Réduction du bruit et tomographie quantique d'un faisceau laser interagissant avec des atomes froids : théorie et expériences

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Réduction du bruit et tomographie quantique d’un

faisceau laser interagissant avec des atomes froids :

théorie et expériences

Thomas Coudreau

To cite this version:

Thomas Coudreau. Réduction du bruit et tomographie quantique d’un faisceau laser interagissant avec des atomes froids : théorie et expériences. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1997. Français. �tel-00011915�

KASTLER BROSSEL

Thèse

de doctorat de

l’Université Paris 6

Spécialité :

Lasers

et

Matière

présentée

par

Thomas

Coudreau

Pour obtenir le

_grade

de

DOCTEUR

de

l’UNIVERSITE

PARIS

6

Sujet :

Réduction du

bruit

et

_tomographie

_quantique

d’un

faisceau

laser

_{interagissant}

avec

des

atomes

froids:

théorie

et

_{expériences.}

Soutenue le 17 décembre 1997 devant le

_jury

_composé

de :

M. C. FABRE Président

Mme. E. GIACOBINO Directeur de thèse M. P. GRANGIER

_Rapporteur

M. A. LEVENSON

M. L. LUGIATO

A

mes

grands-pères,

de conditions de recherche

_{exceptionnelle.}

Je tiens à remercier

_Jacques

Bauche

_grâce

à

_qui

j’ai

pu

bénéficier

d’une allocation de recherche du Ministère de

l’Enseignement Supérieur

et

de la Recherche. Je veux

_également

remercier MM. Gouédard et Ben

_Kelfat

de m’avoir

permis

d’effectuer

des vacations durant cette thèse.

_{Enfin, je}

suis très reconnaissant à

Jacqueline

Gouzerh

_qui

m’a

_permis

d’obtenir un _poste d’A.T.E.R. à l’Université

_paris

VII et

ainsi de terminer cette thèse dans de bonnes conditions.

Elisabeth Giacobino a encadré ce travail. Je la remercie de la

_{confiance qu’elle}

m’a

accordée _{ainsi que} de ses nombreux conseils et _{encouragements} au cours de cette thèse. Je la remercie

_également

de l’attention

_qu’elle

a

portée

à la correction de ce mémoire.

A mon arrivée au

Laboratoire, j’ai

eu le

plaisir

de travailler avec Astrid Lambrecht et

Aephraim Steinberg.

Je remercie Astrid Lambrecht de

_{m’avoir fait profiter}

de sa

grande

connaissance de

_{l’expérience.}

Je suis

_également

reconnaissant à

_Aephraim

_Steinberg

d’avoir

guidé

mes

_premiers

_pas sur

l’expérience

et de m’avoir aidé à

_m’y

retrouver sur une table de

manip’ bien

encombrée.

J’ai eu la

grande

chance et le

_{grand plaisir}

de travailler

_pendant

un an et demi avec

Antonio

_{Zelaquett-Khoury}

en

_séjour

_{post-doctoral.}

Je le remercie car ce travail lui doit

beaucoup.

Paulo

_Nussenzveig

a

_passé

un mois sur

l’expérience

et a

beaucoup

contribué à la

stabilisation du

_système.

Je tiens à le remercier de son aide

_précieuse.

Gerd Breitenbach de l’Université de Constance a

passé

une semaine au laboratoire _pour nous aider à réaliser les

_premières

mesures de

tomographie,

il nous a

aussi fourni

son

programme de calcul de la

fonction

de

Wigner

et de la matrice densité. Je le _{remercie pour} sa

disponibilité

autant lors de son

séjour

_{que par courrier}

électronique

interposé.

Merci

également

à M.

_Raymer

et A. Faridani de l’Université

_d’Oregon

de nous

avoir fourni

le

programme initial pour le calcul de la

fonction

de

Wigner

par

transformée

de Radon inverse

et à A. Zucchetti et W.

_Vogel

de l’Université de Rostock _{pour le calcul de} la matrice densité dans la base de Fock à

_partir

de nos données

expérimentales.

Laurent Vernac a commencé sa thèse sur cette

_expérience.

J’ai eu

beaucoup

de

_plaisir

à

travailler avec lui

_{et je}

tiens à le remercier pour ses lectures nombreuses et attentives de ce

mémoire.

Je voudrais

_également

remercier ici toutes les _personnes

_qui

m’ont aidé au cours de cette

thèse et

_qui

_{n’ont jamais}

hésité à

_répondre

à mes

_questions

même durant les moments les

moins _opportuns

_(qui

sont

_toujours

les moments où les

_problèmes

se

_{posent) :}

Antoine Heidmann _pour m’avoir aidé à résoudre de nombreux

_problèmes

de

_physique

mais aussi

_{d’informatique}

et

_{d’électronique qui}

se sont

_posés

au cours de ce travail. Il a

toujours

montré une bonne humeur et une

disponibilité qui

ne se

sont jamais

démenties.

Michel _{Pinard pour m’avoir}

_expliqué

les

_mystères

_{du pompage}

_optique

et _{pour avoir}

répondu

dans le détail à toutes les

_questions

_{que j’ai}

pu lui poser,

François

Biraben et

_François

_Nez

_qui

ont

_passé

de

_longs

moments à

_{m’expliquer}

_par

l’exemple

le

_{fonctionnement}

du laser

_{Titane:Saphir}

et dont la

_patience

et le savoir me

furent

précieux,

Jean-Michel

_Courty

_{pour m’avoir}

_expliqué

les nombreux

_points

de

_{physique atomique qui}

m’échappaient

ainsi que pour les moments

_qu’il

a

passé

à m’aider à

régler

le laser

Catherine Schwob et Yassine

_Hadjar

_pour les nombreuses discussions _que nous avons eu

et toutes les

_pièces

et

_{appareils qu’ils}

m’ont

_prêtés

au cours de cette

_thèse,

Francesca Grassia _pour ses _{encouragements} constants tout au

_long

de cette

_thèse,

Agnès

Maitre pour ses

_précieux

conseils _pour mes diverses

_{présentations}

orales et nos

nombreuses

discussions,

tous les

thésards,

stagiaires

et _visiteurs, Cédric

_Bégon,

Nicolas

_Borghini,

Alberto Bramati,

Hichem

Eleuch,

Jean-Pierre

Hermier,

Valéry

Jost,

Katsuyuki

Kasai, Gaétan Messin et

Matthias

_{Vaupel qui font}

du bureau dans

_lequel

nous travaillons un endroit vivant, convivial

et stimulant même

_quand

on n’aime pas

le football,

Pierre-François

Cohadon _pour sa relecture du

manuscrit,

Benoît Grémaud _pour sa

_patience

à

_{m’expliquer}

LaTeX et

_PostScript,

tous ceux _que

_je

n’ai pas remercié

_jusqu’ici

et

_{qui font}

de ce laboratoire un lieu de travail

particulièrement agréable.

