Jean-PierreBecirspahic Arbresbinaires

(1)

Arbres binaires

Jean-Pierre Becirspahic

Lycée Louis-Le-Grand

2015-2016 — Page 1/16

(2)

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Définition d’un arbre binaire

Théorie des graphes : unarbreest un graphe connexe acyclique enraciné.

1 2

5 6

9 10 3 7

4 8 11 12

Pères et fils: le sommet 3 est le père de 7, le sommet 6 est le fils de 2. Il est d’usage de dessiner un arbre en plaçant un père au dessus de ses fils→l’orientation du graphe devient implicite.

Dans ce contexte, on parle denœudau lieu de sommet. Un nœud qui n’a pas de fils est unefeuille ou nœud externe, les autres sont desnœuds internes.

Chaque nœud est la racine d’un arbre constitué de lui-même et de l’ensemble de ses descendants ; on parle alors desous-arbrede l’arbre initial.

JP Becirspahic — Arbres binaires — 2015-2016 — Page 2/16

(3)

Définition d’un arbre binaire

1 2

5 6

9 10 3 7

4 8 11 12

Pères et fils: le sommet 3 est le père de 7, le sommet 6 est le fils de 2.

Il est d’usage de dessiner un arbre en plaçant un père au dessus de ses fils→l’orientation du graphe devient implicite.

semble de ses descendants ; on parle alors desous-arbrede l’arbre initial.

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Définition d’un arbre binaire

1 2

5 6

9 10 3 7

4 8 11 12

Dans ce contexte, on parle denœudau lieu de sommet. Un nœud qui n’a pas de fils est unefeuilleou nœud externe, les autres sont des nœuds internes.

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1 2

5 6

9 10 3 7

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Dans ce contexte, on parle denœudau lieu de sommet. Un nœud qui n’a pas de fils est unefeuilleou nœud externe, les autres sont des nœuds internes.

(6)

Définition d’un arbre binaire

aritéd’un nœud (ou degré sortant) : nombre de branches qui en partent.

arbres binaires: chaque nœud a pour arité 0, 1 ou 2.

Un ensembleEétant donné, on convient que :

• nil est un arbre binaire surE appelé l’arbre vide;

• six∈Eet siF_getF_dsont deux arbres binaires étiquetés parE, alors A= (F_g,x,Fd)est un arbre binaire étiqueté parE.

0 1 1 nil nil

2 3 nil nil

nil 2 nil 0

nil nil

0 1

1 2

3

2 0

0 1

1 2

3

2 0

(7)

• six∈E et siF_getF_dsont deux arbres binaires étiquetés parE, alors A= (F_g,x,Fd)est un arbre binaire étiqueté parE.

0 1 1 nil nil

2 3 nil nil

nil 2 nil 0

nil nil

0 1

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3

2 0

0 1

1 2

3

2 0

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Définition d’un arbre binaire

aritéd’un nœud (ou degré sortant) : nombre de branches qui en partent.

0 1 1 nil nil

2 3 nil nil

nil 2 nil 0

nil nil

0 1

1 2

3

2 0

0 1

1 2

3

2 0

Suivant la représentation choisie unefeuilledésignera l’arbre vide (nil) ou un nœud dont les fils gauche et droit sont vides.

(9)

0 1 1 nil nil

2 3 nil nil

nil 2 nil 0

nil nil

0 1

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3

2 0

0 1

1 2

3

2 0

Arbre=nil+Arbre×nœud×Arbre

type ’a arbre = Nil | Noeud of (’a arbre * ’a * ’a arbre) ;;

(10)

Fonctions inductives

Preuve par induction structurelle

SoitRune assertion définie sur l’ensembleA des arbres étiquetés par E. On suppose que :

• R(nil)est vraie ;

• ∀x∈E,∀(F_g,Fd)∈A², l’implication R(F_g)etR(F_d)

=⇒R(F_g,x,F_d)est vraie ;

Alors la propriétéR(A)est vraie pour tout arbreAdeA.

