Motifs transverses et solitons de cavité dans des microrésonateurs à semiconducteurs pompés optiquement

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microrésonateurs à semiconducteurs pompés

optiquement

Yves Ménesguen

To cite this version:

Yves Ménesguen. Motifs transverses et solitons de cavité dans des microrésonateurs à semiconducteurs

pompés optiquement. Physique [physics]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2006. Français.

�tel-00011569v2�

Thèse présentée en vue de l'obtention du diplômede

docteurde l'université de Paris 6

en Informatique,Télécommunications etElectronique

Motifs transverses et solitons de cavité dans des microrésonateurs à

semiconducteurs pompés optiquement

soutenue publiquementpar

Yves Ménesguen

à Marcoussis, le 26janvier2006

Claude Fabre (Président du Jury)

Jorge Tredicce (Rapporteur)

AlainBarthélémy (Rapporteur)

Robert Kuszelewicz (Directeurde thèse)

Massimo Brambilla (Examinateur)

Table des matières 2

1 Introduction 8

1.1 Présentation du sujet . . . 8

1.2 Etat de l'art au laboratoire. . . 12

1.3 Organisationdu manuscrit . . . 13

2 Description théorique des structures optiques auto-organisées 15 2.1 Lesmécanismes dans les microcavités àsemiconducteurs . . . 15

2.1.1 Ladiraction . . . 16

2.1.2 Lacavité . . . 17

2.1.3 Lesnon-linéarités dans lessemiconducteurs. . . 18

2.1.4 Ladiusion . . . 21

2.1.5 Synthèse : lesétats inhomogènes. . . 21

2.2 Outilsanalytiques . . . 23

2.2.1 Lesapproximationset hypothèsesdu modèle dans lessemiconducteurs . 23 2.2.2 Leséquations en régime d'amplication . . . 28

2.2.3 Régime actifampliésans injection . . . 29

2.2.4 Intensité rééchie . . . 30

2.2.5 Domaine de bistabilité . . . 31

2.2.6 L'instabilitéde modulation . . . 32

3 Echantillons et dispositifs expérimentaux 39

3.1 Leprincipeexpérimental . . . 39

3.2 L'expérience . . . 40

3.2.1 Lessources . . . 40

3.2.2 Lesmontages expérimentaux. . . 41

3.2.2.1 Montage de l'expériencede cartographie . . . 42

3.2.2.2 Montage expérimentalen régime d'injection . . . 42

3.2.3 Lesappareils de détection . . . 44

3.3 Leséchantillons génériques . . . 44

3.3.1 Lesmatériaux semiconducteurs . . . 45

3.3.2 Conception d'un VCSEL type . . . 45

3.3.3 Le pompageoptique . . . 46

3.4 Résultatsinitiaux sur les premiersVCSELs . . . 47

3.4.1 Lesrésultats expérimentaux initiaux . . . 47

3.4.2 Analyse des résultats . . . 48

4 Modélisation thermique 54 4.1 Equation de la chaleur . . . 54

4.2 Utilisationde transformées intégrales . . . 56

4.3 Cas des miroirs de Bragg . . . 57

4.3.1 Solutiongénérale pour une couche sans source . . . 57

4.3.2 Matrice d'une couche unique . . . 58

4.3.3 Matrice d'un empilementquelconque . . . 59

4.3.4 Cas d'un milieu périodique . . . 59

4.3.5 Matrice d'un empilementsymétrique . . . 61

4.4 Résolutionen régime stationnaire . . . 62

4.4.1 Miroirs de Bragg . . . 62

4.4.2.1 Zone active . . . 63

4.4.2.2 Substrat . . . 64

4.4.3 Résultats . . . 64

4.5 Calculsthermiques spatio-temporels . . . 66

4.5.1 miroirsde Bragg . . . 66

4.5.2 Equation de la chaleur avec sources . . . 67

4.5.2.1 Zone active . . . 67

4.5.2.2 Substrat . . . 68

4.5.3 Résultats . . . 69

5 Conception et optimisation des échantillons 72 5.1 Lesparamètres à optimiser. . . 72

5.2 L'échantillonMOR5137, un VCSEL avec un miroir arrièresupplémentaire . . . 73

5.2.1 Conception de la structure VCSEL : deux miroirs pour deux fonctions distinctes . . . 73

5.2.2 Résultatsexpérimentaux . . . 74

5.2.2.1 Descriptionde lastructure . . . 74

5.2.2.2 Analyse des performances laser . . . 74

5.2.2.3 Analyse des performances d'échauement . . . 75

5.3 L'échantillonMOR5317, sculpture de la réponse optique . . . 81

5.3.1 Fenêtre de pompage . . . 81

5.3.1.1 Défauts de la structure précédente . . . 81

5.3.1.2 Objectifs de l'optimisation . . . 84

5.3.1.3 Principe de la méthode d'optimisation . . . 84

5.3.2 Résultatsexpérimentaux . . . 85

5.3.2.1 Premiersrésultats expérimentaux . . . 85

5.3.2.2 Polissage mécanique du substrat . . . 87

5.4.1 Leslimites de la méthode d'optimisationglobale . . . 91

5.4.2 Laméthode d'optimisationpar miroir. . . 92

5.4.3 Lesobservations expérimentales . . . 94

5.5 Conceptiond'unestructure VCSOA optimiséepour l'optiquenon-linéaire trans-verse . . . 98

5.5.1 Critères théoriques etpratiques . . . 98

5.5.1.1 Critères théoriques . . . 98

5.5.1.2 Etude théoriquede labistabilitéet de l'instabilitéde modulation100 5.5.1.3 Critères pratiques. . . 102

5.5.1.4 Evaluationde l'échauementd'une structure-test . . . 103

5.5.2 Réalisationexpérimentale . . . 106

5.5.2.1 Structure de l'empilementde MOR5516-17. . . 106

5.5.2.2 Cartographiede l'échantillonMOR5516-17 . . . 107

5.5.2.3 Caractérisation spectrale de l'échantillonMOR5516-17 . . . 109

6 Les motifs transverses et les états localisés 112 6.1 Résultatsexpérimentauxpréliminaires . . . 112

6.1.1 Caractéristiques laser . . . 112

6.1.1.1 Lesmodes laser transverses . . . 112

6.1.1.2 Etude du seuil laser en fonction de la longueur d'onde de la résonance . . . 115

6.1.2 Etude de l'injection optique dans l'échantillonMOR5516-17 . . . 116

6.1.2.1 Désaccord du champ injecté à lacavité . . . 117

6.1.2.2 Variationde l'intensité de pompage . . . 122

6.2 Ecriture/eacement de solitons de cavité . . . 124

6.2.1 Bistabilité des solitonsde cavité en fonction de la puissance d'injection . 124 6.2.2 Ecritureet eacement cohérentsde solitonsde cavité . . . 126

6.2.2.2 Ecriture eteacement cohérents et périodiques d'un soliton de

cavité . . . 128

6.2.3 Bistabilité des solitonsde cavité en fonction de la puissance de pompe . 130

6.2.4 Ecritureet eacement incohérents de solitons de cavité . . . 131

6.2.4.1 Montage expérimentalen écriture incohérente . . . 131

6.2.4.2 Démonstration de l'écriture incohérente . . . 131

6.2.4.3 Démonstration d'écriture incohérente en impulsionlongue . . . 135

6.2.4.4 Démonstration d'écriture incohérente en impulsioncourte . . . 136

6.2.4.5 Démonstration de l'écriture successive de deux solitons . . . 137

6.2.4.6 Démonstration de l'eacement incohérent . . . 139

6.3 Lesclusters de solitons . . . 140

Conclusion 144

Bibliographie 147

A Notations 156

B Une nouvelle étape technologique : le report sur SiC 158

C Calcul de la densité de porteurs intra-cavité 160

Résumé 163

Je voudrais remerciericitoutes lespersonnes quim'ontaidé de près oude loinpour ce

tra-vail de trois années. En premier lieu, mon directeur de thèse, Robert Kuszelewicz qui m'a fait

conance etm'a apporté tout son concours tout aulong de cettethèse. Je veux remercier

éga-lementSylvainBarbay dem'avoiraidéauquotidienen particulierdansletravailexpérimental.