Ce travail a aussi été rendu

possible

_par le

personnel

des ateliers du laboratoire. Pour

cela,

mes remerciements vont donc à

Francis Tréhin

_qui

_{ne fut jamais}

à court d’idée _pour résoudre les divers

_problèmes

rencontrés

_pendant

cette

_thèse,

Bernard

_{Rodriguez qui}

a

toujours accepté

avec

philosophie

et bonne humeur mes

modifications après

coup sur les

_{pièces mécanique}

qu’il

m’avait fabriqué,

Alexis Poizat

qui

a de

nombreuses fois accepté

avec de traiter des

pièces

en _urgence,

Sylvain

Pledel _pour son

efficacité

et sa

rapidité

au

_magasin

de

mécanique

de Paris

VI,

Jean-Claude Bernard

_qui

a _conçu de nombreux _montages

_{électroniques qui}

ont été réalisés

par

Philippe

Pace et Jean-Pierre

_Okpisz,

Jean-Pierre Plaut _pour son aide _pour résoudre les nombreux

_{problèmes informatiques,}

Karine Gautier et Blandine _{Moutiers pour m’avoir} aidé _{pour les}

_différentes

démarches

nécessaires au bon déroulement d’une thèse.

Je remercie tout

_{particulièrement}

Claude Fabre _{pour avoir}

_accepté

de

_présider

ce

jury

mais aussi pour ses

_{explications patientes}

et

_répétées

des divers

_{problèmes d’optique}

quantique qui

m’ont troublé durant cette thèse. Je tiens

_également

à remercier

_Philippe

Grangier

et Pierre Pillet d’avoir

_accepté

d’être les _rapporteurs de cette thèse

_malgré

les

courts délais _que nous leur avons laissé. Je suis

également

reconnaissant à Ariel Levenson et

Luigi Lugiato

pour l’intérêt

qu’ils

ont

_manifesté

_pour ce travail en _acceptant

de faire

_partie

du jury.

Enfin, je

veux remercier mes amis et

_{ma famille}

_pour leurs _{encouragements} au cours de cette thèse. Un immense _{merci pour terminer à}

_Sylvie

sans

qui

ce travail n’aurait

Table des

matières

1 Introduction 5

2 Introduction au bruit

quantique -

Réduction du bruit _par effet Kerr 9

2.1 Introduction ... 9

2.2

_{Quantification}

du

_champ

_{électromagnétique}

... 9

2.2.1

_Composantes

de

_quadrature

... 12

2.2.2

_{Représentation}

dans

_l’espace

des

_phases

... 14

2.2.3 Choix d’un ordre ... 15

2.2.4

_Statistique

du

_rayonnement

... 16

2.3

_{Représentation}

des états du

_champ

... 22

2.3.1 Introduction ... 22

2.3.2

_{Représentation}

P ... 22

2.3.3

_{Représentation}

de

_Wigner

... 23

2.4 Réalisation

_{expérimentale}

d’états

_comprimés

du

_{rayonnement...}

24

2.4.1 Introduction ... 24

2.4.2 Réduction du bruit dans un milieu

~

(2)

... 25

2.4.3 Réduction du bruit _par effet Kerr ... 26

3 Présentation du

_{montage expérimental}

31 3.1 Introduction ... 31

3.2 Les sources lasers ... 31

3.2.1 La diode laser de _repompage ... 31

3.2.2 Le laser

_{Titane:Saphir}

... 33

3.3 Le

_{piège magnéto-optique}

... 37

3.3.1

_Principe

... 37

3.3.2 Mise en oeuvre

expérimentale

... 38

3.4 La cavité d’interaction ... 40

3.4.1

_{Montage expérimental}

... 40

3.5 La détection

_homodyne

... 42

3.5.1

_Principe

de la détection

_homodyne

... 42

3.5.2 Détection des fluctuations

_quantiques

... 42

3.5.3

_{Représentation}

dans

_l’espace

des

_phases

... 45

3.5.4 Influence de la

_dépendance

_spatiale

des modes ... 45

3.6 Améliorations du

_{montage ...}

47

3.6.1 Amélioration du

_montage

de la cavité d’interaction ... 47

3.6.2 Amélioration de la détection ... 49

4 Etude

_théorique

de la réduction de bruit avec des atomes froids. 55 4.1 Introduction ... 55

4.2 Méthode des forces de

_{Langevin ...}

56

2

4.2.2 Méthodes des forces de

_Langevin

en

_{optique quantique ...}

57

4.3 Calcul des

_spectres

de bruit ... 59

4.3.1 Présentation du modèle ... 59

4.3.2 Article "A three level

_approach

to

_squeezing

with cold atoms" .. 61

4.4 Prédictions

_{théoriques -}

conclusions ... 86

4.4.1 Allure de la courbe de transmission de la cavité ... 86

4.4.2 Etude du

_spectre

de la réduction de bruit ... 87

4.4.3

_Balayage

de la

_longueur

de la cavité ... 87

4.4.4 Etude en fonction de la

puissance

des faisceaux

pièges ...

88

4.4.5 Etude en fonction de la

puissance

du _repompeur ... 88

4.4.6 Etude en fonction de la

_puissance

de la sonde ... 89

4.4.7 Conclusions ... 91

5 Mesure de la réduction de bruit 93 5.1 Introduction ... 93 5.2 Conditions

expérimentales ...

