Corrigendum à « Classes logarithmiques signées des corps de nombres »

J

EAN

-F

RANÇOIS

J

AULENT

Corrigendum à « Classes logarithmiques signées

des corps de nombres »

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

14, n

o

_{1 (2002),}

p. 345-349

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Corrigendum

à "Classes

_{logarithmiques}

signées

des

_corps

de

nombres"

par

JEAN-FRANÇOIS

JAULENT

RÉSUMÉ. Nous

_corrigeons

une erreur contenue dans un article

précédent

où sont données deux définitions

_{prétendument}

équiva-lentes du

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques signées}

d’un corps

de nombres.

ABSTRACT. We correct the

_inequivalent

definitions of

_signed

log-arithmic 2-class _group for number fields which was

_given

in a

pre-vious article.

Introduction

La notion de classes

_{logarithmiques signées}

_pour les _corps de nombres a

été introduite dans

_[J2]

_par

_analogie

avec celle de classes d’idéaux

_prises

au sens restreint et en cohérence avec une construction semblable _pour les

corps de fonctions

(cf.

[AJ]).

Dans le cas des

_idéaux,

les classes au sens

restreint

_peuvent

_{s’appréhender}

de deux

_{façons :}

en considérant le _sous-groupe

Pr+

du _groupe des idéaux

1 dK

formé

des idéaux

_principaux

_engendrés

_par les éléments totalement

_{positifs ;}

puis

en définissant le _groupe des classes au sens restreint _{par :}

_{Cl’K8 =}

I

e en considérant le groupe des diviseurs

_{DK ~}

_IdK

E9

_SgK

_(où

F’2

est le _groupe des

_signatures

de

_K)

et en

quotientant

_par le _sous-groupe

principal

PK ;

ce

_qui

redonne : =

Dans le cadre

_{logarithmique,}

en

_revanche,

les deux

_procédés

ne sont _pas

toujours équivalents

(contrairement

à ce

qui

est affirmé

_{implicitement}

dans

[J2])

et conduisent

_parfois

à des _groupes distincts

_(ils

diffèrent en fait d’un

indice 1 ou

2).

Pour remédier à cette

_discordance,

il suffit

_cependant

de restreindre dans la

_{première description}

le numérateur aux seuls diviseurs

globalement positifs,

ce

_qui

_suppose naturellement d’avoir

préalablement

bien défini cette notion.

Le but de la

_présente

note est ainsi de rectifier la

_{présentation}

inexacte de

[J2]

(la

Définition-Proposition

9),

qui

repose sur une définition

_{ambigüe (la}

Définition

₇₎

et un lemme erroné

(le

Lemme

8)

conduisant à des erreurs ou Manuscrit reçu le 15 juin 2001.

classes centrales

_qui

n’utilise _que la seconde

_description,

mais

_implique

de

corriger

d’un facteur

_égal

à 1 ou 2 la formule des classes

_{ambiges qui}

_repose sur la

_{première approche.}

1.

_Rappel

des

_principales

notations

Nous reprenons ici les notations de

[J2],

à

l’exception

de raccourci

malheureux pour

qui

est à

l’origine

des confusions

évoquées.

Rappelons qu’à chaque place finie p

d’un _corps de nombres K est

as-sociée une valeur absolue

2-adique ~ .

.

1.

définie sur le

compactifié

et à valeurs dans

_{~1}(1

+

_{4Z2) ;}

ce

_qui

_permet,

en considérant

_séparément

les deux

_composantes

1±1}

et 1 +

_{4Z2 ~ Z2,}

de définir une fonction

_signe

sgp(.)

à valeurs dans

{~:1}

et une valuation

logarithmique

v (.)

à valeurs dans

72.

Le noyau

’Rt

de

_sgp

est ainsi le

sous-p

groupe

positif

de celui

Up

de

vp

est le groupe des unités

logarithmiques

et l’intersection

_U/

est _{le groupe des unités}

_{logarithmiques}

_positives.

Aux

places

à

_l’infini,

on a

_Rp

= 1

_{si p}

est

_{complexe ;}

_Rp

=

Up

=

si p est

réelle

_et,

bien _sr,

_R~

= 1.

