STAGE DE MASTER 2 Décohérence et Intrication quantique

STAGE DE MASTER 2

Décohérence et Intrication quantique

Sylvain Vogelsberger

sous la direction de Dominique Spehner de l’Institut Fourier, Grenoble

Master 2 de Physique ENS Lyon Avril/Juillet 2008

Résumé

Table des matières

1 Motivations 1

2 Un peu d’information quantique pour se motiver ! 2

3 L’intrication 5

3.1 Définitions et premiers Critères . . . 5

3.2 Mesure d’Intrication de Wootters . . . 7

3.3 Intrication pour les systèmes à variables continues . . . 9

3.4 Comment fabriquer des états intriqués ? . . . 13

3.4.1 Atome à deux niveaux dans une cavité. Modèle de Jaynes- Cummings . . . 13

3.4.2 Les pistes expérimentales pour fabriquer un ordinateur quantique . . . 14

4 Décohérence 16 4.1 Formalisme des Systèmes Ouverts : . . . 16

4.2 Formalisme de projection et approximation de l’onde tournante : 20 4.3 Retour sur l’atome à deux niveaux et formule de Wigner-Weisskopf 22 4.4 Résultats rigolos sur la décohérence . . . 25

5 Désintrication due à la décohérence 27 5.1 Application du critère d’intrication pour les variables continues . 27 5.2 Désintrication de deux qubits due au couplage à leurs environne- ments . . . 29

6 Conclusion 33

1 Motivations

On entend, de nos jours, de plus en plus parler des ordinateurs quantiques.

Vous savez, ces machines qui fonctionneraient non plus sur la base du bit, valant 0 ou 1 mais sur le qubit qui prend ses valeurs sur la sphère de Bloch. L’infor- matique quantique est très prometteuse. Les informaticiens ont déjà conçu des algorithmes fonctionnant sur ce système. Ils ont, par exemple, découvert une façon de factoriser les grands nombres entiers en facteurs premiers en un temps polynomial (algorithme de Shor 1994). Bref, ils ont théoriquement cassés le fa- meux code RSA, à la base de la sécurité bancaire depuis plus de vingt ans ! Plus généralement, ils ont transformé de nombreux problèmes NP en problème P. Il manque cependant un ingrédient essentiel à leur recette : l’ordinateur quantique.

En vérité, depuis quelques années, les gens ont réussi à construire de telles ma- chines mais ne fonctionnant qu’avec un nombre très limité de qubits : environ une dizaine. Ceci permet uniquement de faire des calculs très modestes, comme factoriser 15 !

Il parait donc très intéréssant de comprendre les mécanismes physiques qui contraignent la manipulation de plus de qubits simultanément. C’est tout l’objet de la thèse qui va venir. Quant au stage, il nous a permis, de nous familiariser avec ces notions :

2 Un peu d’information quantique pour se moti- ver !

Dans un ordinateur quantique, le support physique traitant l’information obéit aux lois de la Mécanique Quantique ! Les bits sont remplacés par des qubits. Mais qu’est-ce que cela veut finalement dire ? Et puis c’est quoi un qubit ?

Définition 2.1. Un qubit est l’état d’un système quantique à 2 niveaux. On peut par exemple réaliser un qubit en considérant les 2 états de polarisation d’un photon ou les 2 états de spin d’un électron : haut et bas.

On reviendra aux réalisations expérimentales plus tard. Concentrons nous pour l’instant sur le principe du calcul quantique. Un qubit peut donc se trouver dans une superposition cohérente de deux états de référence notés|0>et|1>.

Un registre, constitué d’un ensemble de qubits, peut également se trouver dans une superposition cohérente de différents états, donc prendre diverses valeurs à la fois ! Le calcul quantique consiste à manipuler de tels registres. On peut y explorer simultanément des situations correspondant aux différentes valeurs du registre. En particulier, on verra par la suite que les états de qubits intriqués contiennent le maximum d’informations.

Un exemple pour comprendre quelque chose :

Si on dispose de N qubits, on peut très bien, comme avec les bits, représen- ter tout nombre entier inférieur à 2^N. Il suffit d’écrire ce nombre en base 2.

L’avantage d’un état qubit par rapport à un état bit classique est qu’il peut représenter tout une floppée de nombres à la fois. Par exemple l’état EPR ¹ :

|01>+|10>qu’on peut fabriquer grâce à 2 qubits permet de représenter 1 et 2 en même temps ! Encore mieux avec 10 qubits, l’état :

√1 10

£|0000000001>+|0000000010>+|0000000100>+|0000001000>+

|0000010000>+|0000100000>+|0001000000>+|0010000000>+

|0100000000>+|1000000000>¤

est support des nombres 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 et 512 ! Pour factoriser un nombre entier inférieur à 1024, mettons 538, on peut donc imaginer multiplier des états intriqués contenant un grand nombre d’entiers. On diminue ainsi d’au- tant le temps de factorisation que l’on considère de gros états non séparables.

L’inconvénient est qu’on récupère un résultat probabiliste (c’est une mesure sur le système quantique).

Cependant le problème principal ne se situe pas à ce niveau. En effet dans beaucoup de domaines on se satisfait très bien de réponses probabilistes :

– Le test de Miller-Rabin pour les nombres premiers – Le calcul Monte-Carlo.

On a vu que la puisssance du calcul quantique était basé sur la manipulation d’états intriqués. Ceci impose de préserver la cohérence durant toute la durée du calcul. Or les qubits sont des objets physiques et non des êtres abstraits. En particulier, ils vivent dans un environnement donné. Ils sont donc couplés avec ce dernier. Ce phénomène induit de la décohérence, ainsi qu’une perte d’intrication

1Pour Einstein Podolsky Rosen qui sont finalement à la base de toute cette théorie.

en général, rendant le calcul quantique faux. Tout le jeu consiste à comprendre comment ces phénomènes apparaissent et à quelle vitesse ?

Notons également que le même problème intervient pour la téléportation quantique. Comment cela marche t-il ?

