Transformée de Legendre.

(1)

Notesdeoursdel'ISIMA, premièreannée

http://www.isima.fr/

∼

leborgne

Transformée de Legendre : introdution,

et appliation thermodynamique

GillesLeborgne

13janvier2014

Table des matières

1 Transforméede Legendre,as

C ¹

^stritement^onvexe ¹

1.1 La pentevaut

p

^:^au^point

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹

1.2 TransforméedeLegendre:

f ^∗ (p) = px p − f(x p )

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²

1.3 Fontion

g(p, x) = px − f(x)

^etaratérisation

f ^∗ (p) = g(p, x p )

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³

1.4 Exemples . . . 4

1.5 Relation

f ^∗∗ = f

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁵

1.6 Cas

C ²

^et^relation

(f ^∗ ) ^′ = (f ^′ ) ⁻ ¹

^etaratérisation

f (x) = g(p x , x)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁵

2 Dénitiongénérale de latransforméede Legendre 6 2.1 Dénition

f ^∗ (p) = sup _x∈I (px − f(x))

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁶

2.2 Exemples . . . 6

3 Exemplethermodynamique 7 3.1 Motivationthermodynamique . . . 7

3.1.1 Energieinterne . . . 7

3.1.2 Versl'énergielibre . . . 7

3.1.3 LatransforméedeLegendre . . . 8

3.2 Réupération . . . 8

3.3 Fontionsdedeuxvariables . . . 9

A Annexe 9 A.1 Ensembleonvexe . . . 9

A.2 Fontion

R → R

^ane ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰

A.3 Fontion

R → R

^onvexe ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰

A.3.1 Dénition . . . 10

A.3.2 Pentesroissantes . . . 11

1 Transformée de Legendre, as

C ¹

^stritement ^onvexe

Voirl'annexepage9pourlesdénitionsdelaonvexitéetquelquespropriétés.

1.1 La pente vaut

p

^: ^au ^point

x _p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p)

Soit

I

^intervalle^ouvert^non^vide^de

R

^(borné ^ou^non),^et ^soit^:

f : I → R ,

^(1.1)

unefontionqu'onsupposera

C ¹

^.^On^note

J

^l'ensemble^des^pentes^de

f

^:

J = {p ∈ R : ∃x ∈ I, p = f ^′ (x)} = Im(f ^′ ).

^(1.2)

(2)

2 1.2. TransforméedeLegendre:

f ^∗ (p) = px p − f(x p )

Proposition 1.1 Si

f ∈ C ¹ (I; R)

^est ^stritement^onvexe,^si

p ∈ J

^(une^pente^xée^de

f

^),^alors^il

existeununiquepoint

x p ∈ I

^en^lequel^la^pente^vaut

p

^,^.à.d.^tel^que^:

f ^′ (x p ) = p,

^(1.3)

voirgure1.1. C'estlepoint:

x p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p).

^(1.4)

Autrementdit, labijetion:

(f ^′ ) ⁻ ¹ :

( J → I

p → (f ^′ ) ⁻ ¹ (p) = x p

(1.5)

donnelepoint

x p

^où^la^pente^vaut

p

^.

Preuve. Comme

f ∈ C ¹ (I; R)

^, ^sa^dérivée

f ^′ : I → R

^est ^bien ^dénie. ^Comme

f

^est ^stritement

onvexe,

f ^′ : I → R

^est^stritement^roissante,^don

f ^′

^est^injetive.

Pardénition de

J

^, ^la^fontion

f ^′ : I → R

^est^surjetive^sur

J = Im(f ^′ )

^.

Don

f ^′ : I → J

^est ^bijetive.^D'où ^(1.5).

Don pour

p ∈ J

^, ^l'équation

f ^′ (x) = p

â ûne ûnique ^solution

x = (f ^′ ) ⁻¹ (p) =

^noté

x _p

^,

soit(1.4)ou(1.3).

1.2 Transformée de Legendre :

f ^∗ (p) = px _p − f (x p )

But:réerunefontion

f ^∗ : p ∈ J → f ^∗ (p)

^dont^la^variable

p

^est ^la^pente

p = f ^′ (x)

^de

f

^.

Dénition1.2 Soit

f ∈ C ¹ (I; R)

^stritement^onvexe^et^soit

J

^donné^en^(1.2).^Latransforméede Legendrede

f

^est^la^fontion^:

f ^∗ : J → R

^(1.6)

dénieàl'aidede

x _p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p)

^(le^point^où^la^pente^de

f

^vaut

p

^,^f. ^(1.3)^et ^(1.4))^par^:

f ^∗ (p)

^déf

= px p − f (x p ).

^(1.7)

Soit,pourtout

p ∈ J

^:

f ^∗ (p) = p (f ^′ ) ⁻¹ (p) − f ((f ^′ ) ⁻¹ (p)),

^(1.8)

soit,ave

Id

^la^fontion^identité,

f ^∗ =

^déf

Id × (f ^′ ) ⁻¹ − f ◦ (f ^′ ) ⁻¹

^.

Remarque 1.3 Cettenouvellefontion

f ^∗

^a^pour^variable

p

^la^pente^de

f

^.

Etonaura

(f ^∗ ) ^∗ = f

^,^et ^la^fontion

f = (f ^∗ ) ^∗

^aura^don^pour^variable

x

^la^pente^de

f ^∗

^.

Ainsi

f

^et

f ^∗

^permettent^d'inverser^les^rles^des^points^et^des^pentes.

Corollaire1.4 (Caratérisation graphique.) Soit

f ∈ C ¹ (I; R)

^stritement ^onvexe. ^Soit

p ∈ J

xé(unepentedonnée)etsoit

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

^.^Alors^la^tangente^au^graphe^de

f

^au^point

(x p , f (x p ))

estladroited'équation:

y _p (x) = px − f ^∗ (p).

^(1.9)

Autrementdit, notant:

y p (x) = px + y 0 ,

^(1.10)

l'équationdedeladroitetangenteaugraphede

f

^au^point

(x p , f(x p ))

^,^on^a^:

f ^∗ (p) = −y 0 (= px p − f (x p )).

^(1.11)

Voirgures1.1et1.2.

Preuve. Ledéveloppementlimitéde

f

âu^premierôrdreâu^voisinage^de

x p

^est^:

f (x) = f (x p ) + f ^′ (x p )(x − x _p ) + o(x − x _p ).

Etlafontionanetangenteestdonnéeparlapartieane,iiave

p = f ^′ (x p )

^:

y _p (x) = f (x p ) + p(x − x _p ) = px − (px p − f (x p )) = px − f ^∗ (p).

^(1.12)

(3)

3 1.3. Fontion

g(p, x) = px − f(x)

^etaratérisation

f ^∗ (p) = g(p, x p )

−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1 0 1 2 3 4 5

P Q

y ₀

−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1 0 1 2 3 4 5

y ₀

Figure 1.1 Fontion

f

parabolique,ii

J = R

^, ^voir^exerie^1.9. ^Pour

p ∈ J

^donné, ^on^a ^noté

P = (x p , f(x p ))

^le^point^du^graphe^de

f

^d'absisse

x p

^tel^que

f ^′ (x p ) = p

^.^L'équation^de^la^tangente

en e point

P

^est

ϕ p (x) = y = px + y 0

^(trait pointillé), et on a

f ^∗ (p) =

^déf

− y 0

^. ^On ^a ^noté

Q = (x p , px _p )

^le^point^sur^la^droite ^linéaire

x → px

^(trait ^plein). ^La^èhe^orrespond^au^veteur

P Q ~ = Q − P = (0, −y 0 ) = (0, f ^∗ (p))

^.