C'étaitun plaisirdetravaillerdanscetteéquipe.IsabelleSagnespoursonénergieànousfournir

des échantillons etLaëtitia Leroy etJulie Dion pour leur concours à la réalisationde l'unique

échantillonqui adonnédes résultatsattendus depuislongtemps. Leservice de mécaniquepour

toutesles piècesréalisées,tous lespetits trous: lisses,letés,lamellés...encore des petits trous,

des petitstrous...Je remercie aussilesrapporteurspour leurtravailde révision,dans des

condi-tions parfois épiques : au Brésil, les bandits de grands chemins ne sont pas intéressés par les

Introduction

1.1 Présentation du sujet

Bien qu'assez peu perçues dans la vie quotidienne, lesnon-linéarités sont très courantes et

responsables de nombreux phénomènes qui nous entourent. Des comportements non-linéaires

ontété misenévidencedans diérents domainesde laphysique,de lachimie,de labiologie,de

l'économie,dessciences sociales...L'émergencede laphysiquenon-linéaireetlesétudesportant

sur lescomportementschaotiques depuisces vingtdernières années prouvent l'intérêtnouveau

que l'on porte à cette discipline.En

1952

, le mathématicien britannique Alan Turing suggéra que des réactions chimiques ayant une dynamique non-linéaire couplée à la diusion pouvait

conduire à la formation de motifs stationnaires rencontrés dans des organismes vivants [87];

l'instabilitéassociée à ce comportement porte désormais son nom. Comme résultats possibles

de cette instabilité, on peut citer parmi les manifestations les plus frappantes : les rayures

du zèbre, les hexagones de la girafe ou les points de la panthère (gure 1.1). Une instabilité

similairea été évoquée pour expliquer la diérenciationcellulairedans lespremières étapesdu

développement embryonnaire [69, 52, 38].

Le premierphénomènenon-linéaire débouchant sur laformationde motifsspatiaux àavoir

étéétudiédemanièresystématiqueestlaconvectionthermiquedanslesuidesparH.Bénardau

Fig.1.1  Exemplesde motifs stationnaires : leshexagones de la girafe,les rayures du zèbre et

les tâches de lapanthère

étéproposéesparLordRayleighen

1916

[62].Ilattribuaitlaformationdecesmotifs(1.2)àune instabilité provoquée par la dépendance en température de la densité du liquide, responsable

de la convection. Leséquations régissantla dynamiquede systèmessusceptibles de développer

une instabilitéde Turingsont génériques etserencontrent aussibien en physique qu'en chimie

par exemple.

Fig. 1.2 Rouleaux de Bénard-Marangoni dans un lm d'huile chaué

La formation de motifs spontanés dans des systèmes optiques non-linéaires associés à une

instabilitéde Turingfaitpartie decette physiquenon-linéaire[63, 85,46]. Expérimentalement,

Fig. 1.3 Motifs transverses observés dans une vapeur de sodium

deplusieurssortes.Laformationde motifsaétéobservéedansdessystèmesàvapeurde sodium

(Fig.1.3) [41, 6] où la non-linéarité provient de l'interaction entre un laser intense eectuant

un simple aller-retour dans le milieu et le système atomique soumis à un champ magnétique

externe.Desobservationsontétéeectuées dansun systèmelaseràabsorbantsaturablecomme

la bactériorhodopsine [80], dans des systèmes optiques où le milieu non-linéaire est constitué

d'une valve à cristaux liquides [56, 61, 33] de même que des résonateurs en anneau avec un

milieu dont la non-linéaritéest produite par un cristal photoréfractif[64].

Les motifspériodiques ne sont pas les seules structures non-linéairesrapportées,des

struc-tures localisées indépendantes ou solitons de cavité sont également possibles dans les mêmes

systèmesoptiques.Lessolitonsdecavitésontdessurintensitéslocalesduchampetpeuventêtre

créés par des impulsions d'écriture et rester indéniment stables. Ils font partie de la famille

des solitons spatiauxcar lanon-linéarité auto-focalisanteéquilibrela diraction,par contre ils

sont connés dans la cavité et ne se propagent pas contrairement aux solitons spatiaux

pro-pagatifs. Ceux-ci se propagent dans un milieu Kerr sans diracter, l'intensité du faisceau crée

l'auto-focalisationcompensant la diraction. De plus, les solitons de cavité existent dans des

systèmesdissipatifs quesont lesrésonateurs :lesmiroirsdelacavitéintroduisentdes pertesau

système. Cependant ils restent stables tant que les pertes sont compensées par du gain ouun

sans pertes. Par exemple,lessolitons temporels sont des ondes quisedéplacent sur de longues

distancessans sedéformerniperdrede leurénergie.Letsunami,vagueuniqueforméeàlasuite

d'un tremblementde terre sous-marin, est un exemple paroxystique d'unetelle onde solitaire.

Dans les systèmes à vapeur de sodium, ces structures localisées ont été observées [45] et

étudiées,notammentleurpropriétésd'allumageetd'extinction[66],leursinteractionsmutuelles

[68,67]etleurpotentielapplicatifautraitementdel'informationgrâceàleurpropriétés[65].Les

systèmesàvapeurde sodiumoulesvalvesàcristauxliquidessonttrèssouplesd'utilisationmais

ont l'inconvénient d'être relativement lents et de présenter des solitons de cavité de plusieurs

centaines de micronsde diamètre. Les lasers à semiconducteur dont les non-linéaritéspeuvent

produire aussi des motifs spatiaux et des structures localisées ont l'avantage d'être compacts,

très ables et d'un faible coût de production. Ils sont largement répandus aujourd'hui et sont

devenus indispensables en particulier dans les applications en télécommunications. Portée par

l'augmentation des besoins en traitement et transmission de l'information, l'étude de leurs

propriétés dynamiquesetnon-linéairessuscite actuellement,àjustetitre, beaucoup de travaux

de recherches . Des structures localisées ont été observées dans des systèmes laser [80, 89].

Les étudesmenées à l'INLN (Nice) sur une cavité amplicatriceà semiconducteurs àémission

verticale (VCSOA) pompée électriquement ont mis en évidence pour la première fois [11] des

solitons de cavité. Ces études expérimentales ont conrmé beaucoup des aspects de la théorie

décrivant ladynamique d'unsystème non-linéaire introduited'abord sur un système atomique

à deux niveaux par L. Lugiato[47]et étendue ensuite auxsystèmes à semiconducteurs par M.

Brambilla [15] et collaborateurs [75, 83, 76]. La théorie démontre la possibilité d'inscrire les

solitons de cavitéet de lesadresser individuellement[84], ce qui aété conrmé récemmentpar

les travauxmenés à Nice[28].

Les solitons de cavité ont des propriétés intéressantes pour des applications dans le

trai-tement de l'information. Ainsi, lorsque le système est uniforme, il est théoriquement possible

d'inscrire et d'eacer les solitons de cavité en un point arbitrairedu plan et à n'importe quel

moment. Lessolitons de cavité ontaussi la propriété de semouvoir dans un gradient de phase

(a) (b)

Fig. 1.4  Applications des solitons de cavité au traitement de l'information. (a) Registre à

décalage, (b)mémoire bidimensionnelle recongurable tout-optique.

dans la phase du faisceau d'injection,le solitonse déplacevers lemaximum de laphase,

réali-santunregistreàdécalage(Fig.1.4a).Sionréaliseunemodulationbidimensionneledelaphase

du faisceau d'injection les solitons de cavité que l'on choisit d'écrire se placent au maxima

de la phase, réalisant un prototype de mémoire bidimensionnelle recongurable tout optique,

l'informationest portéepar laprésence ou l'absence de solitons (Fig.1.4b).

