Plan L’OSCILLATEURHARMONIQUE

PCSI1 Lycée Michelet

L’OSCILLATEUR HARMONIQUE

Plan

I. Première observation : mouvement d’une masse accrochée à un ressort 2

1. En classe. . . 2

2. Tracé direct dex(t) . . . 3

II. Rappels mathématiques 4 1. Fonctions sinusoïdales . . . 4

2. Un peu d’entraînement . . . 4

III.Expression mathématique de x(t) 4 1. Expression générale . . . 4

2. Facteurs influençantA et ϕ . . . 5

IV.Étude cinématique du mouvement harmonique 6 1. Position, vitesse, accélération. . . 6

2. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal . . . 8

V. Équation de l’oscillateur harmonique 8 1. Force élastique . . . 8

2. Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique . . . 9

3. Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique . . . 10

4. Différentes formes des solutions . . . 11

5. Retour sur le ressort vertical . . . 12

6. Généralisation . . . 13

VI.Bilan énergétique 14 1. Intégrale première du mouvement. . . 14

2. Évolution temporelle de E_c etE_p . . . 15

3. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique . . . 17

4. Passage deE =cte à l’équation du mouvement . . . 17

PCSI1 Lycée Michelet

Introduction

Lorsqu’une onde se propage (onde acoustique, onde à la surface de l’eau), on observe loca- lement un mouvement oscillant (oscillation des particules fluides pour une onde acoustique, oscillation d’un flotteur à la surface de l’eau), c’est à dire un mouvement périodique borné, autour d’une position correspondant à la position de repos. C’est pourquoi, avant d’aborder l’étude générale des ondes, nous allons nous intéresser au mouvement oscillant et plus parti- culièrement au mouvement harmonique.

Le mouvement harmonique privilégie les fonctions sinus (ou cosinus). Ce n’est en rien res- trictif, car nous verrons que tout mouvement périodique (de période T, de fréquencef = 1/T) peut se décomposer en une superposition (comprendre une somme) de signaux sinusoïdaux de fréquence multiple de f. C’est l’analyse de Fourier, que vous avez déjà rencontrée en termi- nale, par exemple lors de la détermination du spectre d’un son.

Il existe une manière très simple de visualiser un mouvement harmonique : il suffit d’accrocher une masse à l’extrémité d’un ressort et de la laisser osciller.

I. Première observation : mouvement d’une masse accro- chée à un ressort

1. En classe

Expérience : si on accroche une masse à un ressort vertical à spires jointives (ce ressort ne peut être qu’étiré et non comprimé), on peut s’arranger pour que la position de cette masse se stabilise à une position d’équilibre.

. Quelles sont les forces intervenant dans cet équilibre ? – le poidsP~ =m~g

– la force de rappel du ressort T~

. Quelle relation s’applique à l’équilibre ?

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen la condition d’équilibre s’exprime sous la forme :P~ +T~ =~0

On écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche : on observe alors des oscillations de part et d’autre de sa position d’équilibre.

. Indiquer sur un schéma, le sens de la résultante des forces R~ =P~ +T~. Vérifier que cette résultante tend à ramener la masse vers sa position d’équilibre.

x=x_e

x<x_e

O

R^→

x>x_e x

R^→ R^→ R=0^{→ →}

Le poids reste constant alors que la tension du ressort augmente quand son étirement aug- mente. Pour x < x_e le poids l’emporte sur la tension, pour x > x_e la tension l’emporte sur le poids. On vérifie que la résultante des forces tend à ramener la masse vers sa position d’équilibre.

On peut alors tracer l’allure dex(t)au cours du temps :

Indiquer sur le schéma ci-contre : – la position d’équilibre x_e

– la périodeT des oscillations – l’amplitude A des oscillations

2. Tracé direct de x(t)

Sur cette vidéo extraite des cours de physique au MIT de Walter Levine :Lien vidéo, on peut suivre une leçon sur l’oscillateur harmonique. Toute la leçon mérite d’être suivie, mais si on s’intéresse plus particulièrement à ce qui se passe entre 10 min et 12min 20s, on observe le tracé en direct de x(t) où x représente la position d’une masse accrochée à des ressorts et t est la variable temporelle.

