2éme Bac PC 2020/2021 etude-generale.com
Matiére : Mathématique Prof : Yahya MATIOUI
Correction de la série sur les la dérivation et l’étude des fonctions 11/12/2020
Exercice 1 On considère la fonction dé…nie sur R par : f(x) = x 1 + 2p
1 x; x 1 f(x) = xx33+11; x 1 1. La continuité de f en 1:
* On étudie la continuité à droite de 1:
On commence par calculer f(1):
On a : f(1) = 1 1 + 2p
1 1 = 0 lim
x !1+
f(x) = lim
x !1+
x3 1 x3+ 1 = 0
2 = 0 =f(1) Donc, la fonction f est continue à droite de 1:
* On étudie la continuité à gauche de 1:
lim
x !1 f(x) = lim
x !1 x 1 + 2p
1 x= 0 =f(1) Donc, la fonction f est continue à gauche de 1:
D’où, la fonction est f continue en 1; car elle est continue à droite et gauche de 1:
2. Étudions la dérivabilité à droite et à gauche de 1:
* La dérivabilité de f à droite 1:
lim
x !1+
f(x) f(1)
x 1 = lim
x !1+ x3 1 x3+1 0
x 1
= lim
x !1+
x3 1 (x3+ 1)(x 1)
= lim
x !1+
(x 1)(x2+x+ 1) (x3+ 1)(x 1)
= lim
x !1+
(x2+x+ 1) (x3+ 1) = 3
2 =fd0(1) La fonction f est dérivable à droite de 1; et fd0(1) = 32:
L’interprétation de la dérivée à droite de 1:
La courbe(Cf)admet une demie tangente en pointA(1;0)d’équation :
(Td) : y= 32x 32 x 1
* La dérivabilité de f à gauche 1:
lim
x !1
f(x) f(1)
x 1 = lim
x !1
x 1 + 2p
1 x 0
x 1
= lim
x !1
x 1 + 2p 1 x (x 1)
= lim
x !1
x 1 x 1 +2p
1 x x 1
= lim
x !1
1 + 2(1 x) (x 1)p
1 x
= lim
x !1 1 2(x 1)
(x 1)p 1 x
= lim
x !1 1 2
p1 x = 1 2
0+ = 1 La fonction f n’est pas dérivable à gauche de 1:
L’interprétation de la dérivée à gauche de 1:
La courbe (Cf) admet une demie tangente verticale en 1 vers le haut.
3. Calculons limx !+1f(x):
x lim!+1f(x) = lim
x !+1
x3 1 x3+ 1 = 1
Interprétation géométrique.
La courbe(Cf)admet une asympotote horizontale d’équationy= 1 au voisinage de +1:
b) Calculons f( 3):
f( 3) = 3 1 + 2p
1 ( 3) = 0
* Calculons limx ! 1f(x):
x lim! 1f(x) = lim
x ! 1x 1 + 2p 1 x
= lim
x ! 1x 1(1 + 2p 1 x x 1 )
= lim
x ! 1x 1(1 + 2(1 x) p1 x(x 1))
= lim
x ! 1x 1(1 2(x 1)
p1 x(x 1))
= lim
x ! 1x 1(1 2
p1 x) = 1 car : lim
x ! 1
p 2
1 x = 2
+1 = 0 et lim
x ! 1x 1 = 1
c) Étudions la nature de la branche in…nie au voisinage de 1:
Calculons limx ! 1 f(x)x :
x lim! 1
f(x)
x = lim
x ! 1
x 1 + 2p 1 x x
= lim
x ! 1
x 1 x + 2p
1 x x
= lim
x ! 1
x 1
x +
2p x2q
1 x2
1 x
x
= lim
x ! 1
x 1
x 2
r 1 x2
1 x = 1 Car : lim
x ! 1
x 1
x = 1 et lim
x ! 12 r 1
x2 1 x = 0 Calculons limx ! 1 f(x)x x:
x lim! 1f(x) x = lim
x ! 1x 1 + 2p
1 x x
= lim
x ! 1 1 + 2p
1 x= +1 Interprétation géométrique.
