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Examen Partiel P15

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Academic year: 2022

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UTC PS91

Examen Partiel P15

Dur´ ee : 1h, documents autoris´ es : AUCUN

Exercice 1. Questions de cours (6 points)

Etant donn´es deux vecteurs A ~ et B ~ faisant un angle θ.

a. D´efinir le produit scalaire de ces deux vecteurs (en fonction de θ).

b. D´efinir le produit vectoriel de ces deux vecteurs (en fonction de θ). Faire un dessin si n´ecessaire c. Dans le rep`ere cart´esien (O, ~ e

x

, ~ e

y

, ~ e

z

), on pose

A ~ = 1~e

x

+ 2~e

y

+ 3~e

z

et B ~ = 3~e

x

+ 2~e

y

+ 1~e

z

Calculez le produit scalaire et vectoriel.

d. Dans le rep`ere cylindrique (O, ~ e

ρ

, ~ e

θ

, ~ e

z

), on pose

A ~ = 3~e

ρ

+ 2~e

θ

+ 1~e

z

et B ~ = 1~e

ρ

+ 2~e

θ

+ 3~e

z

Calculez le produit scalaire et vectoriel.

e. Dans le cadre du changement de r´ef´erentiel, on consid`ere un r´ef´erentiel fixe R et un r´ef´erentiel en mouvement R

′

. Rappeler la loi de composition des vitesses (faire un sch´ema explicatif). Donnez son expression dans le cas o` u le r´ef´erentiel R

′

est en rotation autour de l’axe Oz.

Exercice 2. Etude d’une trajectoire (14 points)

Soit R un r´ef´erentiel et (O, ~ e

x

, ~ e

y

) le rep`ere cart´esien associ´e. Un point M d´ecrit dans le plan Oxy une spirale d’´equations

x = bθ cos θ et y = bθ sin θ

avec b une constante positive et on note (ρ, θ), les coordonn´ees polaires classiques. De plus on note

~ e

ρ

, ~ e

θ

les vecteurs de la base polaire. On consid`ere que le mouvement est tel que

dθ dt = ω

o` u ω est une constante et ` a l’origine des temps t = 0, nous avons θ = 0.

a. D´eterminer l’expression du vecteur position −−→

OM et du vecteur vitesse en coordonn´ees polaires.

b. D´eterminer l’expression du vecteur acc´el´eration en coordonn´ees polaires.

c. D´eterminer l’acc´el´eration tangentielle ` a partir du vecteur tangent unitaire T. ~ d. Retrouver ce r´esultat en utilisant une autre m´ethode.

e. D´eterminer l’acc´el´eration normale.

f. Montrer que le rayon de courbure s’´ecrit :

R = b (1 + θ

2

)

p

2 + θ

2

ou p est un exposant ` a d´eterminer.

g. Indiquer comment calculer la longueur de la trajectoire lorsque le point M a fait un tour complet (de 0 ` a 2π). Montrer que cette longueur ne d´epend pas de la vitesse angulaire ω. Expliquer pourquoi.

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