1.2 Etat de l'art au laboratoire

LespremierstravauxsurlesujetontcommencéauCNET-Bagneuxparl'étudedespropriétés

de bistabilitédans lesmicrocavitésà semiconducteurs[71, 57]et sesont ensuitenaturellement

tournées vers la formation de motifs. Le milieu non-linéaire est constitué de plusieurs puits

quantiques, ce qui crée une non-linéarité d'indice, initiée par l'absorption du champ dans la

queue d'Urbach [70]. Lesmotifscréés sont étudiésen réection car le substrat des échantillons

est opaque à ces longueurs d'onde[40 , 79, 73]. Ces systèmes passifs ont permis d'observer des

ondes de commutation[26], et des précurseurs de solitons de cavité où les aspects thermiques

entrent en jeu [27] dans ladynamique et empêchent laformation de structures stationnaires.

Ces premierstravaux ont été réalisés dans lecadre du projet européen ESPRIT LTR

PIA-NOS (Processing of Information by Arrays of Non-Linear Optical Solitons) qui a débuté en

semi-conducteurs présentant un régime de fonctionnement permettant la formation de solitons de

cavité.Ledeuxièmeobjectifvisaitlesapplicationsautraitementdel'informationdespropriétés

particulièresdessolitonsde cavité.Ceprojets'inscrivantdansle

4

e

programme-cadreeuropéen

étaitunecollaborationd'équipesduPTBàBraunschweig,del'universitédeStrathclydeà

Glas-gow, de l'I.N.F.M de Milan, de l'I.N.F.M de Bari, de l'université d'Ulm, de l'I.N.L.N de Nice

etdu CNET de Bagneux. Ce projet a pris n en avril

2002

et lestravaux présentés dans cette thèse ont débuté en octobre

2002

et s'inscrivent dans la continuité de ce projet. Un nouveau projet (FunFACS :Fundamentals, Functionalitiesand Applications of Cavity Solitons),inscrit

dans le

6

e

programme-cadre européen, réunit la plupartdes partenaires de PIANOS auxquels

s'ajouteleLAAS(Toulouse)etadémarréen avril

2005

.Ilapourobjectifsde réaliserunlaserà soliton de cavité fonctionnanten régimecontinu,ainsi qu'en régimepulsé an d'aboutir àune

localisationtridimensionnelle du champ [16] (solitons3D). Il viseégalement àlaréalisationde

prototypesde fonctions tout-optiquesutilisantles propriétés spéciques des solitons.

1.3 Organisation du manuscrit

L'organisationgénéraledecemémoiresuitlaprogressionchronologiquedesrésultatsobtenus

durantcestroisannéesdedoctoratpasséesauLaboratoiredePhotoniqueetdeNanostructures.

Le chapitre 2 présente les phénomènes physiques mis en jeu dans les microcavités à

semicon-ducteurs ainsi que les équations du modèle de cavité amplicatrice. Le chapitre 3 présente

des schémas simpliés des montages optiquesutilisés pour la caractérisationet lesexpériences

non-linéaires. Ce chapitre présente aussi les sources laser, les outils de détection utilisés dans

lesexpériences etmontre lesrésultatsobtenusavec lespremierséchantillons.Commeondésire

travailler dans un régime d'amplication proche du seuil laser, le meilleur moyen de

s'assu-rer qu'il est aussi proche du seuil qu'on le souhaite est de montrer que l'on est capable de le

franchir. On caractérise donc systématiquement le seuil laser des cavités amplicatrices. Les

résultatssur lespremierséchantillonsont rapidementmontré qu'unéchauement excessifétait

re-cherchés. Au chapitre4,on analyseles sourcesde chauage possibles etonprésente lescalculs

d'échauement eectués concernant les VCSOAs. Le chapitre 5 présente les voies

successive-ment empruntées pour améliorer les performances des VCSOAs en diminuant l'échauement

dû aupompageoptiquemaisaussi ententantd'enatténuerleseets.Lechapitre6présenteles

résultatsobtenussur unestructure dontlescaractéristiquesontd'abord été déniesd'un point

de vue théorique puis traduites en terme de structure VCSOA réelle. Cette structure conçue

etfabriquée aulaboratoireprésente leseets non-linéairesattendus quimènent àl'observation

Description théorique des structures

optiques auto-organisées

Cechapitredécritlaphysiquemiseenjeudanslesmicrorésonateursàsemiconducteursdans

lebutde dénirlesconditionsprésidantàlaformationde structuresoptiques auto-organisées:

motifspériodiques, structures localisées et solitonsde cavité. Tout d'abord une approche

phé-noménologique explique les diérents mécanismes en présence et en fait une synthèse pour

présenter les nouveaux états de la lumière créés par leur interaction. La deuxième partie du

chapitreprésentelemodèlethéoriquequipermetdedécrirelaformationdemotifsetdesolitons

de cavité.

2.1 Les mécanismes dans les microcavités à

semiconduc-teurs

Les mécanismes importants dans les microcavités laser de large diamètre sont ceux qui

couplent l'information portée par un point avec son voisinage et les non-linéarités du

semi-conducteur. Les diérents mécanismes non-locaux sont avant tout la diraction de la lumière

associée à l'eet de rétroaction apporté par la cavité et la diusion des porteurs. Quant aux

dif-fraction a pour eet de répartir l'information du champ lumineux porté par un point sur une

tâche après propagation, quant aux porteurs créés dans la bande de conduction ils sont libres

de circuleretdonc dediuser danslematériau.Lesparagraphessuivantsdécriventun àunces

mécanismes et leur synthèse audernier paragraphe développe les états de lalumière résultant

de leur interaction.

2.1.1 La diraction

La diraction de la lumière a une longue histoire puisque c'est au père jésuite italien de

Bologne Francesco Grimaldi (1618-1663) que l'on attribue généralement la découverte de la

diraction. Enfermé dans une chambre obscure, il perçait de minusculestrous dans un rideau

noir exposé au soleil, il interposait sur le chemin du faisceau une fente , un trou, un bord

d'écran, des cheveux, des plumes d'oiseaux, de la toile. Chaque fois il observait sur un écran

placéderrièredes franges iriséesen dehors dutrajetgéométrique normal,ilappellece nouveau

phénomène ladiraction.

Christiaan Huygens (1629-1695) s'est aussi intéressé à l'optique dans son Traité de la

Lu-mière publié en 1691. Il proposa un modèle de propagation de la lumière sous formed'ondes

sphériques delamêmemanièrequelesondesàlasurfacedel'eauoulesondesacoustiques dans

l'air, lathéorie ondulatoire de la lumièreétait née.

Thomas Young (1773-1829) relançala théorieondulatoire de la lumièrevers 1804 avec une

expériencesimilaireàcelle de Grimaldi:deux petitstrous voisins placésdans lefaisceaud'une

sourceponctuelleagissentcommedeuxsourcesponctuellescohérentes etpermettentd'observer

des franges d'interférences. Il put évaluer grâce à un modèle ondulatoire les longueurs d'onde

du rouge (

0, 7µm

)etdu violet(

0, 42µm

).

AugustinFresnel(1788-1827)futrécompensé pour son travailsurladiractionen 1819par

l'académie des Sciences. Il inventa des miroirs etun biprismequi porte son nom. Il s'intéressa

ensuiteà lapolarisationde la lumièreetdécouvritqu'elle était polarisée transversalement àla

formelle destravauxsur leschamps électriqueetmagnétique. Il aboutitàun ensemble

d'équa-tions à partir desquelles on peut décrire l'ensemble des phénomènes électromagnétiques et en

particulier lapropagation des ondes lumineuses.

On doit à Louis de Broglie (1892-1987)la mécanique ondulatoirequi réconcilie les travaux

d'Einsteinsur l'aspectcorpusculairede lalumièreetlesprécédentssurlanatureondulatoirede

la lumièreen instaurant ladualité onde-corpusculede toute particule.George Paget Thomson

etClintonJosephDavisson obtinrentleprixNobelen

1937

pour ladécouverte deladiraction des électrons conrmant l'aspect ondulatoirede lamatière.

