i+1(e)/F_i(e))→0 lorsque r →0) :

(

x₁,x₂

)

=U

(

ey₁,ey₂

)

=F₀

( ) (

eV0 y₁,y₂

) ( ) (

+F₁ eV1 y₁,y₂

)

+F₂

( ) (

eV2 y₁,y₂

)

+...

2.3. Le raccordement

Le comportement du développement extérieur en approchant de l'origine 0 doit

coïncider avec le comportement du développement intérieur en s'éloignant de

l'origine. En d'autres termes, il doit exister une zone intermédiaire (proche de

l'origine dans le champ lointain et lointaine dans le champ proche) où les deux

développements sont équivalents. Une identification terme à terme, ordonnée par les puissances de e entre le développement extérieur et intérieur conduit à :

( )

( )

( )

( )

( )

ρ

( )

θ θ ρ t y y V Te e F u y y V e K e F cte U y y V e F I I ≈ = ≈ = = = = ) , ( ) , ( 0 ) , ( 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0

En définitive, on obtient les champs de déplacement et de contrainte résultants :

(

)

(

)

(

)

(

,

)

~

(

(

,

)

)

~

(

(

,

)

)

... ... , , , 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 + + = + + + = y y V T y y V e K x x y y V Te y y V e K V x x U y y I e I e σ σ σ

En somme, le problème se ramène à la résolution de deux problèmes d'élasticité

indépendants permettant de déduire les champs de déplacement V1

(

y₁, y₂

)

et

(

1 2

)

2

, y

y

V , et les champs de contraintes associés ~

(

V1

(

y₁,y₂

)

)

y σ et

(

)

(

1 2

)

2 , ~ _{V y y} y

σ , respectivement induits par le chargement ``singulier'' K_I du

premier ordre et le chargement T résultant d'un effet ``structure'' du second ordre

activant également la pointe de fissure.

La résolution numérique s'effectue en traçant une frontière fictive Γ∞ au domaine

Ωin_{, sur laquelle on impose les conditions de Dirichlet :}

( )

et ( , )

( )

) , ( _{1 2} 2 _{1 2} 1 ∞ Γ = = u V y y t sur y y V ρ _I θ ρ θ

Dans la modélisation, le rayon intérieur choisi est suffisamment grand pour être

considéré comme très loin de la pointe de fissure (ρ =100).

Les champs V et i

( )

i

yV

σ~ _{dépendent uniquement des propriétés matériaux de}

l'argile et du grès (module d'Young E et coefficient de Poisson ν). Le chargement

n'intervient que par l'intermédiaire des coefficients K_I et T apparaissant dans

l'expression du champ de contrainte réel.

2.4. Détermination des domaines de rupture

Le critère en énergie repose sur le principe de la conservation de l'énergie entre

un état initial en équilibre et un état ultérieur incluant dans sa géométrie une

0 = + + W G l W_p δ _{k c} δ p W

δ et δW_kcorrespondent aux variations de l'énergie potentielle et de l'énergie

cinétique. La longueur de la fissure nouvellement créée est notée l et G_c est la

ténacité. La variation d'énergie potentielle entre la situation initiale et la situation

perturbée, avec apparition d'un incrément de fissure (longueur finie non

infinitésimale) de longueur l dans le problème extérieur, respectivement µ dans le

problème intérieur (µ = λ/e) s'écrit :

( ) ( )

[

0

]

2 2

[

( ) ( )

0

]

3/2

[

( ) ( )

0

]

2 ε µ ε χ µ χ κ µ κ δ = − + − + − − W_p K_Ie T e K_ITe

( )

µ

κ

,

χ

( )

µ

et

ε

( )

µ

sont respectivement les contributions énergétiques liées à

1

V

,

V et au couplage de 2 V et1 V2

.

