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[ Brevet de technicien supérieur \ session 2003 - Géomètre topographe

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Academic year: 2022

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(1)

A.P.M.E.P.

[ Brevet de technicien supérieur \ session 2003 - Géomètre topographe

Exercice 1 10 points

Partie A Dans le plan rapporté à un repère orthonormal³

O,−→ ı ,→−

´(unité graphique sur chaque axe : 4 cm), on considère la courbe paramétrée E d’équations :

½ x(t) = cos2t y(t) = 2sin 2t

1. Faire l’étude de cette courbe paramétrée après avoir justifié que l’intervalle d’étude peut se réduire àh

0 ; π 2 i. 2. Tracer la courbe E.

3. Montrer que cette courbe est en fait une ellipse dont on calculera les élé- ments caractéristiques.

Partie B Dans l’espace muni d’un repère orthonormal³

O,−→ ı ,→−

,−→ k ´

, on considère le cercle C de centre O contenu dans le plan³

O,−→ ı ,−→

´ayant pour rayon le demi grand axe de l’ellipse E.

Soient A et B deux points de l’espace de coordonnées respectives¡p 2 ;p

2 ; 0¢

¡p et 2 ;−p

2 ; 0¢ .

1. Soit S la sphère obtenue en faisant tourner C autour de l’axe (Ox).

Écrire une équation de la sphère S.

2. Montrer que les points A et B appartiennent à la sphère S.

3. Soit N le pôle nord de la sphère S. Déterminer les coordonnées sphériques des points N, A et B.

4. Déterminer les 6 éléments caractéristiques du triangle sphérique NAB.

5. Calculer l’aire du triangle sphérique NAB.

On rappelle les formules concernant un triangle sphérique ABC : cosa=cosb.cosc+sinb.sinc.cosA

aire(ABC)=(A+B+C−π)·R2 (R= rayon de la sphère).

Exercice 2 10 points

L’espace est rapporté au repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−

,−→ k ´

. Soit K(0 ; 0 ; 3) et C le cône de révolution d’axe³

O ;−→ k ´

et de demi angle au sommetπ4.

1. Montrer qu’une équation cartésienne de C estx2+y2=(3−z)2.

2. Soit E l’intersection du cône C et du plan d’équationz=0. Donner une équa- tion cartésienne de E, sa nature et ses éléments caractéristiques.

(2)

Brevet de technicien supérieur

3. SoitΩ(−3 ; 0 ; 0) et soitIla transformation de l’espace qui, à tout pointMde l’espace, associe le pointMqui vérifie−−−→

ΩM = 6 ΩM2

−−−→ΩM. a. Donner la nature et les éléments caractéristiques deI.

b. SoitA(3 ; 0 ; 0) etB(0 ; 3 ; 0). DéterminerA=I(A) etB=I(B).

c. Soit D la droite de l’espace déterminée par : D

½ x = −2 z = 0

Montrer que l’image de E parIest la droite D.

4. Soit∆la droite de l’espace de représentation paramétrique ∆





x(t) = −9 y(t) = t 4 z(t) = 0 a. SoitM(x(t) ; y(t) ; z(t)) un point de∆. SoitM(x(t) ; y(t) ; z(t)) son

image parI. Montrer que :x(t)=

45 16−3t2

9 16+t2

;y(t)= 6t

9 16+t2

;z(t)=0.

b. En déduire que l’image de la droite∆parIest contenue dans la sphère S, de centre F(1 ; 0 ; 0) et de rayon 4.

Géomètre topographe 2 juin 2003

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