La courbe obtenue évoque clairement une courbe sinusoïdale (fonction sinus ou cosinus).

Au laboratoire, on a filmé les ocillations dans un plan horizontal d’une masse (un palet sur coussin d’air) fixée à l’extrémité de deux ressorts, fait un pointage avec avimeca et une modélisation de la courbe obtenue avec Regressi... qui renvoie une fonction sinusoïdale ! Nous pourrons le vérifier en TP.

Avant d’aller plus loin, il peut être utile de faire quelques rappels sur les fonctions sinus et cosinus

II. Rappels mathématiques

1. Fonctions sinusoïdales

cf polycopié

2. Un peu d’entraînement

• Tracer l’allure des fonctions : f(x) = cos(x− ^π₃)

g(x) = sin(x+^2π₃ ) h(x) = 1 + 0,5 cos(x) Retenir :

cos(x− ^π₃)décale la courbe de cosx de ^π₃ vers la droite (sens des xcroissants) sin(x+ ^2π₃ )décale la courbe de sinxde ^2π₃ vers la gauche (sens des x décroissants)

Dans cette partie, on a gardé les notations habituelles des mathématiciens pour lesquels la variable est généralement notée x. En physique, les notations sont adaptées à la grandeur physique décrite.

Dans la suite du cours, la variable physique pertinente est le temps. Elle sera notée t alors que x deviendra une fonction...

• Dériver, puis intégrer les fonctions, ω étant une constante dont on précisera la dimension : f(t) = cos(ωt)

g(t) = sin(ωt)

III. Expression mathématique de x(t)

1. Expression générale

On observe un mouvement sinusoïdal autour de la position d’équilibre x_e, d’amplitude A et de période T. De manière générale, x(t) pourra s’écrire sous la forme :

x(t) = x_e+Acos(ωt+ϕ)

. x_e représente la position d’équilibre autour de laquelle le mouvement se produit. Elle correspond également à la valeur moyenne de x(t) notée < x(t) > car la valeur moyenne d’un cosinus est nulle (sur une période, on peut toujours associer à une valeur, sa valeur op- posée, décalée d’une demi-période).On reviendra plus tard sur la notion de valeur moyenne d’un signal.

. Areprésente l’amplitude du mouvement (x_e−A6x6x_e+A).

. ωt+ϕest appelé phase (avec ϕ phase àt= 0).T étant la période du mouvement, x(t) =x(t+T)

x_e+Acos(ωt+ϕ) =x_e+Acos(ω(t+T) +ϕ)

cos(ωt+ϕ) = cos(ωt+ωT +ϕ)

la fonction cosinus étant périodique de période 2π on en déduit la relation ωT = 2π

ω= 2π T

ω est appelée pulsation (on rencontre également le terme fréquence angulaire) et est ho- mogène à l’inverse d’un temps. On donne généralement sa valeur en rad.s⁻¹.

On définit également f fréquence du mouvement par f = 1

T on a alors ω = 2πf . La fréquence est homogène à l’inverse d’un temps. L’unité SI est le Hertz (1 Hz=1 s⁻¹).

2. Facteurs influençant A et ϕ

Pour une masse et un ressort donné, on peut jouer initialement sur deux paramètres lors de la mise en mouvement :

– la position initialex₀ =x(0)

– la vitesse initialev₀ = (^dx_dt)_t=0 (autre notation : (^dx_dt)_t=0 = ˙x(0)).

On peut écarter la masse de sa position initiale et la lâcher sans vitesse, ou bien transmettre une vitesse à la masse alors qu’elle est à sa position d’équilibre, voire les deux, c’est à dire écarter la masse de sa position initiale et lui fournir une vitesse.

