Ecole Nationale Supérieure Année 2017/2018 des Travaux Publics Deuxième année Cycle Préparatoire Janvier Examen Final de Physique 3 Session 1

(1)

Ecole Nationale Sup´erieure Ann´ee 2017/2018 des Travaux Publics

Deuxième année Cycle Préparatoire Janvier 2018

Examen Final de Physique 3 Session 1

Dur´ee (1h40’)

O θ

ey

uur

y euurx

x

m

a b

c

k

1

k

2

A

B C

g u r

( )

^B¹ y

( )

^B²

( )

^B³

y0

Exercice 1 (8 points)

Une tigeABC rectiligne de masse négligeable peut tourner dans le plan vertical autour d’un axe horizontal passant par O. L’une des extr´emités Ade la tige, telle queOA=a, est reli´ee respectivement à deux bâtis fixes (B1) et (B2) par un premier ressort (1), de raideurk1et de longueur à vide ℓ01, et un amortisseur de coefficientα. Le point B, tel queOB =b, est relié au bâti (B3) par un deuxième ressort (2) de raideurk2et de longueur

`

a vide ℓ02. A l’autre extrémitéC de la tige, située à la distancec de O, est suspendue une massem contrainte de se déplacer verticalement sans frottement le long d’un guide. Son déplacement est mesuré à partir de sa position d’équilibre par la coordonnéey. La tige est repérée par l’angleθ par rapport à sa position d’équilibre horizontale. On ne s’intéresse qu’aux oscillations de faible amplitude.

1. Donner la relation entre les coordonnéesyetθ.On utiliseraθcomme coordonnée généralisée dans tout l’exercice.

2. Calculer l’énergie cinétique du système.

3. Energie potentielle:

(a) Calculer l’énergie potentielle du système. On désignera parδℓ1 etδℓ2 respectivement les déformations à l’équilibre des ressorts de raideursk1 etk2.

(b) D´eterminer la condition d’´equilibre.

(c) Sachant que le ressort (1) n’est pas déformé à l’équilibre, déterminer la déformation du ressort (2).Est-il allongé ou comprimé?

(d) Simplifier l’expression de l’énergie potentielle du système.

4. Calculer la fonction de dissipation du syst`eme.

5. Etablir l’équation différentielle régissant le mouvement du système.

Donner les expressions du facteur d’amortissementδet de la pulsation propre ω0 du syst`eme.

6. A t= 0, on écarte la tige d’un angle θ0 par rapport à l’horizontale puis on la libère sans vitesse initiale. Quelle doit être la valeur du coefficient de frottementαc pour que la tige revienne à sa position d’équilibre le plus rapidement possible?

7. D´eterminer dans ce cas l’expression deθ(t).

A la forêt de Bouchaoui, deux enfants heureux jouent à la balan¸coire. Pour simplifier l’étude, le système (enfant assis sur le siège + balan¸coire) est modélisé par un pendule simple de longueur ℓ et de massemqui peut tourner dans un plan vertical autour d’un axe fixe passant par O. Le mouvement du pendule est rep´eré par l’angle θ par rapport à la verticale. Pour entretenir le mouvement de la balan¸coire, un deuxième enfant exerce une force périodique constante F0 sous forme d’impulsions de durée t0 = 0,75 s toutes les 3 secondes comme indiqué sur le graphe deF(t). On négligera toutes les forces de frottement et on supposera que les oscillations sont de faible amplitude. On donneg= 9,8 m·s⁻².

(2)

θ

x

y ex

uur

euury

ez

uur

M

O

ℓ θ

m

ey

uur

x

y

M

ℓ

ex

uur

F ur

F

ur 0

( )

F t

F0

O

t0 T t0+T 2T t₀+2T t

1. Calculer les coefficients de Fourrier a_n et b_n (n∈N) de la fonction F(t) périodique de période T. On remarquera que t0

T = 1 4.

2. En déduire le développement en série de Fourier deF(t).

3. Etablir l’équation différentielle du mouvement enθdu système en se limitant aux deux premiers harmoniques (prendren= 0, 1, 2).

4. Calculer la valeur de l’amplitude de la r´eponse θ2(t) correspondant au deuxi`eme harmonique. On donne:

F0= 40 N,ℓ= 1,80 m etm= 50 kg.

θ

k

1

k

2 ^y

x

A ^GG B

y

L1

L2

A ^G B

L1 L₂ Exercice 3 (7 points)

Un motard avec sa moto est modélisé par un système de masse M à deux degrés de liberté en mouvement dans le planxOy. L’arrière et l’avant de la moto sont équipés de suspensions reliées au chassis respectivement par deux ressorts de raideurs k₁ et k₂ fixés aux pointsA et B. On d´esigne par Gle centre de masse de la partie suspendue du système (motard + moto) et par IG son moment d’inertie par rapport à un axe passant parGparallèle à Oz.