Fig.1 – Principe de la téléportation quantique

Les fameux Alice et Bob veulent téléporter un état quantique (a). On sup- pose qu’ils disposent d’une paire intriquée comme dans l’exemple ci-dessus. Alice mesure la polarisation des deux particules (a) et (b). Mais (b) et (c) étant intri- qués, cette mesure a un effet immédiat sur l’état de la particule (c) de Bob. On voit donc que l’état final de (c) (celui mesuré par Bob) dépend de l’état initial de (a) et du résultat des mesures d’Alice. Elle transmet alorsclassiquement ces données à Bob, qui peut reconstituer l’état initial de (a) par une transformation unitaire (qui dépend du résultat transmis par Alice) sur l’état de (c).

Ce n’est pas encore Star-Trek car il n’y a pas de téléportation de matière ! Comme a répondu Asher Peres, un des pères de la téléportation quantique, récemment disparu, à un journaliste qui lui demandait si l’on peut téléporter l’esprit en même temps que le corps : "Non, on ne peut téléporter que l’esprit !"

Ajoutons que la téléportation quantique ne viole en rien la relativité res- treinte et le principe de causalité. En effet, dans cette affaire, il faut bien voir, qu’à un moment donné on transmet de l’information classiquement : c’est quand Alice envoie à Bob le résultat de sa mesure. Mais alors, à quoi ça sert la télépor- tation quantique ? Une des applications principale est la cryptographie quan- tique. Imaginons qu’Alice veut transmettre à Bob un message. Pour ce faire, on transforme ce message en un état porté par la particule (a). Bob reconstitue ce message grâce au résultat de la mesure d’Alice et à la mesure qu’il fait sur (c)

comme ci-dessus. Un espion est nécessairement repéré par cette procédure. En effet, si celui-ci mesure l’état d’une particule, alors par le principe de réduction du paquet d’onde, cet état va se voir modifier. Ainsi, Alice et Bob sauront que quelqu’un a tenté d’intercepter leur message.

La téléportation sert également dans les codes correcteurs d’erreurs, sans lesquels on ne peut faire de calculs quantiques en pratiques.

Ceci n’est pas du tout de la science-fiction. Des appareils, fonctionnant sur ce principe, sont déjà en vente dans le commerce. On peut ainsi fixer l’heure de l’apéro à son voisin de façon totalement sécurisée ! Plus sérieusement, en juin 2004, une équipe de l’Université de Genève a réussi à téléporter l’état d’un photon sous le lac Léman (environ 10 kms). Très récemment, une équipe autrichienne est parvenu à transmettre l’état d’un atome sur plusieurs centaines de mètres.

3 L’intrication

Cette première partie nous a permis de mettre en exergue le point crucial de toutes ces fantastiques applications : c’est l’intrication qui fait tout marcher.

En 1935, Erwin Schrödinger disait déjà qu’ " elle est la marque de la Mécanique Quantique "². Il nous paraît donc indispensable d’arriver à cerner cette notion :

3.1 Définitions et premiers Critères

On considère deux systèmes A et B. L’espace Physique total de Hilbert à considérer est :

H=HA⊗ HB (1)

Pour visualiser les choses, on pourra parfois se dire que A et B sont deux qubits.

Dans ce cas : HA ' C² ' HB et une base du système total est alors donnée par :{|11>,|10>,|01>,|00>}

Définition 3.1. Un état pur|Ψ>estséparable (oufactorisable) ssi

|Ψ>=|ψ >A⊗ |φ >B. Il est ditintriqué dans le cas contraire.

Attention :

L’état | 00 > + | 01 > est séparable. En effet on peut le réécrire sous la forme : | 0 >A ⊗(| 0 > + | 1 >)B. Mais on ne peut factoriser l’état EPR :

|01>+|10>.

Pour les états purs, le théorème de décomposition de Schmidt nous permet de distinguer les états intriqués :

Théorème 3.1 (décomposition de Schmidt). Pour tout état pur

| Ψ>∈ HA⊗ HB, il existe deux bases orthonormales deHA :{|χ^A_j >} et de HB :{|χ^B_j >}et des réelsdj >0 tels que :

|Ψ>=X

j

dj |χ^A_j >⊗ |χ^B_j > (2)

Les bases en question sont les bases de Schmidt et les coefficients réels positifs dj sont les coefficients de Schmidt.

Démonstration. Dans la base canonique, on a|Ψ>=P

i,jmij |φ^A_i >⊗ |φ^B_j >

. On considère alors M^†M (de tailledim(HA⊗ HB)×dim(HA⊗ HB)). C’est une matrice hermitienne semi-définie positive. D’après le théorème spectral, il existe V unitaire telle que :

V^†M^†M V = µD 0

0 0

¶

(3) oùD (de taille d×d) est diagonale définie positive ie tous ses coefficients sont réels strictement positifs. En réécrivant, on a :

µV1^† V2^†

¶ M^†M¡

V1 V2¢

=

µV1^†M^†M V1 V1^†M^†M V2 V2^†M^†M V1 V2^†M^†M V2

¶

= µD 0

0 0

¶ (4)

2E.Schrödinger, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31, 555 (1935)

OùV1est de tailledim(HA⊗HB)×detV2de tailledim(HA⊗HB)×(dim(HA⊗ HB)−d).

On aV1^†M^†M V1 = D et M V2 = 0. On pose alors U1 = D^−1/2V1^†M^† de taille d×dim(HA⊗ HB) . U1 ne risque pas d’être unitaire car elle n’est a priori pas une matrice carrée. On la complète en formant la matrice U = µU1

U2

¶

. On choisit évidemmentU2de taille (dim(HA⊗ HB)−d)×dim(HA⊗ HB). Puis on lui demande de vérifier U2U1^† = 0. Ou plus géométriquement on demande que U soit une matrice unitaire. C’est possible car on a déjà : U1U1^†=D^−1/2V1^†M^†M V1D^−1/2=D^−1/2DD^−1/2=Id×d.

