Cours

1

Fonction logarithme népérien TES1

I- La fonction logarithme népérien 1) Equation e^x a:

Soita0. On veut résoudre l’équation e^x a sur IR.

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur IR à valeurs dans



^0;



^.

Or ^a



^0;



, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équatione^x a admet une unique solution sur IR, que l’on note lna.

Propriété 1: (admise)

Soita0. L’équation e^x aadmet une unique solution réelle notée lna. 2) Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; +[ , qui à tout réel x > 0 associe le réel y tel que

e

^y= x . Autrement dit y = ln(x) équivaut à x =

e

^y

Remarques :

 On note lnx, au lieu de ln(x) , le logarithme népérien de x, lorsqu’il n’y a pas d’ambigüité.

 attention : l’écriture ln(x) n’a de sens que lorsque x  0 .

 e⁰ = 1 donc ln(1) = 0.

 e¹ = e donc ln(e) = 1.

 Pour tout réel m  0, l’équation e^x = m a pour solution x = ln(m)



3) conséquences

 Pour tous nombres réels x  0 et y, e^y = x équivaut à y = ln(x)

 Pour tout nombre réel x  0 , e^ln(x) = x

 Pour tout nombre réel x , ln(e^x) = x

 ln 1 = 0 (car 1 = e⁰)

 ln( e) = 1 ( car e = e¹ )

 ln ( e

1) = - 1 (car e

1 = e^-1 )

4) Courbe représentative de la fonction ln Propriété :

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielles et logarithmes népérien sont symétriques par rapport à la droite  d’équation y = x ( voir AP 2) On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction

exponentielle.

2 Propriété (admise) : La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ]0 ; +[.

Exercices : 20 - 21- 22-24 page 110 5) Premières propriétés:

Propriété 2:

(1) ln1 0 ; lne1.

(2) Pour tout x > 0, ^ln

 

^{ex x} et pour tout x0, e^lnx x. (3) Pour touta b, 0, lnalnb ssi ab.

(4) Pour touta b, 0, lnalnb ssi ab.

(5) La fonction ln est strictement croissante sur



^0;



^.

(6) lnx0 ssi x1et lnx0 ssi 0 x 1. (7) La fonction ln est continue sur



^0;



^.

(8) La fonction ln est dérivable sur



^0;



et pour tout^x



^0;



^{, ln ( )x 1}

  x. Démonstration :

(1) Commee⁰ 1, alorsln1 0 . Commee¹ e, alorslne0.

(2) Soitx0et y  IR. Par définition, ylnx ssi e^y x, donc pour tout y  IR,ylne^yet pour tout 0

x , e^lnx x.

(3) Soita b, 0.lnalnb ssi e^lna e^lnb ssi ab.

(4) Soita b, 0. Comme exp est strictement croissante sur IR , alors lnalnb ssi e^lna e^lnbssi ab. (5) Le point (4) est la définition de ln strictement croissante sur



^0;



^.

(6) ln(x )  0 ssi ln(x)  ln1 ssi x 1 et ln(x)  0 ssi ln(x)  ln1 ssi 0  x  1 II. Propriétés Algébriques

Soita b, 0. Des propriétés algébriques de l’exponentielle, on en déduit les propriétés algébriques suivantes du ln .

1) Produit:

Théorème1: Relation fonctionnelle du logarithme népérien : Pour touta b, 0, ^ln



^{a b }



^lnalnb.

Démonstration :

Soient a  0 et b 0 deux réels strictement positifs.

Par définition de la fonction ln

: a = e

^lna

, b = e

^lnb

et a.b = e

^ln(a.b)

D’autre part,

a.b = e

^lna

. e

^lnb

= e

ln(a) + ln(b)

D’où :

e

^ln(a.b)

= e

l(a) + ln(b)

Donc : ln(a.b) = ln(a) + ln(b)

Remarque : Cette propriété se généralise au cas d’un produit de trois, quatre, n facteurs.

