Ecole Nationale Supérieure Année 2016/2017 des Travaux Publics Deuxième année Cycle Préparatoire Avril Devoir Surveillé de Physique 4

Ecole Nationale Sup´erieure Ann´ee 2016/2017 des Travaux Publics

Deuxi`eme ann´ee Cycle Pr´eparatoire Avril 2017

Devoir Surveill´e de Physique 4 Dur´ee (1h30’)

Exercice 1 (10 points)

Une corde de longueurLet de masse lin´eiquesµest tendue horizontalement avec une tensionT. La corde est fix´ee `a l’extr´emit´eO(x= 0) et est limit´e `a droite par une plaque m´etallique perc´ee d’un orificeP permettant d’immobiliser un point donn´e de la corde et de provoquer, enP, la r´eflexion des ondes sur une extr´emit´e fixe. La plaque peut ˆ

etre d´eplac´ee le long de la corde et l’on pose OP =L. La longueur de la corde est r´egl´ee de fa¸con `a obtenir des ondes stationnaires dans le mode 2. A l’instantt= 0, la corde abandonn´ee sans vitessey·₂(x,0) = 0

L

µ

x

m

Plaque métallique

Poulie

O P

M

x

Point fixe

1. Montrer que le d´eplacement transversal qui d´ecrit les ondes stationnaires est donn´e par y2(x, t) =a2sin (k2x) cosω2t

o`uk2 etω2 sont des grandeurs que l’on exprimera en fonction deLetV.

2. Quelles sont les positions et les amplitudes des nœuds et de ventres de vibration des ondes stationnaires?

3. Calculer:

(a) la densit´e lin´eique moyenne d’´energie cin´etique⟨e_c⟩ (b) la densit´e lin´eique moyenne d’´energie potentielle⟨ep⟩

(c) la densit´e lin´eique moyenne d’´energie totale⟨e⟩et l’exprimer en fonction dea2,T et µ.

4. Calculer l’´energie m´ecanique totaleE2 de la corde. Conlusion?

5. La longueur de la corde ´etant toujours r´egl´ee de fa¸con `a obtenir des ondes stationnaires dans le mode 2.

(a) Quelles sont les forces exerc´ees par la corde au niveau du pointP?

(b) On appelle tension de radiation moyenne ⟨Tr⟩, la force de pouss´ee moyenne exerc´ee par la corde en P suivant l’axeOx. Calculer⟨Tr⟩en fonction dea2, T etL.

(c) Exprimer⟨T_r⟩en fonction de l’´energie m´ecanique totaleE2de la corde.

ENSTP Devoir Surveill´e de Physique 4 1/2

x

µ

µ

( , ) y x ti

Exercice 2 (6 points)

¨

1^◦ Deux cordes semi-infinies (1) et (2) de masses lin´eiques µ1 et µ2 sont raccord´ees `a la jonction O, en x = 0, et sont tendues horizontalement suivant l’axeOxpar une mˆeme tensionT.Une onde de d´eplacement incidente y_i(x, t) = a_ie^j(ωt−k1x) et venant de la gauche (r´egion des x < 0), arrive en O. Elle se r´efl´echit partiellement le long de la corde (1) et se transmet partiellement le long de la corde (2). On supposera que l’amplitude a_i de l’onde est r´eelle.

a) Donner les expressions des ondes r´efl´echieyr(x, t) et transmiseyt(x, t).

b) En d´eduire les expressions des ondesy1(x, t) ety2(x, t) dans les cordes (1) et (2) respectivement.

c) Ecrire les deux ´equations de continuit´e au niveau de la jonctionO.

d) D´eterminer les coefficients de r´eflexion Ret de transmissionT en ´energie du syst`eme.

e) Calculer les valeurs num´eriques deRetT dans le cas de deux cordes (1) et (2), de mˆeme sections,ayant des masses volumiques respectives ρ1= 8800 kg·m⁻³ et ρ2= 2700 kg·m⁻³.

