Etude locale 1
Arthur LANNUZEL
le 4 Janvier 2009
Etude locale de fonctions
1 Fonctions concaves, fonctions convexes.
Soit f une fonction deR dans R :
f : Df ⊂R −→ R x 7→ f(x) . Soit I un intervalle de Df.
D´efinition 1.1 i) On dit que f est convexe sur I si le segment entre deux points quelconques de la courbe de f (dans un rep`ere orthonorm´e direct) est au dessus de la courbe de f.
ii) On dit que f est concave sur I si le segment entre deux points quelconques de la courbe de f est au dessous de la courbe de f.
On en d´eduit facilement
Propri´et´es 1.1.1 Supposons de plus que f est d´erivable sur I.
i) f est convexe surI si et seulement si la tangente `a la courbe est en dessous de la courbe en tout point de I.
ii) f est concave sur I si et seulement si la tangente `a la courbe est en dessus de la courbe en tout point de I.
Supposons f deux fois d´erivable en x0 ∈ Df , alors on a sur un intervalle-voisinage de x0 : f(x) = f(x0) +f′(x0)(x−x0) + f′′(x0)
2 (x−x0)2+o((x−x0)2).
Sif′′(x0) est non nul, il existe un intervalle-voisinageI0dex0tel quef′′(x0)(x−x0)2+o((x−x0)2) soit du signe de f′′(x0).
Donc, sur I0,f(x)−(f(x0) +f′(x0)(x−x0)) est du signe def′′(x0).
On en d´eduit
Th´eor`eme 1.2 f : Df ⊂R −→ R
x 7→ f(x)
, deux fois d´erivable dans un intervalle-voisinage de x0 ∈ Df.
Etude locale 2
i) si f′′(x0)>0 alors f est convexe sur un intervalle-voisinage de x0. ii) si f′′(x0)<0 alors f est concave sur un intervalle-voisinage de x0.
Exemples 1.3 i) Quel est la position de la courbe decos(x) +sin(x)par rapport `a sa tangente en x= 0?
ii) Que se passe-t-il en 0 avec cos(x) +sin(x) + 3x26+x3 ?
2 Points d’inflexions
Soit f une fonction deR dans R :
f : Df ⊂R −→ R x 7→ f(x) .
D´efinition 2.1 On appellepoint d’inflexionde la courbe def tout point o`u la courbe change de convexit´e.
Les r´esultats pr´ec´edents montrent que
Propri´et´es 2.1.1 Supposons f deux fois d´erivable en x0.
Si (x0, f(x0)) est un point d’inflexion de la courbe de f alors f′′(x0) = 0.
Remarque 2.2 ATTENTION !
La r´eciproque `a la propri´et´e pr´ec´edente est fausse. Voir le ii) de l’exemple ci-dessus.
Exercice 2.3 Dessiner la courbe de la fonction d´efinie par f(x) = xx+12+2x.
Th´eor`eme 2.4 f : Df ⊂R −→ R
x 7→ f(x)
, deux fois d´erivable dans un intervalle-voisinage de x0 ∈ Df.
(x0, f(x0)) est un point d’inflexion de la courbe de f si et seulement si f′′(x0) = 0 et f′′(x) change de signe en x0.
Supposons maintenant f trois fois d´erivable dans un intervalle-voisinage de x0 ∈ Df.
Alors dans un intervalle-voisinage :f(x) =f(x0) +f′(x0)(x−x0) +f′′(x20)(x−x0)2+f′′′3!(x0)(x− x0)3+o((x−x0)3).
Donc, si f′′(x0) = 0 et f′′′(x0) ̸= 0 alors f(x)−(f(x0) +f′(x0)(x−x0)) = f′′′3!(x0)(x−x0)3+ o((x−x0)3) change de signe en x0.
Etude locale 3
Figure 1 – f′′′(x0)>0
Figure 2 – f′′′(x0)<0
2 cas se pr´esentent :
3 g´ en´ eralisation.
Soit f une fonction deR dans R :
f : Df ⊂R −→ R x 7→ f(x) . Soit n ∈N.
Supposons f n fois d´erivable dans un intervalle-voisinage de x0 ∈ Df avec f(k)(x0) = 0 pour 2 ≤ k ≤ n−1 et f(n)(x0) ̸= 0 (Si f est C∞ et n’a pas une droite comme graphe, on pourra toujours trouver un tel n).
Alors
i) Si n est pair et f(n)(x0)>0, on a un dessin du type : ii) Si n est pair et f(n)(x0)<0, on a un dessin du type : i) Si n est impair et f(n)(x0)>0, on a un dessin du type : i) Si n est impair et f(n)(x0)<0, on a un dessin du type :
Etude locale 4
Figure 3 – n pair etf(n)(x0)>0
Figure 4 – n pair etf(n)(x0)<0
Figure 5 – n impair et f(n)(x0)>0
Figure 6 – n impair et f(n)(x0)<0