Alors :

µU1 U2

¶ M¡

V1 V2¢

=

µD^1/2 0

0 0

¶

(5) La seule égalité non triviale est : U2M V1 = 0. Mais M V1 = U1^†D^1/2, donc U2M V1 =U2U1^†D^1/2. C’est bien une matrice nulle car on a demandéU2U1^†= 0.

Il suffit alors de considérer les bases :{|χ^A_j >=P

uij |φ^A_i >}et {|χ^B_j >=

Pvjk|φ^B_k >}pour avoir le résultat voulu.

Ceci permet d’énoncer un critère de séparabilité pour les états purs : Proposition 3.2(Critère d’intrication de Schmidt). Avec les mêmes notations que ci-dessus, on définitle nombre de Schmidt comme le nombre dedj non nuls dans la décomposition de Schmidt.

Alors|Ψ>est intriqué ssi son nombre de Schmidt est strictement supérieur à 1.

De plus cet état est ditmaximalement intriquéssi ses coefficients de Schmidt non nuls sont tous égaux. C’est le cas d’une paire EPR par exemple.

En pratique , on considère plutôt des états mixtes que l’on représente par des matrices densités hermitiennes et de trace un. Pour le système à deux qubits, la matrice densité sera d’ordre4.

Définition 3.2. Un état mixteρestséparablessi il existe :

| Ψ1 >, ...,| Ψn > tels que | Ψk >=| ψk >A ⊗ |φk >B et p1, ..., pn des réels positifs tels quep1+...+pn= 1; tel que :

ρ=P_n

k=1pk |Ψk><Ψk |.

Il est dit intriquédans le cas contraire.

Attention :

Le théorème spectral nous assure dans tous les cas de la décomposition : ρ= P_n

k=1pk | Ψk >< Ψk |. Mais les| Ψk >ne sont pas forcément factorisable ie

|Ψk >=|ψk>A⊗ |φk>B.

3.2 Mesure d’Intrication de Wootters

En fait, on peut caractériser plus finement la notion d’intrication. On se restreint ici au cas où A et B sont deux qubits³. On commence par considérer toutes les décompositions possibles en états purs de la matrice densité :

ρ= Xn

k=1

pk|Ψk ><Ψk| (6)

Puis pour chaque état pur, on définit :

Définition 3.3. L’intrication de formation E est l’entropie de chacun des deux sous-systèmes A et B :

E(Ψ) =−T r(ρAlogρA) =−T r(ρBlogρB) =−X

i

d²_ilog(d²_i) (7) oùρ_A est la trace partielle de|Ψ><Ψ|sur le sous-système B (idem pourρ_B) et les di sont les coefficients de Schmidt. De plus le logarithme considéré est le logarithme en base deux.⁴

Démonstration :Cette définition a bien un sens. En effet d’après le théorème de décomposition de Schmidt :

|Ψ><Ψ|=X

i,j

didj|χ^A_j >|χ^B_j >< χ^A_i |< χ^B_i | (8)

De làE(Ψ) =−P

id²_ilog(d²_i)qui ne dépend pas de la définition choisie¤ Essayons d’interpréter et de donner du sens physique à cette définition. Déjà elle est cohérente avec ce qui précède. Pour un état séparable, on souhaiterait obtenir une intrication nulle ! C’est le cas ! En effet, si on décompose un tel état par le théorème de Schmidt, on a un seul coefficient de Schmidt non nul qui vaut nécessairement1 par normalisation. La formule donnée dans la définition nous assure alors queE=−1×log(1) = 0.

Quant à un état maximalement intriqué, on voudrait que son intrication vaille un ! C’est encore le cas ! En effet un tel état à tous ses coefficients de Schmidt égaux. Mais par l’équation de normalisation, on a :d²₁+d²₂= 1, doncd²_i = 1/2.

Calculons alors l’intrication : E = −P

id²_ilog(d²_i) = −2×1/2×log(1/2) = log(2) = 1car le logarithme est en base 2 !

De plus, dans la définition ci-dessus, on reconnaitla formule de l’entropie d’information de Shannon. Ceci confirme le fait suivant : plus les états sont intriqués, plus ils transportent d’informations. Ce sont donc ces états qui seront utiles pour la cryptographie quantique et l’informatique quantique comme nous l’avions annoncé au début de ce rapport.

Pour un état mixte, on définit :

3La généralisation est relativement technique.

4qu’on écritlogpour alléger l’écriture.

Définition 3.4. L’intrication de formation E pour un état mixte ρ est définie comme le minimum sur toutes les décompositions (6) deρ, des moyennes des intrications des états purs des décompositions de ρ:

E(ρ) =M inX

i

piE(Ψi) (9)

Cette définition parait assez naturelle pour généraliser la précédente sur les états purs. Cependant elle semble peu pratique à manipuler car il n’est jamais évident de minimiser une quantité. Heureusement William Wootters a découvert une formule admirablement simple permettant de calculer cette intrication de formation que l’on abrégera par intrication pour la suite (cf référence [5]).

Pour cela il commence par considérer la transformation suivante sur les états purs :

Définition 3.5. Transformation de spin-flip :

|Ψ>7→|Ψ˜ >=σy |Ψ^∗> (10) Cette opération se généralise facilement pour nos deux qubits :

˜

ρ= (σy⊗σy)ρ^∗(σy⊗σy) (11)

C’est un renversement du temps suivi d’un changement de direction.

Muni de cette définition, on peut énoncer :

Théorème 3.3. de Wootters pour les états purs :L’intrication est donnée par :

E(Ψ) =E(C(Ψ)) (12)

où la concurrenceC est définie par :

C(Ψ) =|<Ψ|Ψ˜ >| (13)

et la fonction E par :

E(C) =h(1 +√ 1−C²

2 ) (14)

avec :

h(x) =−xlog(x)−(1−x) log(1−x) (15)

On peut trouver la démonstration de ceci dans le papier cité plus haut. La fonctionE : [0,1]7→[0,1]étant convexe et croissante, on peut voirla concur- rence comme une mesure d’intrication.En particulier, siC= 0, l’état est séparable et siC= 1, l’état est au contraire maximalement intriqué.