Nuage

Eclair Exercice 3 (4 points)

1^◦ Lors de la propagation du son dans un gaz parfait, Laplace d´ecouvrit que les zones de compression se propagent tellement vite qu’ellent n’ont pas le temps d’´echanger la chaleur avec les tranches de fluide voisines. La propagation du son est donc un processus adabatique qui peut ˆetre d´ecrit par la loi de Laplace:

P ρ^γ =cte

o`uP est la pression du gaz,ρsa masse volumique etγ=Cp

Cv

a) Sachant que le module de compressibili´e du gaz est d´efini par κ= ρ

∂P

∂ρ

‹

S

, d´eterminer la c´el´erit´ecdu son dans un gaz parfait.

b) Nous sommes `a S´etif o`u la temp´erature `a l’ext´erieur est de 1<sup>◦</sup>C. Un homme debout sous un parapluie voit un ´eclair et apr`es 15 secondes, il entend le tonnerre. Calculer la distance qui le s´epare de l’orage.

On suppose que l’air, de masse molaire M = 29 g·mol⁻¹ est un gaz parfait diatomique (γ= 1,4).

On donne la constante des gaz parfaits: R= 8,32 J·K⁻¹·mol⁻¹.

E`c´o˝l´e N`a˚tˇi`o“n`a˜l´e S˚u¯p`éˇr˚i`eˇu˚r`e A”n‹n`é´e 2016/2017

`d`e˙s T˚r`a‹vˆa˚u‹x P˚u˜b˝lˇi`c˙s

D`eˇu‹xˇi`è›m`e `a‹n‹n`é´e C”y´c¨l´e P˚r`é˙p`a˚r`a˚t´o˘i˚r`e A”v˘r˚i˜l 2017

C`o˘r˚r˚i`g´é `d˚uffl D`e›vˆo˘i˚rffl S˚u˚r‹vfleˇi˜l¨l´é `d`e P‚h‹y˙sfi˚i`qfi˚u`e 4 E”x´eˇr`cˇi`c´e 1 (10 ¯p`o˘i‹n˚t˙s)

1. L`e `d`é˙p˜l´a`c´e›m`e›n˚t, `àffl ˜l„˚i‹n¯sfi˚t´a‹n˚t t, `dffl’˚u‹nffl ¯p`o˘i‹n˚t `dffl’`a˜b¸sfi`cˇi¯sfi¯sfi`e x `e˙sfi˚t ˜l´affl ¯sfi˚u¯p`eˇr¯p`o¸sfi˚i˚tˇi`o“nffl `d`e `d`eˇu‹x `o“n`d`e˙s:

y(x, t) =Ae^j(ωt−kx)+Be^j(ωt+kx)

`o˘ùffl k = ω

V, `a‹vfle´c V = rT

µ. L`affl ¯p`e›m˚i`èˇr`e `c´o“n`d˚i˚tˇi`o“nffl `a˚u‹x ˜lˇi‹m˚i˚t´e˙s `e›nffl x = 0, y(0, t) = 0 ∀ t, `d`o“n‹n`e B =−A. D`o“n`c, ˜l´e `d`é˙p˜l´a`c´e›m`e›n˚t ¯s’`é´cˇr˚i˚t ¯sfi`o˘u¯s ˜l´affl ˜f´o˘r‹m`e:

y(x, t) =−2jAsin (kx)e^jωt← 0,5 ¯p˚t

L`affl `d`eˇu‹xˇi`è›m`e `c´o“n`d˚i˚tˇi`o“nffl `a˚u‹x ˜lˇi‹m˚i˚t´e˙s `e›nffl x=L, y(L, t) = 0, ˚i‹m¯p`o¸sfi`e `d`e˙s ”n`o“m˜b˘r`e˙s `dffl’`o“n`d`e `qfi˚u`a‹n˚tˇi˜fˇi`é˙s

