Analyse-EDP E. Grenier

Transcrit par Idriss Mazari E.N.S Lyon, 2013-2014

Ces notes ont été rédigées par Idriss Mazari. Les erreurs qui s’y trouvent ne sont donc aucunement du fait de M. Grenier. ().

Table des matières

I Une première introduction 4

I Distributions et espaces de Sobolev 4

I Introduction et motivation . . . 4

II Quelques rappels d’analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels topologiquesfinir les propriétés/ topologie sur D(R)) . . . 4

II.1 Espaces vectoriels topologiques . . . 5

III Espaces de Fréchet et semi-normes . . . 5

IV Distributions . . . 5

IV.1 Introduction et premières définitions . . . 5

IV.2 Dérivation de distributions . . . 6

V Les espaces de Sobolev . . . 7

V.1 Introduction et premières définitions . . . 7

V.2 Structure deH¹(Ω) . . . 8

V.3 L’espaceH₀¹(Ω) . . . 9

V.4 L’inégalité de Poincaré . . . 10

V.5 Trace . . . 11

V.6 La formule de Green . . . 13

V.7 Retour surH₀¹(Ω) . . . 14

VI Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs/ Injections de Sobolev mettre les résultats des TD . . . 14

VI.1 H¹(Ω) . . . 14

VI.2 H²(Ω) . . . 14

VI.3 Injections de Sobolev . . . 15

VII W^n,p(Ω) . . . 15

TABLE DES MATIÈRES L3

II Inversion du Laplacien 16

I Motivation . . . 16

II Diverses formulations du problème . . . 16

II.1 Motivation . . . 16

II.2 Formulation au sens des distributions . . . 17

II.3 Formulation variationnelle . . . 17

II.4 Question de minimisation . . . 18

III Le problème de Neumann . . . 19

III Propriétés qualitatives du Laplacien 21 I Régularité des solutions faibles . . . 21

II Le principe du maximum . . . 23

II.1 Cas des solutions régulières . . . 23

II.2 Cadre Sobolevien . . . 24

IV Schémas numériques pour l’inversion du Laplacien 25 I En dimension 1 . . . 25

I.1 Première approche . . . 25

I.2 Schéma numérique . . . 26

I.3 Résolution du schéma numérique . . . 26

I.4 Convergence du schéma numérique . . . 26

II Approche variationnelle . . . 27

II.1 Présentation . . . 27

II.2 Formulation variationnelle . . . 27

V Équations de transport linéaire 30 I Origine physique des équations de transport . . . 30

I.1 Le point de vue eulérien . . . 30

I.2 Point de vue Lagrangien . . . 30

II Présentation du cadre théorique . . . 31

III Méthode des caractéristiques . . . 31

III.1 Le transport linéaire en dimension 1 . . . 31

III.2 Résolution : existence et unicité d’une solution . . . 31

III.3 Un exemple . . . 32

IV Solutions faibles de l’équation de transport . . . 32

IV.1 Motivations de l’approche variationnelle . . . 32

IV.2 Résolution . . . 33

V En dimension 1 à vitesse constante . . . 33

VI Équations de transport non linéaire 35 I Solutions Classiques . . . 35

I.1 Définition . . . 35

I.2 Méthode des caractéristiques générales . . . 35

I.3 Étude autour du tempsT^∗ . . . 36

I.4 Une illustration : l’équation de Hopf . . . 37

II Solutions faibles pour le transport non-linéaire . . . 37

II.1 Définition des solutions faibles . . . 37

II.2 Le problème de Riemann . . . 38

III Solutions entropiques . . . 40 III.1 Motivation et définition . . . 40 VIISchémas numériques pour le transport linéaire 43 I Schémas numériques décentrés . . . 43

Références

[Bre10] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equa- tions. Springer, (Dernière édition) 2010.

[FGN12] Francinou-Gianella-Nicolas. Oraux X-ENS, analyse IV. Cassini, 2012.

[RT88] Raviart-Thomas. Introduction à l’Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partielles. Masson, 1988.

[Sik13] Jean-Claude Sikorav. Géométrie avancée. Polycopié disponible en ligne, 2013.

[Vil03] Cedric Villani. Analyse II (Cours de deuxième année donné à l’ENS Lyon). Poly- copié disponible en ligne, 2003.

I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

Première partie

Une première introduction

I. Distributions et espaces de Sobolev

On toruvera des démonstrations des résultats ici admis dans [RT88].

I-A. Introduction et motivation

Considérons l’équation∂tu+x∂xu= 0. On a vu dans le premier TD que, siu0∈ C¹(R), alors, si on cherche les solutions dérivables de cette équation, elles sont toutes de la forme u: (x, t)7→u0(x−ct).

Maintenant, on cherche des solutions peu régulières, pour traduire le fait que l’on puisse négliger certains effets d’échelle : considérons, dans le domaine de la mécanique des fluides, un avion qui passe le mur du son. Il est alors "entouré" par une onde de choc ; de part et d’autre de la frontière, l’air se trouve dans un état différent. Même si, à une échelle microscopique, l’évolution des différentes caractéristiques (la température, par exemple) se fait de manière continue, la zone de transition est extrêmement petite, ce qui justifie qu’à une échelle macroscopique, on les décrive comme des fonctions discontinues. Cela permet également de négliger des effets microscopiques régularisant, tels que la conduction.

Au niveau de l’étude des singularités ou des surfaces, il arrive que l’on veuille rechercher les solutions les moins régulières possibles. Par exemple, avec la fonction de Heavyside, notée dans toute la section h: (x, t)7→h(x−ct)est bien définie, mais lui appliquer l’équation I n’a aucun sens, la fonctionhn’étant pas dérivable. Il faut donc alléger la notion de solution et regarder "en moyenne" ce qu’il se passe : par exemple, siφest une fonction régulière sur le domaine considéré et siuest de classeC¹, on peut réécrire l’équation¹ comme

∫ ∫

u∂_tφ+cu∂_xφ= 0

Donc toute l’information sur la régularité de la solution est passée sur φ, et, pour que l’équation précédente ait un sens, il suffit queusoit localement intégrable : on dit donc que uest solution faible de l’équationIsi

∀φ∈ Cc¹(R),

∫ ∫

u∂_tφ+cu∂_xφ= 0

Un calcul nous montre qu’une solution au sens "classique" est une solution au sens faible.