Principe d'Huygens-Fresnel La diraction est un phénomène d'éparpillement de la

lu-mière. D'après l'énoncé du principe d'Huygens-Fresnel, la lumière se propage de proche en

proche et chaque point atteint par elle se comporte comme une source secondaire qui réémet

des ondelettes sphériques de même amplitude, même fréquence et même phase. L'amplitude

complexede l'ondelumineuseen unpointest lasommede touteslesamplitudes complexesdes

ondes lumineuses des sources secondaires : lesondes interfèrent aupointconsidéré.

La propagation d'uneonde lumineuse est régie par l'équationparaxiale suivante

2ik

z

∂E

∂z

=

∇

2

⊥

E

Cetteéquationindique quelapropagationde l'ondeestrégie parsadistributiontransverse.

L'analysed'une ondepar transforméede Fouriermontre queplus lasourceest ponctuelle, plus

large est son spectre angulaire.

2.1.2 La cavité

Dansune cavitélaser lechampintra-cavitépeutêtre vucommeun repliementsur lui-même

d'unchamppropagatifsoumisàladiraction.Achaquealler-retourduchampdanslacavité,il

interfère avec lui-mêmeet interagitde nouveau avec lesporteurs.L'étalementdu champpar la

grande et plus le nombre d'aller-retours est importantélargissant ainsi lerayon d'action de la

diraction.Pourdonnerun ordredegrandeur, ladiractionconcerneunerégiond'un diamètre

√

a =

q

Lλ

nT

= 11, 2µm

dans notre cas (la formulesert de coecient de normalisationplus loin dans ce chapitre), où

L

représente la longueur de la cavité,

n

l'indice de réfraction linéairedu milieu,

λ

lalongueur d'onde et

T

latransmission moyenne des miroirs.

Le nombre de Fresnel est un nombre caractéristique du régime de diraction et est donné

par

N

F

=

r

2

λd

où

d

est le parcours moyen d'un photon dans la cavité,

λ

la longueur d'onde du faisceau lumineuxet

r

ladimensioncaractéristiquetransverse.DanslesVCSELsétudiés,onesttoujours dans le cas dans grand nombre de Fresnel, i.e

N

F

 1

, c'est-à-dire que le champ émis par la cavité peut être formé d'un grandnombre de modes transverses.

2.1.3 Les non-linéarités dans les semiconducteurs

Les non-linéaritésdans lessemiconducteurs III-V quenous avons exploitéessont d'origines

électronique et thermique. Ellessont dispersives, focalisantes oudéfocalisantes, et/ou

absorp-tives. Les non-linéarités électroniques sont produites par le remplissage des bandes d'énergie

des semiconducteurs. Lapopulationde porteursdans labande de conductionmodie de façon

corréléel'absorptionetl'indicederéfraction,cequetraduisentlesrelationsdeKramers-Krönig.

L'absorptionduchampd'intensité

I

àlapulsation

ω

estàl'originedelacréationdeporteurs dontla densité

N

est dénieen régimestationnaire par la relationimplicite[39].

N =

α (N) τ (N) I

~

_ω

où

τ (N)

est letemps de recombinaisondes porteurset

α (N)

est lecoecientd'absorption dépendant de

N

. Lanon-linéarité absorptive est présente pour des énergies d'excitation

supé-coecient d'absorption sature avec la densité de porteurs et donc avec l'intensité incidente et

obéità la loisuivante:

α (I) = α

0

I

s

I + I

s

où

I

s

est l'intensitéde saturation.

Enfonction del'écart àl'énergiede labandeinterdite,lanon-linéaritéde l'indicede

réfrac-tion (eet Kerr) est soitfocalisante soitdéfocalisante. Pour des énergies inférieures àla bande

interdite, la variation de l'indice de réfraction est négative avec l'augmentation de la densité

de porteurs etdoncde l'intensitéincidente, l'eet est alors défocalisant.Parcontre sur leanc

haute énergie, la variation de l'indice de réfraction peut être positive avec l'augmentation de

la densité de porteurs et donc de la puissance incidente lorsque la densité de porteurs passe

au-dessus de latransparence :l'eet est alors focalisant.De même quel'absorption,l'indicede

réfractionestsujetàsaturation.Onintroduitlanon-linéaritéd'indicedu matériau[70]parune

loiempirique dépendant de l'intensité du champ :

n = n

0

+

δn

s

I

I + I

s

soit

n

_{≈ n}

0

+

δn

s

I

s

I

pour

I

 I

s

Pour des énergies inférieures à la bande interdite, l'absorption est faible (Fig.2.1) et la

non-linéarité est dominéepar celle de l'indice. Plus près de l'énergiede la bande interdite, les

non-linéarités d'indice et d'absorption sont comparables tandis qu'au-delà de l'énergie de la

bande interditela non-linéaritéprovenant de lasaturation de l'absorptionest dominante.

Uneaugmentationdelatempérature,dûeauxrecombinaisonsnon-radiativesouàlacascade

en bas de bandede conduction des porteurs créés par lapompe,est responsable d'un décalage

Fig.2.1  Spectres expérimentauxet théoriquesde l'absorptionet de la variationde l'indice de

réfraction pourle

GaAs

à

T = 300K

. (A)Les spectresexpérimentauxde l'absorptionsont obte-nuspourdiérentesvaleursdelapuissanced'excitationen

mW

:

0

(1);

0, 2

(2);

0, 5

(3);

1, 3

(4);

3, 3

(5);

8

(6);

20

(7);

50

(8). (B) Les variations non-linéaires de l'indice sont déduites de celles de l'absorption (A) avec la transformation de Kramers-Krönig. (C) Les spectres d'absorption

ont étécalculés pourdiérentes valeursde ladensité deporteursen

cm

−3

:

10

15

(1);

8.10

16

(2);

2.10

17

(3);

5.10

17

(4);

8.10

17

(5);

10

18

(6);

1, 5.10

18

(7). (D) Les variations non-linéaires

théo-riquesdel'indicesontdéduitesde cellesde l'absorption(C)aveclatransformationde

de lavariationde l'indicenon-linéaireen-dessous du gap,une augmentationde températurese

traduitparunacroissementpositifdel'indicenon-linéaire.L'échauementdesmicrorésonateurs

sera étudié plus en détailau chapitre4.

2.1.4 La diusion

Lesporteurssubissentdes chocsinélastiquesincessantsquand ilssont excitésdanslabande

de conduction. Ces chocs aboutissent à l'étalement d'une densité de porteurs ayant un prol

spatial non uniforme: c'est le phénomènede diusion quisuit une loidécrite par un terme



∂N

∂t



dif f usion

= D

∇

2

N

Leuxd'étalementestinversementproportionnelaugradientlocaldeladensitédeporteurs.

La diusion des porteurs s'eectue sur une longueur caractéristique

l

dif f

=

√

Dτ

, où

τ

est le

tempsdevieglobaldesporteursdanslabandeconsidérée.

l

dif f

correspondàl'étalementmoyen pendant une durée de vie. Dans le

GaAs

,

1

τ

=

1

τ

nr

+ BN

où

B

représente le coecient de recombinaison bimoléculaire et

τ

nr

le temps de recombinaison non-radiative

D < 200cm

2

_.s

−1

,

B = 1, 3

_{∗ 10}

−10

_cm

3

_.s

−1

,

N > 1, 8

∗ 10

18

_cm

−3

au-delà de la transparence et

τ

nr

= 10ns

, on aboutit à

l

dif f

< 7, 7µm

.

DanslessemiconducteursIII-Vladiusionaunrayond'actionplusfaiblequeladiraction

mais lui reste comparable. Si on augmente la densité de porteurs, la diusion voit son rayon

d'action diminuer du fait de la diminution du temps de vie. Ainsi la diraction demeure le

phénomène d'étalement prépondérant dans tous les cas.