−2 0 2 4

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y ₀

−2 0 2 4

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 1.2 Représentationde

f ^∗ (p) = −y 0

^, ^pour^une ^fontionexponentielle.Ii

J = R ^∗ +

^, ^voir

exerie1.10.

Remarque 1.5 On aura

(f ^∗ ) ^∗ = f

^, ^et ^don ^la ^tangente ^au ^graphe ^de

f ^∗ : J → R

^au ^point

(p x =f ^′ (x), f ^∗ (p))

^sera^la^droite ^d'équation^(omme ^en^(1.9)),^à

x

^xé^:

q _x (p) = xp − f (x).

^(1.13)

Auparagraphesuivantonposera

g _p (x) = q _x (p) = px − f (x) = g(p, x)

^.

Remarque 1.6 Ave(1.7)ona:

f (x) + f ^∗ (p) = xp,

^quand

p = f ^′ (x),

^(1.14)

oudemanièreéquivalente quand

x = (f ^∗ ) ^′ (p)

^,^voir^plus^loin^(1.29)^quand

f ∈ C ²

^.

1.3 Fontion

g(p, x) = px − f (x)

^et aratérisation

f ^∗ (p) = g(p, x p )

Pour

p ∈ J

^xé^(pour

p

^une^pente ^donnée),^on^note

g p : I → R

^la^fontion^:

g p (x) = px − f (x).

^(1.15)

Corollaire1.7 Soit

f ∈ C ¹ (I; R)

^stritement^onvexe, ^soit

p ∈ J

^(xé).^La^fontion

g p

^est^stri-

tementonvaeetmaximumaupoint

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

^:

g ^′ _p (x p ) = p − f ^′ (x p ) = 0,

^(1.16)

et:

sup

x ∈ I

(g p (x)) = g p (x p ),

^pour

x p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p).

^(1.17)

Etdon,pour

p ∈ J

^:

f ^∗ (p) = px p − f (x p ) = g p (x p ) = sup

x∈I

(px − f (x)).

^(1.18)

Ainsi, pour déterminer

f ^∗

^, ^on ^peut ^soit ^aluler

(f ^′ ) ⁻ ¹

^(pour ^avoir

x _p

^), ^soit ^aluler ^le ^sup

dans(1.18)quinenéessitepaslealul de

(f ^′ ) ⁻¹

^.

(4)

Preuve. Lafontion

g p

^donnée^en ^(1.15) ^est

C ¹ (I; R)

^ar

f

^l'est. ^Et

g _p ^′ (x) = p − f ^′ (x)

^. ^Comme

f ^′

^est ^stritement ^roissante ^dans

I

^, ^on^a

−f ^′

^stritement déroissante, don

g ^′ _p

^est ^stritement

déroissante. Don

g

êst ^stritementônave êt ^maximum ên

x p ∈ I

^, ^ar

g ^′ _p

^s'annule ^en

x p

^par

dénitionde

x p

^.

Remarque 1.8 Si on pose

g(p, x) = g p (x)

^, ^on ^a

g

^qui ^est ^dénie ^sur

J × I

^, ^et ^(1.16) ^s'érit

∂g

∂x (p, x p ) = 0

^.^Et^(1.18)^s'érit

f ^∗ (p) = g(p, x p )

^.

1.4 Exemples

Exerie 1.9 Soit

α > 0

^et

x 0 , y 0 ∈ R

^,^et^soit

f

^la^fontionparaboliquedonnéepar,pour

x ∈ R

^:

f (x) = y 0 + α

2 (x − x 0 ) ² ,

^(1.19)

Déterminer

f ^∗

^. ^Vérier ^que

(f ^∗ ) ^∗ = f

^. ^Vérier ^que

f : x → f (x) = ^x ₂ ²

^est ^onservée ^par

Legendre:

f ^∗ : p → f ^∗ (p) = ^p ₂ ²

^.

Réponse. La fontion

f

^est ^stritement ^onvexe⁽ⁱⁱ

f ^′′ (x) = α > 0

^). ^Soit

p ∈ R

^. ^Le ^point

x p

^vérie

f ^′ (x p ) = p

^,^soit

α(x p − x ₀ ) = p

^:

x p = x 0 + p

α .

^(1.20)

Ave

g p (x) = px − f(x)

^,^on^a^:

f ^∗ (p) = g p (x p ) = px p − f(x p ) = p (x 0 + p

α ) − y 0 − α 2 ( p

α ) ² ,

etdon:

f ^∗ (p) = 1

2α p ² + x 0 p − y 0 = 1

2α (p + αx 0 ) ² − y 0 − αx ² ₀

2 ,

^(1.21)

soit:

f ^∗ (p) = z 0 + β

2 (p − p 0 ) ² , z 0 = −y 0 − αx ² ₀

2 , β = 1

α , p 0 = −αx 0 ,

^(1.22)

et

f ^∗

^est^également^une^fontionparabolique.Faireundessin.

Caspartiulier

y 0 = 0 = x 0

^et

α = 1

^:^on^a

f(x) = ^x ₂ ²

^et

f ^∗ (p) = ^p ₂ ²

^.

f ^∗

^étantparabolique,satransforméedeLegendreestdonnéepar:

(f ^∗ ) ^∗ (t) = ˜ y 0 + γ

2 (t − t 0 ) ² ,

^(1.23)

où:

˜

y 0 = (−z 0 − βp ² ₀

2 ) = y 0 , γ = 1

β = α, t 0 = −βp 0 = x 0 ,

^(1.24)

etonabien

(f ^∗ ) ^∗ (t) = f(t)

^pour^tout

t

^.

Exerie 1.10 Soitlafontiondetypeexponentielledonnéesur

R

^par,^pour

x ∈ R

^:

f (x) = y 0 + α e ^x ⁻ ^x ⁰ ,

^(1.25)

où

α > 0

^et

x 0 , y 0 ∈ R

^.^Déterminer

f ^∗

^.^Voir^gure^1.2.

Cas partiulier

f (x) = e ^x

^:^vérier^que

f ^∗ (p) = p log(p) − p

^.

Réponse. La fontion

f

^est^stritement ^onvexe⁽ⁱⁱ

f ^′′ (x) = α e ^x ⁻ ^x ⁰ > 0

^ar

α > 0

^et

exp > 0

^). ^Et

J = R ^∗ +

^.

Soit

p ∈ R

^et

g p

^la^fontion^dénie^par

g p (x) = px −f(x) = px− α e ^x−x ⁰ −y 0

^.^On^a

g ^′ _p (x) = p− α e ^x−x ⁰

^.