Supposant la configuration de départ statique, nécessairement δW_k ≥0 (l'énergie

cinétique ne peut que s'accroître), une condition nécessaire de rupture peut être

déduite de la relation suivante, qui a un caractère incrémental : p G_c

l W

≥ −δ

G, appelé ici taux de restitution d'énergie incrémental, généralise le taux de

restitution d'énergie classique (Griffith) dont la forme infinitésimale, plus

restrictive, peut parfois conduire à certaines contradictions.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )









− + − + − = − = µ χ µ χ µ ε µ ε µ µ κ µ κ µ δ ₂ 0 ₂ 0 m m K e W G p _I

[1]

avec a e T K e T m t I 5σ = =

Le critère en contrainte s'appuie sur l'existence d'une traction critique σ_c qu'un

matériau peut supporter avant de se rompre (σ ≥σ_c). Cette condition constitue une

seconde condition nécessaire de rupture :

(

)

_y

(

(

)

)

_y

(

(

)

)

c I e y y V T y y V e K x x σ σ σ σ ₁, ₂ = ~ 1 ₁, ₂ + ~ 2 ₁, ₂ +...≥

[2]

La validation simultanée des deux critères de rupture (G=G_c,σ =σ_c) permet de

déterminer la longueur incrémentale d'amorçage de la fissure pour un chargement et

une géométrie donnés à caractéristique matériau fixée. Il est alors possible

d'exprimer les résultats sous la forme de cartes de mécanisme de rupture dans un

graphique (σ_t, T) où apparaissent les zones d'activation du Step-over, de la

pénétration et de l'arrêt (Fig 4).

Les courbes, exprimées en fonction de

σ

_t et T, vérifient simultanément les deux

recouvrement, c'est le critère qui provoque la plus grande décroissance de l'énergie

potentielle qui l'emporte (critère de Lawn).

Dans tous les cas, le mode I induit par une traction effective (donc positive), composante singulière, facilite les mécanismes de rupture. En revanche le rôle de la composante structure T, résultant du poids des terrains, évolue en fonction du contraste matériaux (banc/interbanc) considéré.

Vis-à-vis de T, pour un interbanc argileux plus souple que le grès adjacent, le

Step-over est facilité et la pénétration contrariée. Au contraire, dans le cas d'un interbanc

argileux plus raide que le grès encaissant, la pénétration est facilitée aux dépens du Step-over.

Figure 4. Carte des mécanismes

Pour un contraste de module d'Young donné, la méthode d'analyse permet de faire

les calculs numériques une et une seule fois. Le chargement et la géométrie interviennent en tant que paramètres dans les expressions analytiques ([1], [2]).

3. Les couloirs de fracturation

Les couloirs de fracturation apparaissent comme une zone d'intensification de la

densité de fractures parallèles; pour les besoins de l'analyse on l'assimile à une zone

de largeur finie (Fig 5).

La propagation verticale des couloirs nécessite d'envisager deux types de

configuration. Dans un cas, les fissures constituant la zone couloir peuvent être très

proches les unes des autres mais bien individualisées. Dans l'autre cas, l'état de

fracturation à l'intérieur du couloir est suffisamment intense pour être considéré

comme une zone endommagée. Dans les deux situations, la zone de fracturation a une certaine largeur, la longueur étant fréquemment indéterminée.

Dans le cas des fissures distinctes, le mode I peut activer une fissure parmi les autres

dont la propagation éventuelle neutralise l'amorçage des fissures voisines.

-150 -130 -110 -90 -70 -50 -30 -10 0 0,5 1 σt (MPa)1,5 2 2,5 3 3,5 T MPa -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 σt (MPa) T (MPa) Pénétration directe Step-over Arrêt Arrêt Eargile/Egrès=0.25 a/e=5 Grès : σc= 3MPa,Gc=80J/m 2 Argile : σc= 0.75MPa, Gc= 20J/m 2 Eargile/Egrès= 2 a/e=5 Grès : σc= 3MPa, Gc= 80J/m 2 Argile : σc= 6MPa, Gc= 160J/m 2 pénétration directe

La compression T est parallèle à l'axe des fissures. Par conséquent, T ne génère aucune intensification des contraintes en pointe de fissure. Tout amorçage est exclu. Le couloir apparenté à une zone endommagée apparaît comme une sorte de "large"

fissure émoussée. C'est l'épaisseur c du couloir qui joue maintenant le rôle de petit

paramètre vis-à-vis de la structure étudiée. L'existence des interbancs est pour le

moment négligée.