La notion de fonction "test" (ici, φ) motive la généralisation de la notion de fonction : une "solution" opère en fait sur des fonctions extrêmement régulières : on va choisir des fonctions de classe C^∞ à support compact (on pourrait choisir les fonctions analytiques, mais les structures deviennent beaucoup trop rigide). On note cet ensemble de fonctions D(Rⁿ).

I-B. Quelques rappels d’analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels topologiquesfinir les propriétés/ topologie sur D(R)) On donne isi un résumé des principales propriétés analysées dans [Vil03]

1. par IPP

I-B- 1. Espaces vectoriels topologiques

Définition : Espace Vectoriel Topologique.On appelle R-espace vectoriel topologique un espace topologique E muni d’une structure de R-espace vectoriel telle que (x, y)7→x+y et (λ, x)7→λ·xsoient continues pour la topologie surE² et surE×R, et que {0} soit fermé.

Ainsi, tout espace vectoriel normé est un espace vectoriel topologique. On distingue 4 grandes familles d’espaces vectoriels topologiques

• Les espaces vectoriels topologiques abstraits, sans structures supplémentaires. On peut montrer que tout espace vectoriel topologique est séparé.

• Les espaces vectoriels topologiques localement convexe (0y admet une base de voisinages convexes)

• Les espaces de Fréchet ,i.eles espaces vectoriels topologiques localement convexes munis d’une métrique complète invariante par translation.

• Les espaces de Banach : les espaces de Banach sont des espaces de Fréchet pour la distance associée à leur norme.

On doit souvent considérer des Fréchet qui sont des limites de Banach, tels que les espaces L^p_loc(O) =∩Kcompact deOL^p(K)

I-C. Espaces de Fréchet et semi-normes

SoitE un espace de fréchet ; il admet une base de voisinage dénombrable (en 0, donc en tout point). On peut montrer qu’E put être muni d’une métrique compatible avec sa topologie.

I-D. Distributions I-D- 1. Introduction et premières définitions

On va en fait introduire les distributions comme le dual (même si il n’y a pas de norme sur l’espace considéré) deD(Rⁿ). En effet, siE⊂F, on sait que toute forme linéaire surF induit une forme linéaire surE. Donc plus l’espace est petit, plus son dual est grand. C’est pour cela que l’on a choisiD(Rⁿ)comme un petit espace.

Définition :Distribution.SoitΩun ouvert deRⁿ etT une application linéaire deD(Ω) dansR. On dit que T est une distribution sur Ω deRⁿ si pour tout K compact inclus dansΩ,∃n∈N,∃c∈R tels que∀φ∈C_c^∞(Ω) avecK contenant supp(φ)

|< T, φ >| ≤c sup

αmulti−index,|α|≤n,x∈K

|∂^αφ(x)|

On noteD^′(Ω) l’espace des distributions.

Ainsi,T agit surφde manière "continue" (on travaille en fait ici avec une semi-norme.) Exemple 1. 1. Le dirac δ_a, a∈Ω, avec< δ_a, φ >=φ(a)est une distribution.

2. Si∫ ψ est une fonction continue à support compact inclus dans Ω, on note Tψ : φ7→

Ωφψet il s’agit d’une distribution.

I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

3. Siu∈L¹_loc(Ω), on noteTu:φ7→∫

Ωuφ. C’est une distribution d’ordre 0, comme pour toutKcompact deΩ, pour toute fonctionφà support compact inclus dansΩde classe C^∞,

|< T_u, φ >| ≤ ||u||L¹(K)· ||φ||_∞

4. Dérivée du Dirac ena: on introduitδa:φ7→ −φ^′(a)(ici, on a prisΩ⊂Rⁿ). Il s’agit bien d’une distribution car | < δ_a^′, φ > | ≤ sup

x∈K|φ^′(x)| (distribution d’ordre 1). On définit la dérivéen-ième du Dirac enaparδa⁽ⁿ⁾:φ7→(−1)ⁿφ⁽ⁿ⁾(a)

5. On peut considérer T = ∑

nnδn C’est une distribution d’ordre 0. Notons que la somme converge toujours, comme on travaille sur un compact K. On peut encore définirT :=∑

nnδ⁽ⁿ⁾n

6. On peut définir la valeur principal vp(¹_x)∈ D^′(Ω) :φ7→lim

ϵ→0

∫

|x|>ϵ φ(x)

x dx.

Ainsi, les fonctions localement intégrables s’injectent dans l’ensemble des distributions ; celles-ci sont en quelque sorte une généralisation de la notion de fonction. De même, par Cauchy-Schwarz, les fonctions L² s’injectent.Justifions proprement qu’il sagit d’une injec- tion : Soit en effetf ∈L²(Ω)telle que pour toutϕ∈ D(Ω),∫

Ωϕf = 0. Par densité deD(Ω) dansL²(Ω), on en déduit que pour toutϕ∈L²(Ω),∫

Ωϕf = 0et doncf = 0.

Un semblant de topologie sur les distributions On définit la notion de convergence dans l’espace des distributions sur un ouvertΩcomme suit : on dit que la suite de distribu- tions(Tn)n∈Nconverge au sens des distributions versT si

∀φ, < Tn, φ > →

n→∞< T, φ >

I-D- 2. Dérivation de distributions

L’objet en jeu est tellement libre de contraintes que, sous certaines hypothèses relative- ment faibles, on peut dériver (en un sens particulier que l’on précisera) des fonctions qui, a priori, n’ont aucune chance d’être dérivables au sens classique.