Lorsque

le

_quotient

_{Rp /R+}

est d’ordre

_2,

on dit _que la

_{place p}

est

_{szgnée ;}

quand

le

_quotient

est d’ordre

_2,

elle est dite

_{logarithmiquement}

signée.

Cette dernière éventualité se

produit

exclusivement aux

places

réelles et à certaines

_{places 2-adiques.}

En

_{particulier, lorsque}

_{le groupe}

N IV

=

_ep

Up /U/

des

_signatures

_{logarithmiques}

n’est _pas

_trivial,

le _corps K lui-même est dit

_{togarithmiqnement signé.}

La Définition 7 et le Lemme 8 de

_[J2]

doivent alors être rectifiés comme

suit :

Définition ’T. Dans un _corps

_{logarithmiquement}

_signé

_K,

nous disons

qu’un

idèle de

_degré

nul E

,TK

est :

(i)

globalement positif,

lorsqu’il

satisfait la formule du

_produit

pour les

fonctions

_signes

_{sg,,. Le groupe des idèles}

_globalement

_positifs

est ainsi :

Son _{sous-groupe unité}

_(au

sens

logarithmique)

est de même :

-

-(ii)

logarithmiquement

positif,

lorsqu’il

est

_d’image

triviale dans le _groupe des

_{signatures SglK.}

_{Le groupe des idèles}

_{logarithmiquement positifs}

est

ainsi :

(iii)

totalement

_{positif, lorsqu’il}

l’est

_globalement

et

_{logarithmiquement.}

Le sous-groupe des idèles totalement

positifs

est ainsi :

En

_particulier,

le _groupe des éléments

_globaux

totalement

_positifs

est le

noyau = dans

IZK

du

morphisme

signature

à valeurs

dans

Remarque.

On a bien

U;

C

_~

et

RK

C

_Ji

mais non

~~

C le

quotient

étant d’ordre 1 ou 2.

Nota. Dans la

_{correspondance}

du corps de

classes, JK

est le groupe de

normes attaché à la

Z2-extension

cyclotomique

globale

Kc ;

tandis _que son _sous-groupe

correspond

à la 2-extension abélienne localement

cyclotomique

maximale De

_{façon semblable,}

_Jz

_correspond

à la 2-extension

_cyclotomique

et _{le sous-groupe}

ÛIIZ,,L

=

Ji

à

l’extension

_composée

_K’c[i].

Lemme 8. On a l’identité

_~

= d’où

l’isomorphisme

entre

quo-tients’

2. Définition des

_2-groupes

de classes

Revenons maintenant sur la définition des _groupes de classes

_{signées :}

Définition &#x26;

_Proposition

9. Soit K un _corps de nombres

quelconque.

’’_(i)

Nous appelons 2-groupe

des classes

_{logarithmiques signées}

le

_quotient

- -

* - + _{- *+ - +}

_z+

JK

/U;7 K’

(ii)

En termes de

_diviseurs,

le _groupe

ÉÎSK

_{s’identifie}

d’une

_part

au

quotient CésK rr

DISKIPÎSK

du

_2-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

signés

de

_degré

nul

i5fs K

= _{par son sous-groupe}

principal

=

et d’autre

_art

au

quotient

i5e K /Î;Ê+ K

du

2-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques globalement positifs}

ViK

= de

degré

nul _ar son _sous-groupe

principal

totalement

positif

+

=

7Z+ -+ +

p 9 p p p p

f

K

K KI x

(iii)

Et la théorie

_2-adique

du _corps de classes

_interprète

le _groupe de classes

_{logarithmiques signées}

comme _groupe de Galois

relatif

de la

_{plus grande pro-2-extension}

abélienne

Klcs

du _{corps K}

_qui

est

complè-tement

_décomposée

sur K~ =

KC[i]

_en chacune de _ses

places.

groupe

Uj(’RK

fixe D’où les

interprétations

annoncées.

Remarques.

