f ةسارد ةعومجم ديدحت : ةصلاخ - ةسارد ةيجوزf : 2 : ةصلاخ ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم لاحفصة 11 حيحصت ةلسلسلا مقر

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

.10

متلا نير لولأا

: D

^f

ديدحت - 1

3

3

0

0 x D

f

x

x

  

 

: ةصلاخ

 ^;0   ^0; 

D

f

  

- 2 ةسارد

ةيجوز f

:

3

3

3

,

, ( ) 1

3( ) = 1

3 = ( 1 )

3 = ( )

f f

f

x D x D

x D f x x

x

x x

x x

f x

   

     



  

 



ةيدرف ةلاد f

: ةصلاخ f ةسارد ةعومجم

^DE

ديدحت

نا امب f

ةيدرف ةلاد

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

^{DE  0;}

نا ف

E

0;

D   : ةصلاخ

:

lim ( ); lim₀ ( )

x x

f x f x

 



: باسح - 3

^{0 0 3}

lim ( ) lim x+ 1 3 = +

x f x x

  x

  



و

³

lim ( ) lim x+ 1 3 =+

x f x x

   x



DE

نم x لكل f' باسح - 4

' 3

' 3 3

6 2 6

4

, '( ) 1

3 =(x)'+ 1

3 (3 ) ' =1-

9 =1-9

9 =1- 1

x DE f x x

x x x

x x x x

 

     

 

 

 

^{  x D}

^E

^{, f x '( )=1-} _x ¹

⁴

: ةصلاخ

:

^DE

ىلع f' ةراشا - 5

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

: ^1- _x ¹

⁴

^{ 0} ةلداعملا لحنل

^{4 4}

4

1 1

1- 0 1

1

x x

x

  

 

1

  x وا    x 1 : ةصلاخ

x

^

- 1 1

^

 

f ' x

- + -

:

^DE

ىلع f تاريغت لودج - 6 x 0 1

^

 

f ' x

:

^Df

ىلع f تاريغت لودج

نا امب f

ا ف ةيدرف ةلاد ةباترلا ىلع ظفاحت اهن

x

^

- 1 0 1

^

 

f x

:

^Df

ىلع )C( ل ةيئهنلالا عورفلا ةسارد - 7

 ^;0   ^0; 

D

f

   _{: انيدل}

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

راوجب : 0

0

lim ( )= +

x

 f x

 

انيدل

هتلداعم ميقتسملا هنم و

= 0 x (ل يدومع برا قم C

) راوجب



3

lim ( ) lim 1 0

3

x f x x x

    x 

ظحلان

( هنمو C

هتلداعم ميقتسملا وه لئام برا قم لبقي ) x=x

:  ^{0; }  ىلع x=x ميقتسملا و )C( ل يبسنلا عضولا ةسارد - 8

( )

f x  x : قرفلا سردنل

3

3

( ) 1

3 = 1

3

f x x x x

x x

   

 ^0;  ^{, 1}

₃

⁰

x 3

   x  انيدل و

 ^{0; }  ىلع x=x ميقتسملا

قوف )C( هنم و

- 9 ءاشنا

( C ) :

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

نلا f نلاب ةلثامتم( ةيدرف ةلاد ) ملعملا لصلا ةبس

-10

ةيجوز ةسارد

g :

 

³

3

3

,

, ( ) 1

3 = 1

3 = 1

3 =g( )

g g

g

x D x D

x D g x x

x

x x

x x

x

   

     



 



حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

ةيجوز ةلاد g

: ةصلاخ - 11

ةنرا قم f

و g ىلع

^0;

لع

^0;

حبصت g

:

  3

0; , ( ) 1

x g x x 3

     x

f=g  ^{0; } 

_ىلع

_{: ةصلاخ}

:

C

^0;_ _{جاتنتسا} نا امب f=g

ىلع

^0;

ىنحنم نا ف g

ىنحنم قباطي f

ىلع

^0;

C

g

_ءاشنا

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

.10

نيرمتلا : يناثلا

:

^{xlim f x( )}

باسح– 1 lim ( ) 1

x

f x





:

^{xlim f x( ) }

نا نيبن

 

x x

x 2

lim f (x) lim x 1 2 1 x

1 1 1

= lim x 1 2

x x x

= - 1 0 2 0 =-

 



   

 

  

 

 

 

   



lim ( )

x f x

  

^و

^{xlim f x( ) 1}

: ةصلاخ :

