Simulation Monte Carlo du transport quantique dans les composants nanométriques. Application à l étude de lasers à cascade quantique térahertz

(1)

Bonno Olivier

Encadr´e par : M. Jean–Luc Thobel

Institut d’Électronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie Université des Sciences et Technologies de Lille

13 D´ecembre 2004

Bonno Olivier (USTL–IEMN) 13 D´ecembre 2004 1 / 45

(2)

1 Introduction

2 Description du mod`ele Transport dans les LCQ

Détermination des états électroniques Inclusion de l’interaction électron–électron

3 R´esultats

LCQ à superréseau à pas variable

LCQ à dépopulation par résonance de phonon à 3,4 THz Emission `´ a 1,4 THz

LCQ à dépopulation par résonance de phonon à 2,1 THz

4 Conclusion & perspectives

(3)

1 Introduction

3 R´esultats

(4)

Introduction

Motivations de l’´ etude de l’infrarouge

Infrarouge : 300 GHz jusqu’`a 30 THz

Nombreuses applications possibles : Spectroscopie ;

Télécommunications à très hauts débits ;

Biologie et imagerie m´edicale ; et beaucoup d’autres . . .

(5)

Introduction

Motivations de l’´ etude de l’infrarouge

(6)

Introduction

Motivations de l’´ etude de l’infrarouge

⇒entre l’´electronique et l’opto-´electronique

(7)

IRlointainentre 500 GHz et 10 THz

(8)

IRlointainentre 500 GHz et 10 THz

(9)

Introduction

Panorama technologique des sources de radiation au THz

Bilan des technologies existantes :

Inadaptation des composants opto–´electroniques (lasers inter–bandes) Performances des composants ´electroniques microondes&au–dessus de

∼500 GHz

➤ `a temp´erature ambiante,k_Bθ≈26 meV ⇐⇒6,5 THz

➤ longueurs d’onde de l’ordre de la centaine deµm

(10)

Introduction

Panorama technologique des sources de radiation au THz

∼500 GHz

(11)

Introduction

Panorama technologique des sources de radiation au THz

∼500 GHz

Infrarouge lointain⇐⇒

Gap t´ erahertz

(12)

∼500 GHz

Infrarouge lointain⇐⇒

Gap t´ erahertz

Quelques ordres de grandeur :

➤ 1 THz∼4 meV

(13)

Introduction

Diverses m´ ethodes de g´ en´ eration d’ondes EM THz

Pistes envisag´ees :

G´en´eration directe (diode)

Génération d’harmoniques supérieures (Up conversion) Battement de fréquences (Down conversion)

Les lasers `a cascade quantique (LCQ)

2002 : LCQ en IR lointain par K¨ohleret al.

(14)

Introduction

Diverses m´ ethodes de g´ en´ eration d’ondes EM THz

LCQ⇒puissance optique élevée, lumière cohérente, lasers à SC

(15)

LCQ⇒puissance optique élevée, lumière cohérente, lasers à SC Historique :

1970 : premiers travaux théoriques par Kazarinov et Suris 1994 : première réalisation par Faistet al., Bell Labs 2002 : LCQ en IR lointain par Köhleret al.

(16)

Introduction

Les lasers ` a cascade quantique

Principe de fonctionnement

Les LCQ sont des lasers unipolaires `a semi–conducteurs Inversion provient d’un pompage ´electrique

Ils sont constitu´es d’une succession d’´etages:

PSfrag replacements

R´egion active

Injecteur/Collecteur

|3i

|2i

|1i

Energie´ Direction de croissance

Ã

Etage´ j Etage´ j+ 1

⇓

transport quantique

(17)

Introduction

Les lasers ` a cascade quantique

PSfrag replacements

R´egion active

|3i

|2i

|1i

Ã

⇓

transport quantique

(18)

Introduction

Les lasers ` a cascade quantique

PSfrag replacements

R´egion active

|3i

|2i

|1i

Ã

^{Photon d’´}ênergie^hν⁼Ê³⁻Ê²

⇓

transport quantique

(19)