Pour le cas mixte, le résultat est encore plus surprenant :

Théorème 3.4. de Wootters pour les états mixtes : L’intrication est donnée comme avant par :

E(ρ) =E(C(ρ)) (16)

et la concurrence C par :

C(ρ) =M ax{0, λ1−λ2−λ3−λ4} (17) où les λi sont les valeurs propres dans l’ordre décroissant de la matrice hermi- tienne suivante :

R:=

q√ ρ˜ρ√

ρ (18)

Certes ce résultat n’est pas très intuitif. Cependant on voit immédiatement toute sa puissance : on n’a plus à minimiser sur toutes les décompositions pour calculer l’intrication. Un calcul des valeurs propres de la matrice R suffit. La démonstration fait l’objet du papier précédemment cité. Cependant Wootters ne parvient pas totalement à interpréter physiquement sa formule de l’intrication de formation donnée par la définition 3.4. Mais très récemment, l’article [18] est venu compléter ce manque. Nous y reviendrons par la suite.

3.3 Intrication pour les systèmes à variables continues

Cette mesure d’intrication s’applique pour deux systèmes à deux niveaux, ie deux qubits. Elle s’applique donc à de très nombreuses situations. Cependant, de nombreuses expérience sont basées sur des systèmes à variable continues.

C’est d’ailleurs le cas de la fameuse "Gedankenexperiment" d’Albert Einstein, Boris Podolsky et Nathan Rosen [1]. Ils considéraient en effet l’intrication au niveau des variables position et impulsion⁵. A présent, de nombreux protocoles pour le calcul quantique sont basés sur des variables continues. En 1998, par exemple, A. Furusawa et son équipe [7] ont fait de la téléportation quantique non conventionnelle, c’est à dire avec des variables continues. En l’occurence, c’était l’amplitude d’un mode du champ électromagnétique. Ainsi il parait important de posséder un critère d’intrication pour ces domaines à variables continues.

C’est ce que propose une équipe d’Innsbruck dans [6].

Voyons plus précisément de quoi il retourne. On commence par considérer les opérateurs de type EPR suivant :

U =aXA+1

aXB (19)

V =aPA−1

aPB (20)

oùa >0et oùX est l’opérateur position.

5Par abus on parle maintenant d’état EPR pour des qubits.

Théorème 3.5. Critère suffisant de non-séparabilité : Pour chaque état séparable ρ, la somme des variances de ces deux opérateurs vérifient :

V ar(U)ρ+V ar(V)ρ≥a²+ 1

a² (21)

Démonstration. On peut directement calculer V ar :=V ar(U)ρ+V ar(V)ρ en utilisant une décomposition deρen états séparables :

ρ=X

i

piρi,A⊗ρi,B (22)

Il vient alors (on oublie l’indiceρ) : V ar=X

i

pi[< U²>i+< V²>i]−< U >²−< V >² (23)

=X

i

pi[a²< X_A² >i+1

a² < X_B² >i+a²< P_A² >i+1

a² < P_B² >i] (24) + 2X

i

pi[< XA>i< XB>i−< PA>i< PB>i] (25)

−< U >²−< V >² (26)

La ligne 25 est justifié par la séparabilité desρ_i qui entraine l’indépendance des variables aléatoiresXA,ietXB,i(idem pour les impulsions). Enfin on peut faire apparaitre les variances associées à ces variables aléatoires :

V ar=X

i

pi[a²V ar(XA,i) + 1

a²V ar(XB,i) +a²V ar(PA,i) + 1

a²V ar(PB,i)]

(27) +X

i

pi < U >²_i −¡ X

i

pi< U >i

¢₂

(28) +X

i

pi < V >²_i −¡ X

i

pi< V >i

¢₂

(29) On minore alors :

D’après l’inégalité de Heisenberg, on a :

V ar(XA,i) +V ar(PA,i)≥1 = [XA, PA] (30) donc on peut minorer :

(ligne27)≥a²+ 1

a² (31)

Enfin, pour les deux dernières lignes, on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwartz :

¡ X

i

pi < U >i

¢₂

≤¡ X

i

pi

¢¡ X

i

pi< U >²_i ¢

=¡ X

i

pi< U >²_i ¢

(32)

On a donc :

(ligne28)≥0 (ligne29)≥0 (33)

En regroupant on obtient l’inégalité voulue.

Que se passe-il pour les états intriqués ? Commme[U, V] =a²−_a¹2, on aura toujours la minoration :

V ar(U)ρ+V ar(V)ρ≥|a²− 1

a² | (34)

Si on choisita= 1, le membre de droite est nulle. On atteint effectivement cette borne en considérant l’état propre associé à la paire d’opérateursXA+XB et PA−PB. Cet état maximalement intriqué n’est cependant pas très physique. On sait en effet que les états physiques associés à ce type de problème sont plutôt les états gaussiens et plus généralementles états comprimés. Grâce à ces états, on arrive à tendre vers cette borne inférieure nulle.

Peut-on espérer mieux de notre critère ? Le théorème précédent affirme que si l’inégalité est violée pour un certain a > 0, alors l’état est nécessairement intriqué. Mais a-t-on une réciproque ? Oui ! Enfin partiellement comme le montre le théorème suivant. On commence par écrire notre état gaussien grâce à sa fonction caractéristique de Wigner :

χ^wigner(λA, λB) =T r©

ρexp [i√

2(λ^I_AXA+λ^R_APA+λ^I_BXB+λ^R_BPB)]ª (35) oùλl=λ^R_l +iλ^I_l.