Définition : Dérivation.Soit T ∈ D^′(Ω). On définit ∂iT : φ7→ −< T, ∂iφ >, et ∂iT est une distribution.

Définition : Dérivéeα-ième.SoitT une distribution etα∈Np. On définit

∂^αT :φ7→(−1)^α< T, ∂^αφ >

et c’est encore une distribution. Une distribution est donc infiniment dérivable.

Exemple 2. 1. T_h^′(φ) =−∫_∞

0 φ^′ =< δ₀, φ >, hdésignant la fonciton de Heavyside.

2. Si on considèrex₀<· · ·< x_petψune fonction dont la restriction à tous les intervalles ]x_i;x_i+1[ est de classe C¹ (on note ψ_i cette restriction, en notant ψ⁻ (resp. ψ⁺) la

fonction sur]− ∞, x0[ (resp.]xp;∞[)). Alors

< T_ψ^′, φ >=−[

∫ x₀

−∞

ψφ^′+

∑p i=0

∫ x_i+1 xi

ψφ^′+

∫ +∞ xp

ψφ^′] (1)

=−

∫ x0

−∞

ψ^′φ−φ(x₀)ψ(x₀)−. . . (2)

⇒T_ψ^′ =T_θ+

∑p i=0

δ_xi(ψ(x⁺_i )−ψ(x_i)⁻) (3) où θ désigne la fonction dérivé de ψ aux endroits où elle est dérivable ( entre les différentsxi). On appelle cette formule formule des sauts.

Remarquons que la notion est cohérente avec la notion déjà connue de dérivabilité : si ψ est une fonction dérivable, alors T_ψ^′ = Tψ^′. De plus, si u0 est une fonction localement intégrable, alors la distributionT_u: (x, t)7→u₀(x−ct)vérifie l’équation∂_tT+c∂_xT = 0, au sens des distributions.

I-E. Les espaces de Sobolev I-E- 1. Introduction et premières définitions

Soitu∈L²(Ω). On peut alors lui associer la distributionTu(uest localement intégrable par Cauchy-Schwarz). On put donc parler de ses dérivées∂iTu. On dit queuest dans l’espace H¹(Ω) si pour touti∈Nn il existevi ∈L²tel que ∂iTu=Tv_i.

Définition :Espaces de Sobolev.On dit queu∈H¹(Ω)siu∈L²(Ω)et si∀i∈Nn,∃vi∈ L²(Ω) tel que∂iTu=Tv_i.

On notera par la suitev_i=∂_iu. Par ailleurs, on munitH¹(Ω)d’un produit scalaire(·,·) défini par

(u, v) :=

∫

Ω

uv+

∑n i=1

∫

Ω

∂iu∂iv

On pourra se référer à [Bre10] pour une autre présentation de ces espaces. On remarque que si u ∈ H¹(Ω), pour toute fonctionφ ∈ D(Rⁿ),| < ∂iTu, φ > | ≤ ||vi||L²· ||φ||L² par l’inégalité de Hölder.

Remarque.On a l’inclusion stricteH¹(Ω)⊊L²(Ω). En effet, considérons la fonction u:=

1[a;b]. Alors u ∈ L²(R). Mais u^′ = δa −δb, et δa n’est pas une fonction de classe L² (on peut considérer la fonction de Heavyside par exemple). En effet, si on suppose qu’il existe une fonction v ∈L²(R)telle que pour toute fonction φ∈ D(Rⁿ), < δ_a, φ >=∫

Rvφ, alors

∀a∈R,|φ_ϵ(a)| ≤c· ||φ_ϵ||L² où l’on définitφ₀ une fonctionC^∞positive à support compact, valant1en0. On pose ensuite, pourϵ >0la fonctionφ_ϵ:x7→φ₀(^x_ϵ). Alors, par convergence dominée,||φ_ϵ||2 →

ϵ→00 et doncφ_ϵ(0)→0, ce qui est absurde.

I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

I-E- 2. Structure deH¹(Ω)

Théorème. H¹(Ω) est un espace de Hilbert.

Complétude Attention, on a donc un emboîtement d’espaces de Hilbert :H¹(Ω)⊂L²(Ω), mais ce ne sont pas des espaces de Hilbert pour la même norme.

Démonstration du théorème.Soit(vn)n∈N une suite de Cauchy deH¹(Ω), c’est donc une suite de Cauchy dans L², de même que les suites ∂ivn. Donc ∃v ∈ L²(Ω) telle que v_n ^L

→2 v et ∃v_i tels que ∂_iv_n ^L

→2 v_i. Il nous reste donc à montrer que ∂_iv =v_i au sens des distributions.

Mais ∀φ ∈ D(Ω), < ∂ivn, φ >→< vi, φ > et < ∂ivn, φ >= − < −Tv_n, φ >→ − <

v, ∂iφ >=< ∂iv, φ >et la preuve est achevée.

Séparabilité On s’intéresse un peu plus en détails à la topologie de ces espaces :

Théorème. H¹(Ω) est séparable.

Démonstration du théorème.Un produit cartésien d’espaces séparables est séparable, et, si F est un sous-espace vectoriel fermé de E séparable, F lui-même est séparable. Or i : H¹(Ω) → L²(Ω)ⁿ⁺¹, i : v 7→ (v, ∂₁v, . . . , ∂_nv) et donc i(H¹(Ω)) est fermé et est ainsi séparable.