93 5.2.1 Le faisceau sonde ... 93 5.2.2 Le

_{piège magnéto-optique}

... 95 5.3 Résultats

_{expérimentaux ...}

99 5.3.1 Procédure de mesure ... 99

5.3.2 Courbes de réduction de bruit ... 100

5.4

_{Comparaison théorie-expérience}

... 101

5.4.1 Introduction ... 101

5.4.2 Cas des faisceaux

_pièges

_peu intenses ... 103

5.4.3 Cas des faisceaux

_pièges

intenses ... 103

5.5 Conclusions ... 105

6

_{Tomographie Quantique : Principes}

et mise en oeuvre

expérimentale107

6.1 Introduction ... 107

6.2

_Tomographie

médicale ... 108

6.2.1 Introduction ... 108

6.2.2

_Tomographie

de transmission:

_principes

... 108

6.2.3

_{Rétroprojection}

_simple

... 109

6.2.4 Reconstruction bidimensionnelle de Fourier ... 111

6.2.5

_Filtrage

de Fourier - Transformée de Radon inverse ... 113

6.2.6 Mise en 0153uvre

expérimentale

... 114

6.3

_Tomographie

_quantique

... 114

6.3.1 Bases de la

_tomographie

_quantique

... 114

6.3.2

_Filtrage

de Fourier ... 116

6.3.3 Calcul par

régularisation quadratique

... 116

6.3.4 Reconstruction directe de la matrice densité ... 117

6.4 Résultats

_{expérimentaux ...}

121

6.4.1 Procédure de mesure ... 121

6.4.3

_{Représentation}

de la matrice densité dans la base de Fock .... 126

6.5 Conclusion ... 129

Conclusions 131

Appendice

133

5

1

Introduction

L’étude des fluctuations

_quantiques

du

_champ

_{électromagnétique}

a commencé à se

développer

de manière

_{spectaculaire}

à

_partir

des années 1960 mais il fallu attendre la fin des années 1970 _pour

_{qu’apparaissent}

les

_{premières propositions}

visant à contourner

la "limite

_quantique

standard" venant des

_{inégalités d’Heisenberg.}

En

_effet,

_{l’inégalité}

d’Heisenberg n’impose

une condition _{que pour} le

produit

des variances des deux

ob-servables

_conjuguées

_qui

décrivent le

_champ

_{électromagnétique}

_quantifié.

Un état du

champ possédant

des fluctuations sur une

_composante

au-dessous du bruit

_quantique

standard est dit

_comprimé.

L’intérêt d’utiliser un état

comprimé apparaît

dans les mesures de très

grande

précision.

Les mesures d’intensité ou de

phase

sont limitées de manière ultime _par le bruit

_quantique

standard du

_champ.

Il est donc intéressant d’obtenir

_{expérimentalement}

des états dont les fluctuations soient

_comprimées

en

am-plitude

ou en

phase.

Dans le cas d’une mesure de

spectroscopie

_par

absorption,

on

pourra utiliser avec

profit

des états

comprimés

en

amplitude

_pour

_augmenter

la

sen-sibilité. De

_même,

dans le cas de mesures

interférométriques

comme celles visant à

détecter des ondes

_{gravitationnelles,}

il sera intéressant d’utiliser des états

_comprimés

en

phase

_pour améliorer le

_rapport

signal

à bruit de la mesure.

Depuis

une dizaine d’années de nombreuses méthodes ont été mises au

_point

_pour

créer et étudier ces états

comprimés.

On

_peut

classer ces méthodes en deux

_types.

Le

premier

type

de méthode consiste à

_appliquer

un

principe

dit de

"pompe

régulière"

dans un laser

[Golubev

84].

Selon ce

principe,

la

statistique

de la _pompe est

_reproduite

sur

la

_statistique

de la lumière émise _par le laser. Cette méthode a été utilisée de manière

très convaincante dans le cas des diodes lasers où des

_compressions

des fluctuations

jusqu’à

70%

ont été obtenues _pour des faisceaux utilisables

_{[Kilper 96].}

L’autre

_type

de méthode est basée sur une interaction entre un faisceau laser et un milieu

non-linéaire. De nombreuses études

_théoriques

ont été menées _pour identifier les milieux favorables à la réduction du bruit. Ces non-linéarités sont

_typiquement

_~

₍₂₎

ou

~

(3)

.

La

_première

_expérience

a été réalisée en 1985 en utilisant une interaction avec un

milieu

_{atomique présentant}

une non-linéarité

~

(3)

[Slusher 85].

L’effet non linéaire était

augmenté

par la

proximité

d’une résonance

atomique.

On a _par la suite cherché à utiliser

des non-linéarités

_{paramétriques}

_pour

_lesquelles

les sources de bruit sont faibles

_(a

_priori

elles ne sont _pas liées à la non-linéarité mais à des effets

_parasites).

Ces interactions

paramétriques

ont été

_{principalement}

réalisées dans des cristaux

_présentant

une

génération paramétrique

ou la

génération

de

second-harmonique.

Ces

expériences

ont

conduit à de fortes réductions de bruit

_pouvant

aller

_jusqu’à

_{90%[Mertz 91].}

Les milieux

_présentant

une non-linéarité de

_type

Kerr

(~

(3)

)

sont eux aussi de

bons candidats pour la réduction de bruit. Il est bien connu _que ce

_type

de milieu est

à

_l’origine

d’un

_phénomène

de bistabilité

_optique

_[Gibbs

_76]:

la courbe de résonance

en

présence

d’un milieu Kerr n’est

plus

une fonction

d’Airy

mais

_peut

_posséder,

_pour une valeur donnée de la

longueur

de la

cavité,

trois

points

de fonctionnements dont

deux seulement sont stables. De nombreux travaux

_théoriques

ont montré _{que cet} effet

purement

classique

est à même de réduire le bruit _pour une

_composante

du

champ

[Reynaud

89].

Deux

_types

de milieu

_~

₍₃₎

ont été utilisés avec succès _pour réduire les

fluctuations

_quantiques

du

_rayonnement,

les fibres

_optiques

_{[Shelby 86][Shirasaki 90]}

et les milieux

_{atomiques. L’expérience}

étudiée au cours de ce travail utilise un milieu

atomique.

En

_{première approximation,}

on

_peut

interpréter

la non-linéarité comme une

variation de l’indice

_optique

avec la

puissance

ce

qui

est

équivalent

à une non-linéarité

de

_type

Kerr. Nous allons voir maintenant les conditions nécessaires à la réduction de bruit dans un milieu

atomique.