Lesupde

g

^est^donné^pour

x = x p

^vériant

g ^′ (x p ) = 0 = p − α e ^x−x ⁰

^,^soit

x p = x ₀ + log( ^p _α )

^.^Comme

α > 0

^,^e^n'est ^possible^que^si

p > 0

^.

Si

p = 0

^alors^le^sup^de

g 0 = −f

^est^en

−∞

^qui^n'est^pas^réel.

Si

p < 0

^alors

g p ^′ < 0

^et^le^sup^de

g p

^est^en

−∞

^qui^n'est ^pas^réel.

Don

I ^∗ = J

^l'ensemble^des^pentes^de

f

^.

Soitdon

p ∈ J

^,^.à.d.

p > 0

^.^On^a

g p (x p ) = p(x 0 + log( _α ^p )) − y ₀ − α _α ^p =

^noté

f ^∗ (p)

^:

f ^∗ (p) = −y 0 + p(x 0 − log(α) − 1) + p log(p).

^(1.26)

Caspartiulier:

y 0 = 0 = x 0

^et

α = 1

^.^On^a

f(x) = e ^x

^et

f ^∗ (p) = p log(p) − p

^.

(5)

5 1.5. Relation

f ^∗∗ = f

1.5 Relation

f ^∗∗ = f

Proposition 1.11 Si

f ∈ C ¹ (I; R)

êst^stritementônvexe,âlors^:

f ^∗∗ = f,

^(1.27)

oùonanoté

f ^∗∗ =

^déf

(f ^∗ ) ^∗

^.

Preuve. Soit

K = {t ∈ R : ∃p ∈ J, t = (f ^∗ ) ^′ (p)} = Im((f ^∗ ) ^′ )

^l'ensemble ^des^pentes ^de

f ^∗

^(où

J

^est^donné^par^(1.2)).^Pour

t ∈ K

^on^a^:

(f ^∗ ) ^∗ (t) = sup

p∈J

(tp − f ^∗ (p)) = tp _t − f ^∗ (p t ) = tp _t − (p t x _p _t − f (x p t )),

où

p t = f ^′ (t) ∈ J

^réalise^le^sup,^et ^où

x p t

^vérie

f ^′ (x p t ) = p t

^.^Don

f ^′ (t) = f ^′ (x p t )

^,^don

x p t = t

ar

f ^′

^est^stritement^roissante^don^injetive.

Don

(f ^∗ ) ^∗ (t) = tp t − p t t + f (t) = f (t)

^.^Don

(f ^∗ ) ^∗ = f

^et

K = I

^.

1.6 Cas

C ²

^et ^relation

(f ^∗ ) ^′ = (f ^′ ) ⁻ ¹

^et aratérisation

f(x) = g (p x , x)

Ona,endérivant(1.8):

Corollaire1.12 Si

f ∈ C ² (I; R)

êst ^stritement ônvexe, âlors

f ^∗

^est

C ¹

^et, ^pour

p ∈ J

^et

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

^:

(f ^∗ ) ^′ (p) = x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p).

^(1.28)

Don:

(f ^∗ ) ^′ = (f ^′ ) ⁻¹ .

^(1.29)

Soitenore

f ^′ = ((f ^∗ ) ^′ ) ⁻¹

^. ^De^plus

f ^∗ ∈ C ² (J; R)

^et^vérie^:

(f ^∗ ) ^′′ (p) = 1

f ^′′ (x p ) ,

^(1.30)

don

f ^∗

^est ^stritement^onvexe.

Preuve. Ona(1.8),àsavoir

f ^∗ (p) = p h ⁻¹ (p) − (f ◦ h ⁻¹ )(p)

ôùônâ^posé

h = f ^′

^.^D'où

f ^∗

^est

C ¹

ar

h = f ^′

^est^un

C ¹

diéomorphisme,f.propositionA.11oulemmeA.12page12.D'où

f ^∗

^est

C ¹

et:

(f ^∗ ) ^′ (p) = h ⁻¹ (p) + p (h ⁻¹ ) ^′ (p) − f ^′ (h ⁻¹ (p))(h ⁻¹ ) ^′ (p) = h ⁻¹ (p),

ar

p = f ^′ (x p ) = f ^′ (h ⁻¹ (p))

^(ar

f ^′ ◦ h ⁻¹ = Id

^).^Don^(1.28)^et ^(1.29).

Et

h = f ^′

^étant^un

C ¹

diéomorphisme, et ayant

(h ⁻ ¹ ◦ h)(x) = x

^, ^on ^a

(h ⁻¹ ) ^′ (p) = 1 h ^′ (x)

quand

p = h(x)

^, ^.à.d.^(1.30).

Et(1.29)implique

f ^∗

^est

C ²

^(ar

h = f ^′

^est ^un

C ¹

diéomorphisme),et :

(f ^∗ ) ^′′ (p) = (h ⁻¹ ) ^′ (p) = 1

h ^′ (x p ) = 1

f ^′′ (x p ) ,

^(1.31)

grâeà(1.30).Et

f ^′′ (x) > 0

^donne

(f ^∗ ) ^′′ (p) > 0

^: ^on^a^bien

f ^∗

^stritement^onvexe.

Corollaire1.13 Ona

f (x) = g(p x , x)

^quand

p _x = ((f ^∗ ) ^′ ) ⁻ ¹ (x) = f ^′ (x)

^.

Preuve. Ona

(f ^∗ ) ^∗ (x) = xp _x − f ^∗ (p x )

^quand

p _x = ((f ^∗ ) ^′ ) ⁻¹ (x)

^,^f.^(1.18).

Don

f ^∗ (p x ) = xp x − f (x) = g(p x , x)

^quand

(f ^∗ ) ^′ (p x ) = x

^,^.à.d.^quand

(f ^′ ) ⁻ ¹ (p x ) = x

^, ^.à.d.

quand

p x = f ^′ (x)

^.

Remarque 1.14 Démonstration alternativede (1.28), pourles notationsouvent utilisées.On a

f ^∗ (p) = g(p, x p ) = g(p, (f ^′ ) ⁻¹ (p))

^,^et ^don,^ave

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

^:

(f ^∗ ) ^′ (p) = ∂g

∂p (p, x p ) + ∂g

∂x (p, x p ) d(f ^′ ) ⁻¹ dp (p).

Ave

∂g

∂x (p, x(p)) = g ^′ _p (x p ) = 0

^par^dénition^de

x _p

^,^f. ^(1.4).^Don,^omme

^∂g _∂p (p, x) = x

^:

(f ^∗ ) ^′ (p) = x p + 0 = (f ^′ ) ⁻¹ (p),

d'où(1.28).

(6)

2 Dénition générale de la transformée de Legendre

Dénition générale signie:asnon

C ¹

êt âs^non ^stritementônvexe,^mais ôn^reste^dans^le

adredesfontionsonvexesde

R

^dans

R

^.