De nombreuses fonctionsf : A → F se définissent par la donnée d’un élémenta∈F, d’une fonctionϕ:F×E×F→Fet les relations :

• f(nil) =a;

• ∀x∈E,∀(F_g,Fd)∈A²,f(F_g,x,Fd) =ϕ(f(F_g),x,f(Fd)).

(11)

• f(nil) =a;

(12)

Fonctions inductives

• f(nil) =a;

Lataille|A|d’un arbreA est définie inductivement par les relations :

• |nil|=0 ;

• SiA= (F_g,x,Fd)alors|A|=1+|F_g|+|F_d|.

let rec taille = function

| Nil −> 0

| Noeud (fg, _, fd) −> 1 + taille fg + taille fd ;;

|A|est le nombre de nœuds d’un arbre.

(13)

• f(nil) =a;

Lahauteurh(A)d’un arbreA se définit inductivement par les relations :

• h(nil) =−1 ;

• SiA= (F_g,x,Fd)alorsh(A) =1+max(h(F_g),h(F_d)).

let rec hauteur = function

| Nil −> −1

| Noeud (fg, _, fd) −> 1 + max (hauteur fg) (hauteur fd) ;;

h(A)est la longueur du plus long chemin entre la racine et une feuille (la profondeur maximale d’un nœud).

(14)

Fonctions inductives

SoitAun arbre binaire. Alorsh(A) +16|A|62^h^(A⁾⁺¹−1.

On raisonne par induction structurelle.

• SiA=nil,|A|=0 eth(A) =−1 ; le résultat annoncé est bien vérifié.

• SiA= (F_g,x,F_d), supposons le résultat acquis pourF_getF_d.

|A|=1+|F_g|+|F_d|>1+h(F_g) +1+h(F_d) +1

>2+max(h(F_g),h(F_d)) =1+h(A)

|A|=1+|F_g|+|F_d|62^h^(F^g⁾⁺¹+2^h^(F^d⁾⁺¹−1

62×2^max(h^(F^g^),h^(F^d⁾⁾⁺¹−1=2^h(A)+1−1

(15)

Fonctions inductives

>2+max(h(F_g),h(F_d)) =1+h(A)

|A|=1+|F_g|+|F_d|62^h^(F^g⁾⁺¹+2^h^(F^d⁾⁺¹−1

62×2^max(h^(F^g^),h^(F^d⁾⁾⁺¹−1=2^h(A)+1−1

(16)

Fonctions inductives

• SiA= (F_g,x,Fd), supposons le résultat acquis pourF_getF_d.

|A|=1+|F_g|+|F_d|>1+h(F_g) +1+h(F_d) +1

>2+max(h(F_g),h(F_d)) =1+h(A)

|A|=1+|F_g|+|F_d|62^h^(F^g⁾⁺¹+2^h^(F^d⁾⁺¹−1

62×2^max(h^(F^g^),h^(F^d⁾⁾⁺¹−1=2^h(A)+1−1

(17)

Fonctions inductives

|A|=1+|F_g|+|F_d|>1+h(F_g) +1+h(F_d) +1

>2+max(h(F_g),h(F_d)) =1+h(A)

(18)

Fonctions inductives

|A|=1+|F_g|+|F_d|>1+h(F_g) +1+h(F_d) +1

>2+max(h(F_g),h(F_d)) =1+h(A)

|A|=1+|F_g|+|F_d|62^h^(F^g⁾⁺¹+2^h^(F^d⁾⁺¹−1

62×2^max(h^(F^g^),h^(F^d⁾⁾⁺¹−1=2^h(A)+1−1

(19)

Arbres binaires équilibrés

siA est un arbre binaire alors log(|A|+1)−16h(A)6|A| −1.

Un arbre binaireAest ditéquilibrélorsqueh(A) =O(log(|A|)).