On posera AG = L1 et BG =L2 et on supposera les trois points A, G et B alignés. A l’équilibre,AGB est horizontal. Le mouvement du système est décrit par le déplacementyG du centre de masseGpar rapport à sa position d’équilibre et par l’angleθque faitAGBavec l’horizontale. On ne s’intéresse qu’aux oscillations de faible amplitude.

1. D´eterminer

(a) la matrice énérgie cinétique du système.

(b) la matrice énergie potentielle du système. On ne tiendra pas compte des déformations des ressorts à l’équilibre.

2. Etablir les équations différentielles du mouvement couplées auxquelles satisfonty_G etθ.

3. A quelle condition les équations différentielles en yG et θ deviennent- elles découplées?

4. En d´eduire dans ce cas la matrice de Lagrange et les pulsations propres du syst`eme.

(3)

Ecole Nationale Sup´erieure Ann´ee 2017/2018 des Travaux Publics

Deuxième année Cycle Préparatoire Janvier 2018

Corrig´e de l’Examen Final de Physique 3 Session 1

Dur´ee (1h40’)

1. La masse métant reliée à la tige au pointC par un fil inextensible, on a:

y=cθ← 0,5 pt 2. L’énergie cinétique du système s’écrit:

T =Tm= 1 2my·

2

= 1 2mc²·

θ

2

← 0,5 pt 3. Energie potentielle:

(a) L’énergie potentielle du système s’écrit:

U =−mg(y0+cθ) +1

2k1(aθ+δℓ1)²+1

2k2(bθ+δℓ2)²← 1 pt ou bien

U =−mgcθ+1

2k₁(aθ+δℓ₁)²+1

2k₂(bθ+δℓ₂)² avecδℓ1=ℓe₁−ℓ01 etδℓ1=ℓe₂−ℓ02.

(b) La condition d’´equilibre est donn´ee par

dU dθ

θ=0

=−mgc+k₁aδℓ₁+k₂bδℓ₂= 0← 1 pt

(c) Si le ressort (1) n’est pas déformé à l’équilibre, on aδℓ1= 0. De l’équation précédente, on tireδℓ2: δℓ2= mgc

k2b ← 0,25 pt

Puisque δℓ2>0,alorsℓe₂ > ℓ02. Le ressort est donc allongé à l’équilibre← 0,25 pt (d) En développant l’expresion deU, on obtient:

U = 1

2k1a²θ²+1

2k2b²θ²+ (−mgck1aδℓ1+k2bδℓ2)θ+Cte et en tenant compte de la condition d’´equilibre, on obtient:

U =1 2

k1a²+1 2k2b²

θ²← 0,5 pt 4. La fonction de dissipation du syst`eme.s’´ecrit:

D= 1

2α−→vA2=1 2αa²·

θ

2

← 0,5 pt 5. L’équation différentielle du mouvement s’écrit:

mc²· ·

θ +αa²· θ+

k₁a²+k₂b² θ= 0 ou encore

· ·θ + αa² mc²

θ· + k1a²+k2b²

mc² θ= 0← 1 pt avecω0=

r k1a²+k2b²

← 0,25 pt et δ= αa²

← 0,25 pt

(4)

6. La tige revient à sa position d’équilibre le plus rapidement possible lorsque le régime est critique, soit lorsque ω0=δ. On en d´eduit le coefficient de frottement critique:

αc= 2c a

Ê m

k1+k2

b² a²

← 1 pt

7. La solution est donn´ee par

θ(t) = (A1t+A2)e⁻^ω⁰^t← 0,5 pt En imposant les conditions initiales `at= 0,θ(0) =θ0 et ·