`qfi˚u˚iffl `d`o˘i‹vfle›n˚t ¯sfi`a˚tˇi¯sfi˜f´a˚i˚r`e ˜l´affl ˚r`e¨l´a˚tˇi`o“nffl: k_n=nπ

L . L`e˙s ¯p˚u˜l˙sfi`a˚tˇi`o“n¯s ¯p˚r`o¸p˚r`e˙s ¯p`eˇr‹m˚i¯sfi`e˙s ¯sfi`o“n˚t `a˜l´o˘r¯s `d`o“n‹n`é´e˙s

¯p`a˚rffl ωn =nπV

L . C`o“m‹m`e ˜l´affl `c´o˘r`d`e `e˙sfi˚t ˜l´e ¯sfi˚i`è´g´e `dffl’`o“n`d`e˙s ¯sfi˚t´a˚tˇi`o“n‹n`a˚i˚r`e˙s `d`a‹n¯s ˜l´e ”m`oˆd`e 2, ˜l´affl ¯sfi`o˝lˇu˚tˇi`o“nffl

`g´é›n`éˇr`a˜l´e ¯s’`é´cˇr˚i˚t:

y(x, t) =y₂(x, t) =−2jA₂sin (k₂x)e^jω2t

`o˘uffl `e›n`c´o˘r`e, ¯p˚u˚i¯sfi`qfi˚u`e A₂=|A₂|e^jφ2

y2(x, t) = 2|A2|sin (k2x)e^j(^ω2t−^π2+φ₂)

`o˘ùffl k2= 2π

L← 0,25 ¯p˚t `eˇt ω2= 2πV

L ← 0,25 ¯p˚t. E”nffl ¯p`a¯sfi¯sfi`a‹n˚t `àffl ˜l´affl ”n`o˘t´a˚tˇi`o“nffl ˚r`é´e¨l¨l´e, `o“nffl `o˝b˘tˇi`e›n˚t y₂(x, t) =a₂sin (k₂x) sin (ω₂t+φ₂)← 0,5 ¯p˚t

`a‹vfle´c a2= 2|A2|. L`affl `c´o“n`d˚i˚tˇi`o“nffl ˚i‹n˚i˚tˇi`a˜l´e ·

y₂(x,0) = 2|A2|ω2sin (k2x) cosφ2= 0, ˚i‹m¯p`o¸sfi`e φ2=π 2. D’`o˘ùffl y2(x, t) =a2sin (k2x) cosω2t← 0,5 ¯p˚t

2. L`e˙s ¯p`o¸sfi˚i˚tˇi`o“n¯s `d`e˙s ”n`œˇu`d¯s ¯sfi`o“n˚t ˚t´e¨l¨l´e˙s `qfi˚u`e sin (k2x) = sin

2π Lx

‹

= 0, ¯sfi`o˘i˚t 2π

Lxp=pπ. D’`o˘ùffl x_p=pL

2

E˚t ¯p˚u˚i¯sfi`qfi˚u`e 0≤xp ≤L, ˜l´e˙s ˚tˇr`o˘i¯s ¯p`o¸sfi˚i˚tˇi`o“n¯s `d`e˙s ”n`œˇu`d¯s ¯sfi`o“n˚t x0= 0, x1= L

2 `eˇt x2=L← 0,25 ¯p˚t. L’`a‹m¯p˜lˇi˚tˇu`d`e `a˚uffl ”n˚i‹vfle´a˚uffl `d`e `c´e˙s ”n`œˇu`d¯s `e˙sfi˚t ”n˚u˜l¨l´e.← 0,25 ¯p˚t

D`e ”m`ê›m`e, ˜l´e˙s ¯p`o¸sfi˚i˚tˇi`o“n¯s `d`e˙s ”vfle›n˚tˇr`e˙s ¯sfi`o“n˚t `d`éˇt´eˇr‹m˚i‹n`é´e˙s `àffl ¯p`a˚r˚tˇi˚rffl `d`e ˜l„`é´qfi˚u`a˚tˇi`o“nfflsink₂x= sin