Reconnaître chacune des ces situations sur les courbes suivantes (pour lesquelles x_e = 0) et déterminer dans chaque cas les valeurs de x₀ etv₀ :

a)

b)

c)

IV. Étude cinématique du mouvement harmonique

1. Position, vitesse, accélération.

Choisissons une origine des temps telle que ϕ= 0 et une origine des x telle quex_e = 0.

x(t) =Acos(ωt)

On se place dans le référentiel du laboratoire. Le mouvement étant à 1 dimension (mouvement axial), on peut écrire le vecteur position sous la forme−−→

OM =x~e_x, le vecteur vitesse−→v =v~e_x et le vecteur accélération −→a =a~e_x avec

v(t) = ^dx_dt = ˙x=−Aωsin(ωt)

a(t) = ^dv_dt = ¨x=−Aω²cos(ωt) = −ω²x

On remarque que x¨=−ω²x

La vitesse s’annule pour chaque position extrémale : x˙ = 0 pourx=±A.

La vitesse est maximale (en norme) lors de chaque passage à 0: x˙ =±ωApour x= 0.

L’accélération est extrémale lorsque la position est extrémale :

¨

x=−ω²A pour x=A : décélération maximale

¨

x=ω²A pour x=−A : accélération maximale

On peut vérifier sur le schéma ci-dessous (en vert le vecteur vitesse, en rouge le vecteur accé- lération). On note a_max =Aω² et v_max =Aω.

2. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinu- soïdal

Le mouvement sinusoïdal peut être produit par la projection d’un mouvement circulaire uni- forme sur un diamètre quelquonque.

On a représenté sur la figure ci-contre un mou- vement circulaire uniforme de rayon A, de vi- tesse angulaire ω = ^2π_T , avec T période de ro- tation. La projection du mouvement sur l’axe Ox donne s(t) = Acos(ωt+ ϕ).

ϕ correspond à l’angle que faitOM avec l’axe Ox àt = 0.

Exemple : scie sauteuse.

Dans une scie sauteuse, un dispositif trans- forme le mouvemement circulaire uniforme en un mouvement d’oscillations harmo- niques : quandAfait un tour,B fait un aller- retour.

V. Équation de l’oscillateur harmonique

Pour l’instant, nous avons décrit les propriétés du mouvement harmonique. Nous allons à présent établir l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique et montrer qu’une masse accrochée à un ressort décrit nécessairement ce type de mouvement.

1. Force élastique

On considère un ressort, caractérisé par – sa longueur à vide `₀

– sa constante de raideur k (homogène à une force par unité de longueur)

Lorsqu’on étire ou que l’on comprime un ressort celui-ci exerce à chacune de ses extrémités, des forces qui tendent à le ramener vers sa longueur à vide

la tension du ressort au niveau de l’extrémité B s’exprime sous la forme : T~_B =−T~_A=−k(`−`₀)~u_Bext

avec ` longueur du ressort

~u_Bext vecteur unitairesortant du ressort au point B considéré

~

u_Bext =~uA→B =

−→AB k−→

ABk

Remarque : quand on étire trop un ressort, on sort du domaine d’élasticité et cette loi n’est plus applicable. Le ressort se déforme et ne revient pas à sa longueur à vide quand on cesse d’exercer une force : on dit qu’il y a de l’hystérésis.

Par ailleurs, un ressort à spires jointives ne peut être utilisé qu’en détente.

2. Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique

Système :masse m

Référentiel : référentiel du labo supposé galiléen Bilan des forces : – poids P~ =m~g

– réaction normale du supportR~ avecR~ ⊥~u_x – tension du ressort : T~ =−k(`−`₀)~u_x =−kx~u_x

L’équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) appliqué à la masse m :

m~a=md~v

dt =P~ +R~ +T~ mx ~¨u_x =P~ +R~ −kx ~u_x

Le mouvement de la masse étant horizontal on projette cette équation sur ~ux on obtient l’équation du mouvement :

m¨x=−kx car P~ ⊥~u_x etR~ ⊥~u_x donc P .~~ u_x = 0 et R.~~ u_x = 0.

