SONS ET ULTRASONS
1. Sons et ultra-sons.
Un son est caractérisé par sa fréquence, son amplitude et son timbre.
Les ultrasons utilisés en imagerie ont des fréquences comprises entre 2 MHz et 10 MHz ; en échographie on utilise des fréquences de 2 MHz pour les organes profonds, 3 MHz pour le coeur, 6 MHz pour la thyroïde ; en vélocimétrie Doppler on utilise des fréquences entre 3 MHz et 6 MHz.
2. Émetteurs et récepteurs 2.1. Sons audibles.
Les émetteurs sont des systèmes mécaniques : instruments de musique, cordes vocales, haut-parleur…
Les récepteurs sont l’oreille, les micros : ils transforment les vibrations de l’air en influx nerveux ou en tension électrique.
2.2. Les émetteurs et récepteurs à ultrasons.
Certains cristaux, comme le quartz, possèdent des propriétés piézoélectriques : si on applique une tension aux bornes d’un quartz, celui-ci se déforme.
La déformation est sensiblement proportionnelle à la tension appliquée ; δd = a δV
L’application d’une tension alternative aux bornes du cristal crée une vibration du cristal qui produit des ondes sonores dans le milieu ambiant.
Pour une fréquence d’excitation correspondant à la fréquence propre du cristal, il peut se produire un phénomène de résonance ; celui-ci a lieu quand l’épaisseur de la lame est telle que :
f = c
2 d
où c est la célérité de l’onde sonore dans le cristal (le cristal est alors le siège d’ondes stationnaires).
(typiquement, pour un cristal de quartz, il y a résonance à 1 MHz pour un épaisseur de 2,9 mm).
Le rendement ultra sonique du cristal est amélioré en enfermant ces deux faces entre deux plaques d’acier.
On utilise des cristaux synthétiques qui présentent l’avantage de posséder une impédance électrique relativement basse, et qui fonctionnent sous plus basse tension.
Inversement, si on déforme un cristal piézoélectrique, il apparaît une tension à ces bornes ; un émetteur piézoélectrique peut également être utilisé en récepteur.
Cellule piézoélectrique
3. Propagation d’une onde sonore.
3.1. Rôle de la source
La perturbation du milieu apportée par une source sonore perturbe à son tour d’autres régions proches du milieu, donnant naissance à un phénomène que l’on appelle onde. La source impose au phénomène la structure temporelle de la perturbation ainsi que le type de déformation.
3.2. Rôle du milieu
Le milieu détermine la célérité de la propagation (vitesse du son) ; il peut être gazeux, liquide ou solide.
Par exemple, la célérité du son dans une colonne gazeuse vaut : c =
√
γ Pρ00où P0 est la pression du gaz, ρ0 sa masse volumique, et γ un coefficient (γ = 1,67 pour un gaz monoatomique et 1,4 pour un gaz diatomique).
La célérité du son ne dépend pas de la hauteur de celui-ci (le milieu est non-dispersif).
3.3. Direction de propagation.
Lorsque la source est ponctuelle, l’onde se propage dans les trois dimensions de l’espace de manière isotrope (si le milieu l’est) ; les surfaces d’onde sont des sphères centrées sur la source.
Si l’on se place à une assez grande distance de la source, on peut considérer que les surfaces d’onde sont des plans ; l’onde est dite plane.
3.4. Description mathématique d'une onde progressive sinusoïdale Dans le cas particulier (mais très important) pour
lequel le mouvement de la source est décrit par une fonction sinusoïdale f = a cos ωt, le déplacement d’un point M éloigné d’une distance x à l’instant t s’écrit :
ψ = a cos ω
(
t− xc)
En introduisant le nombre d’onde k = ω / c, la fonction descriptive de l’état du point M devient :
ψ = a cos (ω t - k x)
période T
fréquence f = 1 / T pulsation ω = 2 π f
longueur d’onde λ = c T = c / f nombre d’onde k = ω / c = 2 π / λ.
3.5. L’onde sonore est longitudinale (la déformation ψ est parallèle à la direction de propagation) ; dans un gaz, des tranches d’air se déplacent autour d’une position d’équilibre ; l'onde peut être décrite par un scalaire p, égal à la variation de pression p (autour de la valeur P0) au passage de la perturbation.
La variation de pression p est liée au déplacement ψ d’une tranche d’air par :
p = c ρ d ψ dt
le facteur Z = ρ c est l'impédance du milieu de propagation.
