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Baccalauréat Mathématiques Terminale ES – Amérique du Nord juin 2010 – exercice 4 (S2)
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BAC MATHEMATIQUES TERMINALE ES AMERIQUE DU NORD JUIN 2010
EXERCICE 4
EXERCICE 4 (5 points) CANDIDATS N’AYANT PAS SUIVI L’ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE
Craignant une propagation de grippe infectieuse, un service de santé d’une ville de 50 000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant 7 semaines. Ces semaines ont été numérotées de 1 à 7.
On a noté les rangs successifs des semaines et le nombre de consultations correspondant :
Rang de la semaine 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de
consultations 540 720 980 1320 1800 2420 3300
1. Tracer le nuage de points sur une feuille de papier millimétré, on prendra 2 cm pour une unité en et 1cm pour 200 en .
Un modèle d’ajustement affine a été rejeté par le service de santé. Pourquoi ? 2. Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les = ln().
Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie en arrondissant les à 0,01 près. Il n’est pas demandé de tracer le nuage de points correspondant.
Rang de la semaine
1 2 3 4 5 6 7
= ln()
3. Trouver à la calculatrice l’équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés reliant et (les coefficients obtenus par la calculatrice seront donnés à 0,1 près) puis déduire y en fonction de x (on donnera le résultat sous la forme = , et étant deux réels).
4. En utilisant ce modèle, trouver par le calcul :
a. Une estimation du nombre de consultations à la 10ème semaine (arrondir à l’unité).
b. La semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population.
5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l’aide d’une calculatrice, expliquer si ce modèle reste valable sur le long terme.
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CORRIGE
1)
Un modèle d’ajustement affine a été rejeté car le nuage de points fait apparaître une croissance exponentielle et les points ne sont pas alignés.
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2)
Rang de la semaine 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de consultations 540 720 980 1 320 1 800 2 420 3 300 = () 6,29 6,58 6,89 7,19 7,50 7,79 8,10
= ln(540) = 6,29 = ln(720) = 6,58 Etc ….
3)
On obtient à la calculatrice l’équation : = ", #$ + &, "
Or, = ln() ⇔ = (, on en déduit alors : = )",#$&
4) a)
On remplace par 10 dans = *,+, = *,+×*, ⇔ = +, ⇔ = .
⇔ = 8 103
A la 10ème semaine, le nombre de consultations atteindra 8 103.
b)
Calculons le quart de la population : 50 000
4 = 12 500 habitants.
On résout alors :
> 12 500 ⇔ *,+, > 12 500 ⇔ *,+,> 9: ( ;**) ⇔ 0,3 + 6 > ln(12 500)
⇔ 0,3 + 6 > ln(12 500)
⇔ >ln (12 500) − 6
0,3 ⇔ > 11,4
Le nombre de consultations dépassera le quart de la population à partir de la douzième semaine.
5)
Faire un tableau, à l’aide de la calculatrice (dans TABL° pour obtenir le nombre de consultations :
Rang de la semaine 13 14 15 16 17
Nombre de consultations 19 930 26 903 36 316 49 021 66 171
On en déduit que le modèle n’est pas valable cat sur le long terme, le nombre de consultations dépassera le nombre d’habitants entre la 16ème et la 17ème année.