2) Inverse et quotient:

Propriété 3:

Pour touta b, 0, 1

ln lnb

   b

   et ln a ln ln

a b

  b 

   . Démonstration :

3 D’une part,

ln 1_b 1

e b

  

   et d’autre part, e ^{lnb 1}_lnb ¹

e b

   , donc

ln 1 b lnb

e e

   

   et donc 1

ln lnb

   b

   .

Ensuite, 1 1

ln a ln ln ln ln ln

a a a b

b b b

       

   

    . □

3) Puissance et racine:

Propriété 4:

- Pour tout n IN et a0, ^ln

 

^{an nlna.}

- Pour touta0, ^ln

 

^{a 1}₂^lna.

Démonstration :

- Soit n IN et a0. D’une part, ^ln ^an n

e a et d’autre part, ^{enlna }

 

^{elna n an, donceln an enlnaet donc}

 

ln aⁿ nlna.

- Soita0. D’une part, ^ln ^na n

e  aet d’autre part, ^{e1nlna }

 

^{elna 1n a1n  na, donceln na e1nlnaet donc}

 

¹

ln ⁿ a lna

 n . Le cas particulier correspond à n2. III- Courbe représentative de la fonction ln :

Propriété : Pour tous réels a et b strictement positifs,

 ln a > ln b équivaut à a > b

 ln a = ln b équivaut à a = b

Conséquences : Pour tout réel x strictement positif :

 ln x = 0 équivaut à x = 1

 ln x < 0 équivaut à 0 < x < 1

 ln x > 0 équivaut à x > 1

4 IV- Applications :

Résolution d’équations et d’inéquations

 Méthode : pour résoudre une équation du type

ln u(x) = ln v(x) (respectivement une inéquation du type ln u(x)  ln v(x) ) : 1- On détermine l’ensemble des réels x tels que u(x) > 0 et v(x) > 0

2- On résout dans cet ensemble l’équation u(x) = v(x) (respectivement l’inéquation u(x)  v(x)).

Attention : ln u(x) + ln v(x) - ln(w(x)) = lnf(x) ceci est différent de u(x) + v(x) - w(x) =f(x)

 Résoudre l’équation : ln(x² – 4) = ln(3x).

1- On cherche les nombres x tels que x² – 4 > 0 et 3x > 0.

x - -2 2

+

x² – 4 + 0 - 0 + Or x² – 4 > 0 lorsque x]- ; -2[∪]2 ; +[ et 3x > 0 lorsque x > 0.

L’équation sera alors résolue dans l’ensemble I = ]2 ; +[.

2- ln(x² – 4) = ln(3x) équivaut à x² – 4 = 3x soit x² – 3x – 4 = 0.

On trouve  = 25 et les solutions sont x1 = -1 et x2 = 4.

Or 4I et -1I,

Donc la seule solution de l’équation ln(x² – 4) = ln (3x) est 4. S= {4}

 Résoudre l’inéquation : ln (2x + 4)  ln (6 – 2x).

1- On cherche les réels x tels que 2x + 4 > 0 et 6 – 2x > 0, c’est à dire tels que x > -2 et x < 3.

L’inéquation doit alors être résolue dans l’ensemble : I = ]-2 ; 3[.

2- ln (2x + 4)  ln (6 – 2x).

 2x + 4  6 – 2x

 x  1

2. L’ensemble des solutions est alors : ]-2 ; 3[ ∩ [1

2 ; +[, c’est à dire S = [1 2 ; 3[.

 Résoudre l’équation : ln (2x – 4) = 0

1- On cherche les réels x tels que 2x + 4 > 0 soit x > -2 I= ]-2 ; +[

2- ln (2x – 4) = 0 équivaut à ln(2x – 4) = ln(1)

 2 x - 4 = 1

 x = 5

2. 5

2  I donc La seule solution de l’équation est S={ 5 2.}

 Résoudre l’inéquation : ln(x – 10) < 0

1- On cherche les réels x tels que x - 10 > 0 soit x > 10 I= ]10 ; + [

2- ln (x – 10) < 0 or 0 = ln(1)

5

 ln (x – 10) < ln(1)

 x – 10 <1, c’est à dire : 10 < x < 11.