θ(0) = 0, on obtient: A1=ω0θ0 etA2=θ0. D’o`u θ(t) =θ₀(ω₀t+ 1)e⁻^ω⁰^t← 0,5 pt

1. Les coeﬃcients de Fourier a₀ et a_n sont donn´ees par

a0= 2 T ZT

0

F(t)dt= 2 T

t₀

Z

0

F0dt+ 2 T ZT t₀

0dt= 2F0t0

T =F0

2 ← 0,5 pt et

an= 2 T ZT 0

F(t) cosnωtdt= 2 T

t₀

Z

0

F0cosnωtdt+ 2 T ZT t₀

0 cosnωtdt= 2F0

T

sinnωt nω

t₀ 0

= 2F0

nωT sin (nωt0) soit

an = F0

nπ sin

n2πt0

T

= F0

nπ sin nπ

2

← 1 pt

De même, les coefficientsb_n sont données par

bn= 2 T ZT 0

F(t) sinnωtdt= 2 T

t0

Z

0

F0sinnωtdt+2 T ZT t0

0 sinnωtdt=−2F₀ T

cosnωt nω

t₀ 0

=−2F₀ nωT

cos

n2πt₀

T

−1

soit

bn= F0

nπ h

1−cos nπ

2

i← 1 pt

2. Le développement en série de Fourier deF(t) s’écrit:

F(t) = F0

4 + X∞ n=1

F0

nπ sin nπ

2

cosnωt+F0

nπ

1−cos nπ

2

sinnωt

← 0,5 pt

3. L’équation différentielle du mouvement du système s’écrit sous la forme mℓ²· ·

θ +mgℓθ=F(t)ℓ← 0,5 pt soit, en rempla¸cantF(t) par son d´evellopement

· ·θ +g

ℓθ= F₀ 4mℓ+ F₀

πmℓ X∞ n=1

1 nsin

nπ 2

cosnωt+ 1 n

1−cos

nπ 2

sinnωt

← 0,5 pt

En se limitant aux deux premiers harmoniques, on obtient:

· ·θ +g

ℓθ= F₀ 4mℓ + F₀

πmℓcosωt+ F₀ πmℓsinωt

| {z }

1^erharmonique

+ F₀

πmℓsin 2ωt

| {z }

2^`^emeharmonique

← 0,5 pt

(5)

4. L’amplitude de la réponseθ(t) correspondant au deuxième fondamental s’écrit:

A₂=

F0

È πmℓ

(ω₀²−4ω²)²

= F0

πmℓ

|ω₀²−4ω²| ← 1 pt

Application num´erique: On a: ω0= Ég

ℓ = r9,8

1,8 = 2,333 rad·s⁻¹ etω= 2π

3 ≃2,094 rad·s⁻¹. D’o`u

A2=

40 50π×1,80

|2,333²−4×2,094²| ≃0,012 rad← 0,5 pt Exercice 3 (7 points)

1. Matrices énergie cinétique et potentielle (a) L’énérgie cinétique du système s’écrit:

T = 1

2M−→vG+1 2IG

θ·

2

avec−→vG =d−−→

OG dt = ·

y_G−→ey. D’o`u

T =1 2My·

2 G+1

2IG

θ·

2

Ainsi, la matrice énergie cinétique s’écrit:

[T] =

M 0 0 IG

← 1 pt

(b) Si on ne tient pas compte des déformations des ressorts à l’équilibre, l’énergie potentielle du système s’écrit:

U = 1

2k1(yG−L1θ)²+1

2k2(yG+L2θ)²← 0,5 pt soit

U =1

2(k1+k2)y²_G+1

2(k2L2−k1L1)yGθ+1

2(k2L2−k1L1)θyG+1 2

k1L²₁+k2L²₂ θ²

D’o`u la matrice ´energie potentielle:

[U] =

k1+k2 k2L2−k1L1

k2L2−k1L1 k1L²₁+k2L²₂

← 1 pt

2. Les équations différentielles du mouvement s’écrivent:

M 0 0 IG

· ·y_G

· ·θ

+

k1+k2 k2L2−k1L1

k2L2−k1L1 k1L²₁+k2L²₂

yG

θ

=

0 0

ou encore 8

<

:

M· ·

y_G+ (k1+k2)yG+ (k2L2−k1L1)θ= 0 IG

· ·θ + k1L²₁+k2L²₂

θ+ (k2L2−k1L1)yG= 0

← 2 pt (1)

3. Les équations différentielles (1) en y_G et θseront découplées lorsque la condition suivante sera satisfaite k₂L₂=k₁L₁← 0,5 pt

(6)

4. Dans ce cas, la matrice de Lagrange est donn´ee par [L] = [T]⁻¹[U] =

₁

M 0

0 _I¹

G

k1+k2 0 0 k1L²₁+k2L²₂

=

_k₁_+k₂

M 0

0 ^k¹^L²¹_I^+k²^L²²

G

← 1 pt

L’équation caractéristique du système s’écrit:

det

[L]−ω²[I]

= 0

soit k1+k2

M −ω²

k1L²₁+k2L²₂ I_G −ω²

= 0 D’o`u les pulsations propres:

ω1=

rk₁+k₂

M ← 0,5 pt et ω2= Ê

k₁L²₁+k₂L²₂

IG ← 0,5 pt