Formule d'approximation semi-classique de Weyl

Université Joseph Fourier. Master 1 Physique TD de mécanique quantique

TD n^◦2

Formule d'approximation semi-classique de Weyl

1 Particule libre (ex. de cours)

Références : [1] appendice III.

On considère une particule de masse m, se déplaçant librement à une dimension entre deux murs en x= 0 etx=L.

1. Donner l'expression de son énergie (le Hamiltonien classique) H(x, p), et dessiner l'allure de la trajectoire d'une particule classique d'énergie E dans l'espace de phase (x, p).

2. Le principe d'incertitude dit qu'un état quantique occupe la surface ∆x∆p'~dans l'espace de phase. Plus précisément, soit E une énergie xée, et appelons S(E) la surface dans l'espace de phase (x, p) occupée par les points d'énergie inférieure à E. Appelons N(E) le nombre de niveaux d'énergie quantiques inférieurs à E. La formule de Weyl donne¹ :

N(E)' S(E) 2π~

(avec une correction de l'ordre d'un nombre de niveaux négligeable devant N(E) si N(E) est grand). Calculer S(E) dans le cas présent, et déduire N(E) d'après la formule de Weyl. Comparer ce résultat au spectre exact (voir TD1) : E_n^exact =

πn L

2 ~²

2m. Donner l'expression de la densité d'étatsρ(E) = ^dN(E)_dE .

3. (Optionnel) Mêmes questions (1 et 2) dans le cas d'une particule libre se déplaçant dans une boîte tridimensionnelle de volumeV. Dans ce cas la formule de Weyl s'écrit :

N(E)' S(E) (2π~)³

où S(E) est le volume² dans l'espace de phase (x, y, z, p_x, p_y, p_z) occupé par les états d'énergie inférieure à E. Cette formule est très utilisée en physique statistique pour estimer la densité d'états, par exemple d'électrons dans un métal, [1] p.1423).

Remarques sur l'expression de N(E) obtenue ?

1. cette formule est en fait valable pour toute forme de potentielV (x)connant 2. Il sera utile de connaitre le volume d'une sphère de rayon|p|=√

2mE dans l'espace des impulsions

4. (Optionnel) Application. Dans un métal comme le sodium, la densité d'électrons libres est n/V = 2.6 10²² électrons/cm³. Estimer l'énergie et la vitesse des électrons qui ont l'énergie de FermiE_F. (d'après la règle de remplissage de Fermi, chaque état quantique spatial d'énergie E ≤E_F est occupé par deux électrons de spin opposés).

2 Spectre du corps noir : gaz de photons à l'équilibre thermique

Soit un volume V xé, qui contient un gaz de photons à l'équilibre thermodynamique à la température T xée. Cela signie que ces photons sont en contact avec de la matière qui est à la température T, car il n'y a pas d'interaction directe entre les photons.

La distribution d'énergie de ces photons s'appelle la loi de Planck ou spectre du corps noir. L'allure de ce spectre dépend de la température T.

Exemples :

A la surface du Soleil, le plasma a la température T = 6000⁰K.

Dans un four, on peut avoir T = 600⁰K. Cf Diu p826-917 pour une barre de fer. Le forgeron a des tables de couleurs, lui donnant la température précise, à partir de la couleur observée.

Le rayonnement fossile de l'univers suit la loi de Plank pour T = 2,725K ±0.002. Lire Fond dius cosmologique sur wikipedia.

On va établir la loi de Planck qui donne la distribution d'énergie u(ν)dν (par intervalle de fréquence et par unité de volume) d'un gaz de photons à l'équilibre thermique.

Questions Pour un intervalle de fréquence ν ∈[ν;ν+dν],

1. En utilisant la formule de Weyl sur le comptage d'états ondulatoires (i.e. un état ondulatoire occupe l'espace de phase _(2π)^{1 3}d³~xd³~k), trouver le nombre de modes élec- tromagnétiques ^dn_dν dans un volume V et par intervalle de fréquence.