Théorème. D(Rⁿ) est dense dansH¹(Rⁿ)

Démonstration du théorème. i) Troncature On introduit une fonctionM ∈ D(Rⁿ)définie par





M(x) = 1,|x| ≤1

0< M(x)<1,1<|x|<2 M(x) = 0,|x| ≥2

puis, pour tout réel R >0, MRx 7→M(_R^x).Alors, siv ∈H¹(Rⁿ), MR·v −→

R→∞ v dans H¹(Rⁿ): en effet, d’une part,

∫

Rⁿ|MR·v−v|²≤

∫

|x|≥R

|v|² →

R→∞0 et, d’autre part,

∀i∈Nn, < ∂_iT_MRv, φ >=−

∫

Rⁿ

v[∂_i(M_Rφ)−∂_i(M_R)·φ]

On obtient, au sens des distributions,

∂_i(M_Rv) =M_R∂_iv+v∂_iM_R→∂_iv d’où la convergence en normeL².

ii) Régularisation

Ici,vdésigne une fonction deH¹à support compact. On considèreρune fonctionC^∞à support compact, positive, d’intégrale1, telle que pour toutxde module|x|>1, ρ(x) = 0. On pose ensuiteρϵ:=_ϵ¹nρ(^x_ϵ), qui est ici une suite régularisante.Supp(ρϵ)⊂B(0, ϵ).

On pose alorsvϵ:=ρϵ∗v. Par le cours d’intégrationI, on sait quevϵtends versvdans L², et que∂ivϵ tend vers∂ivdansL², et doncvϵtend versv dansH¹(Ω), etvϵest une fonctionC^∞ à support compact, d’où le résultat annoncé.

Remarque.On ne peut pas, de manière générale, multiplier deux distributions entre elles au sens où l’on ne peut pas construire de multiplication "continue". Par exemple, si l’on considère a∈R^∗+ et hla fonction d’Heavyside, alorsδ_−ahest la distribution nulle, tandis queδ_ahcorrespond àδ_a.

I-E- 3. L’espace H₀¹(Ω)

On s’intéresse ici aux fonctions deH¹(Ω) qui s’annulent sur le "bord" deΩ. On étudie ces fonctions pour avoir des informations sur les solutions de certains problèmes physiques, comme, par exemple, l’équation de la chaleur, qui demande la résolution du sysème suivant :

{ ∂_tu−∆u=f u_|∂Ω=T⁰

qui correspond à l’étude de l’évolution de la température dans un domaine dont les parois sont thermostatées, ou encore {

∆u=f u_|∂Ω= 0

qui décrit l’évolution d’une membrane élastique dont les parois sont fixées. De manière complètement informelle, on peut poser

H₀¹(Ω) :={v∈H¹(Ω), v(∂Ω) ={0}}

On va tenter de formaliser cette notion de "trace" pour donner un sens à ce que l’on appelle "valeur au bord" de la fonction. Peut-on parler de fonctionsf ∈ L²(Rⁿ) nulles en x = 0? Non, car les fonctions L² sont définies à un ensemble de mesure nulle près. En revanche, existe-t-ilθ∈ C⁰(L²(Rⁿ),R)tel que∀φ∈C⁰(R)∩L²(R), θ(φ) =φ(0)? Ici encore, la réponse est, maheureusement, négative :(faire le dessin du pic qui vaut1en0, et est affine sur[−δ, δ], du coup sa norme 2 tend vers 0, alors qu’elle est censée être constante à un si le truc est continu..)

SurL², c’est donc impossible. Que se passe-t-il si l’on restreint l’espace,i.esi l’on ne considère que les fonctions deH¹(Ω)? Considérons pour cela une fonction radiale, comme celle utilisée ci-dessus, en posantψ_ϵ(x) :=φ(^x_ϵ). Ainsi,ψ_ϵ→L² 0, mais pas nécessairement pour la norme

I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

de H₀¹(Ω). ∂iψϵ est non nulle sur B(0, ϵ) et d’ordre ¹_ϵ sur cette même boule. De manière grossière

||∂_iψ_ϵ||L² ≤cϵⁿ⁻²

Donc, sin= 1, il n’y a pas de contradiction. Sin= 2, en faisant les calculs plus consciencieux- sement, on remarque qu’il n’y a pas de contradiction non plus. En revanche, un problème apparaît dès que n≥3.

Théorème. i) En dimension 1, il existe θ₀ une trace en 0, i.e ∃θ₀ ∈ C⁰(H¹(R),R) tel que∀φ∈ D(R)∩H¹(R), θ₀(φ) =φ(0)

ii) En dimensionn≥2, il n’existe pas de telle trace en 0.

Remarque.En dimension n = 2, v ∈ H₀¹(Ω) si v s’annule sur ∂Ω, c’est-à-dire sur une ligne.Pourn= 3,v devrait s’annuler sur une surface. Ainsi, la trace associée à un point ne présente guère d’intérêt. En revanche, celle associée sur une hypersurface est primordiale : (revoir : dans le cours, le theoreme parle d’un hyoperplan, pas d’une hypersurface)

Théorème : Existence d’une trace.Soit P un hyperplan de Rⁿ. Alors il existe θp ∈ C⁰(H¹(Rⁿ), L²(P))tel que∀φ∈ D(Rⁿ), θp(φ) =φ_|P

Définition.H₀¹(Ω) est défini comme l’adhérence deD(Ω)dans H¹(Ω).

On donne ici un résultat intuitif qui sera justifié plus bas.

Théorème. H₀¹(Ω) est le noyau de la trace associée à∂Ω.