A l'instar de l'étude précédente, le raccordement entre le développement extérieur et

intérieur (Fig 5) conduit à:

(

x₁,x₂

)

=V0 +K cV1

(

y₁,y₂

)

+TcV2

(

y₁,y₂

)

+..

.

Uc _I

Avec V0 =U

( )

0 (translation de corps rigide). V et 1 V sont solutions d'2 un

problème d'élasticité bien posé avec les conditions limites suivantes :

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

≈

( )

→∞ Γ = ∞ → ≈ Γ = y t y y V sur n y y V y u y y V sur n y y V c j ij I c j ij , 0 , ~ , 0 , ~ 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 θ ρ σ θ ρ σ

Figure 5. Schémas des domaines extérieur Ωext

et intérieur Ωin

Concernant le problème en V la résolution numérique s'1 effectue en imposant une

frontière fictive Γ∞ au domaine Ωin

, sur laquelle on impose la condition de Dirichlet : V1

(

y₁,y₂

)

= ρu_I

( )

θ .

Problème extérieur posé sur Ωext

(x_i, r, θ) 1 y₁ y₂ ρ=0.5 Γc 0 x₁ x₂ c → 0 _{× 1/c → 0}

Problème réel posé sur Ωc

(x_i, r, θ)

0

_r

c

Problème intérieur non borné posé sur Ωin

Cependant, afin d’assurer la condition en effort sur Γc et satisfaire la condition à

l'infini, le champ de déplacement V se décompose en un champ de déplacement2

issue d'une force, du type Flamand-Boussinesq, assurant une résultante des efforts

nulle sur Γ_c. La force induite est moteur de la propagation. L'autre contribution

assure la condition à l'infini.

En somme, le champ de déplacement V s'2 écrit :

(

)

(

( )

)

(

1 2

)

2 2 2 2 1 2 , ˆˆ log ,y X e v V y y y V = ρ + θ + avec : Vˆˆ

(

y₁,y₂

)

≈0 y →∞ 2

(

)

(

(

( )

)

)

(

( )

)

0 0 ~ log ~ 0 , ˆˆ ~ 2 2 2 1 2 = → ∫ Γ + +∫Γ + → ∫ Γ









 
  c ij j c ij j cσij V y y njds σ X ρe v θ n ds σ ρtθ n ds Au final :

(

,

) ( )

0

(

,

)

(

log

( )

)

ˆˆ

(

₁, ₂

)

... 2 2 2 2 1 1 2 1 cy =U +K cV y y +Tc





X e +v +V y y





+ cy Uc _I ρ θ 3.1. Propagation du couloir

Dans ce cas, sous réserve de la validation du critère en énergie, une condition de

propagation se substitue à la condition d'amorçage. Une fois réalisée, cette condition

conduit à un mécanisme auto-entretenu. Cependant, contrairement au cas d'une

fissure classique ("fine''), la condition de propagation dépend d'une ténacité

apparente

G

_capp issue d'une force H_c, fonction de l'endommagement de la zone

couloir.

G

H

c

c

app

c

=

.

La variation d'énergie entre la situation initiale et la situation perturbée conduit à :

( ) ( )

[

0

]

2 2

[

( ) ( )

0

]

2 χ µ χ κ µ κ δ = − + − − W_p K_Ic T c

L'amorçage a lieu si : −δW_p ≥H_clc avec l =µ c2⇒

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

app c I T c G K − + − ≥ µ χ µ χ µ κ µ κ 0 2 0 2

De plus, dans le cas particulier homogène, E=1GPa et ν=0.3, on montre que :

( ) ( )

[

]

E 2 1 0 ν µ κ µ κ − = − et

[

( ) ( )

]

E

44

.

0

0

=

−

µ

χ

µ

χ

(Fig 6)

Au final, la condition de propagation se réduit à : _I G_capp

E c T E K 1− + 2 0.44 ≥ 2 2 ν

Plus l'épaisseur c du couloir est importante plus la condition de propagation est

En revanche, lorsque l'épaisseur du couloir devient nulle (c → 0), on se ramène au

cas d'une fissure en milieu homogène. La compression verticale, qui ne "voit" plus

la fissure, n'a plus aucune influence sur la propagation.