2π Lx

‹

=±1,

`c´e `qfi˚u˚iffl `d`o“n‹n`e

x^′_p= (2p+ 1)L 4

ENSTP Corrig´e du Devoir Surveill´e de Physique 4 1/5

D’`o˘ùffl ˜l´e˙s ¯p`o¸sfi˚i˚tˇi`o“n¯s `d`e˙s ”vfle›n˚tˇr`e˙s: x^′₀ = L

4 `eˇt x^′₁ = 3L

4 ← 0,25 ¯p˚t. L’`a‹m¯p˜lˇi˚tˇu`d`e `a˚uffl ”n˚i‹vfle´a˚uffl `d`e `c´e˙s

”vfle›n˚tˇr`e ”vˆa˚u˚t a₂← 0,25 ¯p˚t.

3. (`affl) L’`é›n`eˇr`gˇi`e `cˇi‹n`éˇtˇi`qfi˚u`e `dffl’˚u‹nffl `é¨l´é›m`e›n˚t `d`e `c´o˘r`d`e `d`e ”m`a¯sfi¯sfi`e δm ”vˆa˚u˚t dEc= 1 2δmy·

2

2(x, t) =1 2µdxy·

2 2(x, t). O”nffl `e›nffl `d`é´d˚u˚i˚t ˜l´affl `d`e›n¯sfi˚i˚t´é ˜lˇi‹n`éˇtˇi`qfi˚u`e `dffl’`é›n`eˇr`gˇi`e `cˇi‹n`éˇtˇi`qfi˚u`e

ec= dE_c dx =1

2µa²₂ω²₂sin²(k2x) sin²ω2t← 1 ¯p˚t S`affl ”m`o“y´e›n‹n`e `d`a‹n¯s ˜l´e ˚t´e›m¯p¯s ”vˆa˚u˚t

⟨ec⟩=1

4µa²₂ω²₂sin²(k2x)← 0,5 ¯p˚t

(˜b) U”nffl `é¨l´é›m`e›n˚t `d`e `c´o˘r`d`e `d`e ˜l´o“n`gˇu`eˇu˚rffl dx ¯sfi˚u˜b˘i˚t ˚u‹nffl `a˜l¨l´o“n`g›m`e›n˚t ds−dx=¹₂dx

∂y2

∂x

‹2

. S`o“nffl `é›n`eˇr`gˇi`e

¯p`o˘t´e›n˚tˇi`e¨l¨l´e `e˙sfi˚t dE_p=¹₂T dx

∂y2

∂x

‹2

. D’`o˘ùffl, ˜l´affl `d`e›n¯sfi˚i˚t´é ˜lˇi‹n`éˇi`qfi˚u`e `dffl’`é›n`eˇr`gˇi`e ¯p`o˘t´e›n˚tˇi`e¨l¨l´e ep=dEp

dx =1

2T a²₂k²₂cos²(k2x) cos²ω2t← 1 ¯p˚t S`affl ”m`o“y´e›n‹n`e `d`a‹n¯s ˜l´e ˚t´e›m¯p¯s ”vˆa˚u˚t

⟨e_p⟩= 1

4T a²₂k₂²cos²(k₂x)← 0,5 ¯p˚t

`o˘uffl `e›n`c´o˘r`e, ¯p˚u˚i¯sfi`qfi˚u`e k2= ω2

V

⟨ep⟩= 1

4µa²₂ω₂²cos²(k2x) (`c) L`affl `d`e›n¯sfi˚i˚t´é ˜lˇi‹n`éˇi`qfi˚u`e ”m`o“y´e›n‹n`e `dffl’`é›n`eˇr`gˇi`e ˚t´o˘t´a˜l´e ¯s’`é´cˇr˚i˚t:

⟨e⟩=⟨ec⟩+⟨ep⟩=1

4µa²₂ω²₂sin²(k2x) +1

4µa²₂ω²₂cos²(k2x)