3.5. Transport d’énergie.
L’énergie produite au niveau de la source se propage dans l’espace sans transport de matière ; dans le cas d’une onde sphérique, la quantité d’énergie reçue (par un récepteur) diminue avec la distance à la source ; dans le cas d’une onde plane, cette quantité d’énergie reste (presque) fixe si le milieu est non dispersif (c’est le cas des ondes sonores).
4. Propagation des sons dans différents milieux ; impédance.
4.1. Célérité du son dans différents milieu.
Le son se propage aussi bien dans les liquides que les solides ou que les gaz.
substance Masse volumique ρ (kg.m-3) Célérité ( m.s-1) Impédance Z (kg.m-2.s-1)
Air (20°C) 1,3 343 4,5 × 102
Eau 1,0 × 103 1480 1,48 × 106
Muscle 1,07 × 103 1542 - 1626 1,65 × 106 - 1,74 × 106
Graisse 0,92 × 103 1446 1,33 × 106
Os 1,38 × 103 - 1,38 × 103 2070 - 5340 3,75 × 106 - 7,38 × 106 Dans les tissus mous, c ≈ 1540 m.s-1
4.2. Impédance.
L’impédance est définie comme le produit de la célérité et de la masse volumique du milieu.
Z = c ρ Par exemple, pour un gaz : Z =
√
γ P0ρ0L’impédance caractérise l’aptitude du milieu à reprendre sa forme originelle après déformation.
Elle ne dépend pas de la fréquence de l’onde sonore.
5. Propagation de l’énergie.
5.1. La densité d’énergie (énergie transportée par l’onde par unité de volume dτ) vaut : dW
d τ = 1
2 ρ0 a2ω2
Ce qui correspond à une intensité sonore (puissance par unité de surface , en W.m-2) : I = dW
S dt = c dW d τ = 1
2 c ρ0 a2 ω2
Cette intensité variant dans de grandes proportions, on utilise des échelles logarithmiques (en logarithmes décimaux) pour la mesurer :
L− L0=10 log10 I I0
L s’exprime en décibel (dB) Dans le cas des ondes sonores audibles, le niveau de référence est pris conventionnellement pour I0 = 1,0 × 10-12 W.m-2, qui correspond au seuil d'audibilité de l'oreille humaine. Dans ces conditions, L0= 0 et on voit quelquefois écrit L = 10 log(I / I0)
5.2. Atténuation du faisceau ; pertes d’énergie.
Lorsque la propagation se fait dans l’espace à partir d’une source sonore ponctuelle, l’intensité du faisceau diminue avec la distance (à cause de la conservation de l’énergie).
Dans le cas d’une onde plane, l’intensité devrait rester constante ; on constate cependant une atténuation du faisceau.
Une partie de cette atténuation est due à l’interaction de l’onde avec la matière (une partie de l’énergie est dissipée dans le milieu sous forme de chaleur) ainsi qu'à la diffraction et la diffusion de l'onde.
La décroissance de l’amplitude est exponentielle :
a = a
0e
- a xL’intensité, proportionnelle au carré de l’amplitude, décroît sous la forme (μ = 2a) :
I = I
0e
- μ xLe coefficient d'atténuation linéique μ dépend du matériau et augmente avec la fréquence de l’onde sonore.
On mesure en décibel (dB) l’atténuation totale du faisceau (attention au signe de A !).
A = 10 log10I0 I
On définit alors un coefficient d'atténuation (linéique lui aussi) α, en dB par unité de longueur.
α = 10 μ
ln 10
Remarque : l'atténuation en dB est proportionnelle à la distance parcourue : A = α x
Dans les matériaux biologiques, α est sensiblement proportionnel à la fréquence.
(d'après un article de M.Boynard)
On peut retenir les valeurs approximatives :
sang graisse muscle os
α
F(dB.cm−1. MHz−1) 0,1 0,5 1,5 10
6. Réflexion, réfraction, transmission.
6.1. Changements de direction de propagation.
Lorsqu’un faisceau d’ondes sonores rencontre une surface séparant deux milieux d’impédances différentes, on observe un phénomène de réflexion et de transmission (comme pour la lumière).
On définit un angle d’incidence θ1, de réflexion θ' et de réfraction θ2.
L’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.
θ1 = θ'
Le rapport du sinus de l’angle de réfraction au sinus de l’angle d’incidence est égal au rapport des célérités de l’onde sonore dans les deux milieux.
sin θ2 sin θ1 = c2
c1
Lorsque l’angle θ est faible, on peut confondre l’angle et son sinus ; sin θ ≈ θ. On a alors :
θ2 θ1 = c2
c1
6.2. Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale.