I-E- 4. L’inégalité de Poincaré

Théorème : Inégalité de Poincaré.SoitΩun ouvert borné deRⁿ. Alors ∃C_Ω>0 une constante telle que∀v∈H₀¹(Ω)

||v||2≤C_Ω ||∇| {z }v||2 :=√∑

i||∂iv||²2

Démonstration du théorème. On travaille uniquement par densité, avecφϵ→v, φϵ∈ D(Ω), (la convergence ayant lieu dans H¹(Ω) vérifier). On étend φ_ϵ en φ˜_ϵ définie comme φ_ϵ surΩ et comme la fonction nulle en dehors. On peut supposer queΩest borné dans la n-ième direction, au sens où, en notant les vecteurs deRⁿ x= (x^′, x_n), x^′ ∈Rⁿ⁻¹,∃a, btels queΩ⊆ {x∈Rⁿ, x_n∈[a;b]}. Alors

|ϕ˜ϵ(x^′, xn)|²=|

∫ x_n a

∂nϕ˜ϵ(x^′, y)dy|²

≤(x_n−a)

∫ xn

a

|∂_nϕ˜_ϵ(x^′, y)|²dy

≤(xn−a)

∫ b a

|∂nϕ˜ϵ(x^′, y)|²dy

⇒

∫ b a

|∂_nϕ˜_ϵ(x^′, x_n)|²dx_n ≤|b−a|² 2

∫ b a

|∂_nϕ˜_ϵ(x^′, y)|²dy

≤|b−a|² 2 ||ϕ˜_ϵ||²_L2

D’où l’inégalité annoncée. On remarque d’ailleurs qu’il suffit que l’ouvert soit borné dans une unique direction...

Remarque. — SiΩn’est pas borné,1∈/H₀¹(Ω)(d’ailleurs, cela reste vrai même siΩ n’est borné que dans une seule direction), comme on le voit en appliquant l’inégalité de Poincaré.

— On peut définir ||u||²H₀¹(Ω) := ∑

i=1...n

∫

Ω|∂iu|². Cette norme découle du produit scalaire(u, v) := ∫

i=1...nΩ

∂iu·∂iv. SiΩ est borné, l’inégalité de Poincaré nous donne l’équivalence des normes|| · ||H¹(Ω) et|| · ||H₀¹(Ω), etH₀¹(Ω)est ainsi complet. (vérifier si cela est le cas si l’ouvert n’est plus borné).

I-E- 5. Trace

Comme annoncé, on va faire le lien avec la trace.

On dit que φ∈ C^m(Ω) si il existeψ une fonction de classe C^m sur un ouvert contenant Ω dont la restriction àΩsoitφ. On définit de manière analogueD(Ω).

Le demi-espace On considère ici l’ouvertΩ =Rⁿ+:={(x₁, . . . , x_n), x_n>0}. On définit Γ :=∂Ω =Rn−1× {0}

Lemme.D(Rⁿ+)est dense dans H¹(Rⁿ+).

Démonstration du lemme.On travaille, ici encore, par troncature et régularisation : i) Troncature Il s’agit de la même preuve que pour la densité deD(Rⁿ)dansH¹(Rⁿ).

ii) Régularisation On utilise encore le produit de convolution : On pose, pourv∈H¹(Rⁿ+), vϵ:=φϵ∗v oùφest une fonction de D(Rⁿ₊)(finir de travailler avec [RT88])

Ce lemme va nous permettre de définir la trace dansH¹(Rⁿ+).

I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

Trace dans H¹(Rⁿ+) On définit θune fonction de D(Rⁿ)parθ(v) = vxn=0 ∈ Cc⁰(Rⁿ⁻¹).

Alors

Lemme.∀v∈ D(Rⁿ+)

||θ(v)||L²(Rⁿ⁻¹)≤ ||v||_H1(Rⁿ⁻¹₊ )

Ainsi, la trace est continue.

Démonstration du lemme.Soit v∈ D(Rⁿ+), v=ψ_|Rn

+, ψ ∈ D(O), O⊆Rⁿ+. On prolonge ψenψ˜∈ D(Rⁿ)en la prolongeant par 0 en dehors deO. Alors

ψ˜²(x^′,0) =−

∫ _∞

0

∂_n( ˜ψ²(x^′, x_n))dx_n=−2

∫ _∞

0

ψ(x˜ ^′, x_n)∂_nψ(x˜ ^′, x_n)dx_n

On utilise alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité2ab≤a²+b². On en déduit

|ψ(x˜ ^′,0)|²≤

∫ _∞

0

|ψ˜²(x^′, xn)|dxn+

∫ _∞

0

|∂nψ(x˜ ^′, xn)|²dxn

d’où, en intégrant en lesn−1 variables restantes,

||θ(v)||2≤ ||v||H¹(Rⁿ₊)

Ouverts réguliers L’application linéaire θ est donc continue ; on peut la prolonger à H¹(Rⁿ+)par densité (théorème de prolongement des applications linéaires) en une application linéaire continueγ.

On ditΩest un ouvert à frontière régulière si sa frontière∂Ωest uneC¹variéte de dimension n−1, localement d’un seul côté deΩ.

Théorème. Soit Ω un ouvert de Rⁿ à frontière régulière. Alors D(Ω) est dense dans H¹(Ω), etγ0:v7→γ0v:=v_|∂Ω définie surD(Ω)se prolonge en une application linéaire continueH¹(Ω) dansL²(∂Ω).

Démonstration du théorème.On se ramène au cas que l’on sait traiter : celui du demi- espace ouvert. Pour cela, on utilise des outils de géométrie différentielle, et notamment la notion de partition de l’unité([Sik13],Chapitre IV). Soit (O_i)_i∈NN des ouverts tels que Ω⊂ ^N∪

i=1O_i. On distingue alors deux cas

1. O_i ne recontre pas∂Ω Il existe alors φ_i un C^∞-difféomorphisme de O_i dans B(0,1) boule unité dans Rⁿ. (Revient à se donner, localement, des coordonnées)

2. O_i rencontre∂Ω Il existe φ_i un C^∞-difféomorphisme de O_i∩Ω dans la demi-boule B(0,1)∩Rⁿ+

On se donne une partition de l’unité, c’est-à-dire une famille(ψ_i)_i∈NN de fonctionsCc^∞telle que

• (∑

iψ_i)_Ω= 1

• ∀i, supp(ψi)⊂Oi

Si u∈H¹(Ω), on a alors u=∑

i(ψ·u). Si Oi ⊂Ω, la trace est nulle. Soiti, Oi∩∂Ω̸=∅. Alors (ψ·u)◦φ⁻_i¹ est définie sur B(0,1)∩Rⁿ+ et on peut en prendre la trace ; en effet, (ψ·u)◦φ⁻_i¹ ∈ H¹(Rⁿ+)(laissé en vérification : H¹(Ω) est stable par composition par des fonctionsC^∞). On regarde alorsT r((ψi·u)◦φ⁻_i¹)◦φi∈L²(Ω)et l’on définit la trace deu comme

T r(u) := ∑

i,O_i∂Ω̸=∅

T r((ψi·u)◦φi)◦φi

Reste encore à vérifier que cela ne dépend ni du découpage en ouverts ni de la partition de l’unité choisie.