2.1.5 Synthèse : les états inhomogènes

Lesystèmequel'onétudieestunemicrocavitélaseràsemiconducteursIII-VdetypeVCSEL

dont le matériauactif est en

GaAs

massif. Les mécanismes physiques les plus signicatifs ont étédécritsdanslesparagraphesprécédents,laréponseoptiquedelacavitévadépendrede leurs

externe en régime actif mais sous le seuil laser, autrement dit au fonctionnement en régime

de gain de la cavité laser : la densité de porteurs est supérieure à la densité de transparence

du matériau et inférieure à celle atteinte au seuil laser. Au-dessus du seuil laser, on passe en

régimed'instabilitétemporelleoscillante(instabilitéde Hopf).Cerégimed'instabilitén'estpas

recherché dans l'étude présente.

La formation d'états inhomogènes dans la réponse optique du système à un champ injecté

homogène externerésultede lacompétitionentre leseets antagonistes des mécanismes

précé-demment décrits. Supposons que par injection ou par uctuations se crée une distribution de

champ et de porteurs présentant un maximum local, la diraction et la diusion auront pour

eets d'étalerlechampetlesporteursdansleplantransverse alorsquelanon-linéaritépositive

de l'indice de réfraction aura un eet autofocalisant. Dans certains domaines de paramètres,

la structure transverse du champ émis par la cavité est sujette à des instabilités de

modula-tion (instabilités de Turing). Laréponse homogène du champdevient instable.Le champ émis

développe alors une structurationtransverse des motifsspatiaux. Ces motifs spatiauxforment

de nouvelles catégoriesd'étatspossibles.Entermed'analyse dynamique,de nouvelles branches

apparaissent dans l'espace des états par émergence d'une bifurcation sous-critique associée à

l'instabilitéde Turing. Ily abistabilitéentre l'étathomogène de basseréectivité etun nouvel

étatprésentant unestructurationtransversedu champ.Lesnouveaux étatsde lalumièreémise

parlacavitésecaractérisentalorsparlaformedesmotifspossiblesetleurpériodicitésspatiales

associées. Cesmotifsprésentent des franges,des hexagones oudes nids d'abeille.Il existe aussi

des états localisés qui ne présentent pas de structurationdans tout le plan transverse, ce sont

2.2 Outils analytiques

2.2.1 Les approximations et hypothèses du modèle dans les

semicon-ducteurs

Le système étudié est une cavité àémission verticale età grandnombre de Fresnelremplie

par un milieu non-linéaire, en l'occurence du

GaAs

massif. Cette cavité est injectée par un faisceau optique externe qui interagit avec le champ intra-cavité. Les variables d'évolution du

système sont le champ électrique intra-cavité, la polarisation macroscopique et la densité de

porteurs. La susceptibilité décrit l'interaction lumière-matière dans le matériau. Elle est

non-linéaire dans lecas qui nous intéresse.

Un modèle théorique décrivant l'évolution du champ électrique intra-cavité, de la

polari-sation et de la densité de porteurs a d'abord été introduit pour les systèmes à deux niveaux

placé dans une cavité en anneau [47]. Il a ensuite été étendu aux systèmes microrésonateurs à

semiconducteurs moyennantde nouvelles hypothèses. Le systèmesemiconducteur d'abord

étu-dié était constitué de puits quantiques [15]. Ce système a fait l'objet d'études dans les régime

passifetactif[76].Ons'intéresseiciàladynamiqued'unsystèmeoùlemilieuactifesten

GaAs

massif,dans le régimeactif, c'est-à-dire au-dessus de la transparence du matériau.

Les équations de départdécrivant l'évolutiondu champ etde lapolarisationsont les

équa-tions de Maxwell-Blochdans un milieu diélectriquenon-linéaire. Leséquationsde Bloch

décri-vant l'évolution des densités de porteurs des niveaux d'énergie et de la polarisation

microsco-pique d'un systèmeàdeux niveaux sontdéduites de lathéoriede lamatricedensité.Le champ

électrique

−

→

ε

dans la cavité est composé de deux ondescontrapropagatives

E

F

et

E

B

−

→

_{ε =}

1

2

[E

F

(x, y, z, t) exp (ik

z

z) + E

B

(x, y, z, t) exp (

−ik

z

z)] exp (

−iω

0

t) + c.c

L'approximationde l'onde tournantepermet d'éliminerles termesnon résonants dans

l'in-teraction lumière-matière.Deplus,letemps dedéclincaractéristiquede lapolarisationest très

polarisa-tion est en équilibre avec lechamp excitateur ce qui permet de l'élimineradiabatiquement,i.e

∂P

∂t

= 0

.

Dans la propagation du champ électrique intra-cavité,on utilise l'approximation paraxiale

à l'ordre

0

[43],

k

2

_{≈ k}

2

_z

=

nω

0

c

décrivantlefaitquelechampsepropagedefaçonprédominantesuivantladirection

longitu-dinale.Ladeuxièmeapproximationestcellede l'enveloppelentementvariable,lesvariationsde

l'enveloppe du champ sonttrès lentes par rapportaux oscillationsqui se produisentà l'échelle

de la longueur d'onde,









∂

2

_E

F

∂z

2







 ≡









∂

2

_E

B

∂z

2







  k









∂E

F

∂z







 ≡ k









∂E

B

∂z









et par conséquent nous négligerons les termes de dérivée seconde des champs. Cette

ap-proximation est aussi valable dans le temps









∂

2

_E

F

∂t

2







 ≡









∂

2

_E

B

∂t

2







  ck









∂E

_∂t

F







 ≡ ck









∂E

_∂t

B









Leséquationspourlesenveloppesdeschampspropagatifsetcontrapropagatifss'écrivent [83]:

1

2ik

z

5

2

⊥

E

F

+

∂E

F

∂z

+

n

c

∂E

F

∂t

=



i

ω

0

Γ

2nc

χ

nl



E

F

(2.1)

1

2ik

z

5

2

⊥

E

B

−

∂E

B

∂z

+

n

c

∂E

B

∂t

=



i

ω

0

Γ

2nc

χ

nl



E

B

(2.2)

où

k

z

= ω

0

n/c

,

n

étant l'indice de réfraction du milieu hôte non excité,

Γ = L

A

/L

est le facteurde connement,

L

A

est l'épaisseur dumilieuactifet

L

lalongueur de lacavitéquitient comptedelapénétrationduchampélectriquedanslesmiroirsdanslecas d'unVCSEL,

χ

nl

est la susceptibiliténon-linéaire complexe.

Fig.2.2 Schéma de la cavité optiqueet des champs électriques

le cas d'un milieu massif

GaAs

. Le premier terme modélise le piégeage d'un électron par un niveau d'énergie dans le gap, c'est la recombinaison non-radiative. Le deuxième terme est la

recombinaisonbimoléculaire: c'est larecombinaisonradiativespontanée d'unélectron avec un

trou.Viennentensuite,l'interactionavec lechampintra-cavité,lepompageexterneetunterme

de diusion; l'équation des porteurs s'écrit:

∂N

∂t

=

−

N

τ

r

− BN

2

₊

ε

0

2~

Im (χ

nl

)

|E

F

|

2

+

_|E

B

|

2

+

α

p

I

p

~

_ω

_p

+ D

5

2

⊥

N

(2.3)

où

D

est lecoecientde diusion,

B

est lecoecientde recombinaisonbimoléculaire,

τ

r

le temps de recombinaison non-radiative,

α

p

est l'absorption eective à la longueur d'ondede la pompe (on utilise un pompage optique),

I

p

est l'intensité de la pompe,

~

ω

p

est l'énergie d'un photon de pompe.

Leséquations(2.1)et(2.2)pourlechampcoupléesàl'équation(2.3)décriventladynamique

de lacavité etdoivent êtrecomplétées par lesconditions auxlimites.Leshéma de lagure 2.2

présente les diérentschamps pour un modèle de cavité où lesmiroirs plans sont réduitsà de

simples interfaces, où

ε

I

est le champ cohérent incident,

ε

R

est le champ rééchi et

ε

T

est le champ transmis par lacavité de longueur

L

.