La non-linéarité dans ces milieux

provient

de la

proximité

d’une résonance. Cette

résonance est à

_l’origine

d’un excès de bruit à cause de

l’absorption

et de l’émission

spontanée

dans le mode _pour

_lequel

est

_prédite

la réduction de bruit. Afin d’éviter

cet excès de

_bruit,

on

s’éloigne

de la résonance. L’effet

Doppler

est alors un obstacle

à la

_compression

des fluctuations

_{puisqu’il élargit}

les résonances. Des

_expériences

ont

été réalisées dans une _vapeur

atomique

mais ont donné des résultats très inférieurs à

des

_{prédictions théoriques}

ne

_prenant

_pas en

_compte

l’effet

Doppler

[Maeda 87].

La

première

solution _{retenue pour} éliminer l’effet

_Doppler

est le

_{jet atomique.}

Pour un

jet

bien

_collimaté,

l’effet

_Doppler

est

_négligeable

dans la direction transverse. Des effets de réduction de bruit ont été observés dans ces conditions

[Orozco 87][Hope 92].

Cepen-dant,

les résultats obtenus étaient

_toujours

inférieurs aux

prédictions

théoriques.

Afin

de mieux contrôler les conditions

_{expérimentales,}

il est intéressant d’utiliser les atomes

refroidis et

_piégés

_par laser comme milieu non-linéaire. Une

expérience

a commencée

dans ce sens dans notre laboratoire en 1989. Les

premières

observations de bistabilité

ont été faites _{par L.} Hilico au cours de sa thèse

[Hilico 92a].

Dans les mesures de

bruit effectuées _par la

_suite,

l’effet

_perturbateur

des faisceaux

_pièges

s’est révélé très

important.

En

_particulier,

avec les faisceaux

_pièges

à leur

_{pleine puissance,}

il est

possi-ble d’observer un

phénomène

d’émission laser

[Hilico

92c].

Ce laser a des fluctuations

propres

qui

détruisent la réduction de bruit. Il est donc nécessaire de s’affranchir des

faisceaux

_pièges.

La

_première

solution

_développée

_par A. Lambrecht a été d’éteindre

les faisceaux

_pièges

_{[Lambrecht 96a].}

_Quelques

millisecondes

_après

la _coupure, il reste

encore suffisament d’atomes _pour avoir une non-linéarité

importante

et la mesure de

bruit est affranchie de l’effet des faisceaux

_pièges.

La réduction de bruit observée dans

ces conditions est de l’ordre de

40%.

Cette réduction de bruit n’est _que transitoire

(quelques

millisecondes).

Afin

_{d’augmenter}

le

_temps

_{pendant lequel}

elle est

_observée,

on

_peut

mesurer la modification des fluctuations

_quantiques

sur une transition non

perturbée

par les faisceaux

pièges.

Ceci a été réalisé dans

l’équipe

de P.

Grangier

à

7

Orsay

dans le cadre de mesures

quantiques

non-destructrices

[Roch 97],

[Sinatra 98]

pour

lesquelles

deux faisceaux sont

nécessaires,

un faisceau

signal

intense et un faisceau mesure faible. Cette solution n’est _pas

envisageable

dans une mesure de réduction de

bruit où on ne

dispose

_que d’un faisceau. Dans ce _cas, on

_peut

utiliser des faisceaux

pièges

atténués.

_Cependant,

dans ces

conditions,

un modèle

atomique

à deux niveaux

n’est

_plus

valable.

_{Jusqu’alors,}

un modèle

théorique

d’atomes à deux niveaux était

sat-isfaisant

_puisque

les faisceaux

_pièges

étaient absents lors de la mesure de la réduction

de bruit. La validité de cette

_approche

était confirmée _par le fait que les

prédictions

théoriques

étaient en bon accord avec les mesures

expérimentales.

En

_présence

des fais-ceaux

pièges,

ce modèle n’est

plus

valable et doit

prendre

en

_compte

les autres niveaux intervenant dans le mécanisme de

_piégeage.

Nous avons

développé

un modèle basé sur un ensemble d’atomes à trois niveaux. Pour

cela,

nous avons résolu

analytiquement

les

_équations

_{d’Heisenberg-Langevin}

_qui

_régissent

l’évolution du

_{système composé}

du faisceau laser

_sonde,

des faisceaux

_pièges,

de _repompage et des atomes

_supposés

im-mobiles. Nous avons alors _pu calculer

analytiquement

les

expressions

des fonctions de

corrélation _pour le

_champ

mesurées

_{expérimentalement.}

Nous avons

comparé

les

pré-dictions

_théoriques

aux résultats

expérimentaux

dans

plusieurs

régimes

de

paramètres

différents et obtenu un excellent accord.

L’expérience

sera

présentée

dans le second

chapitre

tandis _que les calculs

_théoriques

feront

_l’objet

de notre troisième

_chapitre.

Enfin,

le

_{quatrième chapitre}

sera consacré à la

comparaison

des

prédictions

théoriques

et des résultats

_{expérimentaux.}

Indépendamment,

nous avons

appliqué

la méthode dite de

tomographie

quantique

du

_champ

_{électromagnétique.}

Les

_champs

_{électromagnétiques}

sont souvent

_{représentés}

par leur matrice densité. Cette matrice densité

développée

dans une base

quelconque

peut

être mesurée

_{expérimentalement :}

on mesure _par

exemple

la fonction de

_Wigner

qui

est une distribution de

quasiprobabilités

qu’on

_peut

relier à la matrice densité

[Wigner 32].

L’intérêt de ces mesures est de donner accès non seulement à la valeur

moyenne et à la variance du

champ

mais aussi à toute sa

_statistique.

Nous avons ainsi

obtenu les

_premières

mesures de la fonction de

Wigner

d’un état _pour

lequel

les

fluc-tuations

_prédites

_{théoriquement}

sont non minimales. Nous avons ainsi _pu vérifier _que

la

_statistique

de ces états obéit à une loi

gaussienne.

La

présentation

de la

tomogra-phie quantique

et les mesures _que nous avons faites sont détaillées dans le

_cinquième

2

Introduction

au

bruit

quantique

-Réduction

du

bruit

_par

effet

Kerr

2.1

Introduction

Comme nous l’avons mentionné dans l’introduction de ce

mémoire,

il _est

pos-sible de réduire les fluctuations

_quantiques

du

_champ

_{électromagnétique}

au-dessous d’une certaine valeur

_appelée

limite

_quantique

standard. L’existence de fluctuations du

_{champ électromagnétique}

découle de sa nature

_quantique,

nature

_qui

a été mise en évidence lors de l’étude des

propriétés

_statistiques

de la lumière. Nous allons donc

rappeler

brièvement les méthodes utilisées _pour décrire le

_champ

_{électromagnétique}

quantifié

ainsi que les

_{propriétés statistiques qui}

s’en déduisent. La

_{première partie}

sera consacrée à un

rappel

des

propriétés

du

champ quantifié

puis

la deuxième

par-tie détaillera les différentes

_{représentations}

utilisées _pour le décrire.