2.1 Dénition

f ^∗ (p) = sup _x∈I (px − f(x))

Ladénition généraleusuelleestdonnéepar:

Dénition2.1 Pour

f : I → R

^fontion^onvexe,^satransforméedeLegendreestlafontion:

f ^∗ :







I ^∗ → R,

p → f ^∗ (p) = sup

x ∈ I

(px − f (x)) = sup

x ∈ I

g _p (x),

^(2.1)

où

g p

êst^donnéeên^(1.15),êtôù^l'ensemble^de^dénition

I ^∗

^de

f ^∗

^est^:

I ^∗ = {p ∈ R : sup

x∈I

(px − f (x)) < ∞}.

^(2.2)

(Ii

f

^n'estⁿⁱ^supposé

C ¹

ⁿⁱ^supposé^stritement^onvexe,^et^le^sup^n'est^pasnéessairementréalisé, oupeutêtreréaliséenplusieurspoints.)

Corollaire2.2 Dansleas

f ∈ C ¹ (I; R)

^stritement^onvexe,^on^retrouve^la^dénition ^1.2.

Preuve. C'est(1.18).

2.2 Exemples

Exerie 2.3 Soit

f (x) = ^α ₂ x ²

^dénie^sur

[c, d]

^où

c, d ∈ R

^et

c < d

^et

α > 0

^.^Déterminer

f ^∗

^.

Réponse.Lafontion

f

^est^stritement^onvexe^sur

]c, d[

^ar

α > 0

^.

Soit

p ∈ R

^et

g p

^la^fontion^dénie ^par

g p (x) = px − f(x)

^sur

[c, d]

^.^La ^fontion^est^ontinue ^sur^le

ompat

[c, d]

^, ^don ^atteint ^son^maximum ^sur

[c, d]

^: ^don

f ^∗ (p) = sup _x∈ _[c,d] g(x)

^est ^dénie ^pour^tout

p ∈ R

^.^On^a

g _p ^′ (x) = p − f ^′ (x) = p − αx

^.

1-Si

x = ^p _α ∈]c, d[

^,^.à.d.^si

p ∈ J =]αc, αd[

^,^alors

g p

^atteint^son^max^en

x p = _α ^p

^.

Don

f ^∗ (p) = g p ( _α ^p ) = p _α ^p − f( ^p _α ) = ^p _α ² − ^α ₂ ( _α ^p ) ² = ^p _2α ²

^quand

p ∈ [αc, αd]

^, ^et

f ^∗

^est ^une^fontion

quadratique.

2-Si

x = ^p _α > d

^:ônêst^dans^leâs

p > αd

^.^Don

g ^′ _p (x) ≥ αd − αx = α(d − x)

^.^Don

g ^′ _p (x) ≥ 0

^pour

x ∈ [c, d]

^.^Don

g p

^est^roissante^sur

[c, d]

êtâtteint^son^maxên

x = d

^.^Don

f ^∗ (p) = g p (d) = pd − f(d) = pd − ^α ₂ d ²

^,^et

f ^∗

êstûne^fontionâne.

3-Si

x = _α ^p < c

^:ônêst^dans^leâs

p < αc

^.^Don

g ^′ _p (x) ≤ αc − αx = α(c − x)

^.^Don

g _p ^′ (x) ≤ 0

^pour

x ∈ [c, d]

^.^Don

g p

^estdéroissantesur

[c, d]

êtâtteint^son^maxên

x = c

^.^Don

f ^∗ (p) = g p (c) = pc − f(c) = pc − ^α ₂ c ²

^,^et

f ^∗

êstûne^fontionâne.

Résumé:

f ^∗

^est^dénie^sur

I ^∗ = R

^par

f ^∗ (p) =



 



 

 cp − α

2 c ²

^si

p < αc

^(ane)

, 1

2α p ²

^si

p ∈ [αc, αd]

(quadratique)

, dp − α

2 d ²

^si

p > αd

^(ane)

.

Exerie 2.4 Soit

α, β ∈ R

^et ^soit

f (x) = αx + β

^(ane)^pour

x ∈ R

^.^Déterminer

f ^∗

^.

Réponse.Ii

f

^n'est^pas^stritement^onvexe.

Soit

p ∈ R

^et

g p

^la^fontion^dénie^par

g p (x) = px − f(x)

^.^Don

g p (x) = (p − α)x − β

^.^Et^le^sup^de

g p

sur

R

^vaut

+∞

^si

p 6= α

^,^et^vaut

−β

^si

p = α

^.

Don

f ^∗ (p)

^n'est ^dénie ^que ^pour

p = α

^: ^on ^a

I ^∗ = {α}

^, ôù ônâ ûtilisé ^la ^dénition généralisée ave(2.2).Et

f ^∗ (α) = g α (x α ) = −β = −f(0)

^(la^fontion

f

^est^sa^propre^tangente).

(7)

3 Exemple thermodynamique

3.1 Motivation thermodynamique

3.1.1 Energie interne

Soit

a < b

^et^soit

U : S ∈]a, b[→ U (S) ∈ R

^l'énergie^interne^dont^on^suppose^qu'elle^ne^dépend

que de l'entropie

S

^(as ^d'une transformation réversible isohore). Supposant

U ∈ C ¹ (]a, b[; R)

^,

pour

S ∈]a, b[

^on^note ^:

U ^′ (S )

^noté

= T (S)

^(3.1)

(

T = U ^′

^est ^appelée^latempérature.)Donladiérentiellede

U

^en^un^point

S ∈]a, b[

^est^:

dU (S) = T (S) dS,

^(3.2)

Noterenthermodynamique:

dU = T dS.

^(3.3)

3.1.2 Versl'énergielibre

Problème : trouverune énergie

E : T → E(T )

^en ^fontion ^de

T

^, ^alors ^que

U : S → U (S)

fontionde

S

^(latempératureestfaileàmesurer).Quellenouvelleénergiesimple,fontionde

T

^,

peut-ononstruire?

Plus préisément : si

E : T → E(T )

^est l'expression de la nouvelle énergie herhée, on voudraavoir(similaireà(3.1)):

E ^′ (T )

^noté

= S(T ),

^(3.4)

etdonladiérentiellede

E

^au^point

T

^est^(similaire^à^(3.2))^:

dE(T ) = S(T ) dT,

^(3.5)

oùdonl'entropie

S = E ^′

^est ^la^dérivée^de

E

^.^Noter^enthermodynamique:

dE = S dT.

^(3.6)

Remarque 3.1 Lapente

U ^′ (S) = T (S)

^donne ^la^variable

T

^de

E

^.

Etlapente

E ^′ (T ) = S(T )

^de

E

^donne^la^variable

S

^de

U

^.

C'est lebut delatransforméedeLegendre:éhangerlesrlesdespointsetdespentes.

L'idée pourréer

E

^est ^de^dénirformellementlafontion

E ˜

^par^:

E(T, S) = ˜ T S − U (S),

^(3.7)

notéeformellement

E ˜ = T S − U

^,^e ^qui^donne^(omme^souhaité),^ave^(3.2)^:

d E ˜ = S dT + T dS − T dS

= S dT,

^sous^ondition

,

(3.8)

souslaondition(3.3),.à.d.que

T

^et

S

^dans

E(T, S) ˜

^ne^sont^pasindépendantesmaisliéesparla ondition(3.1)

T (S) = U ^′ (S)

^(ou^enore

dU = T dS

^).