Or la fonction caractéristique de Wigner d’un état gaussien peut toujours s’écrire quitte à supprimer les termes linéaires dans l’exponentielle :

χ^wigner(λA, λB) = exp h

−1

2(λ^I_A, λ^R_A, λ^I_B, λ^R_B)M(λ^I_A, λ^R_A, λ^I_B, λ^R_B)^T i

(36) où la matrice de corrélationM est donnée par :

M =

µGA C C^T G_B

¶

(37) Le Lemme suivant nous permet d’écrire cette matrice de corrélation sous une forme plus sympathique :

Lemme 3.6. ρG peut être transformé par des transformations de Bogoliubov en un état gaussien dont la matrice de corrélation est :

M =







n1 0 c1 0

0 n2 0 c2

c1 0 m1 0

0 c2 0 m2





 (38)

où les coefficients vérifient : n1−1

m₁−1 = n2−1

m₂−1 (39)

|c1| − |c2|=p

(n1−1)(m1−1)−p

(n2−1)(m2−1) (40) En fait, ce Lemme permet de classer les états gaussiens par classe d’équi- valence d’états (pouvant se déduire les uns des autres par transformations de Bogoliubov) ayant la même matrice M. Comme le caractère séparable d’un état

n’est pas changé par transformation de Bogoliubov, tous les états gaussiens ap- partenant à une même classe d’équivalence auront la même propriété de sépara- bilité ou de non séparabilité⁶. On peut donc se restreindre aux états gaussiens ayant une matrice de corrélation de la forme (38). On est à présent suffisament armé pour présenter :

Théorème 3.7. Critère nécessaire et suffisant de non-séparabilité pour les états gaussiens :Un état gaussienρG est séparable ssi l’inégalité du théo- rème précédent est satisfaite pour les opérateurs suivant :

U =aXA− c1

|c1| 1

aXB et V =aPA− c2

|c2| 1

aPB (41)

avec a²=

rm1−1

n1−1 (42)

Démonstration. Le seulement si provient du théorème précédent évidemment ! Pour la réciproque, on a par hypothèse l’inégalité :

V ar=V ar(U) +V ar(V)≥a²+ 1

a² (43)

Puis comme on a enlevé les termes linéaires : V ar(U) =< U²>=a²< X_A² >+1

a² < X_B² >−2 c1

|c1| < XAXB> (44) V ar(V) =< V²>=a²< P_A² >+1

a² < P_B² >−2 c2

|c2| < PAPB> (45) La valeur des différents termes se lit surM donnée par le lemme :

< X_A² >= n1

2 < P_A²>= n2

2 (46)

< X_B² >=m1

2 < P_B² >= m2

2 (47)

< XAXB>=c1

2 < PAPB >= c2

2 (48)

En regroupant, on obtient finalement l’inégalité : V ar=a²n1+n2

2 +m1+m2

2a² − |c₁| − |c₂|≥a²+ 1

a² (49)

En y injectant (40), on tombe sur :

|c1|≤p

(n1−1)(m1−1) |c2|≤p

(n2−1)(m2−1) (50) Ces inégalités (50) assurent que la matrice symétrique M−Idest semi-définie positive. Or la fonction caractéristique normale de notre état s’exprime grâce à sa fonction caractéristique de Wigner par :

χ^normale(λA, λB) =χ^wignerexp£1

2(|λ1|²+|λ2|²¤

(51)

= exp h

−1

2(λ^I_A, λ^R_A, λ^I_B, λ^R_B)(M−I)(λ^I_A, λ^R_A, λ^I_B, λ^R_B)^T i

(52)

6Ici on veut uniquement savoir si un état est intriqué ou non. Le degré d’intrication quant à lui est modifié par transformation de Bogoluibov, en particulier par les compressions

On sait qu’on peut toujours représenter la matrice densité par sa fonction”P”: ρ=

Z

dαdβP(α, β)|α, β >< α, β| (53) Cette fonction”P”est reliée à la fonction caractéristique normaleχ^normalepar transformée de Fourier. Or on vient de montrer queχ^normaleest une gaussienne et la transformée de Fourier d’une gaussienne est encore une gaussienne. Ainsi

”P” est une gaussienne et en particulier c’est une fonction positive. La matrice densitéρs’écrit donc comme une une combinaison linéaire à coefficients positifs de projecteurs séparables comme en (6) sauf qu’ici la somme est devenue une intégrale. L’état ρest donc séparable.

On appliquera ce critère sur un exemple par la suite. Ajoutons que dans la même veine, il existele critère de Peres-Horodecki.

3.4 Comment fabriquer des états intriqués ?

En fait les états intriqués apparaisent naturellement lorsque deux systèmes sont en interaction. Montrons le sur un exemple simple inspiré de [8] :

3.4.1 Atome à deux niveaux dans une cavité. Modèle de Jaynes- Cummings

On considère un atome à deux niveaux, notés|g >pour le fondamental et

|e >pour l’état excité. La différence d’énergie entre ces deux niveaux est~ω_eg. Tandis que l’énergie moyenne est ¹₂~Ω. Le Hamiltonien de cet atome est donc

e

g

émission d’un photon

Fig.2 – Atome à deux niveaux

simplement donné par :

Hat=|g > Eg< g|+|e > Ee< e| (54)

=1

2~ΩI+1

2~ωegσz (55)

On suppose qu’il régne un champ dans la cavité de fréquenceω. Son hamiltonien est donné par celui de l’oscillateur harmonique :

H_chp =~ω(a^†a+1

2) (56)

On a aussi un couplage atome/champ donné par :

W =~g(σ+a+σ−a^†) (57)

On comprend bien ce que cela signifie : l’atome peut monter dans l’état excité si il se trouve au fondamental aidé par le champ qui cède un photon et inversement.