La courbe (Cf) admet une barnche parabolique de direction asympto- tique la droite d’équation y=x au voisinage de 1:
a) Calculons la fonction dérivée f0 sur [1;+1[:
La fonction f est dérivable sur [1;+1[ car c’est une fonction ra- tionnelle.
Donc
f0(x) = (x3 1 x3+ 1)0
= (x3 1)0(x3+ 1) (x3 1)(x3 + 1)0 (x3+ 1)2
= 3x2(x3+ 1) 3x2(x3 1) (x3+ 1)2
= 3x2(x3+ 1 x3+ 1) (x3 + 1)2
= 6x2 (x3+ 1)2
Soit x2[1;+1[:
On a : 6x2 0 et (x3 + 1)2 0. D’où : f0(x) 0 pour tout x 2 [1;+1[:
Ce qui signi…e que f est strictement croissante sur [1;+1[: b) Calculons la fonction dérivée f0 sur ] 1;1[:
La fonction f s’écrit sous la forme d’une somme de deux fonctions.
u(x) = x 1 et v(x) = 2p 1 x
* u est une fonction polynôme dérivable sur R, et surtout sur ] 1;1[:
On pose : g :x7 !1 x
* La fonction g est une fonction polynôme dérivable sur R, et surtout sur ] 1;1[ de plus pour tout x 2 ] 1;1[ on a : g(x) 0: Donc, la fonction v est dérivable sur ] 1;1[: Ce qui signi…e quef est dérivable sur ] 1;1[ comme la somme
de deux fonctions dérivables.
Donc
f0(x) = (x 1 + 2p
1 x)0
= 1 + 2 (1 x)0 2p
1 x
= 1 1
p1 x
=
p1 x 1 p1 x
= (p
1 x 1)(p
1 x+ 1) p1 x(p
1 x+ 1)
= 1 x 1
p1 x(p
1 x+ 1)
= x
p1 x(p
1 x+ 1) D’où, pour tout x2] 1;1[
f0(x) = x
p1 x(p
1 x+ 1)
c) Le tableau de variations de f sur R:
* La fonction f est strictement croissante sur [1;+1[:
* Soit x2] 1;1[; on a :f0(x) = p1 x(px1 x+1) comme p
1 x(p
1 x+ 1) 0; donc le signe de f0(x) est le signe de x: Ce qui sigini…e que :
(8x2] 1;0]); f0(x) 0 et (8x2[0;1[), f0(x) 0
Donc
4. On trace la courbe de la fonction f:
* La courbe (Cf)admet une demi-tangente en A(1;0)d’équation :y=
3 2x 32.
* La courbe (Cf) admet une asympotote horizontale d’équation y = 1 au voisinage de +1:
* La courbe (Cf) admet une barnche parabolique de direction asymp-
totique la droite d’équation y=x au voisinage de 1:
La courbe en blue et orange représente (Cf), et la courbe en magenta représente (Cg 1):
5. Soit g la restriction de f sur l’intervalle[1;+1[: g(x) =f(x) = x3 1
x3+ 1; x 2[1;+1[
a) Montrons que f admet une fonction réciproque dé…nie sur[1;+1[:
* La continuité de f sur [1;+1[:
f est une fonction rationnellle continue sur son domaine de dé…nition, et surtout sur l’intervalle [1;+1[:
* La monotonie (strict) sur [1;+1[
D’après la question 4 (a); on sait que la fonction f est strictement croissante sur [1;+1[:
On en déduit donc, que la fonctionf est admet une fonction réciproque dé…nie sur l’ensemble J =f(I) tel que
J =f([1;+1[) = f(1); lim
x !+1f(x) = [0;1[
b La courbe (Cg 1) est la symétrie de la courbe (Cf) par rapport à la droite y=x: (voir la …gure):
c) On cherche g 1(x) pour tout x2J:
y=f(x)
x2I () f 1(y) =x y2J y = f(x) () y= x3 1
x3 + 1 () y(x3+ 1) =x3 1 () yx3+y=x3 1 () x3(y 1) = 1 y () x3 = 1 y
y 1 () x3 = y+ 1
1 y () x= 3
ry+ 1 1 y Donc
f 1(y) = 3 ry+ 1
1 y Autrement dit
g 1(x) = 3 rx+ 1
1 x; x2[0;1[
FIN
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