Comme(3.6)sousentendquelaseulevariableest

T

^,ôn^érit^laôndition^(3.1)ômme^:

S(T ) = (U ^′ ) ⁻¹ (T )

^noté

= S T ,

^(3.9)

dèsque

U ^′

^est^inversible^(et

S(T ) = S T

^est ^la^variable ^de^la transforméede Legendre).On pose don:

E(T ) = ˜ E(T, S T ) = T S T − U (S T ),

^(3.10)

et'est ettenouvellefontion

E = U ^∗

^qui êst^notre^nouvelle^énergieêxpriméeên^fontion^de

T

^.

(8)

Onobtient:

E ^′ (T ) = ∂ E ˜

∂T (T, S(T )) + ∂ E ˜

∂S (T, S(T ))S ^′ (T ),

^(3.11)

etave(3.7)ona:

∂ E ˜

∂T (T, S) = S, ∂ E ˜

∂S (T, S) = T − U ^′ (S),

^(3.12)

D'où,ave(3.9):

E ^′ (T ) = S(T ),

^(3.13)

ommesouhaité.

Remarque 3.2

F = −E

êst âppelée^énergie^libre^à^volumeônstant.

3.1.3 La transforméede Legendre

Le lien

T = U ^′ (S)

^entre

S

^et

T

^est^donné génériquementparlatransformationdeLegendre : à

T

^xé,^soit

S T = S(T )

^le^point^qui^réalise^le

sup _S (T S − U (S))

^:^à

T

^xé^:

T S T − U (S T ) = sup

S∈]a,b[

(T S − U (S)) = sup

S∈]a,b[

E T (S)).

^(3.14)

où

E ˜ _T (S) =

^déf

E(T, S) ˜

^,^à

T

^xé.^(On^suppose^que^le^sup^est ^réalisé.)

Ona,à

T

^xé^:

E ˜ _T ^′ (S ) = T − U ^′ (S),

^(3.15)

etdon,

S _T

^devant^vérier^(3.14),^on^a^:

E ˜ _T ^′ (S T ) = 0 = T − U ^′ (S T ).

^(3.16)

Don

S T

^est ^le^point^dans

]a, b[

^qui^vérie^:

U ^′ (S T ) = T.

^(3.17)

Don

S T

^est ^le^point^tel^que^la^pente^de

U

^en

S T

^vaut

T

^.^Soit^:

S T = (U ^′ ) ⁻¹ (T )

^noté

= S(T ),

^(3.18)

equi avaitétéimposéen(3.9).Et(3.13)serééritdon:

E(T ) = U ^∗ (T ) (= ˜ E T (S T ) = T S(T ) − U (S(T ))).

^(3.19)

3.2 Réupération

Problème :onnaissantl'énergie

E : T → E(T )

^,^réupérer^l'énergie

U : S → U (S)

^.

Réponse :onpose:

U(S, T ˜ ) = ST − E(T )

^pour

T = E ^′ ,

^(3.20)

delamême manièrequ'onavait posé(3.7).D'où:

d U ˜ = T dS + S dT − dE = T dS

^quand

dE = T dS,

^(3.21)

ommesouhaité.

Le lien pour

T

^bien ^hoisi ^est ^donné ^par ^la transformation de Legendre : à

S

^xé, ^soit

T _S = T (S)

^le^point^qui ^réalise^le

sup _T (T S − E(T ))

^:

ST _S − E(T S ) = sup

T

(T S − E(T )).

^(3.22)

Etommepréédemment,à

S

^xé^on^pose

U ˜ S (T ) = ST − E(T )

^,^et ^on^prend

T S

^le^point^tel^que

U ˜ _S ^′ (T S ) = 0

^,^.à.d.^t.q.,^à

S

^xé^:

E ^′ (T S ) = S,

^(3.23)

soit:

T _S = (E ^′ ) ⁻¹ (S)

^noté

= T (S).

^(3.24)

Puis onpose:

U(S) = E ^∗ (S ) = ˜ U (S, T S ),

^(3.25)

equedonnelarelationdeLegendre

U = E ^∗ = (U ^∗ ) ^∗

^.

(9)

3.3 Fontions de deux variables

Si

U : (S, V ) → U (S, V )

êst^l'énergieînterne ^dépendant^de^deux^variables,ôn^pose^:

dU (S, V ) = T (S, V ) dS − P (S, V ) dV,

^(3.26)

oùdon

−P(S, V ) = ^∂U _∂V (S, V )

êst âppelée ^pressionâu ^point

(S, V )

^. Êt ôn^note ên thermodynamique:

dU = T dS − P dV.

^(3.27)

LatransforméedeLegendrede

U

^en

S

^est^simplement^:

E(T, V ) = T S T − U (S T , V ),

^(3.28)

où

S T

^est^donné^par^(3.17),^la^variable

V

^étantônsidéréeômmeûn^paramètre.Êtôn^noteênore

abusivement:

E = T S − U,

^(3.29)

ensous-entendantlelien

S = S T

^.

Etontrouvedon:

dE(T, V ) = ∂E

∂T (T, V ) dT − ∂U

∂V (S T , V ) dV

= S(T, V ) dT + P (S(T ), V ) dV,

(3.30)

equi estnoté:

dE = S dT + P dV.

^(3.31)

Etl'énergielibreest déniepar

F(T, V ) = −E(T, V )

^,^don^:

dF = −S dT − P dV,

^(3.32)

soit,entouteslettres:

dF (T, V ) = −S(T, V ) dT − P (T, V ) dV,

^(3.33)

A Annexe

A.1 Ensemble onvexe

Dans

R

^,ûnênsembleônvexeêstûnîntervalle^(borné ôu^non^borné).

Soit

n ≥ 1

^.^On^munit ^l'espae^ane

R ⁿ

^d'une^origine

O

^.^Et^un^point

A

^est ^repéré^à^l'aide^du

veteur

OA ~

^.

DénitionA.1 Si

A, B ∈ R ⁿ

^,^on^note

[A, B]

^le^segment^de^droite ^reliant

A

^à

B

^.

DénitionA.2 Si

A, B ∈ R ⁿ

^,^on^note ^également

[A, B] = [ OA, ~ ~ OB]

^le ^segment^de^droite ^reliant

A

^à

B

^.

Etondénit ainsilessegments

[~v A , ~v B ]

^pour^tous^veteurs

~v A , ~v B ∈ R ⁿ

^.

Si

~v _A , ~v _B ∈ R ⁿ

^,^on^note^:

~

x _λ = (1 − λ)~v A + λ~v _B = x(λ),

^(A.1)

unpointdusegment

[~v A , ~v B ]

^,^ave^don^:

~ x(0) = ~ x 0 = ~v A

^et

~ x(1) = ~ x 1 = ~v B ,

^(A.2)

lesextrémitésdusegment

[~v A , ~v B ]

^.^Et

~ x ¹

2

est lepointmilieu.

Si

~v A = OA ~

^et

~v B = OB ~

^, ^on^a^don^:

~ x(0) = ~ x 0 = OA ~

^et

~ x(1) = ~ x 1 = OB, ~

^(A.3)

lesextrémitésdusegment

[A, B]

^.^Et

~ x ¹

2

estlepointmilieu.