_Finalement,

nous

montrerons comment un milieu dont l’indice

optique dépend

de l’intensité incidente

(milieu Kerr)

est

_susceptible

de modifier les fluctuations

_quantiques

du

_rayonnement

et

nous décrirons dans

_quels

conditions on

_peut

considérer

qu’un

_nuage d’atomes refroidis

par laser est un milieu Kerr favorable à la réduction du bruit.

2.2

_{Quantification}

du

_{champ électromagnétique}

La

_{quantification}

du

_{champ électromagnétique}

est _apparue nécessaire dès le début du siècle : le

_spectre

de

_rayonnement

du _corps noir ne

_peut

être

interprété qu’en

consid-érant une

description quantifiée

du

champ.

Cette

quantification implique

_que

_l’énergie

du

_champ

_{électromagnétique}

n’est

_plus

continue comme on le

croyait jusqu’alors

mais

composée

de

_quanta

_{(individuels)}

_{d’énergie :}

les

_photons.

Les

_{propriétés statistiques}

d’un faisceau lumineux sont étroitement liées à ce

_concept.

Si on

considère,

_par

ex-emple,

un faisceau laser dans

_lequel

on

néglige

toutes les sources de bruits extérieures

arrivant sur un détecteur

_parfait,

on

_peut

montrer

(voir

2.2.4.2)

_que les

_temps

d’arrivée

des

_photons

sur le détecteur sont

_répartis

selon une

statistique

particulière :

une

statis-tique poissonienne.

Pour étudier ces

propriétés statistiques,

nous allons d’abord

10

Pour

_quantifier

le

_{champ électromagnétique,}

on utilise une

analogie

entre les

équations classiques qui

lient les différentes

_composantes

du

_{champ électromagnétique}

et les

_{équations quantiques}

d’évolution d’un oscillateur

_harmonique.

Dans une boîte de

dimensions L x L x

L,

on

_peut

décomposer

le

champ

en modes caractérisés _par une

fréquence

03C9i, un vecteur d’onde

k

i

, 203C0 L)

z

, 203C0 L, n

y

203C0 L, n

xi

(n

et une

polarisation

03B5

i

.

On

_peut

montrer

_qu’un

mode est entièrement caractérisé par un vecteur

_03B1

_i

(k

i

,

t)

donné _par la relation

_{(Cohen-Tannoudji 87] :}

où 03B5

i

(k, t) et

B

i

_(k

_i

_{, t)}

désignent

les transformées de Fourier

_spatiales

du

_champ

élec-trique

et

du

_champ

_magnétique.

Pour un

champ

quelconque,

l’énergie

du

champ

_peut

s’écrire en utilisant la

décomposition

en modes :

De

_plus,

l’évolution de

_a

_i

(k, t)

_peut

se déduire des

équations

de Maxwell et on

obtient _pour un

champ

se

_propageant

dans le vide :

Les

_équations

2.2 et 2.3 sont

_identiques

à celles

_qui

_gouvernent

l’évolution d’un oscillateur

_harmonique.

La

_{quantification}

d’un oscillateur

_harmonique

étant bien

con-nue, il est

possible

de

quantifier

le

champ

électromagnétique

d’une

façon

similaire.

Par

_analogie,

on associe aux

grandeurs

classiques

03B1 et 03B1* les

_opérateurs

bien connus

de création et d’annihilation d’un

_quantum

_d’énergie

dans un mode

i,

â

i

et

â

~

i

.

Ces

opérateurs

sont

_hermitiques

_{conjugués. L’énergie}

du

_champ

s’écrira alors :

On a des relations de commutation

générales

entre les

opérateurs

création et

où

_03B4

_i,j

_représente

le

_symbole

de Kronecker.

En

_{représentation}

de

_{Schrödinger,}

les

_{opérateurs champs}

s’écrivent en fonction des

opérateurs

création et annihilation :

avec

B

03C9i

=

1 cE

03C9i

.

E

03C9i

correspond

au

champ

d’un seul

photon.

Dans le

_point

de vue de

Schrödinger,

on utilise des

opérateurs

qui

agissent

sur des

vecteurs d’états

_dépendant

du

_temps,

_|03C8

_{S (t)).}

En

_{optique quantique,}

on utilise

plus

fréquemment

le

_point

de vue

d’Heisenberg.

Cette

représentation

consiste à

appliquer

à

|03C8

S

(t)>

une transformation

unitaire, U,

de telle sorte _que U

|03C8

S

(t))

soit

indépendant

du

_temps.

On a donc :

Cette relation

_permet

d’introduire le vecteur d’état en

représentation

d’Heisenberg :

Afin de conserver les

prédictions

de la

mécanique quantique,

il est nécessaire

d’appliquer

aux

opérateurs

dépendant

du

_temps

une transformation similaire. Dans la

représentation

d’Heisenberg,

un

opérateur

s’écrit alors :

12

L’expression

des

_champs

_{électromagnétiques}

en

représentation

d’Heisenberg

est :

L’intérêt de la

_{représentation}

_{d’Heisenberg}

est de conduire à des

_équations

d’évolution

analogues

à celles obtenues dans la théorie

_classique

dans

_lesquelles

on

remplace

les

grandeurs

classiques

par des

opérateurs.

On

peut

aussi calculer des moyennes à deux

temps

du

_type

_<03C8

_{|F(t)G(t’)|03C8>.}

Ces moyennes à deux

temps

interviennent,

par

ex-emple,

dans le calcul des corrélations entre les

_temps

d’arrivée des

_photons.

Il est

intéressant de _{noter que} dans le cas d’un

champ libre,

i

â

(t)

et

â

~

i

_(t)

sont

_{indépendants}

du

_{temps :}

toute la

_dépendance

_temporelle

est

_regroupée

dans le terme

e

±i03C9

i

t

.