I-E- 6. La formule de Green

Théorème. Soientuetv deux fonctions deH¹(Rⁿ+). Alors , pour touti̸=n,

∫

Rⁿ+

u∂iv=−

∫

Rⁿ+

v∂iu

et ∫

Rⁿ₊

u∂_nv=−

∫

Rⁿ₊

v∂_nu−

∫

Rⁿ⁻¹

T r(u)T r(v)

Pour avoir des notations plus agréables, on notera désormaisT r(u) =γ_u.

Démonstration du théorème.On raisonne ici par densité : Soit (u_n)_n∈N( resp.v_n) ∈ D(Rⁿ+)^N convergeant versu(resp. vers v) en norme H¹. On fait des intégrations par parties sur la variable x_n. On utilise ensuite la convergence des dérivées partielles dans L² et la continuite deγ.

Taper les exemples restantsEn utilisant des difféomorphismes à la manière deV.5, on en déduit

Théorème. SoitΩun ouvert de frontière régulière. Alors, si u, v∈H¹(Ω)

∀i∈Nn,

∫

Ω

u∂iv=−

∫

v∂iu+

∫

∂Ω

γu(x)γv(x)ν(x)⃗ ·eidσ avec ν(x)⃗ la normale à∂Ωenx.

I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

I-E- 7. Retour surH₀¹(Ω)

Théorème. SoitΩun ouvert à bords réguliers. Alors H₀¹(Ω) =ker(γ)

Démonstration du théorème.Taper les preuves

I-F. Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs/ Injections de Sobolev mettre les résultats des TD

La référence pour cette section est [Bre10]

I-F- 1. H¹(Ω)

On suppose ici qu’Ωest un ouvert borné deRⁿ. n=1 SoitΩun ouvert borné deR. Alors

H¹(Ω),→ C¹²(Ω) avec C¹²(]a;b[) :={φ∈ C⁰(]a;b[), ||φ||_∞+ sup

(x,y)∈]a;b[

|φ(x)−φ(y)

√x−y |

| {z }

:=||φ||

C1 2

si la condition de finitude est vérifiée

<+∞} et, si Ω =

]a;b[, l’injection est continue : En effet, siu∈ C^∞(Ω), par inégalité de Cauchy-Schwarz

|u(y)−u(x)| ≤√

|y−x|

√∫

Ω

|u^′|²

et on raisonne par densité.

n=2 SiΩ =B(0,1), alors pour tout∞> p≥2, H¹(Ω),→L^p(Ω) n=3

I-F- 2. H²(Ω)

On définitH²(Ω) comme

H²(Ω) :={u∈L²(Ω),∀(i, j)∈N²n, ∂iu∈L²(Ω), ∂_i,j² u∈L²(Ω)}={u∈H¹(Ω),∇u∈H¹(Ω)} C’est encore un espace de Hilbert séparable, etD(Rⁿ)est dense dansH²(Rⁿ)même remarque

I-F- 3. Injections de Sobolev

• Sin= 1, H²(Ω),→ C^1,12(Ω) ={u∈ C¹(Ω), u^′ ∈ C^1/2(Ω)}.

• Sin= 2, H²(Ω),→ C⁰(Ω)

• Sin= 3, H²(Ω),→ C¹²(Ω)

• Sin= 4, H²(Ω),→L^p(Ω), p∈[1;∞[

• Sin≥5, H²(Ω),→L^p(Ω), p∈[1;_n²ⁿ₋₄]

I-G. _W^n,p_(Ω)

Définition : W^n,p(Ω).SoitΩun ouvert de Rⁿ.

W^n,p(Ω) :={u∈L^p(Ω),∀α,|α| ≤n, ∂^αu∈L^p(Ω)}

Ce n’est pas un espace de Hilbert, mais il est néanmoins complet.W^n,2est un espace de Hilbert. (finir de taper les injections)

II INVERSION DU LAPLACIEN L3

II. Inversion du Laplacien

Dans toute cette section,Ωdésigne un ouvertborné deRⁿ à bords réguliers. De plus, siu, v∈H¹(Ω), on désignera par∇u∇v le produit scalaire∇u· ∇v.

II-A. _Motivation On s’intéresse dans ce chapitre aux problèmes suivants

{ −∆u=f

u_|∂Ω= 0 (Problème de Dirichlet) (4) { −∆u=f

∂nu_|∂Ω= 0 (Problème de Neumann) (5) { −∆u=f

(αu+β∂nu)_|∂Ω= 0 (Problème de Robin) (6) Ces systèmes d’équations aux dérivées partielles servent à modéliser, comme expliqué plus haut, la comportement d’une membrane élastique déformé par une force f et fixée sur les bords du domaine, ou encore à décrire la répartition de la chaleur dans un matériau en régime stationnaire :

• Si on travaille en régime stationnaire,∂tu= 0

• Si les parois sont isolantes, i.e s’il n’y a pas de flux de chaleur, on se ramène au cas

⃗

q·⃗n= 0⇒∂_nu= 0, avec⃗q=∇ula flux de chaleur.