On considère la suite deFibonaccif₀=0,f₁=1 etf_n₊₂=f_n+1+f_n. On prouve par induction structurelle que tout arbre AVLA de hauteurh contient au moinsf_h nœuds.

DoncA contient au moinsf_h−1+f_h−2+1=f_h+1 nœuds.

Sachant queϕ^h =O(f_h)avecϕ=1+

√ 5

2 on en déduit :ϕ^h^(A)=O(|A|), soith(A) =O(log|A|).

(20)

Arbres binaires équilibrés

• SiA=nil alors|A|=0=f₀.

• SiA= (F_g,x,F_d), l’un des deux sous-arbresF_gouF_d est de hauteur h−1 donc contient au moinsf_h−1nœuds, l’autre est au moins de hauteurh−2 donc contient au moinsf_h−2nœuds.

√ 5

(21)

Arbres binaires équilibrés

Cas optimal:h(A) =log(|A|+1)−1→arbres binairescomplets.

Pour queA = (F_g,x,Fd)soit complet il faut et il suffit queF_g etF_d soient complets et de même hauteur.

Un arbre binaire est complet si et seulement si toutes ses feuilles sont à la même profondeur.

0 1

1

4 0

2

3 2

2 8

5 1

0

3 7

|A|=15 et h(A) =3.

√ 5

(22)

Arbres binaires équilibrés

Certaines catégories d’arbres garantissent l’équilibrage : arbres rouge- noir, arbres AVL, etc.

√ 5

(23)

Arbres binaires équilibrés

Ledéséquilibred’un arbreA = (F_g,x,F_d)est égal àh(F_g)−h(F_d).

Un arbre binaireAest un arbreAVLlorsqu’il est vide ou égal à(F_g,x,Fd) avec :

• F_g etF_d sont des arbres AVL ;

• le déséquilibre deA est égal à−1, 0 ou 1.

Le déséquilibre de chaque sous-arbre est égal à−1, 0 ou 1.

0 0 0 0 0

1 0

1

−1 0

0

0 0 0 0 0

1 0

2

−1 0

√ 5

(24)

Arbres binaires équilibrés

Tout arbre AVL est équilibré.

√ 5

(25)

Arbres binaires équilibrés

DoncA contient au moinsf_h−1+f_h−2+1=f_h+1 nœuds. Sachant queϕ^h =O(f_h)avecϕ=1+

√ 5

(26)

Arbres binaires équilibrés

• SiA= (F_g,x,Fd), l’un des deux sous-arbresF_gouF_d est de hauteur h−1 donc contient au moinsf_h−1nœuds, l’autre est au moins de hauteurh−2 donc contient au moinsf_h−2nœuds.

DoncA contient au moinsf_h−1+f_h−2+1=f_h+1 nœuds. Sachant queϕ^h =O(f_h)avecϕ=1+

√ 5

(27)

Arbres binaires équilibrés

(28)

Arbres binaires équilibrés

√ 5

2 on en déduit :ϕ^h^(A⁾=O(|A|), soith(A) =O(log|A|).

(29)

V, et on utilise des arbres binaires étiquetés parE=C×V.

un arbre binaireAest un arbre binaire de recherche s’il est vide ou égal à (F_g,(c,v),Fd)où :

• F_g etF_d sont des arbres binaires de recherche ;

• toute clé deF_g est inférieure ou égale àc;

• toute clé deF_d est supérieure ou égale àc.

15 6

4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

Tout nœud est associé à une clé supérieure ou égale à toute clé de son fils gauche, et inférieure ou égale à toute clé de son fils droit.

(30)

Arbres binaires de recherche

On considère un ensemble ordonné de clésCet un ensemble de valeurs V, et on utilise des arbres binaires étiquetés parE=C×V.

un arbre binaireAest un arbre binaire de recherche s’il est vide ou égal à (F_g,(c,v),Fd)où :

• F_g etF_d sont des arbres binaires de recherche ;

• toute clé deF_g est inférieure ou égale àc;

• toute clé deF_d est supérieure ou égale àc.

