A.P.M.E.P.
[ Brevet de technicien supérieur session 2010 \ Géomètre topographe
Exercice 1 : étude d’une courbe plane 9 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O,−→
ı ,−→
´ . On considère la courbeCdéfinie par :
½ x(t) = t−p 2sin(t)
y(t) = cos(t) ,tdécrivantR.
On noteMtle point de coordonnées¡
x(t) ;y(t)¢ deC.
Le but de cet exercice est d’étudier quelques aspects deCet d’en tracer l’allure.
A) Détermination de l’intervalle d’étude 1. Montrer que le vecteur−−−−−−−→
MtMt+2π est constant.
Comment déduit-on le pointMt+2πdu pointMt? Qu’en déduit-on pour la courbeC?
2. Comparer les coordonnées deM−tet celles deMt.
Qu’en déduit-on pour les pointsM−tetMt, ainsi que pour la courbeC? 3. Montrer que l’intervalle d’étude peut être restreint àJ=[0 ;π].
4. On nommeCJla courbe décrite parMtlorsquetdécrit l’intervalleJ. Comment peut-on déduireCà partir deCJ?
B) Étude deCJ avecJ=[0 ;π] et applications.
1. r
a. Calculerx′(t) et étudier le signe dex′(t) surJ.
b. Calculery′(t) et étudier le signe dey′(t) surJ.
c. Étudier les variations des fonctionsxetysur l’intervalleJ.
On présentera les résultats de cette étude, en indiquant les valeurs exactes, dans le premier tableau figurant enannexe à rendre avec la copie.
On y portera aussi les valeurs dex′(t) ety′(t) aux bornes de l’intervalle.
2. a. Préciser les points deCJayant des tangentes parallèles aux axes de coor- données.
b. Déterminer le point d’intersection deCJavec l’axe des abscisses.
3. a. Compléter le tableau de valeurs situé dans l’annexe.
b. On se propose de tracer la partie de la courbe C correspondant à la varia- tion de t dans [−π;π].
Faire d’abord apparaitreCJ sur la feuille de papier millimétré à rendre avec la copie dans le repère orthonormal³
O,−→ ı ,−→
´
. On prendra pour unité graphique 2 centimètres.
On fera apparaitre les tangentes aux points de paramètres 0, π 4 etπ.
c. Sur la même figure, esquisser la partie deCcorrespondant à la variation detdans [−π; 0].
Brevet de technicien supérieur
Exercice 2 : étude d’une route orthodromique 11 points
Préambule et notations
Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→
ı ,−→
,→− k´
, la Terre est assimilée à une sphèreΣde centre O et de rayon 1.
L’équateurΓest le cercle intersection de la sphèreΣet du planΠd’équationz=0.
Tout point deΣest alors repéré par le couple (θ;ϕ) oùθest sa longitude etϕsa latitude (en radians).
En navigation (terrestre ou aérienne) une route orthodromique désigne une trajec- toire décrivant une partie d’un grand cercle du globe terrestre.
Soient les pointsN³
θ=0 ;ϕ=π 2
´,S³
θ=0 ;ϕ= −π 2
´,I(θ=0 ; ) etA³
θ=0 ;ϕ= −π 4
´.
Un navire partant deAse dirige vers lenord-ouesten suivant une route orthodro- mique qui coupe l’équateur au pointB(voir la figure ci-dessous).
On admet que la longitude deBest négative et que l’angleAbdu triangle sphérique AI Bmesureπ
4 radians.
x
y z
I
O N
A S B
Γ
Rappel
Pour un triangle sphérique ABC, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique :
cos¡Ab¢
= −cos¡Bb¢ cos¡Cb¢
+sin¡Bb¢ sin¡Cb¢
cos(a) cos(a) = cos(b)cos(c)+sin(b)sin(c)cos¡Ab¢
A) Résolution du triangle sphérique AIB et position du point B
Géomètre topographe 2 mai 2010
Brevet de technicien supérieur
1. On rappelle que l’angleAbvautπ
4. Justifier queIb=π
2et donner le côtéb=ØAI. 2. Calculer une mesure en radians de l’angleB.b
3. Montrer que cos(a)= r2
3.
4. Montrer que les coordonnées cartésiennes deBsont : µr2
3;− 1 p3; 0
¶ .
B) Projection stéréographique de pôle sud On noteT l’inversion de pôleSet de puissance 2.
On rappelle que pour tout pointMdifférent deSon aM′=T(M) si et seulement si
−−−→SM′ = 2 SM2
−−→SM.
1. Préliminaires
a. Calculer les coordonnées cartésiennes deA.
b. Déterminer l’imageN′du pointN.
c. Quelle est l’image de la sphèreΣprivée du pointSpar l’inversionT ? d. Montrer que tout point du cercle équatorialΓest invariant parT. 2. Justifier le fait queA′a pour coordonnées cartésiennes (1+p
2 ; 0 ; 0).
3. SoitΓ1le grand cercle passant parIetA. Quelle est l’imageΓ′1deΓ1parT ? 4. SoitΓ2le grand cercle passant parAetBetΓ′2son image parT. Justifier que
Γ′2est un cercle.
5. Représenter, sur la copie, dans le plan repéré par³ O,−→
ı ,→−
´
les cerclesΓet Γ′2; ainsi que les inverses parT des côtés du triangle sphériqueAI B.
On pourra éventuellement utiliser le point B1symétrique de B par rapport au pointO.
Géomètre topographe 3 mai 2010
Brevet de technicien supérieur
– ANNEXE à rendre avec la copie –
Exercice 1 :
Tableau de variations du B- 1. c.
y′(t) y(t) x(t) x′(t)
t 0 π
Tableau de valeurs du B-3. a. (valeurs arrondies à 10−2près).
t 0 π
4
π 3
π
2 π
x(t) y(t)
Géomètre topographe 4 mai 2010