(10)

10 A.2. Fontion

R → R

^ane

Ainsi,pour

λ ∈ [0, 1]

^:

[A, B] = {~ x ∈ R ⁿ : ∃λ ∈ [0, 1], ~ x = (1 − λ) OA ~ + λ ~ OB}

= {~ x ∈ R ⁿ : ∃λ ∈ [0, 1], ~ x = OA ~ + λ ~ AB}

noté

= {~ x _λ = OA ~ + λ ~ AB, λ ∈ [0, 1]},

(A.4)

segmentd'origine

A

^(au^sens

~ x 0 = OA ~

⁾^et^deⁿ

B

^(au^sens

~ x 1 = OB ~

^).

DénitionA.3 Un ensemble

C ⊂ R ⁿ

^est^onvexe ^ssi^pour^tout

A, B ∈ C

^on^a

[A, B] ∈ C

^. ^Faire

undessin.

A.2 Fontion

R → R

^ane

DénitionA.4 Unefontionane

ϕ : R → R

^est^une^fontion^de^la^forme, ^pour

x ∈ R

^:

ϕ(x) = px + y 0 .

^(A.5)

Unetelle fontion

ϕ

^est

C ^∞

^,^et

p = ϕ ^′ (x)

(indépendantde

x

⁾^est^la^pente,^et

y 0 = ϕ(0) ∈ R

^.

Legraphe

G(ϕ) = {(x, y) ∈ R ² : y = ϕ(x)}

^de

ϕ

^est^la^droite^dans

R ²

^de^pente

p

^qui^interepte

l'axedes

y

^en

y 0 = ϕ(0)

^.

Toutefontiondelaforme,pour

x 0 ∈ R

^:

ψ(x) = p(x − x 0 ) + ˜ y 0 ,

^(A.6)

estégalementane(poser

y 0 = ˜ y 0 − px 0

^dans^(A.5)),^ave

p = ψ ^′ (x)

^la^penteindépendantede

x

^.

Legraphede

ψ

^,

G(ψ) = {(x, y) ∈ R ² : y = ψ(x)}

^,^est^la^droite^dans

R ²

^de^pente

p

^qui^interepte

l'axevertial

x = x 0

^au^point

(x 0 , y ˜ 0 )

^.^(On^a

ψ(x) = ϕ(x− x 0 )

^,^translatée^de

ϕ

^.)^Faire^un^dessin.

A.3 Fontion

R → R

^onvexe

A.3.1 Dénition

Un onvexedans

R

^est^unintervalle.Parexemple

]a, b[

^ave

a < b

^où

a, b ∈ R ¯

^.

DénitionA.5 Unefontion

f :]a, b[→ R

^est ^dite^onvexe^ssi^pour^tout

x 0 , x 1 ∈]a, b[

^, ^ave

x 0 6=

x 1

^, ^le ^segment^de ^droite

[X 0 , X 1 ]

^dans

R ²

d'extrémités

X 0 = (x 0 , f(x 0 ))

^et

X 1 = (x 1 , f (x 1 ))

^est

toutentieraudessusdugraphede

f

^:

∀x 0 , x 1 ∈]a, b[, x 0 6= x 1 , ∀λ ∈ [0, 1],

^notant

x λ = (1 − λ)x 0 + λx 1 ,

^on^a

:

(1 − λ)f (x 0 ) + λf (x 1 ) ≥ f (x λ ).

^(A.7)

VoirgureA.1.

Et

f

^est^stritement^onvexe^ssil'inégalitéi-dessusest stritepourtout

λ ∈]0, 1[

^.

Et

f

êstônave^(resp.^stritementônave)^ssi

−f

êst ônvexe^(resp.^stritementônvexe).

ExempleA.6 Si

f

êstâne,âlorsônâ^égalité^dansÂ.7.Ênêet,

f

^est^alors^de^la^forme

f (x) = px + y 0

^,^don

(1 − λ)f (x 0 ) + λf(x 1 ) = (1 − λ)(px 0 + y 0 ) + λ(px 1 + y 0 ) = a((1 − λ)x 0 + λx 1 ) + y 0

quiest bienégalà

f (x λ )

^.

ExempleA.7 Soit

f : R → R

^donnée^par

f (x) = x ²

^. ^Son ^graphe^est ^une ^parabole,^son ^graphe

eststritementonvexe,et

f

^est^stritement^onvexe.

Remarque A.8 Dans (A.7) on ne suppose pas que

x 0 < x 1

^: ^que

x 0 < x 1

^ou ^que

x 1 < x 0

^,

la dénition est la même. Il sut pour s'en onvainre de poser

µ = 1 − λ

^, ^ave ^don

x _λ = (1 −µ)x 1 +µx 0

^et

µ

^qui^parourt

]0, 1[

^(et

µ

êstâppeléeôordonnéebaryentrique).Poser

µ = 1 −λ

revientjusteàinverserlesensdeparourtdusegment

[X 0 , X 1 ]

^,^voir^gure^(A.1)^:^segment^parouru

de

X 0

^vers

X 1

^pour^quand

λ

^roît,^et^segment^parouru^de

X 1

^vers

X 0

^pour^quand

µ

^roît.^Dans

lesdeux as, lesegment est au-dessusdugraphe quand

f

êst ônvexe. ^Remarque ûtile^lorsqu'on

regardelesfontionsonvexe

R ⁿ → R

^ave

n ≥ 2

^.

(11)

11 A.3. Fontion

R → R

^onvexe

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

X 0

X 1

P Q

Figure A.1 Fontion

f

^onvexe, ⁱⁱ ^fontion exponentielle (graphe en trait plein). les points

X 0 = (x 0 , f (x 0 ))

^et

X 1 = (x 1 , f(x 1 ))

^sont^deux^points^du^graphe.^Le^segment

[X 0 , X 1 ]

^les^joignant

(traitpointillé)estaudessusdugraphe.Lepoint

Q = (x λ , (1 − λ)f (x 0 ) + λf (x 1 ))

^(sur^le^segment)

estaudessusdupoint

P = (x λ , f (x λ ))

^(sur^le^graphe).

DénitionA.9 L'épigraphede

f

^est ^l'ensemble^des^points

(x, y) ∈ R × R

^qui ^sont^au^dessus^du

graphe,.à.d.:

epi(f ) = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ f (x)}.

^(A.8)

Faireundessin,et voirgureA.1.

Proposition A.10

f

êst ônvexe ^ssi ^son ^épigraphe êst ônvexe. ^Don ûne ^fontion êst ônvexe

ssi, pourtout

x 0 , x 1 ∈]a, b[

^, ^le^segment^de ^droite

[X 0 , X 1 ]

^dans

R ²

d'extrémités

X 0 = (x 0 , f(x 0 ))

et

X 1 = (x 1 , f (x 1 ))

^(points^du^graphe^de

f

⁾^est^tout^entier^dansl'épigraphe,voirgureA.1.

(Cette propositionpeutservirdedénitiond'unefontiononvexe.)

Preuve. Exerie.