Les amplitudes des ondes sonores incidentes, réfléchies et transmises sont liées par les coefficients de réflexion r et de transmission t :
r = Z2−Z1 Z1Z2
t = 2
Z1Z2 Z1Z2Pour les intensités sonores proportionnelles au carré des amplitudes les coefficients de réflexion et de transmission sont tels que :
R = (Z2−Z1)2
(Z1+Z2)2 T = 4 Z1Z2
Z1Z22 La conservation de l’énergie implique que R + T = 1.
7. Application à l'échographie.
Une sonde jouant le rôle d’émetteur et de récepteur posée sur la peau envoie une impulsion d’ultrasons.
Celle-ci pénètre dans les tissus et se réfléchit partiellement à chaque changement de milieu.
L’écho est recueilli, redressé et amplifié, puis la tension correspondante est par exemple appliquée aux bornes d’un oscilloscope.
On utilise deux modes d’exploration.
Mode A : échographie temps / amplitude
L’amplitude des signaux est enregistrée en fonction du temps. Pour exploiter ce type de données, il faut tenir compte du fait que chaque durée mesurée correspond à un aller retour du signal (écho).
milieu 1 milieu 2 incident
réfléchi θ1 θ'
θ2
réfracté (transmis)
Mode B :
On affiche sur l’écran une tache lumineuse dont l’intensité augmente avec celle de l’écho.
On obtient alors une série de points plus ou moins brillants alignés dans la direction de la sonde.
Si, par exemple, on déplace la sonde le long d’une ligne, on peut obtenir une coupe des tissus étudiés :
Déplacement de la sonde
Une série de points
Ce type d’échographie est lent à cause du balayage.
Les progrès technologiques ont permis de réaliser des échographie de type B en temps réel.
8. Effet Doppler.
8.1. Le son émis par la sirène d’une voiture est perçu plus aigu quand le véhicule se rapproche de l’observateur, plus grave lorsque le véhicule s’éloigne. C’est la manifestation la plus courante de l’effet Doppler pour les ondes sonores.
Voiture à l'arrêt. Voiture en mouvement.
L'effet Doppler décrit le déplacement de fréquence perçu dû au mouvement relatif de la source et du récepteur sonore.
La fréquence perçue s'exprime en fonction de la fréquence émise, des vitesses de la source et du récepteur et des directions de propagation de la source et du récepteur
f ' = C−vR cosθR C−vS cosθS f , que l'on peut aussi écrire :
f ' =
1− vR cos θR C 1− vScos θS
C f
Lorsque seul l'observateur se déplace : f ' =
(
1− vR cos θC R)
fque l'on peut écrire f −f ' vR cos θR
A A'
B B'
vR vS θS
θR
C
Lorsque seule la source se déplace : f ' = 1 1− vScos θS
C f
qui s'écrit f ' ≈
(
1+ vScosθC S)
f si la vitesse de déplacement de la source est faible devant celle de l'onde sonore.Que l'on peut écrire également f '−f
f ≈ vR cos θR C
en résumé, pour un mouvement de la source ou bien de l'observateur :
Δ f
f ≈ v cosθ C
8.2. Vélocimétrie par effet Doppler.
Une sonde à ultrasons pour effet Doppler contient deux cristaux piézoélectriques : un pour l’émission et l’autre pour la réception du signal diffusé par le milieu.
En dirigeant le faisceau incident vers un vaisseau sanguin, on peut obtenir une réflexion du signal sur les globules se déplaçant à une vitesse V et évaluer ainsi celle-ci.
Le globule perçoit une fréquence f ' =
(
1− V cos θC)
f le signal est alors diffusé vers la source qui , elle perçoit une fréquence f ' ' =(
1+ V cosC(π−θ))
f ' =(
1− V cos θC)
f ' (ici on suppose que V<<C)Le déplacement en fréquence du signal diffusé par les globules, perçu par l’émetteur/récepteur vaut donc, toujours si V<<C :
Δ f = f ' '−f = − 2 V cosθ
C f
Soit un déplacement relatif :
Δf
f = ∣f ' '−f∣
f = 2 V cos θ C
Le déplacement en fréquence est faible ; on l’observe en additionnant le signal reçu et le signal émis ; on obtient des battements de fréquence Δ f que l’on isole à l’aide d’un traitement du signal (démodulation) ; ce signal et directement perceptible à l’oreille et on peut par exemple suivre "au bruit" l’évolution de la vitesse du sang au cours des rythmes cardiaques.
