Master Maths Fonda. et Appliqu´ees Orsay 2008–09 1`ere ann´ee - 2 `eme semestre - Analyse
Bref corrig´ e de l’examen du 12 juin 2009
A. Vrai/faux.
1.FAUX. Par exemple, si on munit Rde la distancedtelle qued(x, y) = 1 d`es quex6=y. Alors la boule ouverteBouverte(0,1) est r´eduite au singleton{0}, son adh´erence est aussi r´eduite au singleton {0}, mais la boule ferm´eeBf ermee(0,1) est Rtout entier.
2. VRAI. SoitDun ensemble d´enombrable deRet supposons queDest une intersectionT
n∈NOn
o`u On est un ouvert dense de R pour tout n. Puisque D est d´enombrable, on peut ´ecrire D = {xn}n∈N. Pour tout n, l’ensemble On\ {xn} est alors un ouvert dense de R. Et on a bien sˆur T
n∈N(On\ {xn}) =∅ce qui contredit le th´eor`eme de Baire.
3. VRAI. Si f est constante, alors la famille (gn)n∈N est r´eduite `a un ´el´ement, et est donc rela- tivement compacte. R´eciproquement, soita= supx∈R|f0(x)|. Si f n’est pas constante, alorsa >0.
D’autre part, pour tout n∈N, on a supx∈Rgn0(x) = 2n.a. En particulier, il n’existe pas de borne uniforme (en fonction de x et de n) des d´eriv´ees gn0. Par cons´equent, la famille {gn}n∈N n’est pas
´
equicontinue.
4. FAUX. Prenons F l’espace vectoriel engendr´e par les fonctionst7→cos(2πnt) et t7→sin(2πnt) pour n = 0,1,2, . . .. Clairement F 6= L2([0,1]) et pourtant le r´esultat de base de la th´eorie des s´eries de Fourier est que F⊥ ={0}.
5.FAUX. Le lin´earis´e du syst`eme au point (0,0) est le syst`eme x0
y0
=A x
y
o`u A=
−2 −1
−1 −1
.
Cette matrice poss`ede deux valeurs propres r´eelles strictement n´egatives. On a vu dans le cours que ceci implique l’existence d’un voisinage U de l’origine, tel que toutes les solutions du syst`eme qui partent d’un point de U restent dansU et tendent exponentiellement vite vers l’origine.
B. Op´erateurs compacts.
Fixons un op´erateur compact T : H → H. Puisque adhe(T(H)) est compact, pour tout n ∈ N, il existe un ensemble fini En ⊂ adhe(T(H)) tel que tout point de adhe(T(H)) est situ´e `a une distance inf´erieure `a 1/n d’au moins un point de En. Notons Fn le sous-espace vectoriel de H engendr´e par En. C’est un sous-espace vectoriel de dimension finie ; en particulier ferm´e. Notons alors Pn:H →Fn le projecteur orthogonal sur Fn. AlorsPn◦T est un op´erateur de rang fini. De plus, d’apr`es le th´eor`eme de projection sur un convexe ferm´e dans un Hilbert, pour toutx∈H, on a kx−Pn(x)k = infy∈Fnkx−yk ≤1/n. Par cons´equent, on ak|Pn◦T −Tk| ≤1/n. Ceci montre que T est limite d’une suite d’op´erateurs de rangs finis.
C. ´Etude d’un syst`eme diff´erentiel.
1.Le lin´earis´e du syst`eme est x0
y0
=A x
y
o`uA=
1 1
−1 1
.
La matrice A poss`ede deux valeurs propres complexes conjugu´ees de parties r´elles strictement positives. Les trajectoires orient´ees du syst`eme lin´earis´e sont donc des spirales qui fuient l’origine.
D’apr`es le th´eor`eme de Grobman-Hartman, les trajectoires du syst`eme (E) sont “localement hom´eomorphes”
`
a celles du syst`eme lin´earis´e. En particulier, au voisinage de l’origine, toutes les trajectoires orient´ees de (E) fuient l’origine.
2.On a r2(t) =x2(t) +y2(t). On en d´eduit facilement que (r2)0(t) = 2r2(t)[1−r2(t)].
On a x(t) = r(t) cos(θ(t)) et y(t) = r(t) sin(θ(t)). On en d´eduit facilement que r2(t)θ0(t) = x(t)y0(t)−x0(t)y(t). D’o`u
θ0(t) = 1.
3. Consid´erons une solution maximale (x(t), y(t)) du syst`eme d´efinie sur un intervalle ]T∗, T∗[. Si T∗ <∞ alors, d’apr`es le th´eor`eme d’explosion,r2(t)→ ∞quand t→T∗. Mais alors, pour tassez proche de T∗, on a r2(t)≥1. D’apr`es la question pr´ec´edente, ceci implique que r2(t) d´ecroit pour t proche deT∗. Ceci contredit bien sˆur le fait quer2(t)→ ∞ quand t→T∗.
4. En observant les ´equations, on voit tout d’abord que le cercle r = 1 est l’image g´eom´etrique d’une solution parcourue dans le sens direct `a vitesse 1. Les autres solutions restes soit dans la zone r >1, soit dans la zone r <1.
Soit (x(t), y(t)) = r(t) exp(iθ(t)) une solution maximale, d´efinie sur ]T∗, T∗[, et situ´ee dans le disque r <1. L’´equation diff´erentielle qui gouverne r(t) montre que r(t) est croissant. Ainsi r(t) a des limites r∗ et r∗ quand t 7→ T∗ et quand t 7→ T∗. Pour r = r∗ ou r = r∗, on doit avoir 2r2[1−r2] = 0. on en d´eduit imm´ediatement que r∗ = 0 etr∗= 1. Par ailleurs, tout au long de la solution, on aθ(t) =t+ constante. Par cons´equent, la solution consid´er´ee spirale autour de l’origine dans le sens postif, en s’´ecartant de l’origine ; cette solution tend vers l’origine dans le pass´e, et vers le cercle r= 1 dans le futur (voir dessin).
Si on consid`ere maintenant une solution maximale situ´ee dans la zone r > 1, on montre par un raisonnement analogue au pr´ec´edent que cette solution spirale autour de l’origine dans le sens postif ( en se rapprochant de l’origine). Cette solution tend vers l’infini dans le pass´e, et vers le cercle r= 1 dans le futur (voir dessin).
-5 -2,5 0 2,5 5
-5 -2,5 2,5 5