L’ensemble des solutions est alors : S=]10 ; 11[.

Exercices : 43-44-46-48-50 -51-52-53 page 111 et 62-67-69-70-71 page 112 V- Etude de la fonction ln

a) Dérivée :

La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0 ; + [et pour tout x > 0, ln’(x) = 1

x.

Démonstration :

On note f la fonction définie sur ]0 ; +[ par f(x) = e^ln(x). Cette fonction est de la forme e^U avec U(x) = ln(x).

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +[ et pour tout nombre réel x  0, f ‘(x) = u ‘(x).e^U(x) soit f ‘(x) = (lnx)’.e^ln(x).= (lnx)’.x

Or, pour tout x  0, f (x) = x (car e^ln(x) = x) et f ‘(x) = 1 donc (ln(x))’.x = 1 et, ln’(x) = 1 x. b) Variation :

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0 ; +∞[

Démonstration :

 La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ donc continue sur cet intervalle.

 La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ln’(x) = ¹

𝑥 , or si x  0 alors ¹

𝑥  0 .

 La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

c) Tableau de variation de la fonction ln

x 0 + T

C ln

+

-

T₁ est la tangente à la courbe C représentative de la fonction ln au point A d’abscisse 1.

Une équation de T1 est : y = x – 1 La courbe C est en-dessous de T₁ sur ]0 ; +[,

Démonstration :

 

1: (1) 1 (1)

T y f x f .

6 Or f(1)1 et f(1)0 , doncT y₁:  x 1. Comme ln est concave sur



^0;



, alors sa courbe est au-dessous de toutes ses tangentes, en particulier pour T y₁:  x 1.

Donc pour tout x > 0, ln x  x – 1.

d) Concavité de la fonction ln :

La fonction ln est concave sur



^0;



^.

Démonstration : f(x) = ln(x) et f’(x) = ¹

𝑥

ln est deux fois dérivable sur



^0;



et pour toutx0 , 𝑓^′′(𝑥) = ⁻¹

𝑥² , x²  0 et ⁻¹

𝑥² < 0 donc f ( )x ¹₂ 0

  x  .Conclusion : la fonction ln est concave sur



^0;



^.

e) limite en + et en 0

 lim

x  + ln x = +.

 lim

x  0 ln x = -

Conséquences :

Pour tous nombres réels a > 0 et b > 0

 ln a = ln b si et seulement si a = b

 ln a > ln b si, et seulement si a > b

L’inéquation ln(x)  0 équivaut à ln(x)  ln(1) soit x  1 d’où le tableau de signes :

x 0 1 +

ln

 0



Comme la fonction logarithme népérien est continue, strictement croissante et que pour tout réel x  0, ln(x)  IR, alors d’après le théorèmes des valeurs intermédiaires,

Pour tout réel K, l’équation ln(x) = K admet dans l’intervalle ]0 ; +∞[ une unique solution x = e^k

7 f) Applications :

a) Résoudre l’équation : ln(2x – 1) = -5

1- Tout d’abord, on cherche les réels x tels que 2x -1 > 0 soit x > ¹

2. I = ] ¹

2.; +[

2- Résoudre ln(2x – 1) = -5 équivaut à résoudre : 2x – 1 = e^-5. On obtient : x = e^-5 + 1

2 . La seule solution est alors S= { e^-5 + 1 2 .}

b) Résoudre l’inéquation : ln(1 – 5x) > 1 .

1- Tout d’abord, on cherche les réels x tels que 1-5x > 0

 -5x >−1  x  ¹

5.; I = ] − ; ¹

5 [

2- ln(1 – 5x) > 1 Cela équivaut à résoudre ln(1 – 5x) > ln(e), c’est à dire 1 – 5x > e, donc x < 1 – e

5 .