Dans la suite du cours, on utilisera le type :

type (’a, ’b) data = {Key : ’a; Value : ’b} ;;

et les ABR seront représentés par le type (’ a, ’ b) data arbre.

(31)

La propriété des ABR permet d’afficher toutes les valeurs de l’arbre par ordre croissant de clé à l’aide d’unparcours infixe: exploration en profondeur de l’arbre(F_g,x,Fd)dans l’ordre :F_g −→x−→F_d.

(32)

Arbre binaire de recherche

Parcours infixe

Preuve par induction :

• siA=nil, il n’y a rien à prouver ;

• siA= (F_g,x,F_d), on suppose que les parcours infixes deF_get deF_d se font par ordre de clés croissantes.

Toute clé deF_g est inférieure à la clé dexet toute clé deF_d supérieure à cette dernière, donc le parcoursF_g −→x−→F_d est toujours effectué par ordre croissant de clé.

(33)

Sitraitementest une fonction de type ’ b −> unit, le parcours d’un ABR prendra la forme :

let rec parcours_infixe = function

| Nil −> ()

| Noeud (fg, x, fd) −> parcours_infixe fg ; traitement x.Value ; parcours_infixe fd ;;

Le coût temporel de ce parcours est unΘ(n)lorsquen=|A|.

(34)

Requêtes dans un ABR

Opérations usuelles sur un ABR :

• recherched’un valeur associée à une clé donnée ;

• recherche de la valeur associée à la clémaximale(ouminimale) ;

• recherche dusuccesseurd’une cléc;

• recherche duprédécesseurd’une clé ;

• l’insertionetsuppressiond’un nouveau couple clé/valeur.

(35)

Recherche d’une clék dans l’ABRA= (F_g,(c,v),Fd):

• sik =c, retournerv;

• sik <c, rechercherkdansF_g;

• sik >c, rechercherkdansF_d.

let rec recherche k = function

| Nil −> raise Not_found

| Noeud (_, x, _) when k = x.Key −> x.Value

| Noeud (fg, x, _) when k < x.Key −> recherche k fg

| Noeud (_, _, fd) −> recherche k fd ;;

Recherche de la clék=13 : ₁₅

6 4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

(36)

Requêtes dans un ABR

Recherche de la clé minimale / maximale

La recherche de la clé minimale se poursuit dans le fils gauche tant que ce dernier n’est pas vide :

let rec minimum = function

| Noeud (Nil, x, _) −> x.Value

| Noeud (fg, _, _) −> minimum fg ;;

Recherche de la clé minimale :

15 6

4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

(37)

La recherche de la clé maximale se poursuit dans le fils droit tant que ce dernier n’est pas vide :

let rec maximum = function

| Noeud (_, x, Nil) −> x.Value

| Noeud (_, _, fd) −> maximum fd ;;

Recherche de la clé maximale :

15 6

4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

(38)

Requêtes dans un ABR

Recherche du prédécesseur / successeur

Successeurde la clék : la plus petite des cléscvérifiant :k <c.

let rec successeur k = function

| Noeud (_, x, fd) when x.Key <= k −> successeur k fd

| Noeud (fg, x, _) −> try successeur k fg

with Not_found −> x.Value ;;

Le successeur de 13 est 15 : il n’y a pas de successeur possible dans le fils gauche.

15 6

4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

(39)

Prédécesseurde la clék : la plus grande des cléscvérifiant :c<k.

let rec predecesseur k = function

| Noeud (fg, x, _) when x.Key >= k −> predecesseur k fg

| Noeud (_, x, fd) −> try predecesseur k fd with Not_found −> x.Value ;;

Le prédécesseur de 10 est 9 : ont tout d’abord été envisagés 6 et 7 avant de trouver 9.