^{x0 1}

يف f قا قتشا ةسارد - 2

: نيميلا ىلع

3 3

1 1

1 3

1 0

( ) (1) 1

lim lim

1 1

² 1

= lim

1 =3

2

x x

x

x

f x f x

x x

x x x

 



 



 

  

 

 



: راسيلا ىلع

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

x 1 x 1

x 1

x 1

f (x) f (1) x 1 2 1 x 0

lim lim

x 1 x 1

2 1 x = lim 1+

x 1 = lim 1- 2

1 x =1- 2

0 =-

 





 







    

  









: جئاتنلا ليوات 1 نيمي ىلع

^{Cf ل سامم y 3}₂^x3₂ ^{ميقتسملا}

1

lim

x ^

  

وحن هجتم يسار سامم لبقي C : ىلعلاا



^1;



ىلع ةيديازت f نا نيبن – ا – 3



^1;



ىلع f ' بسحن

   

   

2 3 2 3 2 2 2

2 2 3

3 3

3 1 3 1 3 3 6

'( ) = =

1 1 1

x x x x x x x

f x

x x x

     

     



^1;



ىلع ةيديازت f نا ف

2 3

6 0

1 x x

 

  

  

  ^{نا امب و}

 

 

;1 , '( )

1 1 1

x f x x

x x

    

  

: نا نيبن -ب

1

lim 3 2

x ^  

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

 

 

 

'

'

'

;1 , '( ) 1 2 1

=1+2 1 =1+2 1

2 1 =1- 1

1

1 1

= 1

x f x x x

x x

x x x

x

 

        



 





 



 

 

1 1

=

1 1 1

=

1 1 1

x

x x

x

x x

 

   



   

 

 

;1 , '( ) =

1 1 1

x f x x

x x

   

   

: ةصلاخ ج - تاريغت لودج f

:

ةيديازت f :



^1;



لاجملا ىلع :



^;1



لاجملا ىلع



^;1



ىلع f ' ةراشا سردنل ' ةراشا f

ةراشا يه x

-

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

و x - يف مدعني 0

: هنمو

x  ^{0 1} 

 

f ' x + - +

 

f x

- 4 ا - ( ل نييئاهنلالا نيعرفلا ةسارد C

: )

:  _راوجب

lim ( ) 1

x f x

  انيدل

 _راوجب

)C( ل يقفا برا قم x=1 هتلداعم ميقتسملا هنم و

:  راوجب

lim ( )

x f x

  انيدل

و

2

( ) 1 1

lim lim 1 2

=1-0+2 0 =1

x x

f x x

x x x

 

   



و

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

lim ( ) lim 1 2 1

=-1+2 (+ ) =+

x

f x x

x

x



 



  

 



را وجب x=x ميقتسملا هاجتا يف ايمجلش اعرف لبقي )C( هنم و

 : C

^f

ءاشنا -ب

.10

نيرمتلا : ثلاثلا

:

^Df

ديدحت– 1 2 cos( ) 0 cos( ) 2

x D

f

x

x

   

  

, 1 cos( ) 1

x x

    

نا امب و

Df 

نا ف

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

Df 

: ةصلاخ

Df

ىلع f ةيجوز ةسارد– ا - 2 ,

2 cos( ) 1 , ( )

2 cos( ) 2 cos( ) 1 =

2 cos( ) =f(x)

x x

x f x x

x x

x

   

     

 





, ( ) ( )

x f x f x

    هنم و

ةيجوز ةلاد f : ةصلاخ 2

T   اهرود و ةيرود f نا نيبن – ب 2 cos( 2 ) 1

( 2 )

2 cos( 2 )

2 cos( ) 1 =

2 cos( ) =f(x)

f x x

x x

x

 



 

 

 





, ( 2 ) ( )

x f x  f x

    هنم و

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

2

T   اهرود و ةيرود f : ةصلاخ : D

^E

جاتنتسا – ج

2

T   اهرود ةيرود و ةيجوز f انيدل

 

^0,

DE   هنم و : D^f ىلع f' باسح-ا – 3

     

 

 

 

'

' '

2

2

2 cos( ) 1 , '( )

2 cos( )

2 cos( ) 1 2 cos( ) (2 cos( ) 1) 2 cos( ) =

2 cos( )

2 sin( ) 2 cos( ) 2 cos( ) sin( ) sin( ) =

2 cos( )

f

x D f x x

x

x x x x

x

x x x x x

x

  

     

      



     



 

²

3sin( ) =

2 cos( ) x x





 

'

2

3sin( ) f (x)=

2 cos( ) x x





: ةصلاخ

DEىلع f' ةراشا-ب

 

'