Introduction

Les lasers ` a cascade quantique

PSfrag replacements

R´egion active

|3i

|2i

|1i

Ã

⇓

transport quantique

(20)

Introduction

Les lasers ` a cascade quantique

PSfrag replacements

R´egion active

|3i

|2i

|1i

Ã Ã

⇓

transport quantique

(21)

Introduction

Les lasers ` a cascade quantique

PSfrag replacements

R´egion active

|3i

|2i

|1i

Ã Ã

➤Amplification grˆace `a une inversion de population

∆n=n3−n2

(22)

PSfrag replacements

R´egion active

|3i

|2i

|1i

Ã Ã

➤Amplification grˆace `a une inversion de population

∆n=n3−n2

➤courant⊥perpendiculaire

⇓

transport quantique

(23)

Introduction

Avantages des LCQ

2 3

1

r´eglerλdans une large gamme (3µm–140µm)

1 ´electron =(nbr ´etages×photons)

⇒puissance optique ´elev´ee

laser unipolaire : transition inter-sous–bande

⇒raie d’´emission ´etroite

⇓

Ph´enom`enes complexes, surtout au THz, avec les inter-sous–bandes

´

electron–´electron

(24)

Introduction

Avantages des LCQ

⇓

´

(25)

Introduction

Avantages des LCQ

E₃ E₂

⇓

´

(26)

Introduction

Avantages des LCQ

E₃ E₂

⇓

Besoin d’outils de mod´elisation

´

(27)

Introduction

Avantages des LCQ

E₃ E₂

⇓

Concevoir précisément les structures épitaxiales pour réglerν et ∆n

(28)

E₃ E₂

⇓

Concevoir précisément les structures épitaxiales pour réglerν et ∆n

⇓

´

(29)

Introduction

Etat de l’art des LCQ t´ ´ erahertz

60 80 100 120 140

Longueur d’onde (µm) 8

50 100 150 200

Température (K)

Equipe du MIT (mode pulsé) (mode CW)

NEST-INFM, Pise Neuchatel Teraview, Cambridge

ν= 2,1 THz

Températures en CW et pulsé les plus élevées

(30)

Introduction

Etat de l’art des LCQ t´ ´ erahertz

60 80 100 120 140

Longueur d’onde (µm) 8

50 100 150 200

Température (K)

LCQ à superréseau à pas variable

LCQ `a SAPV

Premiers LCQ en 2002

(31)

60 80 100 120 140 Longueur d’onde (µm)

8 50 100 150 200

Température (K)

LCQ à dépopulation

par résonance de phonon LCQ `a SAPV

Premiers LCQ en 2002

LCQ `a DPRP (MIT) Fr´equence la + basse : ν= 2,1 THz

Températures en CW et pulsé les plus élevées

(32)

1 Introduction

3 R´esultats

(33)

Description du mod`ele

Transport perpendiculaire dans les LCQ

Equation de´ Liouville–Von Neumannpour l’op´erateur densit´e ˆρ ˆ

ρ_αβ= 0, siα6=β (Iottiet al.) + p´eriodicit´e des LCQ

⇓

⇒Résolution par la méthode deMonte Carlo Autres équipes modélisant les LCQ :

➤ Simulations Monte Carlo (Iottiet al. Pise et Compagnone et al. Rome)

➤ Mod`ele quantique bas´e sur les fonctions de Green (Wackeret al. Berlin)

➤ Equations de bilan (Harrison´ et al. Leeds)

(34)

Transport perpendiculaire dans les LCQ

⇓ Equation Maˆıtresse´

d ˆρνν(t)

dt =−X

µ

λµνρˆνν(t)[1−ρˆµµ(t)]−λνµρˆµµ(t)[1−ρˆνν(t)]

(35)

Transport perpendiculaire dans les LCQ

d ˆρνν(t)

dt =−X

µ

⇒R´esolution par la m´ethode deMonte Carlo

(36)

ˆ

d ˆρνν(t)

dt =−X

µ

(37)