¯sfi`o˘i˚t

⟨e⟩= 1

4µa²₂ω²₂=Ta²₂π²

L² ← 1 ¯p˚t 4. L’`é›n`eˇr`gˇi`e ˚t´o˘t´a˜l´e `d`e ˜l´affl `c´o˘r`d`e `e˙sfi˚t `d`o“n‹n`é´e ¯p`a˚rffl

E2= ZL

0

edx= ZL

0

(ec+ep)dx

¯sfi`o˘i˚t

E2= ZL

0

1

2µa²₂ω₂²sin²(k₂x) sin²(ω₂t)dx+ ZL

0

1

2T a²₂k₂²cos²(k₂x) cos²(ω₂t)dx

`eˇt ¯p˚u˚i¯sfi`qfi˚u`e ZL

0

sin²(k2x)dx= ZL

0

cos²(k2x)dx= L

2, `o“nffl `o˝b˘tˇi`e›n˚t:

E2=1

4µLa²₂ω²₂sin²(ω2t) +1

4T La²₂k²₂cos²(ω2t)

¯sfi`o˘i˚t

E2=Ta²₂π²

L ← 1 ¯p˚t

L’`é›n`eˇr`gˇi`e ˚t´o˘t´a˜l´e `d`e ˜l´affl `c´o˘r`d`e `e˙sfi˚t `c´o“n¯sfi˚t´a‹n˚t´e `eˇt ¯p`eˇu˚t ¯s’`é´cˇr˚i˚r`e ¯sfi`o˘u¯s ˜l´affl ˜f´o˘r‹m`e E2=⟨e⟩L← 0,25 ¯p˚t. 5.

x

P M

L

Plaque 2

x

y

T

u r

T

u u r

θ (`affl) L`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `e›x´eˇr`c´é´e˙s ¯p`a˚rffl ˜l´affl `c´o˘r`d`e `e›nffl P ¯sfi`o“n˚t:

˚iffl. ˜l´affl ˜f´o˘r`c´e `d`e ˚t´e›n¯sfi˚i`o“nffl −→

T1 `e›x´eˇr`c´é´e ¯p`a˚rffl ˜l´affl ¯p`a˚r˚tˇi`e `d`e ˜l´affl `c´o˘r`d`e ¯sfi˚i˚tˇu`é´e `àffl `g´a˚u`c‚h`e `d`e ˜l´affl ¯p˜l´a`qfi˚u`e

”m`éˇt´a˜l¨lˇi`qfi˚u`e `eˇt `d˚i˚r˚i`g´é´e ¯sfi˚u˚i‹vˆa‹n˚t ˜l´affl ˚t´a‹n`g´e›n˚t´e `àffl ˜l´affl `c´o˘r`d`e `e›nffl P← 0,25 ¯p˚t

˚i˚iffl. ˜l´affl ˜f´o˘r`c´e `d`e ˚t´e›n¯sfi˚i`o“nffl −→

T2 `e›x´eˇr`c´é´e ¯p`a˚rffl ˜l´affl ¯p`a˚r˚tˇi`e `d`e ˜l´affl `c´o˘r`d`e ¯sfi˚i˚tˇu`é´e `àffl `d˚r`o˘i˚t´e `d`e ˜l´affl ¯p˜l´a`qfi˚u`e

”m`éˇt´a˜l¨lˇi`qfi˚u`e `eˇt `d˚i˚r˚i`g´é´e ¯sfi˚u˚i‹vˆa‹n˚t ˜l„`a‹x´e Ox← 0,25 ¯p˚t (˜b) ˜l´affl ˜f´o˘r`c´e `d`e ¯p`o˘u¯sfi¯sfi`é´e ¯sfi˚u˚i‹vˆa‹n˚t ˜l„`a‹x´e Ox ¯sfi`é´cˇr˚i˚t:

T_r=T_1x+T_2x=−Tcosθ+T

=T(1−cosθ)

