A.P.M.E.P.
Brevet de technicien supérieur session 2014 Nouvelle Calédonie Géomètre topographe
Exercice 1 GÉOMÉTRIE SPHÉRIQUE 10 points
L’espace est rapporté à un repère orthonormal³ O,→−
ı ,−→
,−→ k ´
.
On noteΣla sphère de centre O et de rayon 1. On fournit enannexe 1une représen- tation deΣ.
Tout point deΣest repéré par sa longitudeθet sa latitudeϕexprimées en radians.
Triangle sphérique
1. Écrire une équation cartésienne de la sphèreΣ.
2. On considère le point D de la sphèreΣdéfini par sa longitude θ= π 4 et sa latitudeϕ=π
4. Calculer ses coordonnées cartésiennes.
3. On considère les points A, B, C déterminés par leurs coordonnées cartésiennes :
A Ãp
2 2 ;
p2 2 ; 0
!
, B(0 ; 1 ; 0) et C Ã
0 ; 1 2;
p3 2
! . a. Montrer que les points A, B et C sont des points de la sphèreΣ.
b. Donner la longitude et la latitude de chacun des points A, B et C.
c. Placer les points A, B, C et D sur la figure donnée enannexe 1.
4. On s’intéresse au triangle sphérique ABC. On utilisera les notations usuelles bA,B,bC,b a,betcpour désigner les angles caractéristiques du triangle sphérique.
a. Donner les valeurs exactes dea,cetbB.
b. Déterminer les valeurs arrondies à 10−3debetbA.
c. On donnebC≈0,857. Déterminer la valeur arrondie à 10−2de l’aire du triangle sphérique ABC.
Inversion
On rappelle que l’imageM′d’un pointMpar l’inversion de pôleΩet de rapportk est définie par :
−−−→ΩM′ = k ΩM2
−−−→ΩM. On considèreIl’inversion de pôle B et de puissance 1.
5. Déterminer la nature deP, image de la sphèreΣ, privée du point B, par l’in- versionI.
6. Donner une équation deP.
7. Quelles sont les images des points C et D par l’inversionI? 8. Montrer que le point A′
à p 2 4−2p
2; 1 2; 0
!
est l’image du point A par l’inversion I.
9. On considère la droite∆:
½ y = 12
z = 0
Montrer que l’image de la droite∆par l’inversionIest le grand cercle passant par les points A et B et privé du point B.
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Exercice 2 ÉTUDE D’UNE ÉPICYCLOÏDE 10 points
Le plan est rapporté au repère orthonormé³ O,−→
ı ,−→
´
. On considère la courbeC définie par : ½
x(t) = 3cos(t)−cos(3t)
y(t) = 3sin(t)−sin(3)t t décrivantR.
On noteM(t) le point de coordonnées (x(t) ;y(t)) deC. Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la courbeC. Détermination de l’intervalle d’étude
1. Que peut-on dire des pointsM(t+2π) etM(t) ? À quel intervalle peut-on res- treindre l’étude deC?
2. Pourt∈[−π;π], que peut-on dire des pointsM(−t) etM(t) ? À quel intervalle peut-on restreindre l’étude deC?
3. Calculerx(π−t) ety(π−t). Que peut-on en déduire pour la courbeC? 4. On nommeC1la courbe décrite parM(t) lorsquetdécrit l’intervalleI=
h0 ; π 2 i. Comment la courbeC se déduit-elle de la courbeC1?
Étude deC1pourt∈I= h0 ; π
2 i
5. Calculerx′(t) ety′(t) pourt∈ h0 ; π
2 i.
6. On admet quex′(t) ety′(t) se factorisent de la façon suivante :
½ x′(t) = 6sin(t)cos(2t) y′C t) = 6sin(t)sin(2t)
Étudier le signe dex′(t) ety′(t) pourt∈Ipuis dresser le tableau de variations complet des fonctionsxetysur l’intervalleI.
7. En admettant que la tangente au pointM(0) est horizontale, préciser les autres points deC1ayant des tangentes parallèles aux axes de coordonnées.
Cercle de courbure en un point deC
8. On admet que le rayon de courbure au point A deC de paramètret=π 2 est égal à 3.
On noteΓle cercle de courbure au point A.
Montrer que−−→
ı est un vecteur unitaire directeur de la tangente àC au point A.
9. Préciser le vecteur unitaire−→
n tel que le repère³ A ;−→−
ı ,−→ n´
soit orthonormal direct.
En déduire que le cercleΓpour centreΩ(0 ; 1).
Tracé de la courbe
10. Dans le repère orthonormé³ O,→−
ı ,−→
´
donné en annexe 2 : a. Placer les points A, M(0) etM¡π
4
¢, et représenter les tangentes àC en ces points.
b. Tracer le cercleΓ.
c. Tracer la courbeC. Utiliser une couleur différente pour la partieC1de la courbe.
Géomètre topographe 2 Nouvelle Calédonie novembre 2014
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Annexe 1 : à rendre avec la copie
x
y z
O
Géomètre topographe 3 Nouvelle Calédonie novembre 2014
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Annexe 2 : à rendre avec la copie
1 2 3 4
− 1
− 2
− 3
− 4
1 2 3 4
− 1
− 2
− 3
− 4 x
y
O
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