Dans ce cas : _I G_c

E

K − ≥

2 21 ν

3.2. Amorçage d'une fissure

Dans ce cas, la propagation du couloir n'est pas envisagée. En effet, le chargement

peut créer localement un champ de contrainte susceptible d'amorcer une fissure

parmi les autres dont l'éventuelle propagation empêcherait le développement des

autres fissures.

La variation d'énergie potentielle entre la situation initiale et la situation perturbée

incluant dans sa géométrie l'apparition d'un incrément de fissure de longueur l dans

le problème extérieur, respectivement µ=l/e dans le problème intérieur, conduit à :

( ) ( )

[

’ ’0

]

2 2

[

’

( ) ( )

’0

]

2 _{κ µ κ χ µ χ}

δ = − + −

− W_p K_Ic T c

L'amorçage a lieu si : −δW_p ≥G_cl.

G

_c étant la ténacité usuelle.

On en déduit, la condition d'amorçage :

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

c I T c G K G= − + − ≥ µ χ µ χ µ κ µ κ’ ’0 2 ’ ’0 2 . (Fig 6)

Cette condition d'amorçage n'est pas à elle seule une condition de rupture suffisante

et nécessite également la validation du critère en contrainte :

(

)

_y

(

(

)

)

_y

(

(

)

)

c I c y y V T y y V c K x x σ σ σ σ = + 1 2 ≥ 2 2 1 1 2 1, ~ , ~ , (Fig 7) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 µ [f(µ)-f(0)]/µ Chargement KI

_Propagation du couloir [Κ(µ)−Κ(0)]/µ=(1−ν2)/E=0,91 _Amorçage fissure [Κ'(µ)−Κ'(0)]/µ

Chargement T

_Propagation du couloir [χ(µ)−χ(0)]/µ=0,44/E _Amorçage fissure [χ'(µ)−χ'(0)]/µ

Figure 6. Contribution énergétique

Figure 7. Champ de contrainte en front de fissure émoussée induit par K_I et T

Pareillement à la situation du couloir se reproduisant à l'identique (propagation),

lorsque l'épaisseur c du couloir tend vers 0 la compression verticale n'a aucun effet

sur l'amorçage. Cependant, dans le cas du chargement K_I, on remarque que plus la

longueur d'amorçage est importante plus on se rapproche du taux de restitution

d'énergie du couloir (et donc d'une fissure en milieu homogène) (Fig 6).

Le champ de contrainte intérieur

σ

~

₂₂ (< 0) induit par la compression T (<0) a une

contribution positive en faveur de la rupture (Fig 7). En revanche, indépendamment de la satisfaction du critère en contrainte, déterminant une borne supérieure des incréments de longueur admissible, le champ de contrainte intérieur issu de T

montre qu'il existe un majorant des longueurs admissibles. Ce majorant µ_m,

dépendant des propriétés matériaux (E, ν), se distingue de la longueur critique µ_c,

dépendant des propriétés à la rupture, satisfaisant σ=σ_c et G=G_c (µ_c < µ_m).

Des investigations supplémentaires sont nécessaires pour envisager un mécanisme

de compétition entre la propagation du couloir à l'identique et l'amorçage d'une

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

µ

σ

22 T KI

~

fissure en front de ce dernier. Ce travail passe par la détermination explicite de la

ténacité apparente

G

_capp et donc H_c, donnée intrinsèque au matériau.

Bibliographie

[1] Hashin, Z., 1996. Finite thermoelastic fracture with application to laminate cracking analysis. J. Mech. Phys. Solids 44(7), 1129-1145.

[2] Leguillon, D., 2002. Strength or toughness? A criterion for crack onset at a notch. Eur. J. of Mechanics A/solids, 21, 61-72.

[3] Picard, D., 2004. Modèle de représentation mécanique de la formation des fractures naturelles dans les réservoirs pétroliers (thèse en cours).

[4] Leguillon, D.; Sanchez-Palencia, E.; 1990. Approximation of two dimensional problem of junctions. Computational Mechanisms, 6, 435-455.