`o˘uffl `e›n`c´o˘r`e

Tr= 2Tsin²θ 2

`eˇt ¯p`o˘u˚rffl ˜l´e˙s ˜f´a˚i˜b˝l´e˙s `a‹n`g¨l´e˙s,

Tr≃ 1

2T θ²= 1 2T

•∂y₂

∂x

‹

L

˜2

O˚rffl, ∂y₂

∂x

‹

L

=k₂a₂cos (k₂L) cosω₂t=2π

L a₂sinω₂t, `d`o“n`c T_r= 1 2T

2π L

‹2

a²₂sin²ω₂t. O”nffl `e›nffl `d`é´d˚u˚i˚t

˜l´affl ˚t´e›n¯sfi˚i`o“nffl `d`e ˚r`a`d˚i`a˚tˇi`o“nffl ”m`o“y´e›n‹n`e:

⟨T_r⟩=T π

L 2

a²₂← 1 ¯p˚t

(`c) E”nffl ˚t´e›n`a‹n˚t `c´o“m¯p˚t´e `d`e 4<sup>◦</sup>, ˜l´affl ˚t´e›n¯sfi˚i`o“nffl `d`e ˚r`a`d˚i`a˚tˇi`o“nffl ¯s’`é´cˇr˚i˚t:

⟨T_r⟩= E2

L = T π²a²₂

L² ← 0,25 ¯p˚t

E”x´eˇr`cˇi`c´e 2 (6 ¯p`o˘i‹n˚t˙s)

`affl) L`e˙s `o“n`d`e˙s ˚r`é¨f¨l´é´c‚h˚i`e `eˇt ˚tˇr`a‹n¯sfi‹m˚i¯sfi`e `o“n˚t ˚r`e˙sfi¯p`e´cˇtˇi‹vfle›m`e›n˚t ¯p`o˘u˚rffl `e›x˙p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“n¯s

yr(x, t) =are^j(ωt+k1x)← 0,5 ¯p˚t

`eˇt

yt(x, t) =ate^j(ωt−k2x)← 0,5 ¯p˚t

`o˘ùffl k1 = ω

V1 `eˇt k2 = ω

V2. L`e˙s `c´é¨l´éˇr˚i˚t´é˙s `d`e˙s `o“n`d`e˙s `d`a‹n¯s ˜l´e˙s `c´o˘r`d`e˙s (1) `eˇt (2) ¯sfi`o“n˚t ˚r`e˙sfi¯p`e´cˇtˇi‹vfle›m`e›n˚t V₁=

rT

µ1 `eˇt V₂= rT

µ2

.

ENSTP Corrig´e du Devoir Surveill´e de Physique 4 3/5

˜b) L`e˙s `o“n`d`e˙s `d`e `d`é˙p˜l´a`c´e›m`e›n˚t ˚tˇr`a‹n¯sfi‹vfleˇr¯sfi`a˜l `d`a‹n¯s ˜l´e˙s `d`eˇu‹x `c´o˘r`d`e˙s ¯s’`é´cˇr˚i‹vfle›n˚t:

y1(x, t) =aie^j(ωt−k1x)+are^j(ωt+k1x)← 0,25 ¯p˚t

`eˇt

y2(x, t) =ate^j(ωt−k2x)← 0,25 ¯p˚t

`c) L’`é´qfi˚u`a˚tˇi`o“nffl `d`e `c´o“n˚tˇi‹n˚u˚i˚t´é `e›nffl x= 0 ¯sfi˚u˚rffl ˜l´e `d`é˙p˜l´a`c´e›m`e›n˚t ˚tˇr`a‹n¯sfi‹vfleˇr¯sfi`e ¯p`eˇr‹m`eˇt `dffl’`é´cˇr˚i˚r`e:

y1(0, t) =y2(0, t)← 0,5 ¯p˚t

`eˇt `e›nffl ˚i‹n˚tˇr`oˆd˚u˚i¯sfi`a‹n˚t ˜l´e˙s `c´ofle¨f¨fˇi`cˇi`e›n˚t˙s `d`e ˚r`é¨f¨l´e›xˇi`o“nffl r= ar