Pour plus de simplicité, on considère que la réectivité des miroirs avant et arrière est la

même, égale à

R

et la transmission égale à

T

. Les conditions aux limites de la cavité sont caractérisées par leséquations des champs suivantes

E

F

(x, y, 0, t) = i

√

T ε

I

+

√

RE

B

(x, y, 0, t)

E

B

(x, y, L, t) =

√

R exp



−i

δ

₂

0



E

F

(x, y, L, t)

avec

δ

0

représentant le désaccord àla résonance de cavité du champ excitateur

δ

0

=

2nL (ω

c

− ω

0

)

c

où

ω

c

est lapulsation du mode de cavité le plus proche de

ω

0

. On introduit lechangement de variablesuivantdansleséquationsdechamppours'aranchirdelavariationen

z

du champ [55, 47] :

e

E

F

= exp

 z

2L

(ln (R)

− iδ

0

)



E

F

+

√

T z

2L

ε

I

e

E

B

= exp



−

_2L

z

(ln (R)

_{− iδ}

0

)



E

B

−

√

T z

2L

ε

I

ce qui setraduit pour les équations(2.1) et (2.2)par :

1

2ik

z

5

2

⊥

E

e

F

+

∂ e

E

F

∂z

−

1

2L

(ln (R)

− iδ

0

) e

E

F

−

√

T

2L



1

₋

z

2L

(ln (R)

− iδ

0

)



ε

I

+

n

c

∂ e

E

F

∂t

= i

ω

0

Γ

2nc

χ

nl

 eE

F

−

√

T z

2L

ε

I



1

2ik

z

5

2

⊥

E

e

B

−

∂ e

E

B

∂z

−

1

2L

(ln (R)

− iδ

0

) e

E

B

−

√

T

2L



1 +

z

2L

(ln (R)

− iδ

0

)



ε

I

+

n

c

∂ e

E

B

∂t

= i

ω

0

Γ

2nc

χ

nl

 eE

B

+

√

T z

2L

ε

I



Dans l'approximationdu champ moyen :

αL

 1

,

T

 1

,

δ

0

 2π

, les champs propagatif et contrapropagatif sont quasi-constants dans la direction longitudinale

z

. Les conditions aux limites imposent aussi

e

E

F

(x, y, 0, t) =

E

e

B

(x, y, 0, t)

e

E

F

(x, y, L, t) =

E

e

B

(x, y, L, t)

On peut alors introduire la grandeur moyenne

F (x, y, t) =

1

L

R

L

0

E

e

F

(x, y, z, t) dz =

1

L

R

L

0

E

e

B

(x, y, z, t) dz

avec aupremier ordre

ln (R) = ln (1

− T ) ≈ −T

n

c

∂F

∂t

=

−

1

2L

(T + iδ

0

) F +

√

T

2L

ε

I

+ i

ω

0

Γ

2nc

χ

nl

F

−

1

2ik

z

5

2

⊥

F

ce qui donne

∂F

∂t

=

cT

2nL



−



1 + i

δ

0

T



F +

√

1

T

ε

I

+ i

ω

0

ΓL

ncT

χ

nl

F +

iL

T k

z

5

2

⊥

F



On introduit

θ =

δ

0

T

le désaccord entre le champ incident et la résonance de cavité,

C =

AL

A

N

0

2T

leparamètre de bistabilitéquiest aussi lerapportentre les pertes par absorption etles

pertes par transmissionlors d'un aller-retourdans la cavité,

A

legain diérentieldu matériau actif et

N

0

ladensité de porteurs à latransparence, et lalargeur àmi-hauteur de la résonance de cavité :

κ =

cT

2nL

où

κ

−1

est le temps de vie des photons dans la cavité et

a =

c

2nκk

z

le

coecient de diraction. On eectue lesnormalisationssuivantes :

et= κt

,

x =

√

ae

x

,

y =

√

ae

y

,

E =

q

ε

0

ncτ

r

A

~

_ω

0

F

,

E

I

=

q

ε

0

ncτ

r

A

T ~ω

0

ε

I

.

L'équation du champ normalisée devient :

∂E

∂e

t

=

− (1 + iθ) E + E

I

+ 2Ci

ω

0

ncAN

0

Pourl'équationd'évolutiondes porteurs(2.3),onutiliselesexpressions suivantes:

N =

e

N

N

0

,

β = BN

0

τ

r

,

d =

Dτ

r

a

,

γ =

1

κτ

r

,

Λ =

α

p

I

p

τ

r

~

_ω

_p

_N

0

.

L'équation d'évolution des porteurs normalisée devient :

∂ e

N

∂e

t

=

−γ



e

N + β e

N

2

−

ω

0

ncAN

0

Im (χ

nl

)

|E|

2

− Λ − d 5

2

_⊥

N

e



(2.5)

2.2.2 Les équations en régime d'amplication

On s'intéresse aucas actif,c'est-à-dire quele pompagedu milieu non-linéaireest tel quela

densité de porteurs intra-cavité est supérieure à lavaleur à latransparence, i.e

N > 1

e

.

Leséquationsduchamp(2.4)etdesporteurs(2.5)danslacaviténécessitentunmodèlepour

l'expressiondelasusceptibiliténon-linéairedécrivantl'interactionlumière-matière.Aproximité

de la transparence, la susceptibilitépeut être linéariséede lafaçonsuivante [8,60]:

χ

nl

=

−

nc

ω

0

(α + i) A (N

− N

0

)

où

α

est lefacteur de Henry[31, 23]déni comme

α =

∂Re(χ)

∂N

/

∂Im(χ)

∂N

.Le temps normalisé

et

seranoté

t

demêmeque

N

e

seranoté

N

pourplusdesimplicitédanslasuitedesexpressions.En remplaçant

χ

nl

par son expression dans les équations (2.4) et (2.5), on obtient les expressions suivantes pour leséquations d'évolution du champ intra-cavitéet des porteurs :

∂E

∂t

=

− (1 + iθ) E + E

I

− 2Ci (α + i) (N − 1) E + i 5

2

⊥

E

(2.6)

∂N

∂t

=

−γ N + βN

2

_{+ (N}

_{− 1) |E|}

2

− Λ − d 5

2

⊥

N

(2.7)

Dans la suite du chapitre, on négligera le terme de recombinaison bimoléculaire qui ne

change pas beaucoup la physique, son inuence se faisant sentir essentiellement sur le seuil

laser. On néglige aussi la diusion des porteurs car c'est un phénomène transverse minoritaire

2.2.3 Régime actif amplié sans injection

Dans un premiertemps,nousallons décrirelesystème sans injectionextérieure, c'estlecas

qui permet de caractériser lelaser constitué par lemicrorésonateur.

L'étude des équations du système s'eectue en régime stationnaire et dans le cas où il n'y

a pas d'injection dans lesystème, i.e

E

I

= 0

. Leséquations génériques (2.6) et(2.7) s'écrivent alors :

0 =

_{− (1 + iθ) E − 2Ci (α + i) (N − 1) E}

0 =

_{−γ N + (N − 1) |E|}

2

_{− Λ}

d'où

N

_{− 1 =}

Λ

− 1

1 +

_|E|

2

Pour déterminer leseuil laser

Λ

seuil

,il faut connecter lesdeux solutionscorrespondant aux régimes de fonctionnement en dessous et au-dessus du seuil. En-dessous du seuil laser

E = 0

, etdonc

N = Λ

Au-dessus du seuil laser

E

6= 0

etdonc

0 =

− (1 + iθ) − 2Ci (α + i) (N − 1)

Au seuil laser, on analement

N

seuil

=

Λ

seuil

0

= 2CαN

seuil

− 2Cα + θ

0

=

1 + 2C

_{− 2CN}

seuil

θ

=

−α

Λ

seuil

= 1 +

_2C

1

Le désaccorddu champ laserpar rapport àlarésonance de cavitéest xée par lefacteurde

Henry.

De plus, sous le seuil laser, on a toujours

Λ = N

ce qui veut dire qu'à la transparence on a aussi

Λ = N = 1

. Le régime actif amplié est déni en terme de pompage de la manière suivante:

1 < Λ < 1 +

1

2C

(2.8)

Le domaine d'existence du régime actif est donc d'autant plus étroit que

C

est grand. Ce paramètre est reliéaux grandeurs physiques de lacavité commeonl'avuau paragraphe2.2.1.