15 6

4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

(40)

Requêtes dans un ABR

Coût d’une requête

Toutes ces requêtes ont un coût temporel enO(h(A)), ce qui explique tout l’intérêt qu’il peut y avoir à ce que l’arbre binaire de recherche soit équilibré:

• dans un ABR quelconque d’ordren=|A|, le coût d’une requête est unO(n);

• dans le cas d’un ABR équilibré, le coût d’une requête est unO(logn).

(41)

Pour insérer le couple(k,u)∈ C×V au niveau des feuilles on procède ainsi :

• siA=nil, on retourne l’arbre(nil,(k,u),nil);

• siA= (F_g,(c,v),F_d)alors :

• sic=kon remplace le couple (c,v)par(k,u)et on insère(c,v)dans F_g ouF_d;

• sic>kon insère(k,u)dansF_g;

• sic<kon insère(k,u)dansF_d.

let rec insere_feuille y = function

| Nil −> Noeud (Nil, y, Nil)

| Noeud (fg, x, fd) when x.Key = y.Key −> Noeud (fg, y, insere_feuille x fd)

| Noeud (fg, x, fd) when x.Key < y.Key −> Noeud (insere_feuille y fg, x, fd)

| Noeud (fg, x, fd) −> Noeud (fg, x, insere_feuille y fd) ;;

(42)

Insertion dans un ABR

Insertion au niveau de la racine

Pour insérer le nouvel élément à la racine on partitionne l’arbre en pla- çant tous les éléments inférieurs à la nouvelle clé dans le fils gauche et les autres dans le fils droit :

let insere_racine y a = let rec partition = function

| Nil −> Nil, Nil

| Noeud (fg, x, fd) when x.Key < y.Key −> let a1, a2 = partition fd in Noeud (fg, x, a1), a2

| Noeud (fg, x, fd) −> let a1, a2 = partition fg in a1, Noeud (a2, x, fd) in let fg, fd = partition a in Noeud (fg, y, fd) ;;

(43)

Insertion dans un ABR

Comparaison des deux méthodes

Insertion de la clé 8 dans l’arbre ci-dessous : 15

6 4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

(44)

Insertion dans un ABR

Comparaison des deux méthodes

6 4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

15 6

4 2

3 5

7 13 9 8

19 17

18 20

Insertion au niveau des feuilles.

Cette méthode a un coût enO(h(A)).

(45)

6 4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

8

6 4 2

3 5

7

15 13 9

19 17

18 20

Insertion au niveau de la racine.

(46)

Suppression dans un ABR

Pour supprimer une clékon procède ainsi :

• sik<c, on supprime un élément de clékdansF_g;

• sik>c, on supprime un élément de clékdansF_d;

• sik=c, alors :

• siF_g=nil on renvoieF_d;

• siF_d =nil on renvoieF_g;

• sinon, on supprime deF_dune clé minimalemet on renvoie(F_g,m,F_d⁰).

let rec supprime_min = function

| Nil −> failwith "supprime_min"

| Noeud (Nil, m, fd) −> m, fd

| Noeud (fg, x, fd) −> let m, f = supprime_min fg in m, Noeud (f, x, fd) ;;

let rec supprime k = function

| Noeud (fg, x, fd) when x.Key < k −> Noeud (fg, x, supprime k fd)

| Noeud (fg, x, fd) when x.Key > k −> Noeud (supprime k fg, x, fd)

| Noeud (Nil, x, fd) −> fd

| Noeud (fg, x, Nil) −> fg

| Noeud (fg, x, fd) −> letm, f = supprime_min fd in Noeud (fg, m, f) ;;

(47)

Suppression dans un ABR

Suppression de la clé 15 dans l’arbre ci-dessous : 15

6 4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

4 2

3 5

7 13 9

18 20

(48)

Suppression dans un ABR

Suppression de la clé 15 dans l’arbre ci-dessous : 15

6 4 2

3 5

7 13 9

19 17

18 20

17 6

4 2

3 5

7 13 9

19

18 20

(49)

ABR ont un coût enO(h(A)), autrement dit, en posantn=|A|:

• un coûtlinéaireO(n)dans le cas d’un arbre de recherche quelconque ;

• un coûtlogarithmiqueO(logn)dans le cas d’un arbre de recherche maintenu équilibré.