Il vient finalement dans la base {|e, n >,|g, n+ 1>}n∈N : Htotal=X

n∈N

∆n

µ1 0 0 1

¶ +1

2~

µ δ 2g√ n+ 1 2g√

n+ 1 −δ

¶

(58) avec ∆n =1

2~Ω +~ω(n+ 1) et δ=ωeg−ω (59) En diagonalisant, on trouve les valeurs propres :

E±,n= ∆n±1

2~λn avec λn=p

δ²+ 4g²(n+ 1) (60) et les vecteurs propres associés :

|+, n >= cosθn|e, n >+ sinθn|g, n+ 1> (61)

| −, n >=−sinθn|e, n >+ cosθn |g, n+ 1> (62) tanθn= λn−δ

2g√

n+ 1 (63)

Il faut faire attention à la notation trompeuse :|+, n >ne signifie pas qu’il y a nphotons.

Ces états sontles états habillés de l’atome. Ils sont non factorisables. Une mesure de l’état atomique renseigne sur le champ dans la cavité.

3.4.2 Les pistes expérimentales pour fabriquer un ordinateur quan- tique

Dans un premier temps, il s’agit de réaliser une porte logique élémentaire, c’est-à-dire deux qubits intriqués tel que l’état de l’un puisse être modifié par l’état de l’autre avant que la décohérence n’entre en jeu. L’étape suivante consiste à augmenter le nombre de qubits en interaction pour construire un vrai ordina- teur...Il faut faire preuve d’ingénuiosité pour trouver les systèmes physiques où les effets de la décohérence sont les plus faibles. Plusieurs pistes de recherche sont considérées parallèlement :

– Les ions piégés : Un qubit est supporté par un système à deux niveaux formé par l’état fondamental et un niveau électronique excité d’un ion. Les ions sont refroidis dans un piége linéaire. Le couplage entre ces derniers est assuré par des modes de vibration collectifs. En éclairant avec un laser, on parvient à exciter différents modes de vibration et à exciter un ion particulier. On réussit donc à fabriquer des états de qubits intriqués. On reviendra sur ce type d’expérience développée originellement par le groupe

américain de Monroe puis par plusieurs autres groupes de part le monde.

Notamment celui de Blatt en Autriche, qui a pour la première fois réalisé une porte C-NOT.

– Atomes froids :les qubits sont ici constitués par les états de spin d’ atomes froids bloqués au sein de pièges périodiques. Les interactions entre atomes nécessaires pour produire de l’intrication seraient dues à un couplage di- pôle/dipôle. Le laboratoire Kastler Brosler de l’ENS est à la pointe dans ce domaine.

– Electrodynamique Quantique en cavité micro-ondes : On couple ici un atome de Rydberg (ie qui possède un électron extrêmement éloigné du noyau) avec le champ de la cavité. Les états atomiques et du champ jouent le rôle de qubits intriqués. Ces expériences ont été réalisées par les groupes de Haroche à l’ENS et de Walter à Munich.

– Electrodynamique quantique en cavité optique :Un qubit est codé sur deux niveaux stables d’un atome. Plusieurs atomes sont placés dans une cavité optique et sont couplés entre eux via le champ électromagnétique qui régne dans la cavité. Une autre approche consiste à prendre deux cavités optiques et deux modes du champ des cavités joueront le rôle de qubit. On reviendra sur cet exemple à la fin.

– Résonnance-Magnétique-Nucléaire :Les qubits sont les états de spin nu- cléaire d’atomes dans une molécule. Chaque spin a sa propre fréquence de résonnance et peut donc être manipulé individuellement par une impulsion radio-fréquence bien choisie. Ils sont très bien isolés du monde extérieur et ont donc un temps de cohérence long, ce qui en fait le meilleur système à l’heure actuelle.

– Nanojonctions Josephson et Boîtes Quantiques :Une nanoélectrode supra- conductrice connectée à un réservoir par une jonction Josephson constitue un système à deux niveaux.Plus précisément, on considère les deux ni- veaux les plus bas du puits de potentiel effectif. En couplant plusieurs tels systèmes, on peut donc fabriquer des états intriqués. Ajoutons également l’utilisation de boîtes quantiques pour la fabrication de qubits. Certaines de ces expériences dans le domaine de la Nanophysique sont montées à Grenoble. Nous comptons bien profiter, durant la thèse, de notre situa- tion pour comprendre ces manips. On projette également de travailler avec Frank Hekking du LPMMC sur la fabrication de qubit grâce aux jonctions Josephson d’un point de vue théorique.

4 Décohérence

Cette théorie répond à des questions fondamentales de la Mécanique Quan- tique. Elle est pourtant très récente. C’est W. Zurek et H.D. Zeh qui en sont les précurseurs à la fin des années 70. Avant cette théorie, on faisait une dis- tinction nette entre les mondes quantique et classique : Ceci paraissait fort de

Fig.3 – Frontière entre les mondes classique et quantique

tabac. En effet quels critères nous permettent-ils de dire si un objet va suivre la mécanique classique ou quantique ? La taille de l’objet évidemment ! Cependant il n’y a pas de limite franche. En appliquant la théorie de la décohérence, on fait naturellement apparaitre, comme limite, la mécanique classique à partir de la mécanique quantique pour des objets macroscopiques. Prenons l’exemple du pauvre chat de Schrödinger (cf fig 4) qu’on met toujours dans une superposition linéaire d’états mort/vivant ! La décohérence explique qu’un tel état macrosco- pique a un temps de vie très très court. En pratique, la nature fait un choix.

C’est ce qu’on appelleles règles de supersélection, qui expliquent l’impossibilité d’avoir un tel monstre de chat ! Ouf ! Plus généralement, la décohérence explique l’évolution d’un système généralement petit : S couplé à un environnementE ouB (cf fig5).Speut par exemple représenter deux qubits intriqués etE, l’en- vironnement qui entoure ces qubits. On le modélise souvent par une collection d’oscillateurs harmoniques, car les calculs sont rendus plus faciles.