Remarque : suivant la direction perpendiculaire à~ux on aP~+R~ =~0: la réaction normale du support compense le poids.

Équilibre : on remarque quex= 0correspond à une position d’équilibre (T~ =~0pourx= 0).

Si on place la masse en O sans vitesse elle y demeure.

On peut faire passer tous les termes à gauche de l’égalité et s’arranger pour que le coefficient multiplicatif de x¨ soit égal à 1. On obtient :

¨ x+ k

mx= 0 Déterminons la dimension de _m^k :

¨

x est homogène à une accélération [¨x] = L.T⁻² donc, les termes d’une somme ayant tous même dimension,[_m^kx] =L.T⁻² également. On en déduit, x étant homogène à une longueur, [_m^k] =T⁻².

On pose alors _m^k =ω₀² avecω₀ homogène à l’inverse d’un temps, soit ω₀ = rk

m

¨

x+ω₀²x= 0 (OH)

C’est une équation différentielle d’ordre 2car elle fait intervenir la dérivée secondex. Elle est¨ linéaire : si x1(t) est une solution vérifiant x¨1+ω₀²x1 = 0, si x2(t) est une solution vérifiant

¨

x₂+ω²₀x₂ = 0, alors X(t) =x₁(t) +x₂(t) vérifie X¨+ω₀²X = 0.

3. Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique

L’équation (OH) peut s’écrire

¨

x=−ω₀²x.

D’après notre étude du mouvement harmonique, on constate que x(t) = Acos(ω0t+ϕ) est solution de l’équation.

Les mathématiciens se posent toujours la question de l’unicité de la solution : est-ce la seule solution possible ?...et bien Mr Cauchy, que l’on remercie au passage, a montré que si l’on connaît :

x₀ =x(t₀) la position à un instant t₀ (en général on choisit t₀ = 0)

˙

x0 = ˙x(t0) la vitesse à un instant t0

alors la solution existe et est unique.

Ce sont ces deux conditions initiales qui vont fixer les valeurs de A etϕ.

• Prenons les conditions initiales suivantes :

À t= 0 on écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche sans vitesse : x(0) =x₀ >0 et x(0) = 0˙

on cherche une solution sous la forme :x(t) =Acos(ω₀t+ϕ), de dérivéex(t) =˙ −Aω₀sin(ω₀t+ϕ) (avec A >0 etϕ∈]−π, π]).

À t=0 x(0) =Acosϕ=x₀

˙

x(0) =−Aω0sinϕ= 0.

Puisque A6= 0 (la solution nulle n’a que peu d’intérêt) etω 6= 0 on asinϕ= 0 d’oùϕ= 0 ou π

Comme on prendA >0 etAcosϕ=x₀ >0alors ϕ= 0 et donc A=x₀. La solution est donc de la forme

x(t) =x₀cos(ω₀t)

• Prenons d’autres conditions initiales :

À t= 0 la masse est en O et on la lance avec une vitesse v₀ >0.

x= 0 etx(0) =˙ v₀ >0

On cherche toujours une solution sous la forme : x(t) =Acos(ω₀t+ϕ), de dérivée

˙

x(t) = −Aω0sin(ω0t+ ϕ) (avecA >0).

À t=0 x(0) =Acosϕ= 0

˙

x(0) =−Aω₀sinϕ=v₀

A6= 0 d’où cosϕ= 0. On en déduit ϕ=±^π₂. A=−_ω ^v0

0sinϕ >0 on en déduitsinϕ <0,ϕ=−^π₂. d’où A= ^v_ω⁰

0 et x(t) = _ω^v0

0 cos(ω₀t− ^π₂) qui se simplifie en x(t) = v₀

ω₀ sin(ω₀t) On vérifie que _ω^v0

0 est bien homogène à une longueur.