2. D'après la quantication du champ électromagnétique, un mode de fréquenceν ayant N photons a une énergie E_N = hν(N + 1/2). La loi de Boltzmann stipule que cet état à N photons a la probabilité P_N = _Z¹ exp (−E_N/(kT)) d'apparaitre. Déduire le nombre moyen de photons dans ce mode < N_mode >= ^dN_dn appelée loi de Bose- Einstein. Déduire le nombre moyen de photons ^dN_dν par intervalle de fréquence.

3. Déduire et tracer l'énergie des photons par unité de volume et par intervalle de fréquence, notée u(ν) et appelée Loi de Planck :

u(ν)dν = 8πhν³dν

c³(e^hν/kT −1) : loi de Planck

3 Equidistribution de l'énergie des ondes sismiques

La croute terrestre est solide, et inhomogène. Les ondes sismiques sont des ondes de vibration élastiques dans ce milieu. Leur origine est diverse : tremblements de terre pour les fortes amplitudes (qui sont relativement rares et localisées). Mais il y a toujours un bruit de fond d'ondes sismiques dont l'origine est essentiellement par exemple le fracas des vagues sur les côtés océaniques. Sauf près des autoroutes par exemple, où le passage des poids lourds a un eet dominant. Dans la croute, les ondes élastiques ont trois polarisations possibles :

2 états de polarisation pour les ondes transverses (ondes P comme primaires car plus rapides, elles arrivent les premières), qui ont une vitesse vP '6km/s

1 état de polarisation pour les ondes longitudinales (ondes S, comme secondaires), qui ont une vitesse plus faible v_S =v_P/1.73

Dans certaines régions, la croute terrrestre contient de nombreuses inhomogénéités. Dans ces régions les ondes du bruit de fond se comportent de façon très complexe (subissent des reexions, des interférences...). Il est donc raisonnable de supposer que tous les modes sont excités de façon identique en moyenne. C'est une hypothèse sur l'équidistribution de l'énergie entre les diérents modes, semblable à l'hypothèse ergodique en physique

1. En utilisant la formule de Weyl sur le comptage d'états ondulatoires, considérer un intervalle de fréquencedνet un volumeV, et calculer le nombre de modesdn_P d'ondes P et le nombre de modes dn_S d'ondes S.

2. Avec l'hypothèse d'équidistribution de l'énergie entre ces diérents modes, déduire³ le rapport EP/ES entre l'énergie contenue par les ondes P et S dans un intervalle de fréquence dν.

Références

[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique.

[2] R. Hennino, N. Tregoures, M Shapiro, L. Margerin, M Campillo, B. van Tiggelen, and R. Weaver. Observation of equipartition of seismic waves. Phys. Rev. Letters, 86 :3447 3450, 2001.

[3] G. Papanicolaou, L. Ryzhik, and J. Keller. Stability of the p to s energy ratio in the diusive regime. 1995.

3.

(a) Cette prédominance en énergie des ondes S sur les ondes P n'a été étudiée que récemment [3] (1995), et observée dans une région du Mexique en 2001 [2], qui forme une cavité propice à la diusion des ondes. Il faut noter la diculté qu'il y a de mesurer la polarisation des ondes sismiques.

Université Joseph Fourier. Master 1 Physique TD de mécanique quantique, Frédéric Faure.

TD n^o2 Solution

Formule d'approximation semi-classique de Weyl

1 Formule d'approximation semi-classique de Weyl

1. Dans le cas d'une particule libre se déplaçant dans une boîte de longueurL, alorsE=H(x, p) = p²/(2m) si 0 < x < L. La trajectoire d'énergie est un rectangle de cotés x = 0, x = L, p=pmax =√

2mE, etp=−pmax.

2. La surface est surface S(E) =L2pmax = 2L√

2mE. La formule de Weyl donne : N(E)' S(E)

2π~ = L√ 2mE π~ à comparer du résultat exact déduit deE_n= ^πn_L2 ~²

2m : N(E) =

"

L√ 2mE π~

#

c'est donc identique. La densité d'état est ρ(E) = dN

dE = L√ 2m 2π~√

E elle décroit avec E.