Contrairement à

_[J2],

nous n’avons _pas fait

_{d’hypothèse}

sur

"

la

_signature

_{logarithmique}

du corps

K ; plus précisément :

(i)

Pour i E

_K~,

on a banalement

_{Jz =}

_JK

et

LlK

=

_LIK,

d’où l’identité :

et la notion de

_{signe n’apporte}

rien _par

_{rapport à}

la construction de

_{[Jl] .}

(ii)

Pour i E

K~~

_11~~,

en

revanche,

on a

(~K :

~K)

= 2 et =

LIK,

de

sorte _que est alors d’indice 2 dans

_{CiK, lequel}

est donc non trivial ici.

(iii) Pour 1 /

enfin

_(c’est

à dire _pour K

_{logarithmiquement}

_signé),

on a

(K :

_j;)

= 2 mais

doncJK

= d’où la suite exacte

courte :

conformément au Corollaire 10 de

[J2].

En fin de

_compte,

la correction

_apportée

concerne exclusivement la

des-cription

de comme _groupe des classes de diviseurs

_{logarithmiques}

modulo _{le sous-groupe}

_principal

construit sur les éléments totalement

positifs, description

dans

_laquelle

le numérateur doit être restreint au

sous--*

-groupe d’indice 1 ou 2 dans formé des diviseurs de

_degré

nul

globalement

positifs.

3. Correction des énoncés de

_[J2]

Ceci concerne exclusivement la section 3 de

[J2]

où est établie une formule

de

_points

fixes _pour les

_2-groupes

de classes

_{logarithmiques signées}

dans une

extension

_cyclique

_L/K,

_qui

_prend

_appui

sur leur

description

comme _groupe

de classes de diviseurs

_globalement

_positifs.

Sous

_{l’hypothèse}

de

_primitivité

-*

forte

_{H1 (G,}

ViL)

=

_0,

_son

_point

de

départ

_est maintenant le

diagramme

commutatif :

- - 1 - --"-

-Il faut donc

_remplacer

l’indice

_(ViL:

du Lemme _{12 par} le nouvel

2013*G

-*

Lemme 12. Sous la condition de

_primitivité

_forte

ViL)

=

_0,

_{on a}

où

_{ep (L 1 K)}

_désigne

l’indice de

_ramification

_{logarithmique}

de _p dans D’autre

_part,

_puisqu’il

existe des idèles

_principaux

de toutes

_signatures

logarithmiques,

le Lemme 15 doit être

_corrigé

comme suit :

Lemme 15. On a

l’égalité:

OÙ

_{PLD 2}

_désigne

l’ensemble des

_{places 2-adiques}

de K

_qui

se

dessignent

(i. e.

qui

perdent

leur

_signe

_{logarithmique)}

dans l’extension

_L/K.

En fin de

_compte,

le théorème fondamental de cette section s’écrit : Théorème 17. Dans urce 2-extension

cyclique

L/K

de _corps de nombres

logarithmiquement signés,

le nombre de 2-classes

_{logarithmiques signées}

invariantes _par G =

Gal(L/K)

est

donné,

_sous la condition de

primitivité

forte

=

_{0, par}

la

formule :

f orte

H1 (G,

=

_{0, par}

la

f ormule :

On retrouve donc _par là

_{l’expression}

du nombre de _genres

_{logarithmiques}

signés

obtenue

_plus

loin en toute

_{généralité}

_{(Corollaire 21).}

Et la condition de

_primitivité

forte

_H1(G,

_L =

0,

qui

s’écrit encore

VliIG)

_{= 1,}

L L

contient bien la condition de

_primitivité

_(faible)

ViiG)

= 1

intro-duite dans

_{[Jl] .}

Bibliographie

[AJ] B. ANGLES, J.-F. JAULENT, Théorie des genres des corps globaux. Manuscripta Math. 101

(2000), 513-532.

[J1] J.-F. _JAULENT, Classes logarithmiques des corps de nombres. J. Théor. Nombres Bordeaux 6 _(1994), 301-325.

[J2] J.-F. JAULENT, Classes _{logarithmiques signées} des corps de nombres. J. Théor. Nombres Bordeaux 12 _(2000), 455-474.

Jean-François JAULENT Institut de _{Mathématiques} Université Bordeaux 1

351, cours de la Libération 33405 Talence Cedex, France