L’ensemble des solutions est alors S= ]- ; 1 – e 5 [.

c) Résoudre l’inéquation : ln(x + 1)  2

1- Tout d’abord, on cherche les réels x tels que x +1 > 0 soit x > -1 I = ] -1; +[

2- ln(x + 1)  2 cela revient à résoudre ln(x + 1)  ln(e²), c’est à dire 0 < x + 1  e². Donc -1 < x  e² – 1. L’ensemble des solutions est alors : S= ]-1 ; e² – 1[.

d) Résoudre l’équation : (ln x)² – 3 ln x – 4 = 0.

1- ln x existe ssi x  0 soit I = ] 0 ; +[

On pose X = ln x et on obtient l’équation : X² – 3X – 4 = 0 qui est une équation du second degré :

 = 25. Les solutions sont alors : X1 = -1 et X2 = 4.

On résout alors les équations : ln x = -1 et on obtient : x = e^-1 ln x = 4 et on obtient : x = e⁴.

Les deux solutions de l’équation sont alors S= { e^-1 ; e⁴}

8 VI- Complément : Fonctions exponentielles de base q  0.

Pour tout réel q  0, e^lnq = q pour tout réel x. q^x = (𝑒^𝑙𝑛𝑞 )^x = 𝑒^{𝑥𝑙𝑛𝑞}

Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est la fonction f définie sur IR par :

f(x) = q^x = 𝑒^{𝑥𝑙𝑛𝑞} Conséquence :

Soit K un réel strictement positif .L’équation q= K avec q  0 s’écrit 𝑒^{𝑥𝑙𝑛𝑞} = K.

Ainsi l’équation q^x = K  𝑒^{𝑥𝑙𝑛(𝑞)} = K.

 x ln(q) = ln(K)

 x = ^{ln (𝐾)}

ln (𝑞)

Equation xⁿ = a Propriété :

Soit x eta des réels strictement positifs et n un entier naturel.

L’équation xⁿ a admet sur



^0;



une unique solution

lna

xe n . Démonstration :

Commexⁿ eta sont strictement positifs, alors :

xn a ssi ^ln

 

^{xn lna} ssi nlnxlna ssi ln ^lna

x n ssi

lna

xe n

Exemple :1

Résolution d’une équation du type xⁿ = K ( n  IN et K > 0 ) Exemple : Résoudre dans ]0 ; +[ l’équation : x⁵ = 10⁶ Les nombres x⁵ et 10⁶ sont strictement positifs donc :

x⁵ = 10⁶  ln(x⁵) = ln(10⁶)  5lnx = ln(10⁶)  ln(x) =

5

1 ln(10⁶)  x= 𝑒^{(15. ln(106))}

Exemple 2 :

Soit (U_n) la suite géométrique de premier terme U₀ = 1 et de raison q = ⁴

5. A partir de quel indice n a-t-on Un ≤ 10^-3 ?

Exemple 3 :D’après bac blanc n° 1 2015 :

On reprend la suite

 

un définie pour tout entier natureln, par :

0 1

20

0,92 3

n n

u

u _ u

 

  



Le terme u_n donne une estimation du nombre d’abonnés pour l’année 2013 + n. Pour tout entier natureln, u_n  17, 5 0, 92 ⁿ37, 5.

L’opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d’abonnés ? En quelle année l’opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ?

9 VII- Fonction ln u

Dérivée de ln u

Propriété : Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln u est dérivable sur I et : (ln u)’ = u’

u. Exemples :

 f est la fonction définie sur  par f(x) = ln(x² + 1).

Le polynôme u définie par u(x) = x² + 1 est strictement positif et dérivable sur .

Donc f est dérivable sur  et f ’(x) = 2x x² + 1.

 La fonction g : x  ln(2x – 1) est définie pour 2x – 1 > 0, c’est à dire pour x > 1 2. Alors g est dérivable sur ]1

2 ; +[, et pour tout x]1

2 ; +[, g’(x) = 2 2x – 1.