(50)

Le problème du déséquilibre

Toutes les fonctions de requêtes, d’insertion et de suppression dans un ABR ont un coût enO(h(A)), autrement dit, en posantn=|A|:

1 2

3 4

5

Insertion de 1, 2, 3, 4, 5 au niveau des feuilles.

(51)

ABR ont un coût enO(h(A)), autrement dit, en posantn=|A|:

5 4 3 2 1

Insertion de 1, 2, 3, 4, 5 au niveau de la racine.

(52)

Le problème du déséquilibre

On peut démontrer que le comportement du cas moyen est plus proche du cas optimal que du cas le plus défavorable : si un arbre binaire de recherche est créé en insérant n clés distinctes au niveau des feuilles dans un ordre aléatoire, il existectelle que la hauteur moyenne de cesn!

arbres soit équivalente àclogn.

(53)

Le problème du déséquilibre

Par exemple, les six arbres que l’on obtient en insérant dans un ordre arbitraire les trois entiers 1, 2 et 3 sont :

1−2−3 3−1−2 2−3−1 2−1−3 1−3−2 3−2−1 1

2 3

3 1

2

2 1 3

1 3 2

3 2 1

(54)

Le problème du déséquilibre

Par exemple, les six arbres que l’on obtient en insérant dans un ordre arbitraire les trois entiers 1, 2 et 3 sont :

1−2−3 3−1−2 2−3−1 2−1−3 1−3−2 3−2−1 1

2 3

3 1

2

2 1 3

1 3 2

3 2 1

Ceci ne revient pasà supposer que chaque arbre binaire de recherche à nnœuds est équiprobable : la hauteur moyenne d’un arbre binaire de recherche de taillens’ils sont tous équiprobables est équivalente à 2

√ πn.

(55)

du cas optimal que du cas le plus défavorable : si un arbre binaire de recherche est créé en insérant n clés distinctes au niveau des feuilles dans un ordre aléatoire, il existectelle que la hauteur moyenne de cesn!

Il est néanmoins possible de garantir une complexité dans le pire des cas enO(logn)à condition de maintenir en place une structure d’arbre qui garantisse l’équilibrage : arbres AVL, arbres rouge-noir, etc.

(56)

ABR et dictionnaires

Dans le cours de première année a été étudiée la notion detable d’association, oudictionnaire: siCdésigne l’ensemble des clés etV l’ensemble des valeurs, une table d’association T est un sous-ensemble de C×V tel que pour toute cléc ∈ C il existeau plusun élément v ∈ V tel que (c,v)∈T.

Une table d’association supporte en général les opérations suivantes :

• ajoutd’une nouvelle paire(c,v)∈C×VdansT;

• suppressiond’une paire(c,v)deT;

• lecturede la valeur associée à une clé dansT.

(57)

ciation, oudictionnaire: siCdésigne l’ensemble des clés etV l’ensemble des valeurs, une table d’association T est un sous-ensemble de C×V tel que pour toute cléc ∈ C il existeau plusun élément v ∈ V tel que (c,v)∈T.

Une table de hachage permet la réalisation d’une structure impérative de dictionnaire, avec les coûts :

pire des cas en moyenne lecture ajout lecture ajout

Θ(n) Θ(n) Θ(1) Θ(1)

(58)

ABR et dictionnaires

Dans le cours de première année a été étudiée la notion detable d’association, oudictionnaire: siCdésigne l’ensemble des clés etV l’ensemble des valeurs, une table d’association T est un sous-ensemble de C×V tel que pour toute cléc ∈ C il existeau plusun élément v ∈ V tel que (c,v)∈T.