Remarque : La période des oscillations T₀ = ^2π_ω

0 = 2πp_m

k est indépendante de l’amplitude des oscillations. Par exemple, même si on double l’amplitude, la période des oscillations reste inchangée. On dit qu’il y a isochronisme des oscillations.

4. Différentes formes des solutions

Une même fonction trigonométrique peut s’exprimer sous des formes différentes. Ainsi x(t) =Acos(ω₀t+ϕ)

peut s’écrire avec une fonction sinus.

En effetsin(α+^π₂) = cos(α)d’oùx(t) =Acos(ω₀t+ϕ) =Asin(ω₀t+ϕ+^π₂) =Asin(ω₀t+ψ).

On peut donc chercher une solution sous la forme

x(t) =Asin(ω0t+ψ)

Enfin, x(t) = Acos(ω₀t+ϕ) =Acosω₀tcosϕ−Asinω₀tsinϕ qui peut s’écrire sous la forme générale :

x(t) = acosω₀t+bsinω₀t

avec a=Acosϕet b=−Asinϕ(on a donc A² =a²+b² d’où A=√

a²+b² car A >0).

Bilan :

On peut chercher les solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique x¨+ω²₀x= 0 sous les formes équivalentes :

x(t) = Acos(ω₀t+ϕ) x(t) = Asin(ω₀t+ψ) x(t) =acosω0t+bsinω0t

les couples de valeurs (A, ϕ), (A, ψ)ou (a, b) étant déterminés par les conditions initiales x0 et x˙0.

la dernière forme est souvent pratique à utiliser.

Considérons le cas général où les conditions initiales sont :

– à t = 0 la masse est en x=x0 et on la lance avec une vitesse~v0 =v0~ux : x(0) = x₀ et x(0) =˙ v₀

On cherche une solution sous la forme : x(t) = acosω₀t + bsinω₀t, de dérivée x(t) =˙

−aω₀sinω₀t+bω₀cosω₀t.

À t=0

x(0) =a=x₀

˙

x(0) =bω₀ =v₀ on en déduita =x₀ et b= _ω^v0

0 et donc : x(t) =x0cosω0t+ v₀

ω₀ sin(ω0t)

5. Retour sur le ressort vertical

Idée : on peut toujours se ramener à l’équation (OH) lorsqu’on étudie le mouvement autour de la position d’équilibre.

On reprend le cas très simple d’une masse m accrochée à un ressort.

Système : masse m

Référentiel : référentiel du labo supposé galiléen

Bilan des forces : – poids P~ =m~g – tension du ressort :

T~ =−k(`−`₀)~u_x

=−k(x−`₀)~u_x – on suppose les frottements négligeables

On a choisi l’origine des x au point de fixation du ressort.

Condition d’équilibre

Soit x_e la position d’équilibre de la massem.

À l’équilibreP~ +T~ =~0 qui donne, après projection sur ~u_x

mg−k(x_e−`₀) = 0 (E0)

On en déduit la position d’équilibre : xe=`0+ mg k Équation du mouvement

L’équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) appliqué à la masse m :

m~a=md~v

dt =P~ +T~ =mx~¨u_x après projection sur~u_x

mg−k(x−`₀) =mx¨ (E)

On s’intéresse à l’équation du mouvement autour de la position d’équilibre. On pose ε=x−x_e

en calculant (E)-(E0) on obtient

−k(x−xe) =mx¨

orε =x−x_e etε¨= ¨x, on retrouve alors l’équation (OH) de l’oscillateur harmonique.

¨

ε+ω²₀ε = 0

ε suit l’équation de l’oscillateur harmonique. x(t) =x_e+ε(t) =x_e+Acos(ω₀t+ϕ).