4.1 Formalisme des Systèmes Ouverts :

Commençons par décrire le formalisme de cette théorie. Nous allons consi- dérer des états mixtes décrit par une matrice densité ρ. On ne peut comme en mécanique quantique "classique" se restreindre à l’étude des fonctions d’ondes car la dynamique des systèmes ouverts transforme des états purs en mélange statistique. L’équation analogue à celle de Schrödinger est pour un système

Fig.4 – Chat de Scrödinger

fermé :

d

dtρ(t) =−i[H(t), ρ(t)] Equation de Von-Neumann (64) On considère alors comme sur la figure 5 un systèmeS couplé à son environne- mentB. S est un système ouvert car il peut y avoir des pertes dans l’environ-

Fig.5 – Système ouvert

nement. Sa dynamique n’est plus donnée par une équation de Von-Neumann. Il va falloir trouver un pendant.

Soient HS, HB et H=HS⊗ HB les espaces de Hilbert du système, de l’envi- ronnement et du système total. Ce dernier est supposé être un système fermé

dont la dynamique est donnée par le Hamiltonien :

H =HS⊗IB+IS⊗HB+HI (65)

où

– HS est le Hamiltonien libre du petit système – HB est le Hamiltonien libre du bain

– IS etIB sont les opérateurs identités deS et deB

– HI est le Hamiltonien d’interaction entre les deux sous-systèmes.

Réécrivons l’équation de Von-Neumann en chemin d’interaction⁷: d

dtρ(t) =−i[H_I(t), ρ(t)] Equation de Von-Neumann (66) On l’intègre :

ρ(t) =ρ(0)−i Z _t

0

[HI(s), ρ(s)]ds (67) On insère ce résultat dans l’équation précédente :

d

dtρ(t) =−i[HI(t), ρ(0)]− Z _t

0

£HI(t),[HI(s), ρ(s)]¤

ds (68)

Ensuite la seule information que l’on peut avoir sur le petit système est obtenue en prenant la trace partielle sur l’environnement de la matrice densité totale :

ρS =T rBρ (69)

Pour connaître l’évolution deρS, on prend la trace partielle sur l’environnement de l’équation (68) :

d

dtρS(t) =− Z _t

0

dsT rB

£HI(t),[HI(s), ρ(s)]¤

(70) car on fait :

Hypothèse 1 :T rB[HI(t), ρ(0)] = 0

Cette hypothèse n’est pas très restrictive car à l’instant initial, on peut ima- giner le système découplé de son environnement, ρ(0) = ρS(0)⊗ρB(0). Puis, l’hamiltonien d’interaction fait souvent intervenir des termes linéaires propres à l’environnement qui donnent donc une contribution nulle quand on prend la moyenne sur l’environnement. Par exemple, on peut avoir la moyenne d’un opé- rateur annihilation< aB>_ρB(0).

Revenons à notre équation (70). Le problème, c’est qu’il resteρet non ρS

dans la membre de droite. Pour y palier on va supposer :

7on a ôté l’indiceIsur la matrice densité pour alléger la notation

Hypothèse de couplage faible ou approximation de Born :HI est faible aussi le système n’aura que peu d’influence sur le réservoir. Ainsi, on peut approcher la matrice densité parρ(t)'ρS(t)⊗ρB(0) =ρS(t)⊗ρB. C

On obtient alors une équation différentielle en l’inconnueρS : d

dtρS(t) =− Z _t

0

dsT rB

£HI(t),[HI(s), ρS(s)⊗ρB]¤

(71)

Le problème est qu’elle fait intervenir toutes les valeurs deρS au cours du temps. On fait :

Approximation de Markov :On remplaceρS(s)parρS(t). C’est-à-dire qu’on annule les effets de mémoire.

L’approximation de Born-Markov est valable tant que les fonctions de cor- rélations du bain décroissent sur un temps typiqueτB petit par rapport àτR, le temps sur lequel l’état du petit système varie de façon non négligeable. D’autre part, on sait que les développements perturbatifs sont corrects uniquement sur des temps pas trop longs, typiquementt << _|H^~

I|8. On ne peut donc pas parler de dévellopements à temps longs. On dit plutôt qu’on fait une approximation à gros grains car on regarde notre système sur des échelles de temps pas trop petites sans pour autant que le temps d’évolution soit grand.

On obtient alors :

Equation de Redfield⁹ : d

dtρS(t) =− Z _t

0

dsT rB

£HI(t),[HI(s), ρS(t)⊗ρB]¤

si τB ¿τR (72)

On fait dans (72), le changement de variableu=t−set il vient : d

dtρS(t) = Z ₀

t

duT rB

£HI(t),[HI(t−u), ρS(t)⊗ρB]¤

(73)

=− Z _t

0

duT rB

£HI(t),[HI(t−u), ρS(t)⊗ρB]¤

(74) Si l’intégrant décroit suffisament vite, on peut remplacer l’intégration de0 à t par une intégration de0à ∞; ce qui donne :

Equation Maîtresse Markovienne : d

dtρS(t) =− Z _∞

0

dsT rB

£HI(t),[HI(t−s), ρS(t)⊗ρB]¤

si τB¿τR (75)

On peut rendre cette dérivation heuristique rigoureuse en s’inspirant des travaux de Davies [14].

8On a remis la constante pour l’homogénéité.

9C’est évidemment une équation approchée valable sous les trois hypothèses précédentes.

4.2 Formalisme de projection et approximation de l’onde tournante :

On peut encore simplifier notre équation en négligeant les termes dont la phase oscille rapidement. Pour expliquer cette procédure, on écrit le Hamiltonien d’interaction en représentation de Schrödinger sous la forme :

HI =X

α

Aα⊗Bα (76)

où les opérateursAαetBαagissant respectivement sur le système et sur le bain sont hermitiens. On ne fait ici aucune approximation. On considère la forme la plus générale pour l’interaction.