Un ABR permet la réalisation d’une structure persistante de dictionnaire, avec les coûts :

pire des cas en moyenne lecture ajout lecture ajout Θ(logn) Θ(logn) Θ(logn) Θ(logn) à condition de maintenir équilibrés les ABR.

(59)

Un arbre binaire est dit parfait lorsque tous les niveaux hiérarchiques sont remplis sauf éventuellement le dernier, partiellement rempli de la gauche vers la droite.

16 14

8

2 4

7 1

10

9 3

(60)

Tas binaire

Tas-min et tas-max

16 14

8

2 4

7 1

10

9 3

SiAest un arbre parfait, alors

1+2+· · ·+2^h^(A)⁻¹<|A|61+2+· · ·+2^h^(A) donc 2^h^(A⁾6|A|<2^h(A)+1; c’est un arbre équilibré.

(61)

Tas binaire

Tas-min et tas-max

16 14

8

2 4

7 1

10

9 3

On appelletas-maxun arbre parfait étiqueté tel que l’étiquette de chaque nœud autre que la racine soit inférieure ou égale à l’étiquette de son père.

(62)

Tas binaire

Tas-min et tas-max

16 14

8

2 4

7 1

10

9 3

On appelletas-maxun arbre parfait étiqueté tel que l’étiquette de chaque nœud autre que la racine soit inférieure ou égale à l’étiquette de son père.

Un tas-minpossède la propriété opposée : l’étiquette de chaque nœud autre que la racine est supérieure ou égale à l’étiquette de son père.

(63)

On représente un tas par un tableau en utilisant la numérotation :

• la racine porte le numéro 1 ;

• si un nœud porte le numérok, son fils gauche porte le numéro 2ket son fils droit le numéro 2k+1.

Le père d’un nœud de numérokporte donc le numérojk 2 k.

16 14

8 2 4

7 1

10

9 3

16

1

14

2

10

3

8

4

7

5

9

6

3

7

2

8

4

9

1

10

(64)

Tas binaire

Implémentation

Sachant que les tableaux Caml sont indexés à partir de 0, on décale les indices :

• la racine est stockée dans la case d’indice 0 ;

• si un nœud est stocké dans la case d’indicek, son fils gauche est stocké dans la case d’indice 2k+1 et son fils droit dans la case d’indice 2k+2 ;

• si un fils est stocké dans le case d’indicek, son père est stocké dans la case d’indicejk−1

2 k.

16 14

8 2 4

7 1

10

9 3

16 14 10 8 7 9 3 2 4 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(65)

Si la nouvelle valeur de cet élément est supérieure à la précédente, il se peut que cet élément doive monter dans l’arbre pour reconstituer un tas.

16 14 18 2 4

7 1

10

9 3

(66)

Préservation de la structure de tas

Comment reconstituer un tas après qu’un élément a été modifié ?

Si la nouvelle valeur de cet élément est supérieure à la précédente, il se peut que cet élément doive monter dans l’arbre pour reconstituer un tas.

16 14 18 2 4

7 1

10

9 3

On permute l’élément avec son père tant que le tas n’est pas reconstitué :

let swap t i j =

let x = t.(i) int.(i) <− t.(j) ; t.(j) <−x ;;

let monte t k =

let recaux = function

| 0 −> ()

| i −> let j = (i−1)/2 in

ift.(i) > t.(j) then (swap t i j ; aux j) inaux k ;;

Le temps d’exécution est unO(h(T)) =O(logn).

(67)

Si la nouvelle valeur de cet élément est inférieure à la précédente, il se peut que cet élément doive descendre dans l’arbre.

16 3 8 2 4

7 1

10

9 3