ai `eˇt `d`e ˚tˇr`a‹n¯sfi‹m˚i¯sfi¯sfi˚i`o“nffl t=at

ai `e›nffl `d`é˙p˜l´a`c´e›m`e›n˚t

`a˚uffl ”n˚i‹vfle´a˚uffl `d`e ˜l´affl ¯j´o“n`cˇtˇi`o“nffl O, `o“nffl `o˝b˘tˇi`e›n˚t:

1 +r=t← 0,25 ¯p˚t (1)

D`e ”m`ê›m`e, ˜l„`é´qfi˚u`a˚tˇi`o“nffl `d`e `c´o“n˚tˇi‹n˚u˚i˚t´é `e›nffl x= 0 `d`e ˜l´affl ˚t´e›n¯sfi˚i`o“nffl `d`e ˜l´affl `c´o˘r`d`e ¯p`eˇr‹m`eˇt `dffl’`é´cˇr˚i˚r`e:

T∂y₁(x, t)

∂x

x=0

= T∂y₂(x, t)

∂x

x=0

← 0,5 ¯p˚t S`o˘i˚t

Z1(1−r) =Z2t← 0,25 ¯p˚t (2)

`o˘ùffl Z1=√

T µ1 `eˇt Z2=√ T µ2.

`dffl) E”nffl ¯p`a¯sfi¯sfi`a‹n˚t `àffl ˜l´affl ”n`o˘t´a˚tˇi`o“nffl ˚r`é´e¨l¨l´e, `o“nffl ¯p`eˇu˚t `d`éˇt´eˇr‹m˚i‹n`eˇrffl ˜l´affl ¯p˚u˚i¯sfi¯sfi`a‹n`c´e ˚tˇr`a‹n¯sfi¯p`o˘r˚t´é´e ¯p`a˚rffl ˜l„`o“n`d`e

˚i‹n`cˇi`d`e›n˚t´e:

Pi=−T∂y_i(x, t)

∂x

y·_i(x, t) =T a²_ik₁ωsin²(ωt−k₁x) =Z₁a²_iω²sin²(ωt−k₁x) D`e ”m`ê›m`e, ˜l´e˙s ¯p˚u˚i¯sfi¯sfi`a‹n`c´e˙s ˚tˇr`a‹n¯sfi¯p`o˘r˚t´é´e˙s ¯p`a˚rffl ˜l´e˙s `o“n`d`e˙s ˚r`é¨f¨l´e´c‚h˚i`e `eˇt ˚tˇr`a‹n¯sfi‹m˚i¯sfi`e ¯sfi`o“n˚t:

Pr=−T∂yr(x, t)

∂x

y·_r(x, t) =−Z1a²_rω²sin²(ωt+k1x)

`eˇt

Pt=−T∂yt(x, t)

∂x

y·_t(x, t) =Z2a²_tω²sin²(ωt−k2x)

O”nffl `e›nffl `d`é´d˚u˚i˚t ˜l´e˙s `c´ofle¨f¨fˇi`cˇi`e›n˚t˙s `d`e ˚r`é¨f¨l´e›xˇi`o“nffl R `eˇt `d`e ˚tˇr`a‹n¯sfi‹m˚i¯sfi¯sfi˚i`o“nffl T `e›nffl `é›n`eˇr`gˇi`e:

R= ⟨|Pr|⟩

⟨Pi⟩ = a²_r a²_i =r²

`eˇt `e›nffl ˚t´e›n`a‹n˚t `c´o“m¯p˚t´e `d`e˙s `é´qfi˚u`a˚tˇi`o“n¯s (1) `eˇt (2), `o“nffl `o˝b˘tˇi`e›n˚t:

R=

Z1−Z2

Z₁+Z₂

‹2

=

√µ₁− √µ₂

√µ₁+√µ₂ 2

← 1 ¯p˚t

`eˇt

T =⟨Pt⟩

⟨Pi⟩ =Z2

Z1

a²_t a²_i = Z2

Z1

t²

¯sfi`o˘i˚t

T = 4Z₁Z₂

(Z1+Z2)² = 4√ µ1√

µ2

√µ1+√ µ2

2← 1 ¯p˚t

`e) P˚u˚i¯sfi`qfi˚u`e µ= m L = ρsL

L =ρs, `o“nffl `e›nffl `d`é´d˚u˚i˚t `qfi˚u`e R=

√ρ1− √ρ2

√ρ1+√ρ2

2

=

‚√

8800−√

√ 2700 8800 +√

2700

Œ2

≃0,083← 0,5 ¯p˚t

`eˇt

T = 4√ρ₁√ρ₂

√ρ₁+√ρ₂2 = 4√ 8800√

€√ 2700 8800 +√

2700Š2 ≃0,917← 0,5 ¯p˚t

E”x´eˇr`cˇi`c´e 3 (4 ¯p`o˘i‹n˚t˙s)

`affl) L`e ”m`oˆd˚u˜l´e `d`e `c´o“m¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i˜b˘i˜lˇi˚t´é ¯s’`é´cˇr˚i˚t:

κ=ρ

∂P

∂ρ

‹

S

=ρd(cteρ^γ)

dρ = cte·γρ^γ

`eˇt `e›nffl ˚r`e›m¯p˜l´a`ç´a‹n˚t ˜l´affl `c´o“n¯sfi˚t´a‹n˚t´e ¯p`a˚rffl P

ρ^γ, `o“nffl `o˝b˘tˇi`e›n˚t:

κ=

P ρ^γ

‹

γρ^γ =γP← 1 ¯p˚t L`affl `c´é¨l´éˇr˚i˚t´é `d˚uffl ¯sfi`o“nffl `d`a‹n¯s ˚u‹nffl `g´a˚z ¯p`a˚r˜f´a˚i˚t `e˙sfi˚t `d`o“n‹n`é´e ¯p`a˚rffl

c= Éκ

ρ = Ê

γP

ρ ← 0,5 ¯p˚t O˚rffl, `dffl’`a¯p˚r`è˙s ˜l„`é´qfi˚u`a˚tˇi`o“nffl `dffl’`éˇt´a˚t `d˚uffl `g´a˚z ¯p`a˚r˜f´a˚i˚t, `o“nffl `affl: P

ρ = RT M . D’`o˘ùffl c=

rγRT

M ← 1 ¯p˚t

˜b) L`e ¯sfi`éˇtˇi˜fˇi`e›nffl, `d`e¨bˆo˘u˚t ¯sfi`o˘u¯s ˜l´affl ¯p˜lˇu˚i`e, ”vˆo˘i˚t ˜l„`é´c¨l´a˚i˚rffl `àffl ˜l„˚i‹n¯sfi˚t´a‹n˚t t= 0. S’˚i˜l `e›n˚t´e›n`dffl ˜l´e ˚t´o“n‹n`eˇr˚r`e `àffl ˜l„˚i‹n¯sfi˚t´a‹n˚t t0= 15 s, ˜l´affl `d˚i¯sfi˚t´a‹n`c´e `qfi˚u˚iffl ˜l´e ¯sfi`é˙p`a˚r`e `d`e ˜l„`o˘r`a`g´e `e˙sfi˚t

d=ct₀ A”vfle´c ˚u‹n`e ”v˘i˚t´e˙sfi¯sfi`e `d˚uffl ¯sfi`o“nffl c=

r1,4×8,32×274

0,029 ≃331,7 m·s⁻¹← 1 ¯p˚t, `o“nffl `o˝b˘tˇi`e›n˚t:

d= 331,7×15≃4975 m.← 0,5 ¯p˚t

ENSTP Corrig´e du Devoir Surveill´e de Physique 4 5/5