A.3.2 Pentes roissantes

Proposition A.11 Soit

f :]a, b[→ R

^onvexe,^soit

x 0 , x 1 ∈]a, b[

^ave

x 0 < x 1

^.

Soit

x _λ = (1 − λ)x 0 + λx 1

^pour

λ ∈]0, 1[

^. ^Alors,^pour

λ ∈]0, 1[

^,^la^pente ^moyenne^entre

x 0

^et

x _λ

^vérie^:

f (x λ ) − f (x 0 )

x _λ − x 0 ≤ f (x 1 ) − f (x 0 ) x 1 − x 0

,

^(A.9)

.à.d.lapentemoyenneestunefontionroissantede

λ

⁽ⁱⁱ^on^a^supposé

x 0 < x 1

^).^Faire^un^dessin.

Etaussi,toujourspour

λ ∈]0, 1[

^et

x 0 < x 1

^:

f (x 1 ) − f (x 0 ) x 1 − x 0

≤ f (x 1 ) − f (x λ ) x 1 − x λ

.

^(A.10)

En partiulier, si

f

^est ^dérivable ^dans

]a, b[

^, ^alors ^pour

x 0 , x 1 ∈]a, b[

^t.q.

x 0 < x 1

^, ^et ^pour

λ ∈]0, 1[

^:

f ^′ (x 0 ) ≤ f (x 1 ) − f (x 0 ) x 1 − x 0

≤ f ^′ (x 1 ), f ^′ (x 0 ) ≤ f ^′ (x λ ) ≤ f ^′ (x 1 ),

^(A.11)

et

f ^′

^est ^une ^fontion ^roissante ^sur

]a, b[

^, ^ave ^inégalités ^strites ^si

f

^est ^stritement ^onvexe,

auquelas

f ^′

^est^roissante^strite.

Si

f ∈ C ¹ (]a, b[; R)

^est^telle^qu'il^existe

c ∈]a, b[

^vériant

f ^′ (c) = 0

^,^alors

f

^est^minimale^en

c

^.

Etsi

f ∈ C ² (]a, b[; R)

^alors

f ^′′ ≥ 0

^sur

]a, b[

^,^ave

f ^′′ > 0

^si

f

^est^stritement^onvexe.

Et si

f

^est

C ²

êt ^stritement ônvexe, âlors

f ^′

^est ^un

C ¹

diéomorphisme (une appliation bijetive

C ¹

^d'inverse

C ¹

^).

Preuve.Ona

x _λ −x 0 = λ(x 1 −x 0 )

^.^Don^(A.9)^équivaut^à

^f ^(x _λ(x ^λ ⁾⁻ ₁ ₋ ^f(x _x ₀ ₎ ⁰ ⁾ ≤ ^f(x _x ¹ ₁ ⁾⁻ ₋ ^f(x _x ₀ ⁰ ⁾

^,^.à.d.^,^omme

λ > 0

^et

x 1 − x 0 > 0

^,^à

f (x λ ) − f (x 0 ) ≤ λ(f (x 1 ) − f (x 0 ))

^,^.à.d.^à

f (x λ ) ≤ (1 − λ)f (x 0 ) + λf (x 1 )

^,

equi estvraiar

f

^est^onvexe.^D'où^(A.9).

(12)

12 A.3. Fontion

R → R

^onvexe

On a

x 1 − x _λ = (1 − λ)(x 1 − x 0 )

^. ^Don ^(A.10) ^équivaut ^à

^f(x _x ¹ ₁ ^)−f(x _−x ₀ ⁰ ⁾ ≤ _(1−λ)(x ^f(x ¹ ^)−f(x ₁ _−x ^λ ₀ ⁾ ₎

^, ^.à.d.

, omme

1 − λ > 0

^et

x 1 − x 0 > 0

^, ^à

(1 − λ)(f (x 1 ) − f (x 0 )) ≤ f (x 1 ) − f (x λ )

^, ^.à.d.^à

f (x λ ≤ (1 − λ)f (x 0 ) + λf (x 1 )

^,ê^quiêst ^vraiâr

f

^est^onvexe.^D'où^(A.10).

Soit

λ, µ ∈ [0, 1]

^t.q.

λ < µ

^.^Soit

h > 0

^t.q.

h < µ − λ

^. ^Alors

^f(x _(x ^µ ⁾ ⁻ ^f(x ^λ ⁾

µ − x λ ) ≤ ^f(x _(x ^µ _µ ⁾ ⁻ ₋ ^f(x _x ^µ−h ⁾

µ−h )

^qui

tendvers

f ^′ (x µ )

^quand

f

^est ^dérivable^et

h → 0

^.^D'où^:

f (x µ ) − f (x λ )

x µ − x λ

≤ f ^′ (x µ ), f ^′ (x µ ) ≤ f ^′ (x λ ),

Calulsimilairesi

λ > µ

^.D'où(A.11).

Etlesinégalitéssontstritessi

f

êst^stritementônvexe^(par^dénition^de^la^striteônvexité).

D'oùsi

f ∈ C ²

^,^alors

f ^′′ (x λ ) = lim µ→λ+ f ^′ (x µ )−f ^′ (λ)

µ−λ ≥ 0

^,^ave

> 0

^si

f

^est^stritement^onvexe

(don

f ^′

^stritementroissante).

Si

f

êst ^stritementônvexeêt

C ²

^, ônâpplique^le^lemme ^suivantÂ.12 âve

h = f ^′

^qui ^est

C ¹

stritementroissante.

Si

f

^est

C ¹

^,^si

c ∈]x 0 , x 1 [

^est ^t.q.

f ^′ (c) = 0

^,^alors^(A.10)^et^(A.11)^donne

f (c) ≤ f (x)

^pour^tout

x ∈ [x 0 , x 1 ]

^.^D'où

f

^est ^minimale^en

c

^sur

]a, b[

^.

LemmeA.12 Soit

I

^et

J

^deuxintervallesouvertsdans

R

^.

Si

h ∈ C ⁰ (I; J)

^est ^bijetive,^alors

h

^est ^monotone^strite^et

h ⁻ ¹ ∈ C ⁰ (J ; I)

⁽

h

^est^un^homéo-

morphisme).Et

h ⁻ ¹

^est^roissante^(resp.déroissante)ssi

h

^est^roissante ^(resp.déroissante).

Sideplus

h ∈ C ¹ (I; J )

^,^alors

h

^est^undiéomorphisme

C ¹

(homéomorphisme

C ¹

^d'inverse

C ¹

^).

Preuve. Soit

h

^bijetive^ontinue.^Montrons ^que

h

^est ^monotone. ^Soit

a, b ∈ I

^ave

a < b

^. ^On^a

h(a) 6= h(b)

^ar

h

^est ^injetive.^Supposons

h(a) < h(b)

^(sinon ^on^onsidère

−h

^).^Montrons ^que

h

estroissantestritesur

I

^.

Soit

x ∈ I

^est^tel^que

a < x < b

^.^Montrons^que

h(a) < h(x) < h(b)

^.