ˆ

d ˆρνν(t)

dt =−X

µ

(38)

ˆ

d ˆρνν(t)

dt =−X

µ

(39)

D´ etermination des ´ etats ´ electroniques

Résolution des équations couplées de Schrödinger et Poisson

Equation de BenDaniel–Duke (BDD)´

H(Eˆ ν)ϕν(z) =Eνϕν(z)

R´esolution de l’´eq. de BDD

R´esolution de l’´eq. de Poisson

Test convergence

Fermi–Dirac PotentielV(z)

⇓ Calcul des probas Itération jusqu’à autocohérence

(40)

D´ etermination des ´ etats ´ electroniques

Test convergence

(41)

D´ etermination des ´ etats ´ electroniques

⇒Utilisation d’une méthode aux valeurs propres itérées

Test convergence

(42)

D´ etermination des ´ etats ´ electroniques

⇒Utilisation d’une méthode aux valeurs propres itérées Couplage avec l’équation de Poisson

Test convergence

(43)

⇒Utilisation d’une méthode aux valeurs propres itérées Couplage avec l’équation de Poisson

⇒Méthode de résolution auto–cohérente

Test convergence {ϕ_ν}

(44)

LCQ : structureinfiniment p´eriodique

On peut définir un niveau de Fermi local propre à chaque période Obtention des états électroniques parpériodisationsur 2p+ 1 étages

(45)

①Schr¨odinger sur 2p+ 1 ´etages

(46)

①Schr¨odinger sur 2p+ 1 ´etages

(47)

②Localisation des fonctions d’ondes aux diff´erents ´etages

(48)

Etage de gauche

(49)

Etage de droite

(50)

Etage central

(51)

③R´eplication des fonctions d’ondes de l’´etage central

(52)

③R´eplication des fonctions d’ondes de l’´etage central

(53)

Conditions aux limites

d’apr`es Iottiet al.,Appl. Phys. Lett.,78, p. 2902 (2001)

(54)

Conditions aux limites

(55)

Conditions aux limites

+e

(56)

+e

Transitions inter–´etages⇒calcul du courant

(57)

M´ecanismes d’interaction pris en compte : Phonon optique polaire

Phonon acoustique

Interaction sur rugosit´e d’alliage

Interaction sur impuretés ionisées Interaction électron–électron

Principales caract´eristiques :

Calcul des probabilit´es intra– et inter–´etages Facteurs de Bloch

Principe de Pauli

(58)

Interaction ´ electron–´ electron

Expression de l’interaction pour un gaz 2D

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P) Z 2π

0

|Mµνµ⁰ν⁰(Q)|²dψ

Solution :Majoration par Λ_µµ⁰ en utilisant lemaximumde l’´el´ement de matrice

|Mµνµ⁰ν⁰(Q)|²≤ M²_µνµ0ν⁰

=⇒Onmajoreλ_µµ⁰(K) par Λ_µµ⁰ ∝X

νν⁰

M²_µνµ0ν⁰n_ν

majoration largeλµµ⁰(K)Λµµ⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(59)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P) Z 2π

0

νν⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(60)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(61)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(62)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(63)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(64)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

M²_µνµ0ν⁰n_ν puisr´ejection. . .

(65)

Interaction ´ electron–´ electron

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

(66)

|µKi |µ⁰K+Qi

& %

% &

|νPi |ν⁰P−Qi

λµµ⁰(K)∝X

ν,ν⁰

X

P

fν(P)

| {z }

inconnue !

Z 2π 0

νν⁰

Technique tr` es coˆ uteuse en temps calcul

(67)

1 Tirage de l’´electron partenaire au hasard

2 V´erification de la conservation de l’´energie

3 Réjection sur l’élément de matrice|Mµνµ⁰ν⁰(Q)|²

4 D´etermination des ´etats finaux selon une relation de dispersion de bandes paraboliques

5 Principe de Pauli sur les ´etats finaux desdeux ´electrons

(68)

1 Tirage de l’´electron partenaireau hasard

(69)

(70)

(71)

5 Principe de Pauli sur les ´etats finaux des deux ´electrons

(72)

Comment obtenir le maximum du potentiel coulombien ?