Ainsi, lorsque l’origine est choisie au niveau de la position d’équilibre, on retrouve l’équation de l’oscillateur harmonique.

6. Généralisation

Si l’équation du mouvement s’exprime sous la forme :

¨

x+ω₀²x=K oùK est une constante homogène à une accélération.

À l’équilibrex=x_e,x˙ = 0,x¨= 0. On en déduit la relationω₀²x_e =K et on réécrit l’équation sous la forme

¨

x+ω₀²x=ω₀²x_e

¨

x+ω²₀(x−x_e) = 0

En posant ε=x−x_e,ε¨= ¨x, on retrouve l’équation (OH)ε¨+ω₀²ε= 0. On en déduit

x(t) =x_e+ε(t) =x_e+Acos(ω₀t+ϕ) =x_e+acos(ω₀t) +bsin(ω₀t) avec x_e= K ω²₀

VI. Bilan énergétique

Quelques rappels de terminale :

Travail d’une force constante :W_AB(F~) =F .~ −→

AB

Force conservative (dont le travail est indépendant du chemin suivi), force non conservative (force de frottement)

Travail d’une force conservative W_AB(F~) =E_p(A)−E_p(B).

Exemple de travail de forces conservatives :

– travail du poids W_AB(P~) =mg(z_A−z_B)(axe Oz orienté vers le haut) – travail de la force électrique W_AB(q ~E) = qU_AB

Pour un mouvement conservatif : les seules forces qui travaillent au cours du mouvement sont conservatives, donc en l’ absence de frottement,E_m =E_c+E_p =Cte.

En présence de frottement l’énergie mécanique diminue∆E_m =Wf rottements <0.

1. Intégrale première du mouvement.

Le mouvement étudié s’effectue sans frottement. On est tenté de croire qu’il est conserva- tif. Reste à déterminer l’expression de l’énergie mécanique associée. Pour cela, on part de l’équation du mouvement. Les termes contenus dans cette équation sont homogènes à des forces.

Une énergie se mesure en joule (force×longueur), une puissance en watt (énergie/temps

=force×vitesse). On peut donc faire apparaître une puissance en multipliant les termes de l’équation du mouvement par une vitesse.

On a établi, pour le mouvement horizontal sans frottement : m¨x=−kx

On multiplie chaque terme parx˙

mx¨˙x=−kxx˙ mx¨˙x+kxx˙ = 0 d

dt 1

2mx˙²+ 1 2kx²

= 0 1

2mx˙²+1

2kx² =Cte Cette Cte étant homogène à une énergie.

On reconnaît E_c = ¹₂mx˙² l’énergie cinétique de la masse m.

On identifie le terme ¹₂kx² à l’énergie potentielle du ressort. Elle est définie à une constante additive près. On choisit en général E_p = 0 pourx= 0. On a alors E_p = ¹₂kx².

De manière générale l’énergie potentielle d’un ressort, également appelée énergie potentielle élastique, s’écrit sous la forme

E_p = 1

2k(`−`₀)² si on choisit E_p = 0 pour` =`₀.

On poseE_m =E_c+E_p l’énergie mécanique : elle se conserve au cours du mouvement étudié.

E_m =E_c+E_p = 1

2mx˙²+1

2kx² =Cte

2. Évolution temporelle de E

et E

x(t) = Acos(ω0t+ϕ)

˙

x(t) = −Aω0sin(ω0t+ϕ)

E_p = ¹₂kx² = ¹₂kA²cos²(ω₀t+ϕ)

E_c= ¹₂mx˙² = ¹₂mω₀²A²sin²(ω₀t+ϕ) = ¹₂m^{k m}

A²sin²(ω₀t+ϕ) = ¹₂kA²sin²(ω₀t+ϕ) E_m =E_c+E_p = ¹₂kA²(cos²(ω₀t+ϕ) + sin²(ω₀t+ϕ)

| {z }

=1

) = ¹₂kA²

Em =Ec+Ep = 1

2kA² =cte

On vérifie que l’énergie mécanique est constante au cours du mouvement. Sa valeur se retrouve facilement en considérant une des positions extrémales de la masse (où x = ±A et x˙ = 0).