Onnepeutpasavoir

h(x) = h(a)

^ar

h

^est^injetive.^Si

h(x) < h(a)

^,^don

h(x) < h(a) < h(b)

^),

alorsilexiste

c ∈ [x, b]

^tel^que

h(c) = h(a)

^(théorème^des^valeursintermédiairesar

h

^est^ontinue

sur

[x, b]

^, ^voir^polyopié ^F^ontions ^de ^plusieursvariables...). Absurdepour

h

^injetive. ^Idem ^si

h(x) ≤ h(b)

^.^Don

h(a) < h(x) < h(b)

^.

Même démarhepourlesautresas

x < a

^et

x > b

^.^Don

h

^est^bien^roissante.

Montronsque

h ⁻¹

^est^ontinue.^Supposons

h

^stritement^roissante^(sinon^on^prend

−h

^).^Soit

y 0 ∈ J

^.^Montrons

∀β > 0

^,

∃η > 0

^, ^t.q.

∀y ∈]y 0 −η, y 0 +η[

^, ^on^a

h ⁻ ¹ (y) ∈]h ⁻ ¹ (y 0 )−β, h ⁻ ¹ (y 0 )+β[

^.

Prenons

β

^susamment^petit^pour^que

]x 0 −β, x 0 +β[⊂ I

^.

Comme

h

^est^ontinue,^l'image

h(]x 0 −β, x 0 +β [)

êstûnîntervalle^quiôntient

y 0

^.^Comme

h

^est

stritementroissante,notons

η 1 > 0

^et

η 2 > 0

^les^réels^tels^que

h(]x 0 −β, x 0 +β[) =]y 0 −η 1 , y 0 +η 2 [

^,

puisprenons

η = min(η 1 , η 2 )

^.^Cet

η

^répond^à^la^question.

Si deplus

h ∈ C ¹

^, ^alors

h ^′ (x) > 0

^pour^tout

x ∈ I

^. ^Et

h ⁻¹ (h(x)) = x

^.^D'où

h ⁻¹

^est^dérivable

dedérivée

(h ⁻¹ ) ^′ (y) = _h _′ ¹ _(x)

^où

x = h ⁻¹ (y)

^.^Comme

h ^′ ∈ C ⁰

^et

h ⁻¹ ∈ C ⁰

^,

h ^′ ◦ h ⁻¹ ∈ C ⁰

^,êtêstûn

fontionquines'annulejamais.Don

(h ⁻¹ ) ^′ ∈ C ⁰

^.

Transformée de Legendre.

∼

C 1

p

x p = (f ′ ) −1 (p)

f ∗ (p) = px p − f(x p )

g(p, x) = px − f(x)

f ∗ (p) = g(p, x p )

f ∗∗ = f

C 2

(f ∗ ) ′ = (f ′ ) − 1

f (x) = g(p x , x)

f ∗ (p) = sup x∈I (px − f(x))

R → R

R → R

C 1

p

x p = (f ′ ) − 1 (p)

I

R

f : I → R ,

C 1

J

f

J = {p ∈ R : ∃x ∈ I, p = f ′ (x)} = Im(f ′ ).

f ∗ (p) = px p − f(x p )

f ∈ C 1 (I; R)

p ∈ J

f

x p ∈ I

p

f ′ (x p ) = p,

x p = (f ′ ) − 1 (p).

(f ′ ) − 1 :

( J → I

p → (f ′ ) − 1 (p) = x p

x p

p

f ∈ C 1 (I; R)

f ′ : I → R

f

f ′ : I → R

f ′

J

f ′ : I → R

J = Im(f ′ )

f ′ : I → J

p ∈ J

f ′ (x) = p

x = (f ′ ) −1 (p) =

x p

f ∗ (p) = px p − f (x p )

f ∗ : p ∈ J → f ∗ (p)

p

p = f ′ (x)

f

f ∈ C 1 (I; R)

J

f

f ∗ : J → R

x p = (f ′ ) − 1 (p)

f

p

f ∗ (p)

= px p − f (x p ).

p ∈ J

f ∗ (p) = p (f ′ ) −1 (p) − f ((f ′ ) −1 (p)),

Id

f ∗ =

Id × (f ′ ) −1 − f ◦ (f ′ ) −1

f ∗

p

f

(f ∗ ) ∗ = f

f = (f ∗ ) ∗

x

f ∗

f

f ∗

f ∈ C 1 (I; R)

C ¹

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

f ^∗ (p) = px p − f(x p )

f ^∗ (p) = g(p, x p )

f ^∗∗ = f

C ²

(f ^∗ ) ^′ = (f ^′ ) ⁻ ¹

f ^∗ (p) = sup _x∈I (px − f(x))

C ¹

x _p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p)

C ¹

J = {p ∈ R : ∃x ∈ I, p = f ^′ (x)} = Im(f ^′ ).

f ^∗ (p) = px p − f(x p )

f ∈ C ¹ (I; R)

f ^′ (x p ) = p,

x p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p).

(f ^′ ) ⁻ ¹ :

p → (f ^′ ) ⁻ ¹ (p) = x p

f ∈ C ¹ (I; R)

f ^′ : I → R

f ^′ : I → R

f ^′

f ^′ : I → R

J = Im(f ^′ )

f ^′ : I → J

f ^′ (x) = p

x = (f ^′ ) ⁻¹ (p) =

x _p

f ^∗ (p) = px _p − f (x p )

f ^∗ : p ∈ J → f ^∗ (p)

p = f ^′ (x)

f ∈ C ¹ (I; R)

f ^∗ : J → R

x _p = (f ^′ ) ⁻ ¹ (p)

f ^∗ (p)

f ^∗ (p) = p (f ^′ ) ⁻¹ (p) − f ((f ^′ ) ⁻¹ (p)),

f ^∗ =

Id × (f ^′ ) ⁻¹ − f ◦ (f ^′ ) ⁻¹

f ^∗

(f ^∗ ) ^∗ = f

f = (f ^∗ ) ^∗

f ^∗

f ^∗

f ∈ C ¹ (I; R)

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

y _p (x) = px − f ^∗ (p).

f ^∗ (p) = −y 0 (= px p − f (x p )).

f (x) = f (x p ) + f ^′ (x p )(x − x _p ) + o(x − x _p ).

p = f ^′ (x p )

y _p (x) = f (x p ) + p(x − x _p ) = px − (px p − f (x p )) = px − f ^∗ (p).

f ^∗ (p) = g(p, x p )

y ₀

y ₀

f ^′ (x p ) = p

f ^∗ (p) =

Q = (x p , px _p )

P Q ~ = Q − P = (0, −y 0 ) = (0, f ^∗ (p))

y ₀

f ^∗ (p) = −y 0

J = R ^∗ +

(f ^∗ ) ^∗ = f

f ^∗ : J → R

(p x =f ^′ (x), f ^∗ (p))

q _x (p) = xp − f (x).

g _p (x) = q _x (p) = px − f (x) = g(p, x)

f (x) + f ^∗ (p) = xp,

p = f ^′ (x),

x = (f ^∗ ) ^′ (p)

f ∈ C ²

f ^∗ (p) = g(p, x p )

f ∈ C ¹ (I; R)

x p = (f ^′ ) ⁻¹ (p)

g ^′ _p (x p ) = p − f ^′ (x p ) = 0,