A présent, supposons que le spectre de HS soit discret ce qui est le cas par exemple pour les qubits. On note ² ses valeurs propres et Π(²)les projections sur les espaces propres associés. On définit alors les opérateurs de projection :

Aα(ω) := X

ω=²⁰−²

Π(²)AαΠ(²⁰) (77)

Ces opérateurs vérifient :

[HS, Aα(ω)] =−ωAα(ω) (78) On a donc décomposé le hamiltonien d’interaction sur les opérateurs propres du système :

HI =X

α,ω

Aα(ω)⊗Bα (79)

On a introduit ce formalisme d’opérateurs de projection dans le but d’obtenir une forme particuliérement simple du hamiltonien d’interaction en représenta- tion d’interaction :

HI(t) =X

α,ω

e^−iωtAα(ω)⊗Bα(t) (80)

avec Bα(t) =e^iHBtBαe^−iHBt (81) On insère à présent (80) dans l’équation maîtresse de Born-Markov : d

dtρS(t) = Z _∞

0

dsT rB

©HI(t−s)ρS(t)ρBHI(t)−HI(t)HI(t−s)ρS(t)ρB

ª+hc

(82)

=X

ω,ω⁰

X

α,β

e^i(ω−ω0)tΓ_α,β(ω) µ

A_β(ω)ρ_S(t)A^†_α(ω⁰)−A^†_α(ω⁰)A_β(ω)ρ_S(t)

¶ +hc (83) oùhcdésigne la partie hermitienne conjuguée et où on a introduit la transformée de Fourier partielle de la fonction de corrélation du bain :

Γα,β(ω) :=

Z _∞

0

dse^iωs< Bα(t)^†Bβ(t−s)> (84)

On suppose que ρB est un état stationnaire du réservoir ie[HB, ρB] = 0. Ceci est facilement réalisé par exemple avec des réservoirs thermiques. Dans ce cas, Γα,β(ω)ne dépend effectivement pas du temps.

L’évolution du système S se fait sur un temps typique τS de l’ordre de l’inverse de la distance entre deux niveaux soit _|ω−ω¹ 0|. SiτS ¿τR, alors on peut considérer comme avant qu’on regarde notre problème sur une échelle de temps à gros grainsδttelle que :

– τB << δt << τR(c’est ce qu’on demandait pour l’approximation de Born- Markov)

– τS << δt << τR (c’est ce qu’on demande en plus pour l’approximation de l’onde tournante)

Les termes dans (82) tqω6=ω⁰ oscillent très rapidement et on peut donc les négliger dans le calcul. Alors on a :

Equation Maîtresse Markovienne sous l’approximation de l’onde tournante :

d

dtρS(t) =X

ω

X

α,β

Γα,β(ω) µ

Aβ(ω)ρS(t)A^†_α(ω)−A^†_α(ω)Aβ(ω)ρS(t)

¶

+hc (85)

si τB, τS ¿τR (86)

Ce qui peut se réécrire sous la forme de Lindblad :

Equation Maîtresse Markovienne sous l’approximation de l’onde tournante sous la forme de Lindblad :

Si τB, τS¿τR alors : d

dtρS(t) =−i[HLS, ρS(t)] +D(ρS(t)) (87) avec :

HLS=X

ω

X

α,β

Sα,β(ω)A^†_α(ω)Aβ(ω) (88)

avec Sα,β = 1 2i

¡Γα,β−Γ^∗_β,α¢

(89) et :

D(ρS) =X

ω

X

α,β

γα,β(ω)³

Aβ(ω)ρSA^†_α(ω)−1

2{A^†_α(ω)Aβ(ω), ρS}´

(90) avec γα,β(ω) = Γα,β(ω) + Γ^∗_β,α(ω) =

Z _∞

−∞

dse^iωs< B^†_α(s)Bβ(0)> (91)

Le premier terme de l’équation de Lindblad (87) ¹⁰ est appelé décalage de Lamb. Il induit une renormalisation des états d’énergie mais n’est finalement pas très important pour l’étude de la décohérence.

10A proprement parler, c’est une équation de Lindblad quandγα,β=γαδα,β

Le second est quant à lui fondamental. On le nomme terme dissipatif. Comme nous le verrons sur les exemples, il est responsable de la décohérence. Ajoutons tout de suite que les γ, transformées de Fourier des fonctions de corrélations du bain sont reliés au taux de décohérence. Mais un exemple parle plus que de longs discours !

4.3 Retour sur l’atome à deux niveaux et formule de Wigner- Weisskopf

On reprend l’exemple de l’atome à deux niveaux avec les mêmes notations sauf qu’on va supposer qu’il n’y a plus un mode dans la cavité mais toute une collection. Le hamiltonien total est alors donné par (on oublie le terme constant) :

Définition 4.1. Hamiltonien de Wigner-Weisskopf : H = 1

2~ωσz+~X

α

ωαa^†_αaα+~X

α

(gαa^†_ασ−+g_α^∗aασ+) (92)

On ne redécrit pas le rôle des différents termes car cela a été fait. Ajoutons cependant que cet hamiltonien ne modélise pas uniquement un système à deux niveaux couplés au champ électromagnétique dans une cavité. Il peut en fait représenter n’importe quel système à deux niveaux couplés à un environnement macroscopique. En effet, en s’appuyant sur le théorème central limite, on peut penser que n’importe quel environnement macroscopique se comporte comme une collection d’oscillateurs harmoniques car le nombre de ses constituants est très grand.

On souhaite calculer l’équation de Lindblad pour ce problème. Le hamilto- nien est déjà écrit sous forme développée par les opérateurs de projection. En effet, ici, les opérateurs de projection¹¹ sont les opérateurs d’échelleσ₋ et σ₊. P

ω se réduit donc à une somme de deux termes : celui d’énergie propre posi- tive et l’autre d’énergie négative. Le hamiltonien d’interaction s’écrit en chemin d’interaction¹²:

HI(t) =e^−iω+tσ+a(t) +e^−iω−tσ−a^†(t) (93)

où ω−=−ω+=ω=Ee−Eg (94)

On ne calculera pas le décalage de Lamb car on a dit qu’il n’était que peu important pour l’étude de la décohérence. Il reste à estimer les transformées de Fourierγα,β du terme dissipatif.

11lesA(ω)dans le formalisme théorique

12On oublie les constantes pour alléger le calcul, on les rajoutera à la fin par analyse dimen- sionnelle.