• Si les parois sont thermostatées : on est amené à considérer le système { −∆u=f

u_|∂Ω=T

Soit alorsT˜ une fonctionC²(Ω)dont la restriction à∂Ωsoit T, ce qui demande déjà une forte régularité surT. Alors {

−∆(u−T) =˜ f (u−T˜)_|∂Ω= 0

II-B. Diverses formulations du problème II-B- 1. Motivation

En première approche, on peut travailler avec u une fonction de classe C^2,α et f une fonction de classeC^0,α. On utiliserait alors le principe du maximum pour démontrer l’exis- tence et l’unicité d’une telle solution.

On peut également choisir une deuxième approche, qui suppose f d’intégrabilité L² et u dans la classeH²(Ω)∩H₀¹(Ω), ce qui permet d’en définir la trace.

Théorème. Sif ∈L²(Ω), il existe une unique distributionu∈H²(Ω)∩H₀¹(Ω)solution du problème de Dirichlet au sens des distributions.

Notre objectif est désormais de démontrer ce théorème. Dans toute la suite, f est L².

II-B- 2. Formulation au sens des distributions

On oublie, pour commencer, la condition de nullité de la trace. En appliquant une fonction testφà l’équation de Newmann, on obtient

∀φ∈ D(Ω), <−∆u, φ >=< f, φ >

d’où, en intégrant,

∀φ∈ D(Ω), < u,−∆φ >=< f, φ >

et ces égalités ont un sens siuetf sont deux distributions. De plus, sif est une fonction de L¹_loc(Ω), de même queu,uest solution de l’équation aux dérivées partielles si et seulement si

∀φ∈ D(Ω),−

∫

Ω

u∆φ=

∫

Ω

f φ On parle desolution faible.

II-B- 3. Formulation variationnelle

Le problème, c’est que φest une fonction Cc^∞, tandis queuest dans le dual de D(Ω).

Le but de la formulation variationnelle est de rétablir une symétrie entre uet φ. Mais, en utilisant la notion de dérivée d’une distribution, on voit queuest une solution de l’équation aux dérivées partielles si et seulement si

∀φ∈ D(Ω), <∇u,∇φ >=< f, φ >

ou encore, sous l’hypothèse que∇u∈L¹_loc(Ω)et quefest une fonction

∀φ∈ D(Ω),

∫

Ω

∇u∇φ=

∫

Ω

f φ

et la formulation est ici complètement symétrique. Pour pousser plus loin cette idée de symétrie, on cherche à déterminer une fonction telle que∇u∈L², ce qui revient à se donner une fonction deH¹(Ω).

Considérons ensuitev∈H₀¹(Ω). Alors, par densité deD(Ω)dansH₀¹(Ω), on en déduit que

∀v∈H₀¹(Ω),

∫

Ω

∇u∇v=

∫

Ω

f v Ces considérations nous conduisent à la définition suivante :

Définition : Solution variationnelle.On dit que uest solution de { −∆u=f

u_|∂Ω= 0 au sens variationnel si

• u∈H₀¹(Ω)(ce qui garantit la nullité deγu)

• ∀v∈H₀¹(Ω),∫

Ω∇u∇v=∫ f v

II INVERSION DU LAPLACIEN L3

Remarquons d’emblée qu’une solution forte est une solution au sens variationnelle par intégration par parties : en effet, si on prend une solution classique du problème de Dirichlet, u∈H₀¹(Ω) de manière immédiate car , pour toute fonction testφ,

∫

Ω

f φ=

∫

Ω

−∆uφ=

∫

Ω

∇u∇φ−

∫

∂Ω

∇u·⃗n φ

|{z}

=0sur∂Ω

=

∫

Ω

∇u∇φ

et on conlut par densité. De plus, une solution variationnelle est une solution faible.

II-B- 4. Question de minimisation

Le problème de Lax-Milgram On se donne H un espace de Hilbert, ici,H₀¹(Ω) muni du produit scalaire

(u, v)_H1 0(Ω)=

∫

Ω

∇u∇v L:v7→∫

Ωf v est une forme linéaire continue surH₀¹(Ω), car

||L(v)|| ≤ ||f||2||v||2≤ ||f||2||v||H₀¹(Ω)

Donc on aura une solution au sens variationnel si l’on réussit à trouver une fonction u∈ H₀¹(Ω) telle que

∀v∈H₀¹(Ω),(u, v) =L(v)

et qu’une telle fonction est unique (l’existence et l’unicité proviennent du théorème de re- présentation de Riesz).

Dans un certain nombre de problèmes physiques, on cherche avant tout à minimiser une certaine quantité, comme par exemple l’énergie, qui peut par exemple être l’énergie potentielle. Ici, cette énergie potentielle prend la forme

J(v) := 1 2

∫

Ω

|∇v|²−

∫

Ω

f v, v∈H₀¹(Ω)(d’après la [RT88])

qui est analogue à une énergie potentielle ou à une énergie de déformation élastique.

Minimisation Soituun minimum de la fonctionnelleJ, si un tel minimum existe. Par le cours de calcul différentiel, on sait quedJu= 0. De plus, pour toute fonctionu∈H₀¹(Ω)

∀v∈H₀¹(Ω), dJ_u(v) =

∫

Ω

∇u∇v−

∫

Ω

f v

En effet, un calcul nous montrer queJ(u+tv) =J(u) +t(∫

Ω∇u∇v−∫

Ωf v) +^t₂²∫

Ω|∇u|². Notons qu’alors (u est solution au sens variationnel) ⇔ u est un minimum local de J dansH₀¹(Ω), et on montre, par l’inégalité de Poincaré, l’unicité d’un tel minimum ; on verra plus bas comment justifier d’un coup l’existence et l’unicité d’un tel minimum. En effet,

∀v∈H₀¹(Ω)− {0},∀t∈R^∗, J(u+tv) =J(u) +^t₂²∫

Ω|∇v|²> J(u)par inégalité de Poincaré.

Remarque.• J est convexe.