2

3sin( ) f (x)=

2 cos( ) x x



 نا امب

sin( )x

 ةراشا يه f' ةراشا نا ف

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

sin( )x 0 نوكت

 

^0, ىلع نا ملعن و

'( ) 0

f x  يلاتلاب و

 

^{0, , '( ) 0}

x  f x

  

: ةصلاخ

: D^E ىلع f تاريغت لودج– ج x 0



 

f x 1

-1

: D^E ىلع ^C0ءاشنا -ا-4

: C^f ءاشنا -ب بيتارلاا روحمل ةبسنلاب ^C0لثامم ئشنن ةيجوز f نا امب

2

u  k i اهتهجتم يتلا ةحازلاا لمعتسن ةيرود f نا امب و

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

نيرمتلا : عبارلا

: D^f

ديدحت-ا- 1

2 2

1 0 1

x Df x x

   

 

  x 1 وا x 1

 ^{, 1}   ^1, 

D

f

    : ةصلاخ :

^{D }



^1,

 ىلع f ةسارد ةيناكما-ب

ةيجوز سردن f

:

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

 

²

2

,

, ( ) 1 4 1

5

=1 4 1 5

=f(x)

f f

f

x D x D

x D f x x x

x x

   

        

  



^1,



D  ىلع اهتساردب يفتكن ةيجوز f هنمو : x^lim f x^{( )}



باسح-ج

2

2

2

lim ( ) lim 1 4 1

5

= lim 1 4 1 5

1 4 1

= lim 1 1 5 =+ 1

5 =-

x x

x

x

f x x x

x x

x x x

 





   

  

 

  

 

 

 

 



lim ( )

x f x

  

: ةصلاخ :

^{x0 1}

نيمي ىلع f قا قتشا ةيلبا ق ةسارد-ا - 2

  

x 1 x 1

x 1

x 1 x 1

f (x) f (1) 4

lim lim 1

x 1 5 x 1

4 x 1

= lim 1

5 x 1

=+

 



 



 

   

 

  





حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

1 نيمي ىلع قا قتشلال ةلبا ق ريغ f :

ةصلاخ

 

2

2 2

1, '( ) 25 9

5 1 4 5 1

x f x x

x x x

   

  

نا نيبن-ب

 

' 2

2 '

2

2 2 2

2 2

2 2

'( ) 1 4 1

5 4 1 =-1+

5 2 1

=-1+ 4

5 1

4 5 1

=

5 1

16 25 25

=

5 1 4 5 1

f x x x

x x x x

x x

x

x x

x x x

 

    

  

 

 



 



 

  

 

2

2 2

1, '( ) 25 9

5 1 4 5 1

x f x x

x x x

   

   :

ةصلاخ

ج - تاريغت لودج f

:

ىلع D :

x 5/3



 

f ' x 

 

f x

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

:D^f ىلع

x ^{ -5/3 -1 1 5 3} 

 

f ' x + - + -

 

f x

:



راوجب لائام ابرا قم لبقي

 

^Cf _{نا تبثن-ا-}3

x x 2

f (x) 1 4 1

lim lim 1 1

x x 5 x

=0-1+4 1 0 5 =-1

5

     



انيدل و

 

2

x x

2 x

2

2 4

x

1 4 1

lim f (x) x lim 1 x x 1 x

5 5 5

4 4

= lim 1 x x 1

5 5

4 1 1 1

= lim x 1

5 x x x

=+ 0 0 1

 





      

 

 

  

 

  

 

 

 

   =1

ةصلاخ :

هتلداعم ميقتسملا

1 1

y  5x 

ل لئام برا قم

 Cf

راوجب



: ليصا فلاا روحم عم

 

^Cf عطا قت ديدحت-ب

حيحصت ةلسلسلا

مقر 11

ةيآ ينامي ةذيملتلا فرط نم

لا حفص ة

 

 

2

2

2

2

2 2

2 2

2

f (x) 0 1 x 4 x 1 0

5

5 5 x 4 x 1 0

5 5

x 1 x

4 4

x 1 5 x 1 4

x 1 25 x 2 x 1 16

25 25 25

x x x 1

16 8 16

9 25 41

x x 0

16 8 16

     

    

    

   

    

    

   

41

x  9 وا x 1_{: هنم و}

41; 0 B 9 

 

  و A)1;0( طقنلا امه ليصا فلاا روحم عم

 

^Cf _{عطا قت}

_{: ةصلاخ}

41; 0 D9 

 

 و )-1;0( و :

 

^Cf _{ءاشنا-ج}