Les éléments de matriceV_µνµêcr0ν⁰(Q) sont solutions de : V_µνµêcr0ν⁰(Q)=V_µνµ^nu 0ν⁰(Q)+X

ξξ⁰

V_µξµ^nu 0ξ⁰(Q)Πξξ⁰(Q)V_ξνξ^ecr0ν⁰(Q)

LCQ⇒problèmes liés au grand nombre d’états

1 Calcul des éléments non écrantésV_µνµ^nu 0ν⁰(Q)

2 Transport très loin de l’équilibre dans les LCQ⇒Polarisabilité à réactualiser

3 Résolution simplifiée de l’équation tensorielle de l’écrantage car système matriciel de dimensionN⁴×N⁴

(73)

Comment obtenir le maximum du potentiel coulombien ?

ξξ⁰

Problème : nombre d’éléments évolue en puissance quatrième du nombre de sous–bandesN

(74)

ξξ⁰

Solution : acc´ el´ eration par un facteur 10

⁴

grˆ ace ` a des s´ eries de Fourier

(75)

ξξ⁰

Solution : acc´ el´ eration par un facteur 10

⁴

grˆ ace ` a des s´ eries de Fourier

(76)

ξξ⁰

Solution : acc´ el´ eration par un facteur 10

⁴

grˆ ace ` a des s´ eries de Fourier

(77)

Calcul auto–coh´ erent de la polarisabilit´ e

Π_ξξ⁰ d´epend def_ξ(K),f_ξ⁰(K)inconnuesde la simulation

Π(Q) hors équilibre⇒Majorants e/e à recalculer de manièreauto–cohérente Dans la littérature, on utilise Π_ξξ(Q→0)∝f_ξ

K=~0

0 0.5 1 1.5 2

Temps (ps) 0

1 2 3 4

Facteur d’écran (107 m-1 )

Calcul avec f(0) Calcul avec température

hfξ(K)[1−fξ(K)]i

⇓

Temp´erature ´electronique de sous–bande

(78)

Calcul auto–coh´ erent de la polarisabilit´ e

Π(Q) hors équilibre⇒Majorants e/e à recalculer de manièreauto–cohérente

Dans la litt´erature, on utilise Π_ξξ(Q→0)∝f_ξ K=~0

0 0.5 1 1.5 2

Temps (ps) 0

1 2 3 4

⇓

(79)

Calcul auto–coh´ erent de la polarisabilit´ e

K=~0

0 0.5 1 1.5 2

Temps (ps) 0

1 2 3 4

⇓

(80)

Calcul auto–coh´ erent de la polarisabilit´ e

K=~0

0 0.5 1 1.5 2

Temps (ps) 0

1 2 3 4

fξ(K,t) = grandeurbruit´ee

⇓

(81)

Calcul auto–coh´ erent de la polarisabilit´ e

K=~0

0 0.5 1 1.5 2

Temps (ps) 0

1 2 3 4

fξ(K,t) = grandeurbruit´ee Solution : on utilise un param`etre qui fluctue moinsen calculant

(82)

ξξ ξ ξ

K=~0

0 0.5 1 1.5 2

Temps (ps) 0

1 2 3 4

fξ(K,t) = grandeurbruit´ee Solution : on utilise un param`etre qui fluctue moinsen calculant

⇓

(83)

R´ esolution de l’´ equation tensorielle de l’´ ecrantage

V_µνµ^ecr0ν⁰(Q)=V_µνµ^nu 0ν⁰(Q)+X

ξξ⁰

Dans la littérature, on suppose que tous les éléments de matrice sont écrantés par la sous–bande fondamentale

Retenir quelques termes dansX

ξξ⁰

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Vecteur d’onde (10⁸ m^-1) 0

0,5 1 1,5 2

Potentiel coulombien (10-19 eV m2 )

⇒Comportement rectifi´e enQ→0