2.2.1

_Composantes

de

_quadrature

On

_peut

aussi

_décomposer

le

_champ

en

composantes

de

quadrature,

Ê

Pi

et

Ê

Qi

:

avec

et

On

_peut

déduire de la relation 2.5a une relation de commutation _pour les

{â

Pi

,â

Qi

} :

Le commutateur de

_â

_Pi

et

_â

_Qi

étant un

_imaginaire

_pur non

nul,

les fluctuations de ces

grandeurs

sont liées _par une

inégalité

de

Heisenberg :

où

0394Â désigne

l’écart

_quadratique

_moyen de  : 0394Â

= <Â

2

- <Â>

2

>.

On a aussi :

E

2

03C9i

apparaît

ici comme une limite

imposée

_par la nature

_quantique

du

_champ.

Elle est

appelée

limite

_quantique

standard. Si on fait

plusieurs

mesures de

Ê

Pi

,

les résultats

obtenus

_présentent

en

général

une

dispersion.

Cette

dispersion

est caractérisée _par un

écart

_quadratique

_moyen,

0394Ê

Pi

,

non nul.

L’équation

2.19 _{montre que} le

_produit

des

dispersions

Pi

0394Ê

et

0394Ê

Qi

est borné inférieurement _par

_.

_E

_03C9i

₂

On ne

_peut

_pas mesurer

simultanément les deux

_composantes

de

_quadratures

avec une

précision

infinie.

Néan-moins,

il n’existe _pas de limite fondamentale à la mesure d’une seule de ces

_grandeurs.

Ainsi,

il est

_{envisageable d’augmenter}

la

_précision

sur la mesure d’une des deux

com-posantes

du

_champ,

c’est à dire de diminuer ses

fluctuations,

au

prix

bien entendu d’une

augmentation

des fluctuations sur la

_composante

conjuguée.

On _pourra donc

_augmenter

la

_précision

d’une _mesure, la seule limite étant de nature

_technique.

Des états

_ayant

des fluctuations inférieures à la limite

_quantique

standard sur une

quadrature

sont dits

comprimés.

On définit de manière

_générale

un état minimal comme un état vérifiant

l’égalité :

Enfin,

remarquons

qu’un

terme de

phase

dans

l’équation

2.13b ne modifie _pas les

propriétés

du

_champ,

la

_{représentation}

en

quadratures

n’est donc _pas

unique. Ainsi,

la

14

2.2.2

_{Représentation}

dans

_l’espace

des

_phases

On utilise couramment une illustration

graphique

des

propriétés

du

champ :

on

représente

le

_champ

dans

_l’espace

des

_phases,

c’est à dire le

_plan

(Ê

P

,

Ê

Q

).

Dans

_l’espace

des

_phases,

le

_champ

_{électrique classique}

est

_représenté

_par un

vecteur tournant à la

_fréquence

03C9. Si on considère le

champ

quantifié,

toute mesure du

champ

est entachée d’un bruit. On

_peut

_représenter

ces fluctuations _par une surface

centrée à l’extrémité du

_champ

_électrique

_moyen. La

_projection

de cette surface sur une droite faisant avec l’axe

Ê

P

un

angle 03B8

correspond

à la variance de la

_quadrature

considérée

_(voir

_figure

_1).

Fig.

1:

_{Représentation}

dans _l’espace des _phases de la surface des fluctuations.

Les fluctuations dans l’axe du

_champ

_{électrique correspondent}

aux fluctuations

d’amplitude

alors _que les fluctuations

_{perpendiculaires}

_{correspondent}

aux fluctuations

de

_phase.

On

_peut

montrer

_qu’un

état

_cohérent,

c’est à dire un état _propre de

â,

est un état

minimal

_qui

ne

possède

_pas de

quadrature

privilégiée.

Sa

représentation

dans

l’espace

des

_phases

est donc un cercle

correspondant

à des fluctuations

égales

à la limite

quan-tique

standard sur toutes les

quadratures.

Dans le cas des

petites

fluctuations

(c’est

à

dire de fluctuations faibles devant la valeur _moyenne du

_champ),

un état

comprimé

est

Fig.

2: _{Représentation} dans _l’espace des _phases d’un état cohérent et d’un état _comprimé.

2.2.3

Choix

d’un ordre

En

_{représentation}

_{d’Heisenberg,}

l’évolution d’un

_système

est donnée _par un

ensem-ble

_{d’équations}

_pour les

_{opérateurs dépendants}

du

_temps.

Afin de résoudre ce

système,

on cherche souvent à _passer à un

système

d’équations

_pour des variables

_{complexes qui}

"correspondent

aux

opérateurs".

Il existe

cependant

une différence

importante

entre

les variables

_complexes

et les

_{opérateurs. L’algèbre}

_gouvernant

les

_opérateurs

est non

commutative alors _que les variables

_complexes

commutent. Si on considère une fonction

F

_(a,

_a

_~

₎

_qui

_peut

se

développer

en

série,

on a :

où _{p1, p2,} ..., sont np des entiers

positifs.

Il est

toujours

possible

d’utiliser les relations de

commutation entre â et

â

~

_pour les

_réarranger

entre eux. Cela va conduire à différentes

expressions

pour F

(â, â

~

)

qui

seront toutes

égales.

16

Ce classement des

_opérateurs

avec les â à droite des

â

~

est dit "ordre normal".

L’origine

de cette

_désignation

de normal réside dans le fait _que c’est l’ordre

_qui

_apparaît

lors de la

_{photodétection}

_{[Glauber 63a].}

L’ordre antinormal

_correspond

à _{arranger F}

en classant les â à

_gauche

des

â

~

.

On a alors :

On

_peut

introduire un troisième

ordre,

l’ordre dit

symétrique dqui

fait intervenir

toutes les combinaisons des

_produits

_{d’opérateurs}

_(voir

_{[Mandel 95],}

_p.

_541).

De manière

_générale,

on

f

(A)

rs

~

f

(N)

rs

bien

qu’on

ait :

Le classement en ordre

normal,

anti-normal ou

symétrique

étant

_unique,

il est

pos-sible d’établir une

correspondance

unique

entre les fonctions des

opérateurs

F

(N)

(â, â

~

)

et

F

(A)

_{(â, â}

_~

₎

d’une

_part

et les fonctions de la variable

_complexe

_03B1,

F

(N)

_{(03B1, 03B1*)}

et

F

(A)

_(03B1,

_03B1*)

d’autre

_part.