• On peut obtenir l’existence d’un minimum par minimisation d’une fonctionnelle convexe (cf [Bre10])

II-C. Le problème de Neumann

Solutions faibles/ Solutions variationnelles On remarque que, si uest une solution du problème de Neumann, pour toute constante c, u+c est encore solution : on n’a donc aucune chance d’avoir unicité de la solution. On va en fait étudier le problème suivant :

{ −∆u+au=f

∂nu_|∂Ω= 0

avec a≥δ >0 une fonction bornée. qui se comporte comme un terme d’atténuation (par exemple, c’est un terme traduisant l’absorption de la chaleur. Soitv∈H¹(Ω). Par la formule

de Green, ∫

Ω

∇u∇v−

∫

∂Ω

∂nuvdσ+

∫ auv=

∫

Ω

f v ce qui nous conduit à la définition suivante :

Définition.On dit que u est solution faible si u ∈ H¹(Ω) et si ∀v ∈ H¹(Ω),∫

Ω[∇u∇v+auv] =∫

Ωf v

Notons que siuest solution faible, alorsγ_∂nu= 0. En effet, au sens des distributions, la condition devient

∀v∈ D(Ω), <−∆u+au−f, v >= 0

L’égalité a lieu dansD^′(Ω), donc, toutes les fonction en jeu étant L², l’égalité a lieu dans L². Soit doncv∈H¹(Ω). Par hypothèse, on a

∀v∈H¹(Ω),

∫

∂Ω

∂nuv= 0

Ainsi, bien que la définition de solution faible du problème de Neumann semble cacher la condition de nullité au bord, celle-ci se trouve en fait intégrée.

Retour sur Lax-Milgram On revient sur le problème de Lax-Milgram évoqué ci-dessus (vérfier : ce cas couvre-t-il le problème variationnel de Dirichlet ?).

Théorème : Lax-Milgram. Soitf ∈L²(Ω). Il existe une unique solution du problème

variationnel {

−∆u+au=f

∂_nu_|∂Ω= 0

,∀x∈Ω,0< δ≤a(x)≤M. De plus, cette solution est en fait une solution de H²(Ω).

Démonstration du théorème.On considère le problème général suivant : soit α une forme bilinéaire continue et coercive (parfois appeléH−elliptique) sur un espace de Hilbert H :

• ∃M,∀u, v||α(u, v)|| ≤M||u||||v||

II INVERSION DU LAPLACIEN L3

• ∃µ,∀u∈H,||α(u, u)|| ≥µ||u||²

et L une forme linéaire continue. Alors, sous ces hypothèses, il existe une unique solution du problème "trouveru∈H tel que

∀v∈H, α(u, v) =L(v)”

On se ramène au théorème de Riesz :∀v∈H,∃!A(v)tel que

∀w∈H, α(v, w) = (A(v), w) et on vérifie immédiatement queA:u7→A(u)est continue.

De plus, l’appliacation L étant continue, il existe, par le théorème de Riesz, un unique vecteuru0∈H tel que

∀v∈H, L(v) = (u0, v)

On cherche donc un vecteurutel queA(u) =u0, c’est à dire un point fixe de l’application T :v7→v− µ

M²(A(v)−u₀)

La constante _M^µ2 peut paraître exotique, mais on l’a en fait choisie pour avoir une application contractante : en effet, (finir les calculs, pas difficultés particulières)

Revenons sur la formulation variationnelle du problème : on considère α : (u, v) 7→

∫

Ω∇u∇v+auv définie sur H¹(Ω), qui est un espace de Hilbert. Elle vérifie Lax-Milgram.

On en déduit donc l’existence et l’unicté d’une solution. La régularité de la solution ne sera pas traitée ici.

III. Propriétés qualitatives du Laplacien

La référence pour ce chapitre est [Bre10] Ici, on considérera queΩest un ouvert régulier borné ou bien queΩ =Rⁿ+

III-A. Régularité des solutions faibles

Théorème. On considère le problème de Dirichlet { −∆u+u=f

u_|∂Ω= 0

• Sif ∈L²(Ω), alors si uest une fonction deH₀¹(Ω) solution de la formulation varia- tionnelle du problème,uest en faitH²(Ω) et l’inversion du laplacien est continue au sens où

||u||_H2(Ω)≤c||f||₂

• Sif ∈H^m(Ω), alors u∈H^m+2(Ω)et ||u||H^m+2(Ω)≤c||f||2 .

• Sif ∈ C^∞(Ω), alors u∈ C^∞(Ω).

Démonstration du théorème.On procède en plusieurs étapes (a) Le casΩ =Rⁿ+

(b) On traite le cas général par passage à des cartes locales. Ce dernier point ne sera pas ici traité en détail, les outils de géométrie différentielle nous faisant défaut.

• Supposons doncΩ =Rⁿ+, f∈L²(Ω). On travaille ici avec la méthode destranslations de Nirenberg. Pour cela, considéronsh∈Rⁿ+− {(0,0}, h= (h^′,0), h^′∈Rⁿ⁻¹. On introduit la fonctionτ_hu=x7→u(x+h). Notons que cela a un sens, puisque l’ouvertΩest stable par la translation de vecteurh. On introduit ensuite la dérivée discrète de upar rapport au vecteurh

D_hu:= 1

|h|(τ_hu−u)

On vérifie queτhu∈H₀¹(Ω), en conséquence de quoiDhu∈H₀¹(Ω). On peut donc consi- dérerφ:=D₋h(Dhu)∈H₀¹(Ω) En considérant la formulation variationnelle du problème de Dirchlet, on obtient donc, les opérateursD₋h, Dh et∇ commutant,

∫

Ω

∇uD_−h(Dh∇u) =

∫

Ω

f D_−h(D_hu) Intéréssons-nous à présent au premier terme de cette égalité :

∫

Ω

∇uD₋h(Dh∇u) =

∫

Ω

∇u(x) 1

|h|(Dhu(x−h)−Dhu(x))dx (7)

=

∫

Ω

∇u(x+h)− ∇u(x)

|h| Dh∇u(x)dx (8)

=

∫

Ω

|D_h∇u|² (9)