On a alors E_c= 0 et donc E_m =E_p = ¹₂kA².

Au cours du mouvement il y a passage de l’énergie cinétique à l’énergie potentielle et récipro- quement.

L’énergie potentielle est maximum, lorsque la masse occupe les positions extrémales (E_c= 0) L’énergie cinétique est maximale lorsque la masse par O (E_p = 0).

On a représenté dans la partie supérieure du graphe ci-dessous l’évolution temporelle de E_p et E_c dans le cas où ϕ= 0, ainsi que la valeur de l’énergie mécanique E_m = ¹₂kA². La partie inférieure du graphe indique l’allure de x(t).

On visualise ainsi l’échange permanent entre les deux formes d’énergie (cinétique et poten- tielle).

Question : que pourrait-on dire de l’évolution de Em s’il y avait des frottements ? Quelle en serait la conséquence sur l’amplitude du mouvement ?

3. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique

On trace le profil parabolique de l’énergie potentielle E_p = ¹₂kx²

E_m =E_c+E_p = 1 2mx˙²

| {z }

>0

+E_p

E_m>E_p

Le mouvement n’est possible que pour des valeurs de x où l’inégalité E_m > E_p est vérifiée : la zone indiquée en pointillée n’est donc pas accessible, le mouvement est borné à l’intervalle [−A, A].

E_c se lit graphiquement comme l’écart entre E_m la courbe E_p(x).

Ec= 0 lorsque Em =Ep, ce qui se produit aux deux valeurs extrémales du mouvement ±A.

4. Passage de E = cte à l’équation du mouvement

Si l’expression de l’énergie potentielle est connue et si au cours du mouvementE_m =ctealors la dérivée deEm par rapport au temps permet de retrouver l’équation du mouvement.

E_m =E_c+E_p = 1

2mx˙²+1

2kx² =Cte dE_m

dt = 1

2m2 ˙x¨x+ 1

2k2x x˙ = ˙x(mx¨+kx) = 0 qui permet de retrouver mx¨+kx= 0.

Correction II.2

• Tracé de f(x) = cos(x−^π₃) :

On peut poser cos(x− ^π₃) = cos(x⁰) avec x⁰ =x−^π₃ : on retrouve donc la courbe du cosinus dans un repère d’origine O⁰. En O⁰, x⁰ = 0,x− ^π₃ = 0, x= ^π₃.

La courbe est décalée vers la droite de ^π₃

• Tracé de g(x) = sin(x+ ^2π₃ )

De même on peut poser sin(x+ ^2π₃ ) = sin(x⁰) avec x⁰ = x+ ^2π₃ . x⁰ = 0 pour x = −^2π₃ . On retrouve la courbe du sinus dans un repère d’origineO⁰ situé en x=−^2π₃ .

La courbe est décalée vers la gauche de ^2π₃

Remarque : les fonctions sinus et cosinus étant périodiques de période 2π, on peut écrire f(x) = cos(x− ^π₃) = cos(x− ^π₃ + 2π) = cos(x+ ^5π₃ ).

• Tracé de h(x) = 1 + 0.5 cos(x)

−16cosx61,

−0,560.5 cosx60,5 0,56h(x)61,5

La fonctionh(x) oscille autour de la valeur1 avec une amplitude de 0.5.

Calculs de dérivés et de primitives :

ωt est sans dimension (angle en radian), ω homogène à l’inverse d’un temps (rad.s⁻¹).

f(t) = cos(ωt) f⁰(t) =−ωsin(ωt) g(t) = sin(ωt) g⁰(t) = ωcos(ωt) R f(t)dt = 1

ωsin(ωt) +cte R g(t)dt=−1

ω cos(ωt) +cte