Cette

_{correspondance}

est

_simplement

faite en

remplaçant

dans les

_expressions

ordonnées 2.22 et 2.23 â _par 03B1 et

â

~

_{par 03B1*.}

Dans nos calculs de la réduction du bruit _par des

_atomes,

nous avons choisi l’ordre

normal. C’est l’ordre le

_plus

couramment utilisé _par de nombreux auteurs _pour les calculs

_{d’optique quantique.}

2.2.4

_Statistique

du

_rayonnement

Nous allons étudier les différents

_types

d’états

_{qui apparaissent}

le

_plus

couramment

en

optique quantique

et voir

_quelles

sont leurs

_propriétés

_{statistiques.}

2.2.4.1 Etat de Fock

Comme nous l’avons

déjà

indiqué,

l’hamiltonien du

champ électromagnétique

se

est la somme des

â

~

k

â

k

qui

représentent

le nombre de

_photons

dans le mode k

multiplié

par

l’énergie

d’un

photon, 03C9

k

et d’une

énergie

correspondant

aux fluctuations

du vide.

Les états _propres de cet hamiltonien sont

_appelés

états de Fock ou états nombres.

On les notera

_|n

_k

_>.

Ces états forment une base

complète

et

_orthogonale

de

_l’espace

des états.

Ces états

_possèdent

un nombre de

photons

_parfaitement

_déterminé et n’ont donc

pas de fluctuations

d’amplitude.

Par

contre,

l’inégalité

de

_Heisenberg

_impose

des fluc-tuations de

_phases

infinies. Dans

_l’espace

des

_phases,

les états de Fock sont

_{représentés}

par un anneau

(figure 3).

Fig.

3: _{Représentation} de Fresnel d’un état de Fock

Ces états sont difficiles à créer

_{expérimentalement.}

Si on sait maintenant

produire

des états contenant un seul

photon

ou deux

photons

dans deux modes

différents,

il

est

_{beaucoup plus}

difficile d’obtenir

_{expérimentalement}

des états à

_{plusieurs photons.}

Les états à

_grands

nombres de

_photons

_que nous considérerons dans la suite sont

généralement

des

_{superpositions}

d’états de Fock.

2.2.4.2 Etats cohérents

Les états cohérents sont les états _propres de

_{l’opérateur}

â. Ils

_peuvent

être obtenus

18

où D

_(03B1)

=

exp

(03B1â

+

-

03B1*â)

et 03B1 est un nombre

complexe

quelconque.

On montre facilement _que le

_{développement}

d’un état cohérent dans la base des états de Fock est de la forme :

Cette

_statistique

est celle d’événements

_{indépendants}

_(comme

l’arrivée des

_photons

sur un

détecteur).

Supposons

_que la

probabilité

de détecter un

photon

pendant

un

intervalle 0394t ne

dépende

_que de la

longueur

de cet intervalle

_(selon

une loi

linéaire) :

où 03BA est une constante. On a alors :

A la limite 0394t ~

_0,

on a :

On introduit alors la fonction

_{génératrice :}

d’où :

Si on _suppose

qu’aucun photon

n’est arrivé à t =

0,

_{on a} P

(0, 0)

= 1 et P

(n, 0)

= 0

~n ~ 1,

d’où

_{G (s, 0)}

= 1. On en tire

Ceci montre _que la

_{statistique correspondante}

est une

statistique

poissonienne.

Par

_ailleurs,

on a :

03BAt

_correspond

donc au nombre _moyen de

_photons

détectés durant le

_temps

t noté

N.

On

_peut

donc écrire de manière

_{générale :}

Les états cohérents sont

_{particulièrement}

utiles car ils

correspondent

dans une

bonne

_{approximation}

au

_rayonnement

émis _par un laser très stable fonctionnant très

au-dessus du seuil.

2.2.4.3 Etats

_comprimés

Nous ne

parlerons

ici _que des états minimaux c’est à dire ceux _pour

lesquels

le

produit

des

_dispersions

est

_égal

à la valeur minimale :

Les états

_comprimés

sont

_générés

à

_partir

d’un

_opérateur

unitaire de

_compression

20

où 03B5 =

re

2i~

.

Si on considère le cas

où ~

=

0,

_on obtient :

où les variances sont évaluées dans l’état

_|03B5>

= (03B5)

_|0>.

L’état obtenu _par

_{l’opérateur}

de

_compression

est un état minimal. La surface d’incertitude a une dimension minimale

dans la direction de

_Ê

_p

_(dans

le cas où r est

positif)

et maximale dans la direction

orthogonale.

Dans le cas

où ~ ~

_0,

on _passe dans la base des

quadratures

(Ê

P,03B8

,

Ê

Q,03B8

)

définies

par

Ê

P,03B8

+

iÊ

Q,03B8

=

(Ê

P

+

iÊ

Q

)

e

-i~

.

On a alors:

Les variances sont alors:

L’état

_produit

dans ce cas est un état minimal dont l’axe de

compression

est

maintenant

_Ê

_P,03B8

_(toujours

dans le cas où r est

positif).

2.2.4.4 Etat _propre de la base

_{d’amplitude}

du

_champ

La base

_{d’amplitude}

du

_champ

a été introduite _par W.

Vogel

et al

_[Schubert

78][Vogel 90].

Elle

_correspond

à la base définie par les états propres de

l’opérateur

où

_{g (r)}

décrit la structure

_spatiale

du

_{champ :}

_{g(r) = |g(r)|e}

_i~g

_.

Les états _propres sont donnés _par la relation :

Ces états _propres sont des états

_{parfaitement comprimés}

sur une

quadrature.

En

effet,

si on _{pose ~g} = 0

(ce

qui

est

_toujours

_possible

en

changeant

les

_composantes

de

quadrature),

on a :

donc

_|E

_(r))

est un état _propre de

Ê

Q

et on

_peut

écrire :

Si on choisit la base des états de

Fock,

|E (r))

s’écrit :

où

H

n

est le

_polynôme

d’Hermite d’ordre

n

1

.

En

_fait,

Ê

est

_l’analogue

_pour un

champ

électrique

à

l’opérateur

_pour un

oscil-lateur

_harmonique.