2.2.4 Intensité rééchie

On peut aussi calculer l'intensité rééchie par le système puisque cela correspond à une

grandeur mesurable expérimentalement.

E

R

= E

I

− σE

avec

σ =

T

F

T

,

T =

T

F

+T

B

2

,

T

F

et

T

B

les transmissions des miroirs avant et arrière res-pectivement. On utilisera les expressions suivantes pour les champs intra-cavité et injecté

E =

|E| exp (iϕ)

et

E

I

=

|E

I

| exp (iϕ

I

)

.

|E

R

|

2

=

||E

I

| exp (iϕ

I

)

− σ |E| exp (iϕ)|

2

Les équations pour le champ intra-cavité (2.6) et les porteurs (2.7) développées au

|E

R

|

2

=

|E

I

|

2

+

|E|

2



σ

2

+ 2σ



2C

Λ

− 1

1 +

_|E|

2

− 1



2.2.5 Domaine de bistabilité

On se place dans le régime stationnaire et on étudie la réponse du système décrit par les

équationsd'évolution(2.6)pourlechampet(2.7)pourlesporteursdanslecasd'unéclairement

par un champ externe quiinteragitdans la cavité.

avec

E =

|E| exp (iϕ)

et

E

I

=

|E

I

| exp (iϕ

I

)

ona :

˙

N

γ

=

−N + Λ − (N − 1) |E|

2

˙

|E| exp (iϕ) + i ˙ϕ |E| exp (iϕ) = − (1 + iθ) |E| exp (iϕ) + |E

I

| exp (iϕ

I

)

−2iC (α + i) (N − 1) |E| exp (iϕ)

En régime stationnaire,

N = 0

˙

,

˙

|E| = 0

,

ϕ = 0

˙

et donc en séparant partie réelle et partie imaginaireetaprès calculs, onobtient:

|E

I

|

2

=

|E|

2

"

1

_{− 2C}

Λ

− 1

1 +

|E|

2



2

+



θ + 2Cα

Λ

− 1

1 +

|E|

2



2

#

Sur la courbe présentée en gure 2.3 on présente l'intensité du champ intra-cavité

|E|

2

en

fonctiondel'intensitéduchampinjecté

|E

I

|

2

.Elleprésenteuneréponsebistablepourlesvaleurs

de paramètres

C = 0, 45

,

θ =

−1

,

α = 5

,

Λ = 1, 9

soit

90

% du seuil laser. Les valeurs choisies icisont arbitraires mais réalistes.

Il y abistabilitéquand pourune mêmevaleurde champ injecté

|E

I

|

onadeux valeurs pos-sibles du champintra-cavité

|E|

pourlesquelles lasolutionest stable.Cette situations'observe quandlacaractéristique

|E|

2

= f

_|E

I

|

2

possèdeunerégiondepentenégative.Laconditionde

bistabilités'écritalors

∂

_|E

I

|

2

∂

_|E|

2

< 0

.On peutainsi trouverlesrégionsde l'espace

Λ, α, C,

|E|

2

, θ

qui répondent à ce critère. On présente en gure 2.4 deux études de ces domaines dans les

espaces

|E|

2

Fig.2.3Intensitédu champintra-cavité

|E|

2

enrégimestationnaireenfonction de l'intensité

du champ injecté

|E

I

|

2

, la courbe présente une région bistable.

C = 0, 45

,

θ =

−1

,

α = 5

,

Λ = 1, 9

l'espace

|E|

2

, θ

quand ondiminue le pompagede 95% du seuil laser à 83%. En (b), on

pré-sente la zone de bistabilitépour diérente valeurs de l'intensité du champ intra-cavité. Cette

grandeurapparaîtcommeabscissesur laguredegauche etprésente ledéplacementde lazone

bistabilitédans l'espace

(Λ, θ)

. Ilapparaîtclairement qu'un pompagesupérieurà 80% du seuil laserest nécessaireàl'établissementde labistabilitéetplusonserapprochedu seuillaser, plus

les conditionssont favorables.

2.2.6 L'instabilité de modulation

Un système physique étant soumis à du bruit, on veut étudier la stabilité des solutions

homogènes du système en présence d'une perturbationspatiale du champ et des porteurs.Les

équations génériques (2.6) et (2.7) s'écrivent alors :

∂E

∂t

=

− (1 + iθ) E + E

I

− 2Ci (α + i) (N − 1) E + i 5

2

⊥

E

(2.9)

∂N

∂t

=

−γ N + (N − 1) |E|

2

− Λ

(2.10)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

È

EÈ

2

-

₄

-

₃

-

₂

-

₁

0

1

Θ

0.5

1

1.5

2

2.5

3

È

EÈ

2

-

₄

-

₃

-

₂

-

₁

0

1

Θ

(a)

0.5

1

1.5

2

L

-

₄

-

₃

-

₂

-

₁

0

1

Θ

0.5

1

1.5

2

L

-

₄

-

₃

-

₂

-

₁

0

1

Θ

(b)

Fig. 2.4  Domaines de bistabilité pour les paramètres

C = 0, 45

et

α = 5

. (a) Dans l'espace

|E|

2

, θ

pour

Λ = 1, 75; 1, 83; 1, 92; 2

du rouge vers le vert clair respectivement. (b) Dans l'espace

(Λ, θ)

pour

|E|

2

= 0, 5; 1; 1, 5; 2

du rougevers le vert clair respectivement

N

s

=

Λ +

|E|

2

1 +

_|E|

2

La solutionhomogène est décrite par les trois paramètres indépendants

E

,

E

∗

et

N

. Pour étudier la stabilité de la solution homogène, il convient de calculer la réponse du système à

de faibles perturbations spatiales autour de l'état stationnaire. On fait l'hypothèse que ces

perturbations s'ajoutent auxsolutions homogènes ets'écrivent sous la forme

E

= E

s

+ δE

0

exp (λt + i (k

x

x + k

y

y))

E

∗

_{= E}

∗

s

+ δE

0

∗

exp (λt + i (k

x

x + k

y

y))

N

= N

s

+ δN

0

exp (λt + i (k

x

x + k

y

y))

où

λ

est l'exposant de Lyapounov qui décrit les modalités de retour à l'équilibre de la solution perturbée. Le vecteur

−

→

k

_⊥

(k

x

, k

y

)

est le vecteur d'onde de la modulation transverse

de la perturbation, son spectre dénit les fréquences spatiales des solutions susceptibles de se

développer.

En remplaçant dans les équations (2.9) et (2.10) le champ et la densité de porteurs par

les expressions ci-dessus et en ne gardant que les termes au premier ordre en amplitude de

AX = λX

avec

X =













δE

0

δE

∗

0

δN

0













et

A =













a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33













où

a

11

=

− (1 + iθ + ik

2

+ 2iC (α + i) (N

s

− 1))

a

12

=

0

a

13

=

−2iC (α + i) E

s

a

21

=

0

a

22

=

− (1 − iθ − ik

2

− 2iC (α − i) (N

s

− 1))

a

23

=

2iC (α

− i) E

s

∗

a

31

=

−γ (N

s

− 1) E

s

∗

a

32

=

−γ (N

s

− 1) E

s

a

33

=

−γ 1 + |E

s

|

2

avec

k

2

_{= k}

2

x

+ k

y

2

Pour trouver la solution

∀ (δE

0

, δE

∗

0

, δN)

, le problème se réduit donc à trouver les valeurs

propres de lamatrice

A

. Lepolynômecaractéristique de la matrices'écrit :

Ce polynôme du troisième degré a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées

outroisracinesréelles.Lasolutionhomogènedu champdevientinstablepour uneperturbation

spatiale si l'une des racines de l'équation (2.11) a une partie réelle positive pour une valeur

positive de

k

2

. Dans le cas où deux racines sont complexes, elles peuvent donner naissance à

une instabilitétemporelle de Hopf, mais des arguments sur le temps de vie des porteurs et le

pompage sous le seuil laser montrent que la partie réelle des racines complexes est toujours

négative. Quand les valeurs propres, ou racines du polynôme caractéristique, sont réelles et

positives, il se développe une instabilité associée de modulation dite de Turing et le système

diverge vers un état ne présentant plus d'homogénéité spatiale de la réponse optique. Partant

d'une situation où le système présente une réponse stable et homogène du champ, quand on

varie lesparamètresd'excitation (quece soitlapompe,ledésaccordde l'injectionoul'intensité

du champ injecté), cette solution peut devenir instable (

λ > 0

) ce qui correspond au passage d'une valeur propre par zéro, i.e

λ = 0

. Ceci se traduit dans l'équation (2.11) par

a

0

= 0

. Le critère de Routh-Hurwitz dénitle domaineinstable quand

a

0

< 0

.