3. Dans le cas d'une particule libre se déplaçant dans une boîte de volumeV, l'espace de phase est formé par les points (états classiques) de coordonnées~x= (x, y, z)∈V et~p= (px, py, pz)∈R³. L'énergie d'un état estE =|~p|²/(2m). SoitS(E) le volume (dans l'espace de phase) formé par les états d'énergie inférieure àE. Cela impose à~xd'appartenir au volumeV et à~pd'appartenir à la sphère de rayon |p_max|=√

2mE. On a donc le produit des volumes S(E) =V

4

3π|p_max|³

=V4

3π(2mE)^3/2 La formule de Weyl donne alors :

N(E)' S(E)

(2π~)³ = V⁴₃π(2mE)^3/2

(2π~)³ (1)

La densité d'état est donc :

ρ(E) = dN

dE = V2π(2m)^3/2 (2π~)³

√ E Elle augmente avecE.

Remarque : La formule (1) ne dépend pas de la forme de la boite mais seulement du volumeV. Il faut savoir que la formule exacte des niveaux d'énergieEnn'est connue sauf dans des cas très particuliers, comme le parallépipède ou la sphère, ou l'ellipsoide. Cela est lié au problème du chaos quantique, car dans ces boites la trajectoire d'une particule libre est simple et prédictible,

4. Application : Si la particule a deux états de spins, chaque cellule de Planck peut contenir deux états. On multiplie les résultats précédent par 2. On trouve

E_F = 1 2m

n3 (2π~)³ V8π

!2/3

'3 eV etE_F = ¹₂mv²_F doncv_F '10⁶m.s⁻¹.

2 Spectre du corps noir : gaz de photons à l'équilibre thermique

1. Un mode occupe le volume élémentaire∆³~x∆³~k= (2π)³dans l'espace de phase

~ x, ~k

. Considé- rons un intervalle de fréquencedν. D'aprèsω= 2πν=ck, cela correspond àdk= ^2π_cdν et à un volume dans l'espace~kde V_k= 4πk²dk (volume de la sphère de rayonket épaisseurdk). Donc dans un volume V et un intervalle de fréquence dν contiennent dn = 2 (VV_k)/(2π)³ modes.

Le facteur 2 tient compte des deux états de polarisation possibles d'un mode (droite/gauche).

Donc

dn= 2V

4πk^{2 (2}_c^π)dν

(2π)³ = 8πV ν² c³ dν 2. On ahN_modei=P∞

N=0PNN, avec la probabilitéPN = _Z¹ exp (−E_N/kT). Comme1 =P

NPN, on déduit que la constanteZ est donnée par

Z=X

N

exp (−E_N/kT) =X

N

exp (−α(N + 1/2))

=e^−α/2X

N≥0

e^−αN

| {z }

S

avec α= (~ω)/kT et la série géométriqueS =P

N≥0e^−αN = _1−e¹−α. Alors hN_modei =

∞

X

N=0

P_NN

= 1 Z

X

N

Nexp (−α(N+ 1/2))

= 1

e^−α/2Se^−α/2

−dS dα

= 1 S

−dS dα

= 1

e^α−1

= 1

e^hν/(kT)−1

appelée distribution de Bose-Einstein. Ensuite dN

dν = dN dn

dn

dν =< N_mode> dn dν 3. u(ν) = _V¹ (hν)^dN_dν =. . .= ^8πhν3

c³

e^kThν−1

3 Equidistribution de l'énergie des ondes sismiques

1. Un mode occupe ∆³~x∆³~k = (2π)³. Considérons un intervalle de fréquence dν. Pour les ondes S, cela correspond à dk = _v^2π

Sdν, et un volume dans l'espace ~k de V_k = 4πk²dk (volume de la sphère de rayon k et épaisseur dk). Donc dans un volume V et un intervalle de fréquence

dν= ^v_2π^Sdk contiennent dn_S = 2 (V V_k)/(2π)³ modes. Le facteur2tient compte des deux états de polarisation possibles d'un mode. Donc

dn_S= 2 (4π)V ν²dν v_s³ de même pour les ondes P :

dn_P = (4π)V ν²dν v_P³

2. D'après l'hypothèse d'équidistribution entre les modes, le rapport d'énergie est égal au rapport du nombre de modes :

E_P

E_S = dn_P dn_S = 1

2 v_S

v_P 3

= 1

2 (1,73)³ ' 1 10