En

_particulier,

_{l’expression}

de

_|E

_(r))

en fonction de

|n>

(2.47)

est

identique

à celle

_qui

relie

_|x>,

vecteur _propre

de

à

_|~

_n

_>,

vecteur _propre de

_{l’opérateur}

nombre de l’oscillateur

_harmonique

_{[Cohen-Tannoudji 77] :}

où

1

22

2.3

_{Représentation}

des états

du

_champ

2.3.1

Introduction

Comme nous l’avons

mentionné,

la

représentation

dans la base de Fock n’est _pas

commode à

_appliquer

aux

champs

_que nous considérons

puisque

ceux-ci sont

générale-ment des

_mélanges

d’états cohérents. Afin d’étudier les

_mélanges

d’états

_cohérents,

on

utilise le formalisme de la matrice

_densité,

_p. On définit de manière

_générale

la fonction

W(03C9,s) :

où C

_{(~, s)}

est la fonction

_{caractéristique :}

Les différentes

_{représentations}

du

_champ

habituellement utilisées sont des cas

par-ticuliers de la fonction W

_(03B1,

_s)

pour

lesquelles

on fixe une valeur du

paramètre

s. Selon

la valeur de s et pour certains états du

champ,

la fonction W

_peut

ne _pas être définie

pour tout 03B1. Ces

propriétés

sont

rappelées

sur la

figure

4.

Fig.

4: _Propriétés de W

_{(03B1, s)}

en fonction de s.

Comme nous le verrons _par la

suite,

la fonction W

(03B1, s)

est reliée à la

distribu-tion de

_probabilité

sur une

quadrature, P

03B8

(Ê

Q,03B8

)

[Vogel

89].

C’est cette

propriété

fondamentale

_qui

sera utilisée _pour la mesure

expérimentale

de la matrice densité

(voir

chapitre

5).

2.3.2

_{Représentation}

P

La

_{représentation}

P

_correspond

au cas s = +1.

On

_peut

par ailleurs montrer que la

représentation

P est

_simplement

le

Cette base étant

_{surcomplète,}

on

_peut

décomposer

la matrice densité

uniquement

sur

les

_projecteurs

_{diagonaux :}

La

_{représentation}

P est commode _pour l’évaluation de

_{produit d’opérateurs}

dans l’ordre

normal

2

:

On

_peut

ainsi

_interpréter

la fonction de corrélation au second ordre

g

(2)

(0)

en

fonction de P

_{(03B1) :}

où

_<|03B1|

₂

_>

₌

P

_(03B1)

_|03B1|

₂

d

2

03B1.

L’inconvénient de la

_{représentation}

P vient du fait _que la base des états cohérents

est

_{surcomplète :}

deux états cohérents ne sont _pas

orthogonaux

dans le cas

général.

La

représentation

P

_peut

donc être

_singulière.

Par

_exemple,

on voit immédiatement _que

la

_{représentation}

P d’un état cohérent est une fonction de Dirac. On utilise souvent la

représentation

de

_Wigner

_qui

ne

possède

_pas de

singularité.

2.3.3

_{Représentation}

de

_Wigner

C’est la

_première

des distributions de

_{quasi-probabilités}

à avoir été introduite en

mécanique quantique

[Wigner 32].

Elle

_correspond

au cas s = 0. Cette fonction est

toujours

définie mais pas

toujours positive,

c’est

_pourquoi

on

parle

de distribution de

quasi-probabilité.

Cependant,

dans le cas des états cohérents ou dans celui des états

comprimés monomodes,

la fonction de

_Wigner

est

_{toujours positive}

et bornée _par une

gaussienne

[Lütkenhaus 95].

Le théorème

d’Hadamard

3

_s’applique

alors et la fonction de

_{Wigner correspondante}

est nécessairement une

_gaussienne.

Pour un état cohérent

minimal,

la fonction de

_Wigner

est une

_gaussienne

de révolution centrée autour de la

valeur moyenne du

champ.

La fonction de

Wigner

d’un état

comprimé

minimal est une

2 _Cette

propriété est _{parfois appelée} Théorème _{d’Equivalence Optique}

_{[Mandel 95][Davidovich 96].}

3

L’énoncé de ce théorème est le suivant .

Toute fonction

_{f (z)}

_analytique sur tout le plan complexe

(c’est

à dire développable en série

entière),

qui n’a aucun zéro et dont le carré du module est borné par la fonction exp

(-|z|

2

)

est nécessairement

24

gaussienne

avec des

_largeurs

à mi-hauteur différentes suivant les directions et

_toujours

centrée autour de la valeur moyenne du

champ.

L’intérêt de la fonction de

_Wigner

est de faciliter le calcul des moyennes de

produits

dans l’ordre

_symétrique.

La fonction de

_Wigner

est reliée

_simplement

à la surface d’incertitude dont nous avons

parlé

précédemment. Ainsi,

on a :

avec

<03B1

+

_03B1*>

₌

_(03B1’

+

_03B1’*)

W

_(03B1’)

d

2

03B1’.

Dans le cas d’un état cohérent ou d’un état

comprimé minimal, l’équation

2.54b montre _que la surface d’incertitude

_peut

être vue comme le contour de la fonction de

_Wigner

à

_1/e.

Par

_ailleurs,

la fonction de

_Wigner

est

reliée de manière

_simple

aux distributions de

probabilité

des

_composantes

de

quadra-tures

_{[Kühn 94] :}

où P

03B8

(Ê

Q,03B8

)

désigne

la distribution de

_probabilité

de la

_quadrature

Ê

Q,03B8

et

2.4

Réalisation

_{expérimentale}

d’états

_comprimés

du

_rayonnement.

2.4.1

Introduction

Depuis plus

d’une dizaine

_d’années,

de nombreuses

_expériences

visant à obtenir

expérimentalement

des états

_comprimés

ont été réalisées. On

_peut

classer ces méthodes en

plusieurs

familles:

- méthodes basées

sur le _pompage

régulier

d’un laser:

lorsqu’on

_pompe un laser de

manière

_régulière,

la

_statistique

des

_photons

émis

_peut

être

_{sub-poissonienne}

_[Golubev

84].

En alimentant une diode laser avec un courant

régulier,

on

_peut

donc obtenir un

faisceau

_comprimé

_{[Machida 88].}

- méthodes basées

sur une interaction non-linéaire de

_type

~

(2)

.

- méthodes basées

sur une interaction non-linéaire de

_type

~

(3)

.

Nous mentionnerons brièvement la méthode de réduction de bruit _par

interac-tion non-linéaire de

_type

_~

₍₂₎

_.

_Ensuite,

nous montrerons comment un

milieu ~

(3)

est