Les paramètres du système donnent à

a

0

l'expression :

a

0

=

γ

hh

(1

_{− 2C (N}

s

− 1))

2

+ (θ + 2Cα (N

s

− 1) + k

2

)

2

i

1 +

_|E

s

|

2

−4C |E

s

|

2

(N

s

− 1) [(θ + 2Cα (N

s

− 1) + k

2

) α

− (1 − 2C (N

s

− 1))]



Unemanièresimpledereprésenter l'extensiondu domained'instabilitéest de représenter la

régionduplan

(

|E

s

| , k

2

₎

telleque

a

0

< 0

commeprésentésurlagure2.5a,régiondel'instabilité de Turing. Cette région, quand elle coupe l'axe

k

2

_{= 0}

correspond à la pente négative dans la

courbede laréponsestationnairesurlagure2.5b,quiest doncinstablecommeattendufaceà

uneperturbationenondeplane.Cependant,desportionsdelacourbedelaréponsestationnaire

de pente positive peuvent aussi être instables s'il existe un vecteur

k

tel que

a

0

< 0

. C'est ce que montre la région de lagure 2.5b pour

1, 6 <

|E

s

|

2

< 2, 1

où il existe un vecteur

k

positif

tel

a

0

< 0

.

Une manière plus naturelle de représenter le domaine d'instabilité de modulation est de le

Fig.2.5(a) Extension du domainedel'instabilité de Turing.(b)Etat stationnairecorr

espon-dant.

C = 0, 45

,

θ =

−1

,

α = 5

,

Λ = 1, 9

Fig.2.6  La région de l'espace où labistabilité est présente est représentée par larégion rouge

et la courbe en noire encadre le domaine de Turing ,où

a

0

< 0

.

C = 0, 45

,

α = 5

,

θ =

−1

l'expérience, cettereprésentation est présentée en gure2.6.

Les études du domaine de bistabilité ou de l'instabilitéde modulation sont faites pour un

pompage inférieur au seuil laser et dans le régime d'amplication. Le régime passif (régime

d'absorption) a été étudié dans des travaux théoriques précédents [83, 84] et expérimentaux

[40, 27] tandis qu'au-delà du seuil laser, les microcavités injectées développent une instabilité

de Hopfdontl'interaction avec Turingnécessite un développementqui n'enest qu'àses débuts

Fig.2.7Réponse duchampintra-cavité enfonction du champincident. Bistabilité,instabilité

de modulation et nouveaux états d'après[15] (SS : solitons de cavité). La région encadrée par

des èches indique la région de coexistence des solitons de cavité avec l'étathomogène stable.

2.2.7 De nouveaux états

Quand la réponse homogène est déstabilisée, une bifurcation apparaîtdonnant naissance à

de nouveaux étatsstationnaires inhomogènes.L'objet icin'est pas de décrirepar leséquations

ces nouveaux états mais de montrer les solutionstrouvées par ailleurs.

Ces états inhomogènesprésentent une périodicitédans le cas des bandes, des hexagones ou

des motifs en nids d'abeilles mais peuvent être non périodiques comme les solitons de cavité.

Ces nouvelles branches d'états sont montrées en gure 2.7. Le système présente alorsen sortie

les prolsd'intensité présentés en gure 2.8et2.9.

Lesdiérentsmotifspeuvent êtreéventuellementbistablesentre eux,ce quin'estpas

repré-sentésurleschémaetne faitpasl'objetde l'étudeici.Lessolitonsdecavitéprésentés en gure

2.9 sont indépendants les uns des autres et bistables par rapportà une solution homogène de

faibleintensité,pourdesvaleursduchampinjecté

E

I

comprisesentre

0, 7

et

0, 8

commeindiqué sur la gure 2.7par les èches.

Lessolitonsde cavitéontdonccommepremièrepropriété intéressanted'êtrebistablesentre

un état homogène et l'état localisé. Ils ont aussi la propriété intéressante d'être sensibles au

Fig. 2.8  Motifs périodiques constitués de bandes, d'hexagones ou de nids d'abeilles

Echantillons et dispositifs expérimentaux

3.1 Le principe expérimental

Les échantillons utilisés sont des lasers semiconducteurs à émission verticale (VCSEL) que

l'on pompe optiquement par l'intermédiaire d'unediode laser brée.On attendd'un pompage

optique un meilleurrendement qu'avec un pompageélectrique ainsi qu'une meilleure

homogé-néité spatiale.

Eneet, en pompageoptique iln'yapas d'eet d'épaulementde ladistributionde courant

comme pour des dispositifs comportant une couche de connement. La gure 3.1 montre la

distribution de courant en rouge et la densité de porteurs correspondante dans la zone active

d'unVCSELenpompageélectriqueàémissionparledessous.Cettestructureestdéjàoptimisée

par rapport à un VCSEL classique mais il reste une trace dans la densité de porteurs de la

Fig.3.1Agauche: distributiondecourantenrougeetdistributiondeporteurscorrespondante

dansun VCSELà émissionpar ledessous(bottomemitter).A droite :distribution duchamp.

surintensitédecourantlocaliséeauxbords.Enpompageoptiqueiln'yapasnonplusdefuitesde

courantdans lesmiroirscariln'y aaucuneabsorption de lapompeoptiquedanslesmiroirsde

Bragg:seule lazoneactivedu VCSELabsorbelapompe.Ons'attend aussi àun échauement

moindre de la structure car en l'absence de courants électriques on n'a pas non plus d'eet

Joule. Le pompage crée des porteurs dans la bande de conduction, cette densité de porteurs

égale ou supérieure à la transparence est responsable en retour d'une non-linéarité dispersive

focalisante. Le champ optique injecté résonant avec la cavité interagitavec cette non-linéarité

etleVCSELréémetun champstructuréspatialementquandleseuild'instabilitéde modulation

est atteint.On observe dans le champ rééchi outransmisles motifsou états localisés créés.

L'expériencecomprendtroisfaisceauxoptiquesdiérents,lapompe,lefaisceaud'injectionet

un faisceaud'écriture localisé ettemporaire.Ces faisceaux sont incidentsperpendiculairement

à la structure et l'opacitédu substrat implique quel'on étudie lechamp émis par lacavité en

réection. Cette particularité du pompage optique nécessite la maîtrise de la colinéarité des

faisceaux optiques. Il fautpouvoir àla fois les faire converger ensemblesur l'échantillon etles

discriminer en sortie. Deplus, la longueur d'ondedu faisceauinjecté doit être réglablesur une

large bande spectrale.

3.2 L'expérience

3.2.1 Les sources

Les sources laser dont nous disposons sont aunombre de trois et remplissentdes fonctions

diérentes. En eet, l'expérience nécessite au moins deux faisceaux de longueurs d'onde

dis-tinctes,celledelapompeoptiqueetcelledufaisceauinjecté.Lapompeest unfaisceauà

800nm

continu ou découpé temporellement par son électronique de commande fourni par une diode

de puissance. Le faisceau d'injection est accordable en longueur d'onde autour de la longueur

d'onde de résonance de la cavité, c'est-à-dire

880nm

et est fourni par un laser titane-saphir (Ti :Sa).